Đề ôn tập thi cuối kỳ môn Đại số tuyến tính pps

1

ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ MÔN : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – HỌC KỲ HÈ 2010

Câu 1: Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 2 2 4
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +

cho không gian con
{
}
1 2 3 3 1 2 3
( , , ) : 2 2 0
U x x x R x x x= Î - + =

Tìm 1 cơ sở trực giao của U

Câu 2 : Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 4 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +

cho không gian con
{

}
1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) : 2 2 0, 0
U x x x R x x x x x x= Î - + = + + =

Tìm 1 cơ sở và chiều của
U
^


Câu 3
: Trong không gian R
4
cho không gian con
{
}
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4
( , , , ) : 2 0, 2 3 0,2 0
U x x x x x x x x x x x x x x mx= + - + = - + = + + + =

a. Tìm m để dim U =2
b. Với m ở trên, tìm 1 cơ sở và chiều của
U
^


Câu 4 : Trong không gian R
4
cho 2 không gian con
(1, 1,2,1),(2,0,3, 1) , (1,3,0, ),(0,5,1, )

U V m n
= - - =

a. Tìm m, n để
U V
^

b. Cho vecto x = (-3,11,-3,13). Tìm
( )
V
pr x


Câu 5 : Trong không gian R
3
cho vecto x = (1,2,3). Bổ sung để được 1 cơ sở trực giao của
R
3


Câu 6 : Trong không gian R
3
với tích vô hướng
1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3
( , ) 2 2 4 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
= - - + + + +
.
Tìm m, n để hệ sau là hệ trực giao
2 2

:
f R R
®


Câu 7
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 ,2 , 2 )
f x x x x x x x x x x x x
= - + - - + -
.
Tìm Imf và Kerf

Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( ,2 , 2 )
f x x x x x x x x x x x mx
= - + + - + -
.

a. Tìm m để dim Kerf = 1
b. Tìm Imf với m ở trên

Câu 9 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3
( , , ) ( , , )
f x x x x x x x x x x mx
= - + + + +
.
a. Tìm m để
dim 0
Kerf
¹

b. Với m ở trên, tìm Imf và Kerf

Câu 10 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
2

f(1,0,0) = (1,1,1), f(-1,1,0) = (-2,-1,0), f(0,-1,1) = (2,1,3)
a. Tìm
1 2 3
( , , )
f x x x

b. Tìm Imf và Kerf
Câu 12 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
f(1,1,1) = (2,-1,1), f(1,1,2) = (-2,-1,0), f(1,2,3) = (2,1,2)
a. Tìm
1 2 3
( , , )
f x x x

b. Tìm Imf và Kerf

Câu 13 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
f(1,1,1) = (1,1,0), f(1,2,1) = (2,3,1), f(2,2,0) = (1,-1,m)
a. Tìm m để số chiều của Kerf lớn nhất

b. Tìm Imf và Kerf

Câu 14
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 )
f x x x x x x x x x x x
= - + + - + -

Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =


Câu 15
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
có ma trận trong cơ sở
{
}

(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)
E =
là
8 4 2
4 2 1
0 0 0
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= - -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

Tìm
1 2 3
( , , )
f x x x

Câu 16 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 )
f x x x x x x x x x x x
= - + + - + -

Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =


Câu 17 : Cho ánh xạ tuyến tính
2 2
:
f R R
®
biết ma trận của f trong 2 cơ sở
{
}
{
}

(1,1),(1,2) à F= (1, 1),(0,1)
E v= -
là
1 0
1 1
A
æ ö
-
÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
÷
è ø

a. Tìm
1 2
( , )
f x x

b. Tìm Imf, Kerf

Câu 18
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 2
:
f R R

®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( 2 , 2 )
f x x x x x x x x x
= + - + -

Tìm ma trận của f trong 2 cơ sở
{
}
(1,3,1),(2,1,1),(2,0,1)
E =
và
{
}
(2, 1),(3,2)
F = -


Câu 19
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
sao cho
f(1,1,1) = (1,2,0), f(1,2,1) = (2,-3,2), f(2,2,0) = (1,-2,4)
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của không gian R
3

Câu 20 : Cho ánh xạ tuyến tính
:
f V V
®
có ma trận trong cơ sở
{
}
1 2 3
, ,
E e e e
=
là
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3

15 11 5
20 15 8
8 7 6
A
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷

= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
-
è ø
. Tìm ma trận của f trong cơ sở
{
}
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
2 3 , 3 4 , 2 2
E e e e e e e e e e e e e
¢ ¢ ¢
¢
= = + + = + + = + +


Câu 21 : Trong không gian vecto V cho 1 cho 2 cơ sở
{ }
{
}
1 2 1 1 2 2 1 2
, à E = , 2 3
E e e v e e e e e e
¢ ¢

¢
= = - = +
và ánh xạ tuyến tính f thỏa
1 1 2 2 1 2
( ) 3 2 , ( ) 5
f e e e f e e e
= - = +
. Tìm ma trận của f trong cơ sở E
’


Câu 22
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
biết ma trận của f trong cơ sở
{
}
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)
E =
là
2 1 1
3 2 4
4 3 9
A
æ ö
-
÷

ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm Kerf

Câu 23
: Chéo hóa các ma trận sau
3 1 1
2 4 2
1 1 3
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷

ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

1 2 2
1 2 1
1 1 4
B
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷

ç
÷
÷
ç
-
è ø

3 1 1
1 1 1
1 1 1
C
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

Câu 24
: Tìm m để 2 ma trận sau cùng đồng dạng với 1 ma trận chéo

3 1 1 -2 -2 2
1 1 1 à B= 2 3 m
1 1 1 4 2 4
A v
æ ö æ ö
- -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
=
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Câu 25
: Cho ánh xạ tuyến tính

3 3
:
f R R
®
sao cho
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) ( , , )
f x x x x x x x x x x x x
= + + + + + +

Tìm 1 cơ sở của R
3
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

Câu 26 : Cho 2 ma trận
3 2
2
2 2
à B=A 5 7 3
2 5
A v A A I
æ ö
-
÷
ç
= - - +
÷
ç
÷
ç

÷
-
è ø
. Chéo hóa ma trận B
Câu 27 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
biết ma trận của f trong cơ sở
{
}
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)
E =
là
1 3 2
3 1 2
1 1 2
A
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= -
ç

÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm 1 cơ sở của R
3
sao cho ma trận
của f trong cơ sở đó là ma trận chéo

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
4

Câu 28 : Tìm m để ma trận
1 2 3
2 5 1
3 1
A
m
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷

ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
có 3 trị riêng dương
Câu 29 : Cho ma trận
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= - - -
ç
÷
ç

÷
ç
÷
÷
ç
è ø
. Tìm tất cả m để
1
1
X
m
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

là vecto riêng của
A, chỉ rõ trị riêng tương ứng

Câu 30
: Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
xác định bởi
1 2 3 1 2 2 3 2 3
( , , ) (2 , ,2 4 )
f x x x x x x x x x
= + - +
và vecto x=(1,m,-2).Tìm m để x là 1
vecto riêng của f.

Câu 31 : Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:
f R R
®
biết ma trận của f trong cơ sở
{
}
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)
E =
là
1 3 3
3 5 3

6 6 4
A
æ ö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
-
è ø
. Tìm m để vecto x = (3,m,4) là 1 vecto
riêng của f

Câu 32: Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3
( , , ) 5 6 4
f x x x x x x x x x x

= - + - + +


Câu 33 : Tìm m để dạng toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 4 2 2
x x x x x mx x x x x x x
= - - - - + +
xác định âm

Câu 34 : Phân loại các dạng toàn phương sau
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 11 6 6 12 12 6
( , , ) 9 6 6 12 10 2
f x x x x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x x x x
= - - - + - +
= + + + - -


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.