Nhị Thức Newton

Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1
NHỊ THỨC NEWTON
BÀI TẬP CƠ BẢN
I. Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhò thức
Bài 1. Khai triển các nhò thức sau :
1)
5
( 1)x +
2)
4
( 2)x +
3)
5
( )x y+
4)
6
( 2)x −
5)
6
1
( )x
x
+
6)
+
5
2
( )x
y
7)
5

1
(2 )x
x
−
8)
6
1
( )x
x
+
Bài 2. Tìm số hạng trong khai triển
1)
7
( 1)x +
chứa
5
x
2)
10
(2 )x−
chứa
5
x
3)
7
1
( )x
x
+
chứa

3
x
4)
10
1
( )
2
x
x
+
chứa
4
x
5)
8
1
(2 )x
x
−
chứa
4
x
6)
12
3
( )
3
x
x
−

chứa
4
x
7)
6
2
2
( )x
x
+
chứa
3
x
8)
40
2
1
( )x
x
+
chứa
31
x
9)
3 5
2
2
(3 )x
x
−

chứa
10
x
10)
6 10
3
1
( )x
x
+
chứa
24
x
11)
7 10
4
1
( )x
x
+
chứa
26
x
12)
2 20
2
( )x
x
+
chứa

10
x
Bài 3. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển
1)
7
( )x y+
chứa
4 3
x y
2)
13
(2 )x y+
chứa
6 7
x y
3)
3 15
( )x xy+
chứa
25 10
x y
4)
200
(2 3 )x y−
chứa
101 99
x y
Bài 4. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển
1)
2

( )x x
7
+
chứa
9
x
2)
3 10
( )x x−
chứa
20
x
3)
2 10
2
( )x
x
+
chứa
5
x
4)
3
14
3
( )x
x
−
chứa
6

x
Bài 5. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
1)
12
1
( )x
x
+
2)
3 8
1
( )x
x
+

3)
12
2
1
( )x
x
−
4)
2 6
1
( )x y
x
−

5)
2 8
1
( )xy
xy
−
6)
3 10
2
1
(2 )x
x
+
7)
2 20
1
( )x
x
+
8)
10
3
1
( )x
x
+
9)
+
3
7

4
1
( )x
x
(ĐH_D_04) 10)
16
1
( )
2
x x
x
−
11)
20
3
3
(2 )x
x
+
12)
4
3 17
3
2
1
( )x
x
+
Bài 6. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển
2 Nhò Thức Newton

1)
2 7
[1 (1 ) ]x x+ +
chứa
6
x
2)
8
(1 )(1 )
2
x
x+ +
chứa
3
x
Bài 7. Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển
21
3
3
( )
a b
b
a
+
.
Bài 8. Tìm n biết rằng hệ số của
2n
x
−
trong khai triển

1
( )
4
n
x −
bằng 31.
Bài 9. Tính
2
n
A
, biết rằng số hạng số thứ 5 trong khai triển
3
1
( )
n
x
x
+
không phụ thuộc vào
x
.
Bài 10. Tìm n và
x
trong khai triển
1
3
2
(2 2 )
x
x

n
−
−
+
biết số hạng thứ tư bằng 20n và
3 1
5
n n
C C=
.
Bài 11. Tìm n biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển
1 1
2 4
1
( )
2
n
x x
−
+
theo thứ tự
lập thành một cấp số cộng.
Bài 12. Trong khai triển
1
( )
n
x
x
+
, biết hiệu hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 2 là 35. Tìm số hạng

không chứa
x
trong khai triển trên.
Bài 13. Trong khai triển
2
3
1
( )
n
x
x
+
, biết hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng
thứ hai là 35 đơn vò. Tìm n và số hạng không chứa
x
trong khai triển trên.
Bài 14. Tổng các hệ số trong khai triển của
3
1
( )
n
x
x
+
(
*
n N∈
) bằng 1024. Tìm hệ số của
6
x

.
Bài 15. Tổng các hệ số trong khai triển của
3
(1 )
n
x+
bằng 64. Tìm số hạng không chứa
x
trong
khai triển
3
2
1
(2 )
2
n
nx
nx
+
.
Bài 16. Số hạng thứ 3 trong khai triển
2
1
(2 )
n
x
x
+
không chứa
x

. Với giá trò nào của
x
thì số
hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển
3 30
(1 )x+
.
Bài 17. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển
1)
3
2
1
( )
n
x
x
+
chứa
2
x
, biết
0 1 2
11
n n n
C C C+ + =
.
2)
3
1
( 5)

n
x
+
chứa
19
x
, biết
3 3
5 4
8( 3)
n n
C C n
+ +
− = +
.
3)
5
3
1
( )
n
x
x
+
chứa
8
x
, biết
1
4 3

7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
.(ĐH_A_03)
4)
7
4
1
( )
n
x
x
+
chứa
26
x
, biết
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
. (ĐH_A_06)

Bài 18. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
1)
28
3
15
( )
n
x x x
−
+
biết
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
.
2)
3
2
( )
n
x
x
+
biết

6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
.
Bài 19. Tìm hệ số của các số hạng chứa
2
x
và
3
x
trong khai triển
5 7
( 1) ( 2)x x+ + −
.
Bài 20. Khai triển
10
( ) ( 2)( 1)P x x x= + +
thành dạng
11 10 9
1 2 10 11
( ) ...P x x a x a x a x a= + + + + +
.
Hãy tìm hệ số
5
a
trong khai triển.

Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển sau thành đa thức :

4 5 6 7
( ) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)f x x x x x= + + + + + + +

Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3
Bài 22. Cho
8 9 10 11 12
( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )P x x x x x x= + + + + + + + + +
.
Khai triển và rút gọn, ta được đa thức
2 12
0 1 2 12
( ) ...P x a a x a x a x= + + + +
. Tính hệ số
8
a
.
Bài 23. Cho
9 10 11 12 13 14
( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )P x x x x x x x= + + + + + + + + + + +
.
Khai triển và rút gọn, ta được đa thức
2 14
0 1 2 14
( ) ...P x a a x a x a x= + + + +
. Tính hệ số

9
a
.
Bài 24. Giả sử n là số nguyên dương và
2
0 1 2
(1 ) ... ...
n k n
k n
x a a x a x a x a x+ = + + + + + +
. Biết rằng
tồn tại k nguyên
(1 1)k n≤ ≤ −
sao cho
1 1
2 9 24
k k k
a a a
− +
= =
. Hãy tính n.
Bài 25. Cho
20 3 10
2
1 1
( ) ( )A x x
x
x
= − + −
.

Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng.
II. Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng khai triển Newton
Bài 26. Cho n là số nguyên dương. Hãy tính :
1)
0 1 2 2 5 5
1 5 5 5 5
2 2 ... 2S C C C C= + + + +
2)
0 1 2 2 5 5
2 5 5 5 5
2 2 ... 2S C C C C= − + − −
3)
6 0 5 1 4 2 6
3 6 6 6 6
3 3 3 ...S C C C C= + + + +
4)
1 2 3 19
4 20 20 20 20
......S C C C C= − + − +
5)
0 1 2 3
5
...
n
n n n n n
S C C C C C= + + + + +
6)
0 1 2 2
6
2 2 ... 2

n n
n n n n
S C C C C= + + + +
7)
0 1 1 1
7
3 3 ... 3
n n n n
n n n n
S C C C C
− −
= + + + +
8)
1 3 3 5 5 1 1
8
3 3 3 ... 3
n n
n n n n
S C C C C
− −
= + + + +
9)
0 1 2 3
9
... ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C C= − + − + + −
10)
0 1 2 3 2

10 2 2 2 2 2
...
n
n n n n n
S C C C C C= − + − + +
Bài 27. Khai triển
7
(1 )x+
, từ đó tính :
1)
0 1 2 6 7
7 7 7 7 7
...T C C C C C= + + + + +
2)
0 2 4 6
7 7 7 7
S C C C C= + + +
Bài 28. Tính các tổng sau :
1)
6 7 8 9 10
1 10 10 10 10 10
S C C C C C= + + + +
2)
6 7 8 9 10 11
2 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C= + + + + +
Bài 29. Cho
100 2 100
0 1 2 100
( 2) ...x a a x a x a x− = + + + +

.
1) Tính hệ số
97
a
2) Tính
0 1 2 100
...T a a a a= + + + +
Bài 30. Khai triển
16
(3 1)x −
, từ đó chứng minh :
16 0 15 1 14 2 15 16 16
16 16 16 16 16
3 3 3 ... 3 2C C C C C− + − − + =
Bài 31. Khai triển
2
(1 )
n
x+
, từ đó :
1) Chứng minh :
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +
2) Tính :

2 4 6 2
2 2 2 2
...
n
n n n n
S C C C C= + + + +
Bài 32. Rút gọn :
0 1 2
2
1 1 1
3 [ ... ( 1) ]
3
3 3
n n n
n n n n
n
A C C C C= − + − + −
Bài 33. Chứng minh :
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
3 3 ... 3 2 (2 1)
n n n n
n n n n
C C C C
−
+ + + + = +
Bài 34. Chứng minh :
0 1 2 2 0 1 1 2 2
2 2 ... 2 4 4 4 ... ( 1)
n n n n n n n n

n n n n n n n n
C C C C C C C C
− − −
+ + + + = − + − + −
Bài 35. Chứng minh :
0 1 1
...
k k m k m k
m n m n m n m n
C C C C C C C
− −
+
+ + + =
với
m k n≤ ≤
.
Bài 36. Tính tổng
0 1 2
...
0! 1! 2! !
n
n n n n
A A A A
S
n
= + + + +
Bài 37. Tính tổng
0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1

1 2 3 ( 1)
...
n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
+
+
= + + + +
. Biết rằng
0 1 2
221
n n n
C C C+ + =
.
III. Tính tổng và chứng minh đẳng thức bằng công thức tổ hợp và chỉnh hợp
Bài 38. Chứng minh :
1)
1 1
1
k k k
n n n
C C C
+ +
+
+ =
4 Nhò Thức Newton
2)

1 2
2
2
k k k k
n n n n
C C C C
− −
+
+ + =
3)
1 2 3
2
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
4)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
5)

0 1 1 2 2 5
5 5 5 5
...
k k k k k
n n n n n
C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =

Bài 39. Chứng minh :
1)
2 1 2n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +
+ =
2)
1
1 1
k k k
n n n
A A kA
−
− −
= +
Bài 40. Chứng minh :
1)
− −

= − +
1 2
( 1) ( )
n n n
P n P P
2)
2 2 2 2
2 3 4
1 1 1 1 1
...
n
n
n
A A A A
−
+ + + + =
Bài 41. Cho hai số nguyên dương n và m thỏa mãn
0 n m< <
. Chứng minh :
1)
1
1
m m
n n
mC nC
−
−
=
2)
1 1 1 1

2 1
...
m m m m m
n n m n m m
C C C C C
− − − −
− − −
= + + + +
Bài 42. Tính giá trò của
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, biết rằng :
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
.

IV. Phương trình và bất phương trình chứa hệ số tổ hợp và chỉnh hợp
Bài 43. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện :
1)
=
3
20
n
A n
2)
=
5 4
18
n n
A A
3)
2 1
3
n n
A A− =
4)
=
3 2
2
20
n n
C C
5)
2 2
2
3 42

n n
A A+ =
6)
2 1 2
3 4
. . 120
n
n n
A C P A
−
+ =
Bài 44. Tìm nguyên dương n sao cho
1)
0 1 2
2 4 ... 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
2)
0 2 2
4 2 4 2 4 2
... 256
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + =
3)
1 3 2 1
2 1 2 1 2 1

... 1024
n
n n n
C C C
+
+ + +
+ + + =
4)
2 2 2 3 3 3
2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
Bài 45. Giải phương trình :
1)
2 1
. 48
x
x x
A C
−
=
2)
3 2
14
x
x x
A C x

−
+ =
3)
3 2
2 16
x x
A C x+ =
4)
3 2
5 2( 15)
x x
A A x+ = +
5)
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x
−
+ −
+ = −
6)
2 3 2
6 6 7 7
x x
C C x x+ = −
7)
1 2 3
7

2
x x x
C C C x+ + =
8)
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x+ + = −
9)
3 4 2
2 3
x x x
A C A− =
10)
10 9 8
9
x x x
A A A+ =
11)
2 1
14 14 14
2
x x x
C C C
+ +
+ =
12)
3 2
1
1

3
2
x x x
A A P
+
+ =
13)
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P+ = +
14)
3 1 3 2
1 1 6
2 3 3 159
x x
x x x
A C C x P
− −
+ −
+ − = + +
Bài 46. Giải phương trình :
1)
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− =
2)
4 5 6

2
x x x
x
C C C
P
+ = +
Bài 47. Tìm
,n k N∈
sao cho
5 4 4
15. .
k
n n n k
P A P
+ + + −
=

Bài 48. Tìm n sao cho
1)
4
4
1
15
( 2)!
n
n
A
n P
+
−

<
+
2)
1 2
2 2
5
2
n n
n n n
C C A
−
+ +
+ >
Bài 49. Giải bất phương trình :
Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 5
1)
3 2
5 21
x x
A A x+ ≤
2)
4 3 2
1 1 1x x x
C C A
− − −
− <
3)
4
1
3

3
1
14
x
x
x
A
P
C
+
−
−
>
4)
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
Bài 50. Giải bất phương trình :
2 3
( !). . . 720
n n n
n n n
n C C C ≤
(

n Z
+
∈
)
Bài 51. Giải bất phương trình :
2 4 2 2003
2 2 2
... 2 1.
x
x x x
C C C+ + + ≥ −

Trong đó
=
2
( 2, 4,6,...,2 )
k
x
C k x
là tổ chập
k
của
2x
phần tử.
Bài 52. Giải bất phương trình :
2
5
3
60
( )!

k
n
n
P
A
n k
+
+
+
≤
−
Bài 53. Giải hệ phương trình :
1)
3 90
2 40
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


+ =


2)
2 5 90

5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =


Bài 54. Giải hệ phương trình :
1)
1 1
1 2 2
: : ( ) 21: 60 :10
y y y y
x x x x
A A C C
− −
− − −
+ =
2)
1 1 2 1
2 2
: : ( 2 ) 3: 5 : 5
y y y y y

x x x x x
C C C C C
− + − +
− −
+ + =
V. Nâng Cao
Bài 55. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển
1)
2 7
[1 (1 )]x x+ +
chứa
6
x
2)
2 8
[1 (1 )]x x+ −
chứa
8
x
3)
3
4
(1 2 3 )x x+ −
chứa
x
4)
2 10
(1 2 3 )x x+ +
chứa
3

x

5)
3 10
1
(1 )x
x
+ +
chứa
2
x
6)
2 8
3
1
(1 )x
x
+ +
không chứa
x
Bài 56. Tìm
{0;1;2;.....; 2005}k ∈
sao cho
2005
k
C
đạt giá trò lớn nhất.
Bài 57. Tùy theo n chẳn hay lẻ, hãy xác đònh số lớn nhất trong các số :
0 1 2
, , ,...,

n
n n n n
C C C C
.
Bài 58. Khai triển
12
( ) (1 2 )P x x= +
thành dạng
2 12
0 1 2 12
( ) ...P x a a x a x a x= + + + +
.
Tìm
0 1 12
max { , ,..., }a a a
Bài 59. Khai triển
14
2
( ) ( )
2 3
x
P x = +
thành dạng
2 10
0 1 2 10
( ) ...P x a a x a x a x= + + + +
.
Tìm
0 1 10
max { , ,..., }a a a

Bài 60. Khai triển
10
1 2
( ) ( )
3 3
x
P x = +
thành dạng
2 10
0 1 2 10
( ) ...P x a a x a x a x= + + + +
.
Tìm
0 1 10
max { , ,..., }a a a
Bài 61. Tìm số hạng nguyên trong khai triển
3
9
( 3 2)+
.
Bài 62. Cho khai triển
2 12
3
( )xy xy+
. Tìm số hạng chứa
x
và
y
với số mũ nguyên dương.
Bài 63. Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số

0 1 23
23 23 23
, ,...,C C C
.
Bài 64. Với n là số nguyên dương, gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−
trong khai triển
2
( 1) ( 2)
n n
x x+ +
.
Tìm n để
3 3
26
n
a n
−
=
.
Bài 65. Biết rằng trong khai triển
1
( )
n

x
x
+
có tổng của hệ số của hai số hạng đầu tiên là 24.
Chứng minh rằng tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của
x
là số chính phương.
Bài 66. Cho khai triển
2 2 2
0 1 2
(2 2 5) ...
n n
n
x x a a x a x a x+ − = + + + +
.
Tính tổng các số hệ trong khai triển.
Bài 67. Chứng minh :
0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2001 2002 2002 2002 1
... ... 1001.2
k k
k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =
Bài 68. Chứng minh :
0 2005 1 2004 2005 2005 0 2006
2006 2006 2006 2005 2006 2006 2006 1
... ... 1003.2

k k
k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =