Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON doc

Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON
I.MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:
1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được:
- Viết được khai triển nhị thức Newton , từ đó suy ra số hạng tổng quát của nó.
- Nêu lên được qui luật tam giác Paxcan .
2. Về kỹ năng: Giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức đã học
để giải các bài tập liên quan : - Khai triển nhị thức Newton.
- Tìm hệ số trong khai triển một số đa thức nào đó.
II. CHUẨN BỊ:
- Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập.
- Học sinh học kỹ kiến thức cũ:Hoai vị , Tổ hợp , Chỉnh hợp , Quy tắc cộng,
nhân.
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
1. Kiểm tra bài cũ:
- Em hãy nêu nêu các công thức tính
k
k
n n
n
, , .
C
P A

- Tính chất của
k
n
C
.
- Khai triển :
2 3 4 n
, , , ?

(a b) (a b) (a b) (a b)

   

=> Bài mới :
n
?
(a b)



2. Bài mới:
* Hoạt động 1: I.Công thức nhị thức Newton
Vd: Khai triển :

2
2 2
.
(a b)
a 2ab b
  



3
3 2 2 3
.
(a b)
a 3a b 3ab b
   




4 3
4 3 2 2 3 4
(a b) (a b) (a b)
a 4a b 6a b 4ab b
     
  
.
=
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 4
C a C a b C a b C ab C b
   
.
Trong đó
0 4
4 4
1
C C
 

1
4
4
C


2

4
6
C


Tổng quát :
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n

(a b)
C a C a b C a b C a b C b
  
      

.
Viết gọn :
n
n
k n k k
n
k 0
.
(a b)
C a b






(1)
Hoạt động của thầy và trò: Nội dung ghi bảng
Giáo viên lưu ý một số vấn đề về nhị
thức Newton
*Chú ý :
1/ Số hạng tử trong khai triển (1) là
(n+1).
2/ Trong vế phải, số mũ của a giảm từ n
đến 0,số mũ của b tăng từ 0 đến n và
tổng số mũ của a và b là n.
3/Số hạng tổng quát thử (k+1) trong (1)
là :

k n k k
n
.
C a b


=> Số hạng thử k là :
k 1 n k 1 k 1
n
.
C a b
   


Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví
dụ 1, 2:
*Chú ý:

n
2 n k
k n k
n
k 0
(a b) [a ( b)] ( b)
C a


 
   


n
k
k n k k
n
k 0
( 1)
C a b





.
Ví dụ 1: Tìm hệ số của
13
12
,

y
x
trong
khai triển :
25
(x y)

.
Giải:
25
25 k
k
25 k
25
k 0
.
(x y) y
C x






Số hạng tổng quát:
k
k
25 k
25
.

y
C x


*Số hạng chứa
13
12
,
y
x
là số hạng sao
cho:
k 13
25 k 12
y 13.
y y
x x

  

=>Hệ số của
13
12
,
y
x
là
13
25
2500300.

C


*Phiếu học tập 1: Ví dụ 2:Cho khai triển :
5
(3x 4)

.
1/Khai triển
5
5 5 k 5 k k
k
5
k 0
.
(3x 4) [3x+(-4)] ( 1) (3x) (4)
C


 
 


2/Tìm hệ số của
3
x
:
Số hạng tổng quát :
k 5 k k 5 5 k k
k k

5 k
5 5
.
( 1) (3x) (4) ( 1) (3x) (4)
C C
x
 


 

=> Số hạng của
3
x
là số hạng sao cho :
5 k 3
k 2
x x

  
.
=> Hệ số của
3
x
là :
2
2 3 2
5
. . . 4320.
( 1)

C 3 4



3/Tìm hệ số của
2
x
:
5 k 2
k 3.
x x

  

=> Hệ số của
2
x
là :
3
2 2 3
5
. . . 5760
( 1)
C 3 4
 

.
Ví dụ 3: Gọi T là số các tập hợp con (kể cả các tập hợp rỗng) cảu 1 tập hợp có n
phân tử . Chứng minh
n

T 2


Giải:
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải Học sinh
- Số tập hợp con có 0 phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập hợp con có 1 phân tử là bao
nhiêu?
- Số tập hợp con có 2 phân tử là bao
nhiêu?

- Số tập hợp con có k phân tử là bao
nhiêu?

- Số tập con có 0 phân tử là :1=
0
n
C

- Số tập con có 1 phân tử là :1=
1
n
C

- Số tập con có 2 phân tử là :1=
2
n
C

- Số tập con có k phân tử là :1=
k
n
C

- Số tập con có n phân tử là :1=
n
n
C


- Số tập hợp con có n phân tử là bao
nhiêu?
*Chú ý :
n
n
k
k
n
k 0
.(1)
(1 x)
C
x





n

n k
k
k
n
k 0
.
(1 x) ( 1)
C
x


 



Vậy tống số các tập con là :
T =
n
k
n
k 0
C



Trong (1), thay x = 1:
n
2
=
n

k
n
k 0
C


= T . Vậy T =
n
2



Ví dụ 4 : Cho
n
2 n
0 1 2 n

(1 2x)
a a a a
x x x
    

.(1)
Biết
0 1 2 n
729
a a a a
    
.Tìm n và số hang thứ 5.
Giải : -Tìm n :

Trong (1) cho x = 1, ta có:
n
0 1 2 n
729
(1 2.1)
a a a a
     

.
<=>
n
729 n 6
3
  
.
- Tìm số hạng thứ 5:
6 6
6 k
n n
k k
6 6
k 0 k 0
. . . . . .
(1 2x) (2x)
C C
2 x
 
 

 

=> Số hạng thứ 5 là
4
4 4
4 4 4
6
. . 15.2 .x 240x .
C
2 x
 

*Phiếu học tập 2 :
Hoạt động 2 : Tam giác Paxcan :
-Nội dung của tam giác Paxcan.
-Áp dụng tam giác Paxcan để giải bài toán sau:
Viết dãy các số hạng ở hàng thứ 1000 trong tam giác Paxcan. Dãy náy có bao
nhiêu số ?
Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức
-Giáo viên đặt vấn đề: Trên đây ta
muốn khai triển
n
(a b)

thành đa
thức, ta cần biết n+1 số
0
n
C
,
1

n
C
,
2
n
C
, ,
n
n
C
có mặt trong nhị
thức Newton.Các số này có thể được
tính nhờ công thức (4) ở bài 2.Ngoài
ra còn có thể tìm được chúng bằng
cách sử dụng bảng số sau gọi là tam
giác Paxcan.
- Giáo viên lưu ý học sinh quy luật
của tam giác Paxcan.Học sinh tiếp thu
, ghi nhớ .
2.Tam giác Paxcan:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
1
Tam giác Paxcan đư
ợc lập theo quy luật

sau:

- Đỉnh được ghi số 1 .Tiếp theo là
hàng thứ nhất ghi số 2 số 1.
- Nếu biết hàng thứ n (n >= 1) thì hàng
thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng
cách cộng hai số liên tiếp của hàng
thứ n rồi viết kết quả xuống hàng
dưới ở vị trí giữa hai số này . Sau đó
viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
Giải:
- Dãy các số hạng thứ 1000 trong tam giác Paxcan là:
0
1000
C
,
1
1000
C
,
2
1000
C
, ,
1000
1000
C
.
-Dãy này có 1001 số.
IV. CỦNG CỐ VÀ LUYỆN TẬP:

- Yêu cầu học sinh nắm được khai triển nhị thức Newton =>Số hạng tổng quát
của nó.
- Nêu lên được quy luật của tam giác Paxcan.
- Làm bài tập 17 đến bài tập 24 (SGK) để củng cố.
- Giáo viên hướng dẫn phương pháp tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Ví dụ: 17/67
Tìm hệ số của
101 99
x .y
trong khai triển nhị thức Newton:
200
(2x 3y)


*Ta có
200
200 200 k k
k
k
200
k 0
( 1)
(2x 3y) (2x) (3y)
C


 


.

=> Số hạng tổng quát :
k 200 k k k k
k k k
200 k 200 k
200 200
. . . . . . .( . )
( 1) (2x) (3y) ( 1) y
C C 32 x

 

 
.
*Số hạng chứa
101 99
x .y
là số hạng sao cho:
k 99
200 k 101
. . k 99
y y
x x

  
.
=> Hệ số của
101 99
x .y
là :
99

99 99
101 99 101 99
200 200
. .2 .3 .2 .3
( 1)
C C
 

.
24/67 Biết hệ số của
n 2
x

trong khai triển
n
1
(x )
4

bằng 31.Tìm n:
n
n
k
n k k k
n
k 0
1
. .x .( ) .( 1)
4
1

(x )
C
4


  



Số hạng tổng quát
k k
k n k k k k n k
n n
1 1
( 1) . .x .( ) ( 1) . .( ) .x .
4 4
C C
 
    
=> Hệ số của
n k
x

là:
k
k k
n
1
( 1) . .( ) .
4

C
 (1)
Hệ số của
n 2
x

là: 31.(2)
Từ (1),(2) => k = 2.
Ta có
2
2 2
n
1
( 1) . .( ) 31
4
C
 

2
n
16.31 496
C
  .
n(n 1)
496
2


<=>
2

n n 992 0
  

<=> n = 32
n = -31 (loại)
*Bài tập bổ sung:
1.Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển :
n
(1 x)

,n thuộc N*.
Biết tổng các hệ số trên là 1024.
Giải :
n
k
n k
n
k 0
(1 x) . .x
C

 


Thay x = 1,ta có :
n
1 2 n k

n 10
n n n n
k 0
2 1024 2 n 10
C C C C

        


Ta có :
10
k
10 k
10
k 0
(1 x) . .x
C

 

=> hệ số chứa
5
x
là :
5
10
252
C
