1Tiết 37 – 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC pps

1

Tiết 37 – 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
I/. Mục tiêu:
Qua bài học, HS cần nắm được:
1/. Về kiến thức:
- Hiểu, nắm được nội dung của PPQNTH gồm 2 bước bắt buộc theo 1 trình
tự quy định.
- Biết lựa chọn và sử dụng PPQNTH để giải các bài toán một cách hợp lí.
2/. Về kĩ năng:
- Biến đổi linh hoạt, phân biệt được đâu là giả thiết, giả thiết quy nạp và
ứng dụng giải bài tập.
3/. Về tư duy:
- Tư duy chặt chẽ, logich.
4/. Về thái độ:
- Cẩn thận, chính xác.
II/. Chuẩn bị:
1/. Kiến thức phục vụ bài mới: các kiến thức về mệnh đề, mệnh đề chứa biến.
2/. Phương tiện: MTBT, Phiếu học tập…
III/. Phương pháp:
Đàm thoại kết hợp phát vấn gợi mở.
2

IV/. Tiến trình bài học và các hoạt động (HĐ):
1/. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong quá trình học.
2/. Nội dung bài mới:

HĐ 1: Ôn tập kiến thức cũ và hình thành khái niệm mới.
GV phát PHT số 1, cả lớp chia thành 8 nhóm, 1 nhóm 5 HS.
GV giao nhiệm vụ: Cả lớp làm bài tập 1 trang 80.
Bước 1: Các nhóm điền vào nội dung của phiếu số 1 và khẳng định tính

đúng sai của P(n) và Q(n).
n 1 2 3 4 5
3
n

n + 100
P(n)


n 1 2 3 4 5
3

2
n

n
Q(n)

Bước 2:
H
1
: Phép thử trên có phải là 1 phép chứng mimh không?
H
2
: Với P(5) thì có thể kết luận về tính đúng sai của P(n) với n nguyên
dương hay không?
Ta thấy P(5) sai nên P(n) không thể đúng với mọi n nguyên dương.
Tức là, chỉ cần chỉ ra 1 trường hợp sai là đủ để kết luận.
H
3

: Nếu xét Q(n) với n lớn hơn 5 với số lượng rất lớn thì có thể xem
đó là 1 phép chứng mimh hay không?
Ta không thể kết luận đó là 1 phép chứng minh. Vậy, với những mệnh
đề chứa biến là n nguyên dương thì phương pháp hữu hiệu nhất là dùng phương
pháp quy nạp toán học như sau:

HĐ 2: Giải ví dụ 1 trang 80.
Chứng minh rằng:
*
Nn thì: 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n
2
. (1)
4

H
1
: Hãy phát biếu bằng lời nội dung bài toán trên: Tổng n các số lẻ liên tiếp
bằng n
2
.
Đây là bài toán liên quan đến mệnh đề chứa biến
*
Nn nên dùng PPQNTH
để giải là phù hợp nhất. Ta tiến hành 2 bước sau:
Bước 1: Hãy thử biểu thức (1) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính
đúng sai của nó.
Bước 2: Đặt vế trái bằng S
n
, điều này có nghĩa tổng k số lẽ là S
k

, tổng (k + 1)
là S
k+1
.
H
1
: Hãy phát biểu và viết giả thiết quy nạp?
H
2
: Ta phải chứng minh biểu thức nào? (Câu hỏi gợi ý: Số lẻ đứng sau
2k – 1 là số nào, được biểu diễn như thế nào?)
Như vậy, kết hợp với giả thiết quy nạp ta phải chứng minh vết trái
bằng (k + 1)
2
.
H
3
: S
k+1
sẽ bằng S
k
cọng với số lẽ thứ k + 1. Hãy viết công thức tổng
này. Và khai triển để rút rá kết luận cần tìm.
Kết luận: Vậy theo quy nạp toán học ta có (1) đúng
*
Nn .
Bài tập tương tự: Làm hoạt động 2 trang 81.
Phát biểu bằng lời nội dung bài toán: Tổng n số tự nhiên đầu tiên bằng
2
)1(


nn
. (2)

HĐ 3: Giải hoạt động 2 trang 81.
5

Bước 1: Hãy thử biểu thức (2) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính
đúng sai của nó. Bước 2: Hãy nêu giả thiết quy nạp và biểu thức cần
chứng minh?
Gợi ý: Vế phải của (2) là tích của
2
)1(

nn
nên biểu thức cần chứng
minh sẽ “rườm rà” hơn vì phải thay k bởi k + 1 và thay k + 1 bởi (k + 1) + 1. Từ
đó, hãy định ra biểu thức cần chứng minh.
Giả thiết quy nạp là: (2) đúng trong trường hợp n = k, tức là:
1 + 2 + 3 + …. + k =
2
)1(

kk
ta phải chứng minh:

2
)1(

kk

+ (k + 1) =
2
)2)(1(


kk

Hãy triển khai vế phải và rút ra kết luận.

HĐ 4: Giải ví dụ 2 trang 81:
*
Nn , n
3
– n chia hết cho 3. (3)
Ví dụ này khác với 2 ví dụ trên bởi liên quan đến điều kiện chia hết. Trước
hết, ta ôn lại một tính chất thường gặp của tính chất chia hết là: A chia hết m và B
chia hết m thì tổng A + B chia hết m.
Bước 1: Hãy thử biểu thức (3) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính
đúng sai của nó.
Bước 2: Đặt vế trái bằng A
n
, giả sử A
k
chia hết 3, tức là: k
3
– k chia hết 3, ta
sẽ chứng minhh A
k+1
chia hết cho 3.
Hãy viết biểu thức A

k+1
, sau đó, triển khai, rút gọn, đặt nhân tử chung. Khi
đặt nhân tử chung cần chú ý đưa về dạng đã có của A
k
.
6

Ta có: A
k+1
= (k+1)
3
– (k + 1) = k
3
+ 3k
2
+3k + 1 – k -1
= (k
3
- k) + 3(k + 1) = A
k
+ 3(k
2
+ k).
Theo giả thiết A
k
chia hết cho 3; 3(k
2
+ k) cũng chia hết cho 3 nên A
k+1
chia

hết cho 3.

HĐ 5: Gợi ý giải hoạt động 3 trang 82:
a/. Trước hết, hãy thử mối quan hệ của 3
n
với 8n trong trường hợp n = 1, 2,
3, 4 ,5. Từ đó phát hiện quan hệ đó chỉ đúng trong trường hợp từ n bao nhiêu trở
đi.Ta có thể trình bày trong bảng sau để dễ theo dõi.

N 3
n
? 8n
1
2
3
4
5

7

b/. Từ đó ta có bài toán cần chứng minh bằng quy nạp như sau:
Chứng minh rằng 3
n
> 8n
n

3

.
Ta cũng tiến hành tuần tự 2 bước như các bài trên.

3/ Củng cố:
- Trong chứng minh bằng quy nạp, bước1 có vẽ đơn giản, “hiển nhiên”
nhưng không được bỏ qua vì sẽ có nhiều bài toán chỉ đúng trong trường hợp n
k


chứ không phải đúng với mọi n, như HĐ 5 là ví dụ minh họa. Còn khó khăn nhất,
tất nhiên là ở bước 2, vì thực chất đây là một bài toán mới mà ta cần phải tìm cách
giải. Kết quả của cả 2 bước mới đưa đến kết luận cần chứng minh.
-

4/ Hướng dẫn bài tập về nhà:
- Làm lại các bài đã giải.
- Làm tiếp các bài trong sách.
- Với bài 4 trang 83 thì tiến hành như sau:
+ Khi tính S
1
, S
2
, S
3
thì giữ nguyên phân số là tích của 2 số (không nên viết giá trị
của tích đó) để dễ dự đoán công thức tổng quát.
+ Khi đã có công thức tổng quát, phải định hướng, viết ra biểu thức cần chứng
minh rồi “lắp ráp ” với giả thiết quy nạp để triển khai, rút gọn và đặt nhân tử
chung.
8

9