TIẾT 41: BẤT ĐẲNG THỨCVỀ GIÁTRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN pptx

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 1



TIẾT 41 BẤT ĐẲNG THỨCVỀ GIÁTRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN


I. Mục tiêu bài dạy.
Về tư duy: Hướng dẫn học sinh :phát hiện, hiểu được, nắm được các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,
bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm.
Về kĩ năng:
_ Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản bằng cách áp dụng các bất đẳng thức nêu trong bài học.
_ Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến.
II . Những điều cần lưu ý.
+ Học sinh đã hiểu, biết về bất đẳng thức, các tính chất của bất đẳng thức, học sinh cũng đã biết về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
+ Cho một hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Muốn chứng minh số M (hay m) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của f(x) trên D, ta làm như sau: _
Chứng minh bất đẳng thức f(x)

M (f(x)

m) với mọi x

D; _ Chỉ ra một (Không cần tất cả) giá trị x =
0
x

D sao cho f(x) = M ( f(x) = m )
II Chuẫn bị của giáo viên và học sinh.
** Các tính chất của bất đẳng thức, phương pháp chứng minh các bất đẳng thức nhờ tính chất và nhờ vào tính chất âm dương của một số thực
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 2

** Bảng phụ, đồ dùng dạy học.
III Tiến trình bài dạy.


Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng
Hoạt động1.Cho HS nhắc lại định
nghĩa trị tuyệt đối của số a.

Hoạt động 2 Cho HS ghi các tính
chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt
đối
Dựa vào tính chất của BĐT và BĐT
giá trị tuyệt đối ở trên, chứng minh:

.
a b a b a b
    

Hoạt động 3 Vận dụng BĐT trên
để chứng minh:
.
a b a b
  


Hoạt động 4 Hướng dẫn học sinh
phát hiện và nắm vững bất đẳng
thức trung bình cộng vã trung bình
nhân.

a
=
0
0
a khi a
a khi a



 

, nên ta
luôn có
a a a
  





Học sinh trao đổi nhau về BĐT giá trị
tuyệt đối, suy nghĩ thảo luận để đi
đến kết luận hai BĐT quan trọng

.
a b a b a b
    

Do đó

.
a b a b
  






 
 
0
0
a a a a
x a a x a a
x a x a x a a
    
     
      




.
a b a b a b
    

V Bât đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
Đinh lý.`Nếu a

0 và

0 thì ab
ba


2
.
Dấu “=” xảy ra

a = b.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 3

<H> Với a

0 và

0 chứng minh
rằng ab
ba


2
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
gọi là bất đẳng thức Côsi.

Hoạt động 5.Vận dụng
Cho hai số dương âm a và b.
<H> Chứng minh
(a + b)(
b
a
11
 )

4 ?
Dấu “=” xảy ra khi nào ?

<H> ở hình vẽ dưới đây, cho AH =
a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD
và HC theo a và b. Từ đó suy ra
BĐT giữa trung bình cộng và trung
bình nhân.

Học sinh tham gia giải quyết
Với a

0 và b

0 thì
ab
ba


2


a + b

2 ab


a + b - 2 ab

0


2
)( ba 


0(hiển nhiên).
Dấu “=” xảy ra

a = b.

Ta có:
a + b

2 ab , dấu “=” xảy ra

a = b.
b
a
11



2
ab
1
, dấu “=” xảy ra


a = b.
Từ đó suy ra

(a + b)(
b
a
11
 )

4.
Dấu “=” xảy ra

a = b.








Hệ quả .

 Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng
đạt giá trị lớn nhất khi hai số đố bằng nhau.

 . Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng
đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.







Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 4

O
B
A
C
H
D


Cho hai số x, y dương có tổng
S = x + y không đổi.
<H> Tìm GTLN của tích của hai số
này ?

Cho hai số dương, y có tích P = xy
không đổi.
<H> Hãy xác định GTNN của tổng

hai số này ?


Hoạt động 6. Hướng đẫn học sinh
nắm vững các bất đẳng thức chứa
giá trị tuyệt đối. Bất đẳng thức
trung bình cộng và trung bình nhân,
đồng thời biết áp dụng và giải toán.

Học sinh tham gia trả lời:
2
a b
OD

 và
.
HC ab
 Vì
OD HC

nên
.
2
a b
ab

 (Đây là
cach chứng minh bằng hình học)

x

0 và y

0, S = x + y.
x + y

xy

xy


4
2
s
.
Tích hai số đó dạt GTLN bằng
4
2
s

Dấu “=” xảy ra

x = y.
Giả sử x > 0 và y > 0, đặt P = xy.
x + y

xy



x + y

P.
Dấu “=” xảy ra

x = y.


O
B
A
C
H
D



ý nghĩa hình học .
 Trongtất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình
vuông có diện tích lớn nhất.

 TRong tất các hình chỡ nhậtcó cùng diệt tích,hình
vuông có chu vi nhỏ nhất.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 5

<H> |x| = ?
<H> Nhận xét gì về
|a + b| và |a| + |b|,
|a - b| và |a| + |b|

* |x| =





0
0
xx
xx
.
* |x|

0, dấu “=” xảy ra

x =
0.
* |x|

x, dấu “=” xảy ra

x


0.
* |x|

0, dấu “=”

x

0

* Bất đẳng thức Cô Si:
Nếu a

0 và

0 thì ab
ba


2
.
Dấu “=” xảy ra

a = b.





Học sinh tóm tắt, củng cố kiến thức

cơ bản.
|x| =





0
0
xx
xx
.
* |a + b|

|a| + |b|, dấu “=” xảy ra

ab

0
* |a - b|

|a| + |b|, dấu “=” xảy ra

ab

0.

* Nếu a

0 và

0 thì ab
ba


2
.
Dấu “=” xảy ra

a = b.





Ví dụ:

x, y, z

R, chứng minh:
|x +y| + |y + z|

|x - z|.
Chứng minh. Ta có
|x - z| = |(x - y) + (y - z)|


|x +y| + |y + z|.











Làm các bài tập sgk :Số 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng 6

Mở rộng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm.
.