Phương trình lượng giác-Phạm Trọng Thu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.76 MB, 192 trang )

PHAM TRONG THU

TOAN NANG CAO
| LƯỢNG
PHAN PHUONG

GIAC |

TRINH LƯỢNG

TỰ LUẬN VÀ TRẮC

GIÁC_-

NGHIỆM

«BOI DUONG HOC SINH KHÁ GIỎI LỚP 10,

TI ' 12 |

e LUYỆN THỊ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHO THONG

NHÀ XUẤT BẢN DAI-HOC SU PHAM

PHAN I. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP.
Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC CẲN NHỚ' - --

-

tia

tử

Nhóm 1: Phương trình tượng giác cơ 7 bản
Dạng
,
sinX =m

‹ Nếu

TT

Cách giải
wick oo aahibo

os.

.
_
X=a+k2n x0 +k2m
X=
‹ Nếu |m|<1 :Ta có: sinX=meo|

keZ

Ta

với sing = m - (cs me yo acim ae|-5:

-

|

-| „ Nếu |m| > ¡ thì phương trình vơ nghiệm
cos

m

T
_
X=
‹ˆ NINếu |m|<1 -ZTa
có: . cosX=m
©>| XE
_

a+k2x

tên

;

keZ

với cosơ =m (có thể lấy a = arccosm,
a < [0; 7])
tanX =m

Ta cé: tanX =m & X=a+ka,

keZ

với tana = m( sẽ thể ấy ø~scam, ac{-F:

)

Tac6:coX
=m @ X=a+ka,keZ

coX =m | véicota =m (có thể iy a = arccotm,a-€ (0; 7))

Lưu ý:
» Trong bài toán, đơn vị cung (góc) cần thống nhất
Vi dy: x = 60° +k. 180” là cách viết đúng, còn x==3tk

180° là cách viết sai.

° Khi giải phương trình lượng giác có chứa hàm tang hoặc hàm côtang ta phải
đặt điểu kiện, -chẳng hạn cott xác định khi

œ=z kx,kc Z;

tanu xác

u#2+kn,k€Z.

Tu

định khi
:

„ Khi giải phương trình lượng giác ta l?ơn liơn chú ý đặt điều kiện tơn tại bài tốn.
Trường hợp đặc biệt :
cosu =0 cu =2 +km,k€Z.
cosu =1 ©> u = k2m,keZ.-

| simu =0

> x =ka,k eZ.

sinu =I1<>u =2 +k2m,k €Z:

cost
= -1ou=

n+k2a,k eZ:

| sinn=-lou= -21 k2r,ke Z.

cotu =0 ©œu =2 + km, k €Z.

tanh =0 cu

= km, k€Z,

Nhóm 2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực hiện

các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa phương trình cần giải
về dạng‹ cơ bản ở nhóm 1 hoặc về dạng có cách giải dịdễ hơn.

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Nhóm

1

Ví dụ 1. Giải phương trình sin3x = ; @đ).
._GIi

x22, et

34 =C+k2r

Su
(*) â sin3x =sin^
6

7

3x=| x-

.

l8
5n.

|+k2a

Vy nghim ca phương tình (® lax= x

18

Ví dụ 2. Giải phương trình cos2x = ~.

.

©

3 ,keZ.
k2n
"

X=—+——
“1

3

Kon, X= oe
3

Kon ,keZ.

18_

3

(*).

Giải
x

2x =2“ + k2x

(*) = cos2x =~COS— =COS—— <=

©

2x=— 2“ + k2n
3

Vậy nghiệm cia phuong trinh (*) 1A x ati tknke z

xe
x=

tke
3

kn

si

——†Vtdg3:Giải phương trình tans =2.

Gai

Điều kiện :2 #2 tk,keZe xế, +kên keZ,
,n
k3a
k e2Z.

(*)© x=3arc+ t

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 3arctan.2 + k3rn, k € Z.

Chúý:

-cosa=cos(n-a);
~ tang = tan(—0ơ)

;

—sinư=sin(-g) —cota=cot(-—a)

keZ

(đ).

+ 3)

Vớ d 4. Gii phng trỡnh sin4x =sil

Gii
4x=x++k2H

đ)â

3x =

`_

sron-(x+ 8) tan

-

=

_©

3.

4 kon

X=—+———

5x ont kon

3

Vậy nghiệm củaa phương trìnhC) là x

vo

Giải:

x +30° #k. 180°

_ Piểu kiện Sa
én:

x#—230”

xr

.

-|X=—+——

15

+

a

Ví dụ 5. Giải phương trình cot(x +30°) = cot >

VÀ

Ầ©

0

cz.

(0

+k. 180

360°

nã

|

|

(hae).
k

.

(*) <> x +30° =2+k 180° <> 2x +60" ax+k. 360°
_—

@x=-60°+k.3600,keZ,

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 60" +k. 360°, k eZ.

-_ Ví dụ 6. Giải phương trình sin2x —sin2xcosx= 0 (*).
. Giải
()© sin2x(1~eos)=0©|

sin2x =0
cosx =1

2x=kn
coxa A,
x=k2m

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x =k

keZ.

eZ:

-_Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình sinx = 2m —1(*).
`

„Trường hợp 1:

_—_
Giải
2m-1>1
Bm-Il>I< [2m11

|
[mo

_¬

m>l

Phương trình (*) vơ nghiệm.

“Trường hợp 2: [2m - l<1©>—1<2m~1<1©0%
Phương trình (*) có nghiệm

Tóm lại :
`.

. Nếu|

Ð>Í

m<0

« Nếu 0
x =arcsin(2m— 1)+ k2, . keZ.
[x =#~ arcsin(2m —1)+ k2"

tm phương trình (*) vơ nghiệm
a

`
x = arcsin(2m — 1) + k2z

thì phương trình (*) có nghiệm lì =1.—arcsin(2m —1) + k2m.

Ví dụ 8. Tìm m để phương trình

sil x + *| =m cónghiệm x € (s;}:
Giải

-‹V0
`.

V2.

.

3m

4

">

.“>——
<—

+

-

-

sóc

`4,
*)

4

X+—

Ls

|
« Phương trình đã cho có nghiệm

_xe[

5) wii PB st
2

V2

«l
Nhóm

2

Ví dụ 9. Giải phương trỡnh cosx = Bs +2 (ay
Gii

(*)<â

l+cos2x

_ 3

+ 2

2-5

ôđ2(+ cos2x) = đã: +2

3
2 =cos=
cost
> cos2x
cos2x = ~~

2x = t=6“+k2 ROK=
12
©
++

ka, k ke Zz.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = SH +kr, keZ.
Ví dụ 10. Giải phương trình sinxcos2x = sin2xcos3x (*).

(8) 9

|

. Giải
(6in3x ~ sinx) = 5 (sin5x -sinx) eo sinSx =sin3x
-| 5x

os

=3x+k2a

x

|

=kã

»keZ

nh,

Vay nghiém ctia phuong trinh (*) la x = ka; x = 5 + a
Ví dụ 11. Giải phương trình sin2x = cos3x (*).
oni
(*)© cos3x
`
=

2

_2x) >

ˆ

3x=——2x+ k2m

Cn

|3x= (3-2): k2n

keZ

“
.

5x =

©|

-

2

`z£

4 k2n

©

K=-+k2n:
2

Vv ậy nghiệm
h
của

X=—+—

10

k2n

3. ,keZ.

x.=-+k2
2
T1
k2
(*)
*) là x X=——+——;
io’
5
x =—“ 5 +k2 a, keZ.
ke

Ví dụ 12. Giải phương trình sin” 2 +cos* 2 = ; Œ)Giải

Đặt a =sin°T và b=cos' 2 =>a+b=l
sin’ ~ + cost ~ =a? + b? =(a +b)* 2ab =1-1 sin

2

(*) <> 1Ssin?x => 2 sinđx =14Â

2

cos

=0c>x=7 +kn, keZ.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = x +kn, keZ.
Ví dụ 13. Giải phương trình :
cos10x +2cos” 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos? 3x (*).
ne

Giai

,

(*) <>-cos10x + 1+ cos8x = cosx + 2cosx(4cos° 3x — 3cos3x)
<> cos10x + 1+ cos8x = cosx + 2cosxcos9x
<> cosl10x + 1+ cos8x = cosx + cos10x + cos8x

© cosx=l ©x = K2n, ke Z.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = k2z, k e 7

Ví dụ 14. Giải

(2 — 3)cosx

ơnn:
\2

#4

2cosx è

=1.

Gii
1

.

-

iu kin : cosx # 3 ôâx +. + k2n,k cZ.
CYS "“= 43 3)cosx — họ cox

-*)| = 2cosx —1

2 (2- 43 )Cosx — (Ì ~ sinx) = 2cosx —1 <> -3cosx +sinx = 0

© tanx = 3 = tan

©

x= 2 +km,k€Z,

Kết hợp với điêu kiện = (*) có nghiệm là x= =

+n2z,ne Z.

|

,

_ Ví dụ 15. Xác định m để phương trình:
men| SE — x] + (2m — 1)sin(7x— X): +m

CÓ đựng: một nghiệm x c lễ

=|

—7= 2e05{ x - at

.

¬.
TF

“Giải:

Phương trình (*) viết lại

msinx + (2m —1)sinx
+ 5m —7 = 2sinx
<> 3m —1)sinx = 7-5m

„ Nếu m = 1: (1) © 0sinx =2

(1)

Phương trình(*) vơ nghiệm

. Nếu m#l:

(1) sinx

- “ LK

=—-—™

2)

3(m -1)

Đặt t = sinx, (2) viết lai :t =

(*)

;ảm
3(m ~—1)

¬"-.
¬te Ee
se]
"
6
|
2

Nhìn vào đường trịn lượng giác :
« Nếu te|-z:
xe]

x

.

a1

11 [m= 5

.

.

7-5m_
¬

Theo u cầu bài tốn thì

A3m-3

|

{i™*

_..¬ ~m

2

-

[

|

{mel

||7m=Hở

„Ji

m-l

3m-3 2

13m-174
L

-

âm=~
V:

10

5

17

He

17

11

em 5
â

.

.

hoic 4
7

hod ot
y m2= hoc.

m-è

c6dtin

ứ mt
mt ngn

hiộm

x Â

[ n 5m
——;—
`.

nm

5

=|

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Nhóm † ˆ

Bài tập 1. Giải các phương trình:
8.

c) tan(x —30°)

b) cos{ x + H = _—

a) sin2x = 2

Bài tập 2. Giải các phương trình:
,

b)sin?4x sin?

J2=0 ~

d)tanx? =-],

7

a) tan{x-2] + cotx =0

cos{ x _ al

c) reo

3x2 ]-0

e

Bài tập 3. Giải và biện luận các phương trình:
_

b) 4tanx —m = (m +1)tanx.

8)(2m —1)cosx = mcosx — 5

|

. Bài tập 4.

a) Tìm m để phương trình cos2x =m ~1 có nghiệm x e (= 2)
pytim

dé

3m - LŒ)cónghiệm x<|0 z

x)

Nhom 2
Bài tập 5. Giải các phương trình:

_b) |eosx|==

có

8) COSXCOS7X = c0s3xXcos5x

d)sin® x + cos’ x = —

c) gin? x = 2242
4

16

e) sin® x + cos® x = cos” 2x +

f) 2cos3x + V3sinx + cosx = 0

g) cos? x cos3x + sin’ x sin3x =2

hb) sin xcosx + cos’x = vn

%Ì.
k) cos| x + *) +co
3

T

x4 = =co
6

l

xÌ
+ *) :
4

Bai tap 6. X4c dinh m để phương trình sinŠx + cos”x = m có nghiệm.
Bài tập 7. Giải các phương trình:

.

:4
4
:
1
sin x+cos x
—————=~(tanx + cotX)
2
sin2x

c) 2tanx + cotx =x/3 +
sinx sin2x

đ)- =3
COSX COS2X

sin2x

3(sinx + tanx
b) 3Âsinx + tanx) _ 2cosx= 2
tanx— sinX W

Ị

` tanX +CcOfX
1+cos”x

—————-—

2(1 — sinx)

=
¬

2(cosx —sinx
2(

:
cotx —l
I+sin

tan’x sinx = —

)
|

+tan’x.
11

Bai tập 8. Giải biện luận phương trình (3m— 2) cos 2x +4msin’ x+m =0.

Bài tập 9. Cho phương trình

ĐẦU

`

sơ

(2+ m)sn(x + %)- -(3m + 2)cos(2# — x) + m — 2 =0

(*)

_ 8) Xác định m để (*) có nghiệm
_,b) Xác định mr để (*) có đụng ba nghiệm x e| 2:28],

s

.

D. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Nhóm 1

Bài tập 1. Quy ước gọi phương trình đã cho l đ

1

2x=+k2x

0)(*)

|

Qx=n+ nikon
4

m .
a:
%
X+~ |=~C0S =C0S~ â

.
b) (*)
© cos

3,

x=^
-

x=

2

6

+ k2
UR

+ kan

/

x=

A

©

tke
5,

`

mt
|x =ytke
8

% 5W
A+ Qa
+ ken
"
5

xX+—=-—+k2z

,keZ.

c) Diéu kién:x 4 120° +k. 180°, keZ

Ta có: tanQx
~ 30”) = `v3 =tan30” œ x =60 +k. 1809, k€Z,

Bài tập 2. Quy ước gọi phương trình đã cho là (*),

| .a) Điều kiệnx #

+ ke : x # k#t ,keZ.

(Œ*)© tan x -2)~ —cotx =tan 2
2 Ox ==

+ ke, keZ

= Phương trình (*)'vụ nghim.

b) đ)â

12

|

sin4x = sn( 3x -4)

(i)

sin4x =si| 53x]

(2)

|

Xx 5 =1 x+kn.

.keZ.

4x =3

2

+ km

X=+k2r

()â

,keZ.

$x=w~|3x~5

]+kn

.

-

+

Ra,

*) cú

ken

7

,
,keZ,

+ken

ngh

= @) 06 nghiÂ
[e(*
)(9)â

1

k2n

31On 7

(2)â

-4

mx=^

+ke

ga

Fcos{x-%|=-B rian
4

kn

keZ

7.

Pie

-4)-3
aan
4)
4.

2

n

X=-+.

4

<>

,

cos{ x]

1
t0eengenS| 152" #ekco

4

(1)
1.

= 7 +k
-2

. (2)

keZ

.
4
Lúc đó: (1) ©

%
hoặc x= — 17 + HZH (neZ).

“70
x= <> + n2

| Lý luận giống (1) => (2) có nghiệm © k= 0ˆ

Lúc đó Q)eox= A+ ndn hoặc x=—15 + n2x (neZ.) |
Vậy (*)có nghiệmx = i, kn;x= Un, kn,k eZ.

|

2°

a
đ) tanx 2. ~-1=tan(-2)
eo

Do x? 20=>k2+.

Vậy x=)

2

2.

=~ T1 tka keZ

keZ>kef{I, 2, ..., n,...}

- 5 1 = 089

Mã

Tóm lại:

‹ =4
-.

« m< -4 hoặc m >6 thì (*) có nghiệm x=+@+ k2r, keZ.
b) Ta có: 4tanx—m =(m + ])tanx ©6- m)tanx =m (*)
em = 3:(*) vơ nghiệm.
em #3:(*)

© tanx=

, đặt — —

—m

=tano

3—m_

Ta có: (*) ©x=@+kx,keZ.

:

_ Bai tập 4. Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a) Tac6:xe[ 2,28) 2 2xe( 2:28) =>-1
4194)

"\2"2

(*)66 nghigm xe [ 5:

b)Tacó:xe|0 Blox +

2

]khi~I
lễ:

4

14

2) 2%

4

:)*
csin{x+4

4

2

|

Bài tập 5. Quy ước gọi phương

-

DH!
‘

cosx =

- Pa

2

= cos

c)(Œ*) © ="
2
đ)Ta có:

3

._L.

©

xe

x=+—+k2n

5

x=+““+k2nm

keZ,

k#Z.

3

`...
2
4

a=sin?x

1

+ COS2X) ©

6x = +2x + k2

cosx =+ =cos

Z

<1.

trỡnh ó cho l (*)

a)(đ) â 2 (eosBx +coĐ6x) = 5 (0088
> cos6x = cos2x â

â

eZ.
42 +2 <3"
6

V2.
(*) có nghiệm xe |0:5 [khi 52
<3m—1
Nhóm 2 _

-

gi PkeZ
*g

.

b=cos’x

=>a+b=l

.

(*) tré thanh a’ +b?-= = <> (a+b) —3ab(a+b) = =
1-3

4

gin?22x =

eo cosdx =-—

14

16

= cos

1-3

4\

Sex

1~cos4x

2

+

_/

16

ke,

.

a

keZ.

e) Cách giải tương tự câu c. Dap s6 x= 7 <.

HN

HC

_—1.

-

Xca=-+3x + k2

`

km

3 2
x=—-km

,keZ.

3

7

+

vào phương trình

sinx = Tn

mm

g) Thế cos”x =
"

x-—=z~3x+k2m

= cos(m— 3x) @

\
=

Ố

(1) >

đã cho và rút gọn lạita được 3cos2x + cos6x = V2
.

3
= (=

(1) < 3cos2x + 4cos° 2x —3cos2x = 42 <> cos’ 2x = v2

4 \2)

|
1.
TL
cos2x == =C0S â

â

-Rđâ

2

S232 =2 tk

x=g

4.2

levi

2x

2 Pi

= =

+ 1+coo

=

T1
.
X=‡+—+ ka, k € Z.

+m,k€Z.

8.

co cos{x+%)(2e08-%—1)=0

*

k) (1) 29 200s{ x4 1s

ơ

|

+kn, keZ.

o> cos{ x4 3" =0âx=2

|

|

Bi tp 6.
m=sin Đx +cos

3 1- cos4x
h22x= In —3—

3

=1

"8m
‘<> cos4x =

« Phương trình đã cho có nghiệm @-Is 8m =5 1à

Bài tập 7. Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)
=

_a) Điều kiện: sin2x#0x
1

-

L—sin

(*)<—

2

2x

sin2x .
<> sin2x =0

.

°

ane

lí

sinx - cosx

2

COSX

==

+

sinx

Ỷ

1

:

1->sin

>

sin2x

2

2x

=

1

`

sin2x

Vậy phương trình (*) vơ nghiệm.

15

b) Diéu kién : sin2x +0Ðxz
.

sinx )

SINX + ——
——~e= = =SỈNX
COSX
1+

|.

ke

.

so.

2sinx + COSX - 34

SinX.

o tanx = V3

3

-

— <> sinx(sinx V3co0sx) =0.

SinXCOSX ~~

:

_âx=+kmkeZ.

sinx =0

đ)â

2

-

COSX

.
) iu kin

.

+ kờn,keZ,

c) iu kin: sin2x z0.

)<â

= 2(1.+ cosx)

1

21m
=2<â>coSX ==COS

ô+ 2U + cosx) = 2(1+cosx) <<
1 —cosx
:
l—cosx
c>x=+T

1

3l1+———
= 2(1+cosx) ©—>—————~
i cosk
== —]
.
COSX
,

(loại)

sinx # Ư; cosx +0
.
.
tanx + cotx# 0; cotx #1.
=

1.

V2(cosx—sinx)

. —~
.
(
) <5 sinxcosx = V2sinx
COSX |

sinxcosx

sinx

<> sinx = 0 hodc cosx = v2 (loại)
Vậy phương trình (*) vơnghiệm.

e) Điều kiện:cos2x # cosx
(9)

X2 sosax— Lsin2x =ÝŠ cosx — Lginx <2 cos
`2
2
2.
2

ad
TS

Ì2x+`=x+^+k2x.

"

£) Điều kiện :

Co

_ |x =k2z (loai)

-„.
si
Fe
m kon
-‡2x+—
— 9.3.
ORG =-(x+—)+k2z
(
s)
> 3
sinx # |
cosx # 0

I+cos? x

=

1+sinx

2(1—-sinx) a)

.

< cosx #0
‘

|

,k€Z.

ge

x #— + ku,k e Z.

¬
.

+ tan?x(1 +sinx)

<> 1+cos?x =1—sin?x +2-

2
sin’x
cos?x

-(1-sin’x)

<> cos’x —sin*x
= 0 < cos2x = Ủ ©x =T+
16.

2x+=
6

ke Z.

= Cos

xi.
6

Bài tập 8. Quy ước gọi phương trình đã chơ l (*).
- *)â(3m-2)cos2x + 4ủ =ơ

+m=éâ

(2m)cos2x = 3m

Gii tng tự Bài tập 3a - Dap số:

ˆ #m<
+

—1 hoặc m >> thi (*) vơ nghiệm. `

-l
<7

thì () có nghiệm x = +@ + km, k€Z

(vi cosae =F.
m

Bài tập 9. Quy ước gọi phương trình đã cho là (*)

a) (*) © —( + m)cosx —(3m +2)cosx + m ~ 2 = Ö
<> 4m +1)cosx =m—2(1)

-

»m =~1:(1) © 0.cosx = —3 => (*) vonghiém.
om#-—1:(1) & cosx =

mo2

4m+l)_

(*) cónghiệm
<> (2) có nghiệm > —l
.

a

b) Dat t = cosx.

._

<—

m—2

#(m+])

17

Chi dé 2:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI

_ VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ_
Nhóm

_

|

ii Phương trình lượng giác bậc hai ¡đổi với một hàm số lượng giác
Dạng

Cách giải

.=® Đặtt=sinX,|l|<1-

asin?X + bsinX +c =0(a #0) | »Tacó:at? + bt+c=0(1), gidi (1) tim.
nghiệm t ( nếu có), suy ra nghiệm X.

- Datt =cosX, |t|<1.

- Ta có: at? + bt+c=0 (2), giải (2) tìm

acos2X + bcosX +c =0(a # 0)

nghiệm t (nếu có), suy ra nghiệm X. “`

_.}

eĐặtt=tanX,teR.

ˆ

atan2X + btanX +c =0(a #0) | « Ta có:at + bí +c = 0 (3), giải (3) tìm
_ nghiệm t( nếu có), Suy ra nghiệm X.

— | «Đặtt=cotX,teR.

acot2X + bcotX +c=0(a #0) | « Ta có:at + bt +c = 0(4), giải (4) m
`

Nhóm

nghiệm t( nếu có), suy ra nghiệm X.

2 : Tuỳ theo phương trình lượng giác đã cho mà ta thực

hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa phương

trình

cần giải về dạng ở nhóm 1 hoặc về dạng t có cách giải dễ hơn (chú ý

đặt điều kiện nếu có ) .
B. Vi DỤ

MINH

HỌA

Nhóm T1
Ví dụ 1. Giải phương trình sin?x + sinx = 0
.

.

.

(*) <> sinx(sinx +1)

_

` =0
sinx

o> | am

(*).

Giải

x=km| #

1

bệ

.

tien

,

keZ.

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = kn; x = + +k2m, keZ.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin?2x + sin2x — 2 = 0(*).
18

Giải

Đặt t = sin2x, || < I. Ta có:

Phương trình (*) trở thành t+t ~2 =0<©t= lhoặc t = -2 < -l (loại)

=>sin2x =1 cờ x =2 + km, k€Z,

SA

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = 7 +ka,keZ.
Ví dụ 3. Giải phương trình cot2x + cotx -6 = 0(%).
.

Giải
Điều kiện: x # kzx, k e Z. Đặt t = cotx,tcR.
Phương trình(*)* trở thànhtˆ24t-6=
+t—6
0e
x= arccot2 + km

'

X =arccot(— 3)+ kx

,

t=2

cotx=2

2| m5

`

s3

keZ

Ví dụ 4. Giải phương trình 4cosˆx — 2(1 +4Í2)cosx +42 =0.
.

Giải

Dat t = cosx, {t}<1.

.

Tacó: 4t? -2(1+2)t+2=0
.

()e+=

2

hoặc t=2=

,
:

(),A'=(1+42)?—442=(V2—1#

%
COSX =COS—
+
ie
COSX =
.

x

+“ +k2r

|x

+~ + k2m

`

,keZ.

3

-_ Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = +7 +k2a; x= + + k2n, ke Z.
Ví dụ 5. Xác định m để phương trình cos”x — 2mcosx +6m—9=0(®)
71L T
x e|
— 4|"có có nghiệnghiệm
(-3——;

.

Giải.

Oo
T
|
_ Dat t =cosx. Với-~
Ta có: Ẻ — 2mt + ốm - 9 =0<©t=
2m — 3 hoặc t=3>1 (loại)
Phương trình (*) có nghiệm xc|~5:

;]

-

Để (*) có đúng hai nghiệm x e È H thì 5 e[0; 1)>mc[0; 2).
Ví dụ 7. Xác định m để phương trình 2sin”2x —3sin2x +m —I = 0(*) có _

đúng hai nghiệm thuộc E zl
Giai

-

Đặt t = sin2x.
Với xe E

| =>2x€ È

H =>te[0; 1}.

Phương trình (*) có thể viết lại ~2t? + 3t+1=m(1).
(*) có đúng hai nghiệm thuộc Ề

*| khi và chỉ khi phương trình (1) có

đúng hai nghiệm te [0; 1]
° Xét hàm số g(t)= —2t? +3t+1 trên doan [0; 1]

- g()=

-Á4t+3, g()= 0et=2

‹ Bảng biến thiên: -

ee

cà

17

.
« Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 2 < m < § thỏa mãn để bài.

_

Chú ý: Bài giải Ví dụ 7 được sử dụng phương,pháp xét chiều biến thiên, để

sử dụng được phương pháp này thành thạo ta cần Học nhớ :

+ Cách xét tính đơn điệu của hàm số, cách tìm cực trị của hàm số.
+ Cách tìm giá trị lớn nhất của ham f(x) wén tập xác định D(max f(x).
xeD

tim gid tri nhỏ nhất của hàm f(x) trên tập xác định Ð (min f(x)).
xeD

- 20

Định lí: Cho f(x) xác định và liên tục trên D, giả sử tổn tại max
đen
Ta có:
Phương trình f{x)= œ có nghiệm

+

f(x)

min f(x) <<œ< max f(x).

(Độc giả tim đọc quyển sách MỘT 6 PHUONG PHAP CHUNG MINH BAT ĐẰNG : THỨC &
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ tác giả PHAM TRỌNG THƯ ) _
Nhóm 2

|

Ví dụ 8. Giải phương trình cos2x +3sin x — 2 = 0(*).
Giai
đâ1-

2sin?x

+ 3sinx 2= 0â 2sin?x 3sinx.+
l
=0

x==+k2x

sinx= 1

x

=|.

l1. x<>|x=—-+tk2x
,keZ.
6
sinx = — = sin—
2
6
5x
5 then.
6

_ Vậy nghiệm của phương trình là x số + k2n, X == +k2n, x= 2 +k2n.Ví dụ 9. Tìm nghiệm của phương trình
sin{ 2x + 5)

2

soos

2-7)

2

“1

25im

. Giải
“Me

eo

| 2x +

2

G9.xe[

x

2

2z)

Sa

~2x }—3em[x—— +4
.
2

=1+ Sim
.

“> sn{ E+ 2x)-3eo| 5+ x] =l+2sinx © cos2x + 3sinx = 1+ 2sinx
<>

ncaa?

a

.

sinx = 0

(dQ).

1-2sin x Ssinx=1+2sinn co] 3%T
9

()ex=kx.keZ.Vixe(:

(2)

"|

2

kad:

keZ
x

X=—+n2z

(2)©

x=< +mƯx
6

+

.

wxe(5:2x]>
2

ne
|neZ

1)!
6`12)

hoặc
-

m

s\

(_ 1, 7)

ImeZ

6` 12)>m=0. Ũ

21

Vay nghiém của phương trình (*) là x=;

x= * .

Ví dụ 10. Giải phương trình (sin2x+ ^l3cos2x)? -5 =coo 2-2

(*).

_ Giả
_ SI2X+ V3cos2x = a

.

ier + Poa)

=2e0s{ 2x -s]
.

6

(*) <> 4cos? (2x -]-ea[> -Đ]
1

laằ)

5=0

.

|e[2x~Z)=ơ

= 2 sin 25In2x + coSC cos2x]

qc) Moai)

©œ2x—Z=m+ k2n

.

o

an
<>x=—l2 +kmẽ, keZ.

+

Vậy nghiệm của phương trình (*9 là x= > + kn, k € Z.

Ví dụ 11. Giải phương trình cos” 3x cos2x = cos’ x = 0(*).
Giai
(*) <> C +cos6x)cos2x ——(l+cos2x) =0 <© cos6xcos2x — l= 0
ot+2 (cos8x +cos4x)—Í =0

© 2cos” 4xT—l+cos4x —- 2 =0

c© 2cos”4x + cos4x— 3 = 0 © cos4x = 1 hoặc cos4x = -Š (loai)
coax akin

x=,

keZ.

- Vậy nghiệm của phương trình (*) là x ==

keZ.

{| Ví dụ 12. Giải phương trình sin®x + cos”x = COS2X + =

(*).

Giai
—

on?

Dat lui: 2 =a+b=l
b=cos“x

VT=aÌ+bÌ=(a+

21-3
22

4

by —3ab(a + b) =1-3ab =1T—

= (2sinxcosx)?

sin?2x =1-2.1 —cos?2x) = 2b + 2 c0s?2x

4

4

4

(*) © 12cos?2x ~ lócos2x + 3 =0 = cos2x = 8—v28 =cos2@

' <> 2x=+29+k2n

©x=+0+km,keZ.

|

Ve

Vậy nghiệm của (*) là x= +@ + km, k eZ.với 'cos20@= 8

12

Ví dụ 13. Xác định của m để phương trình
A(sin*x + cos*x) — 4(sin®x + cos°x)— sin?4x =m

7

a

Ho

a(t

si

-_ Giải

(*®) có nghiệm.

.

2x]-4[I Sin’ = aa

=m

> 4~2sin? 2x —4 + 3sin?2x — (2sin2xcos2x)* =
<> sin? 2x— 4sin? 2x(1— sin? 2x) =m
<> 4sin‘ 2x ~3sin?2x~m=0.

(1)

Dat t =sin?2x, te[0; 1].
Phương trình (1) trở thành: 4t? —3t =m (2)
-_ Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm t c [O; 1l]
« Xét hàm số g(t)= 4t? —3t trên đoạn [0; 1]

| 2 O=8-320=0et=2
‹ Bảng biến thiên :

^2

.

“

.

9

°

’

-

.

- Dua vao bang biến thiên ta thấy VỚI — 16 Ví dy 14. Giải phương trình 5sinx-2 = 3tan? x(1—sinx)

(*).

Giai

¬-..

as

tin
l—sinˆx

.

Phương trình lượng giác-Phạm Trọng Thu

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về