Đề tài nghiên cứu: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Tư duy sáng tạo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo . . . . . . . .

9

1.3.1. Tính mềm dẻo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Tính nhuần nhuyễn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. Tính độc đáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.4. Tính hồn thiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.6. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương
trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

.

19

1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN


LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO

22

2.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài tốn
về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp
đánh giá giá trị hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.1. Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế .

22

2.1.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh qui lạ về quen 28
2.3. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một
phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học
sinh xây dựng phương trình và hệ phương trình mới . . . .

43

2.4.1. Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về
hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.2. Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai
cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.3. Xây dựng phương trình và hệ phương trình đại số
bằng số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.4. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng
thức lượng giác đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.5. Chuyển việc tìm tịi lời giải phương trình và hệ phương trình
về các bài tốn hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.5.1. Phương pháp đồ thị

57

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
bằng tọa độ vectơ trong mặt phẳng . . . . . . . . .

62

2.5.3. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình
bằng tọa độ vectơ trong không gian . . . . . . . . .

ii

67


2.6. Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng
cho học sinh thông qua hoạt động tìm tịi cái mới khi giải
phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . .

73

2.7. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh
làm quen dần với nghiên cứu toán học . . . . . . . . . . .

79

2.8. Thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.8.1. Mục đích thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.8.2. Nhiệm vụ thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.8.3. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm . . . . . . . . . .

85

2.8.4. Kế hoạch thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.8.5. Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . .

85

2.9. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . .

88

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

iii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con người
được đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã
hội đang đổi mới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào
tạo, đổi mới phương pháp giáo dục. Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghi
rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tích cực, chủ động,
sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh ...”.
Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm
bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh
viên đại học”.
Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục
hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham

gia q trình cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước. Xã hội ngày nay
đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thơng tin bùng nổ. Cùng với
đó, nó địi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi
cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống


. . . Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan
trọng, cấp thiết của nhà trường phổ thơng.
Mặt khác, Tốn học là mơn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và
nghiên cứu các mơn học khác. Tốn học có vai trò to lớn trong sự phát
triển của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và có ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời
sống.
Vì thế, dạy học mơn Tốn ở nhà trường phổ thơng giữ vai trị quan
trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm
đến vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong cuốn "Sáng tạo
toán học”, Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của q trình giải tốn ,
q trình sáng tạo tốn học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của
bản thân. Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ơng về cấu trúc năng
lực toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng
lực toán học cho học sinh trong cuốn “Tâm lí năng lực tốn học của học
sinh”.
Ở nước ta cũng có nhiều cơng trình của các giáo sư Hoàng Chúng,
Nguyễn Cảnh Toàn. . . nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh.
Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong
giảng dạy bộ mơn Tốn đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều
nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác
vào nghiên cứu cụ thể việc phát triển tư duy sáng tạo thơng qua dạy học

phương trình và hệ phương trình trong chương trình phổ thơng .
Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là:
"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài tốn về
phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thơng"

2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài
2


Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển khả
năng sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệ phương
trình trong chương trình tốn trung học phổ thơng.

3. Phương pháp nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mơn
Tốn
- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.
3.2. Điều tra, quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thống
bài tập chọn lọc.
3.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng trên cùng một đối tượng.

4. Phạm vi đề tài
Nghiên cứu các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong chương
trình tốn trung học phổ thơng. Thời gian: Năm học 2010 – 2011.

5. Đối tượng khảo sát
Học sinh các lớp 10D1, 10A6, 12A5 trường trung học phổ thông Xuân
Đỉnh, Hà Nội.

6. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình tốn
trung học phổ thông theo các biện pháp đề xuất trong sáng kiến kinh
nghiệm này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

3


7. Điểm mới của đề tài
- Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo
- Thực trạng dạy học mơn Tốn phần phương trình và hệ phương trình ở
nhà trường phổ thông
- Đề xuất được hai biện pháp dạy học giải phương trình và hệ phương
trình theo hướng phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh (kèm theo hai
giáo án cụ thể).
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu
quả
- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp
và cho những ai quan tâm đến dạy học bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh.

8. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo
và mục lục, SKKN trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Một số nội dung dạy học phương trình và hệ phương trình theo

định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1.

Tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn địi hỏi con người phải hiểu biết
cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch
ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Q trình
nhận thức đó gọi là tư duy.
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại
cương - Nguyễn Quang Cẩn)
Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là q trình phản ánh tích cực thế
giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất
hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo
phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp
quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt
động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người
cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ

với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.
Tiêu biểu cho tư duy là những q trình như trừu tượng hố, phân tích và


tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết
chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình
tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó".
Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy.
• Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản
ánh tích cực thế giới khách quan.
• Kết quả của q trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngơn ngữ.
• Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối
tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng
hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng.
• Tư duy là q trình phát triển năng động và sáng tạo.
• Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau
từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là
con người.

1.2.

Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung
của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có
lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt
động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên
nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng

cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán
là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về
6


những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể
hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng
đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới khơng có nghĩa là coi nhẹ
cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Tốn)
Theo Tiến sỹ Tơn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập
tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và
theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó khơng bị gị bó phụ
thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục
đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều
mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó. (Tơn Thân - Xây
dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư
duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Tốn ở trường THCS Việt Nam,
luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục
Hà Nội).
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt
nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"
Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng,
hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính
chính xác. Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là
những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan
hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là
một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa
đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng

tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi
là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó.
Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện
giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương
tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn màu mn vẻ, thì mức độ

7


sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải
vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc
làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta
để lại một bài toán tuy khơng giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người
khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Tốn:
"Đối với người học Tốn, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ
đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà
họ chưa từng biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu
tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó
chi phối (từng phần hay hồn tồn), tức là nếu người giải chưa biết trước
thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết
trước. Nhà trường phổ thơng có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thơng thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo
thì đó là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến
những tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Lene đã chỉ
ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:
• Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng
tạo.

• Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy
cách"
• Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
• Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
• Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã
biết thành một phương thức mới).
8


• Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)
• Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng khơng
phải trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong
tư duy độc lập đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan
hệ giữa các khái niệm dưới dạng vịng trong đồng tâm

Tư duy tích cực
Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Hình 1.1

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách
chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn
đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với
hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp
của giải pháp.
Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng

mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

1.3.

Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, . . . về cấu trúc
của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:
• Tính mềm dẻo
9


• Tính nhuần nhuyễn
• Tính độc đáo
• Tính hồn thiện
• Tính nhạy cảm vấn đề

1.3.1.

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư
duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hố, khái qt hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận
như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang
giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy cịn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang
góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư

duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong
những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật
và điều phán đốn. Suy nghĩ khơng rập khn, khơng áp dụng một cách
máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hồn cảnh mới, điều kiện
mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thốt khỏi ảnh
hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách
suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen
thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho
các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của
tư duy.

10


1.3.2.

Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách
nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn
cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố
chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng
nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều
khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm
nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc
trưng sau:
Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm

được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng
trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh
chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được
phương án tối ưu.
Ví dụ 1.3.1. Tìm tham số thực m để bất phương trình
(4 + x)(6 − x)

x2 + 2x + m

nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6]
Chứng minh. Cách 1.(Phương pháp điều kiện cần và đủ)
a. Điều kiện cần. Giả sử bất phương trình đúng với mọi x : −4

x

6,

nói riêng nó phải đúng khi x = 1, tức là ta phải có:
m−1≥5⇒m≥6
Vậy điều kiện cần là m ≥ 6.
b. Điều kiện đủ. Giả sử m ≥ 6. Theo bất đẳng thức AM-GM, với mọi
x ∈ [−4; 6] ta có:
(4 + x)(6 − x) ≤

(4 + x) + (6 − x)
=5
2
11

Mặt khác x2 − 2x + m = (x − 1)2 + m − 1 ≥ 5 do m ≥ 6. Vì thế với mọi
x ∈ [−4; 6], ta có:
(4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m
Nói cách khác, m ≥ 6 là điều kiện cần và đủ để bất phương trình đã cho
đúng với mọi x ∈ [−4; 6]
Cách 2. (Phương pháp đồ thị) Đặt y =

(4 + x)(6 − x) ≥ 0 , suy ra

y 2 = 24 + 2x − x2 ⇒ x2 − 2x + 1 + y 2 = 25 ⇒ (x − 1)2 + y 2 = 25
Do đó vế trái của bất phương trình trên là nửa đường trịn tâm tại điểm
I(1; 0) bán kính 5. Ta thấy y = x2 − 2x + m là parabol có cực tiểu nằm
trên đường thẳng x = 1.
y

9
8
7
6

M
5
4
3
2
1
x
-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

6

-1
-2

Hình 1.2

Để bất phương trình đúng với mọi x : −4 ≤ x ≤ 6 thì parabol y =
x2 − 2x + m ln ln nằm phía trên nửa đường trịn. Điều đó xảy ra
khi và chỉ khi đỉnh của parabol là điểm M (1; 5), tức là m ≥ m0 trong đó
parabol y = x2 − 2x + m0 qua M , suy ra 5 = m0 − 1 ⇒ m0 = 6. Vậy điều
12

kiện đặt ra là m ≥ 6.
Cách 3. (Phương pháp chiều biến thiên hàm số)
√
Đặt t = (4 + x)(6 − x) = −x2 + 2x + 24. Khi đó bất phương trình đã
cho trở thành:
t2 + t − 24 ≤ m
Theo bất đẳng thức AM-GM, với mọi x ∈ [−4; 6] ta có:
(4 + x) + (6 − x)
=5⇒0≤t≤5
2
Xét hàm số: f (t) = t2 + t − 24 trên đoạn [0; 5].
(4 + x)(6 − x) ≤

Ta có:f (t) = 2t + 1 > 0 với mọi t ∈ [0; 5]. Do đó ta có bảng biến thiên:

t
f (t )

5

4

+
6

f (t )
12

Hình 1.3

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6] khi và chỉ khi
m ≥ max f (t) = 6
[0;5]

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau,
có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ
khơng phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

1.3.3.

Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng.

13


• Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
• Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên
ngoài liên tưởng như khơng có liên hệ với nhau.
• Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp
khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều
kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống
khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án
khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các
yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính

xác, tính hồn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng
nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các
hoạt động trí tuệ của con người.
Ví dụ 1.3.2. Cho phương trình
√

x+1+

√

4−x+

(x + 1) (4 − x) = m

(1.1)

Hãy tìm tham số thực m để phương trình trên có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Về ngun tắc bài tốn trên có thể giải bằng một trong bốn
cách đã nêu trong ví dụ 1.3.2. Tuy nhiên, nhờ vào mỗi liên hệ giữa các căn
thức của bài toán ta đi đến lời giải ngắn gọn và đẹp hơn. Ta sẽ giải bài
toán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Điều kiện cần. Nhận thấy rằng nếu x0 là nghiệm của phương trình (1.1)
thì 3 − x0 cũng là nghiệm của (1.1). Bởi vậy điều kiện cần để phương trình
3
có nghiệm duy nhất là x0 = 3 − x0 ⇔ x0 = . Thay vào phương trình (1.1)
2
5 √
có m = + 10
2
14

5 √
Điều kiện đủ. Với m = + 10, phương trình (1.1) trở thành:
2
√
√
5 √
x + 1 + 4 − x + (x + 1) (4 − x) = + 10
2
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swatz:
√

x+1+

√

4−x≤

√
√
1 + 1 1 + 4 = 10

(1.2)

x+1+4−x 5
=
2
2

(1.3)

√

Theo bất đẳng thức AM-GM:
(x + 1) (4 − x) ≤

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1.2) và (1.3), ta được:
√

x+1+

√

4−x+

(x + 1) (4 − x) ≤

5 √
+ 10
2

(1.4)

Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức trong (1.2)
và (1.3) đồng thời xảy ra. Nghĩa là:
1+x=4−x⇔x=

3
2

5 √
+ 10 là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm
2
duy nhất.
Vậy m =

1.3.4.

Tính hồn thiện

Tính hồn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và
hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.

1.3.5.

Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
1. Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
2. Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu
từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
15


Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học
sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập
Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển,
thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp,
dùng phân tích trong khi tìm tịi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày

lời giải. Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng
của tư duy sáng tạo. Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương
pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng
lực sáng tạo ở các em.

1.3.6.

Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và
nhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét
các đối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ,
mối mâu thuẫn và trong sự phát triển.
Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề
và định hướng tìm tịi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lịng tin
khi trong việc tìm tịi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững
lịng tin rằng rồi sẽ có ngày thành cơng và hướng tìm đến thành cơng là cố
nhìn cho được mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng
nhiều càng tốt.
Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy
nghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương
diện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh
hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách
mới có ý nghĩa, có giá trị. Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào
đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía
cạnh khác nhau, đặt nó vào những hồn cảnh khác nhau, ... như thế mới
giải quyết vấn đề một cách sáng tạo được. Mặt khác tư duy biện chứng đã
16

chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính
phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối
quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn
vẻ của nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để học sinh học tốn một cách
sáng tạo, khơng gị bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau.
Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho học
sinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó
có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh. Xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình
log2 x + log2
2

x
= 5logx 8 + 25 log2 2
x
4

(1.5)

Chứng minh. Điều kiện 0 < x = 1.
1
x
3
Đặt log2 x = t, khi đó logx 2 = , logx 8 = , log2 = t − 2.
t
t
4
Phương trình đã cho trở thành:
t2 + t − 2 =

15 25
+ 2
t
t

⇔ t4 + t3 − 2t2 − 15t + 25 = 0

(1.6)

Quan sát phương trình (1.6), đây là một phương trình bậc 4 đầy đủ
đối với x. Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi để đưa phương
trình này về dạng quen thuộc đã biết cách giải chẳng hạn: ax4 + bx2 + c =
0, (x + a)4 + (x + b)4 = c, hay x4 = ax2 + bx + c, . . .. Nhưng rất đáng tiếc
phương trình này khơng rơi vào những dạng quen thuộc như vậy.
Ngay lập tức, ý tưởng thường trực mà mỗi khi ta giải phương trình bậc
cao là đốn nghiệm để từ đó đưa về phương trình tích được áp dụng vì hệ
số tự do ở đây là 25. Nhưng thật không may, phương trình này khơng có
nghiệm hữu tỷ.
Khi những phương pháp thường dùng nhất không khả thi, ta sẽ nghĩ
đến cách cuối cùng đó là dùng phương pháp hệ số bất định để đưa vế trái
17


của phương trình về dạng (x2 + mx + n)(x2 + px + q). Tuy đây là cách về
lý thuyết có thể thực hiện được nhưng vấn đề là ở chỗ ta phải giải một hệ
phương trình với 4 ẩn m, n, p, q vốn là việc không hề đơn giản.
Khi mọi ngả đường để giải bài toán gần như đi vào bế tắc, ta nhớ lại
rằng với phương trình chứa tham số, chúng ta có thể tráo đổi vai trị của
ẩn và tham số để đưa phương trình bậc cao về phương trình tích. Vậy có

thể áp dụng cách này để giải bài tốn hay khơng?
Theo dõi tiếp lời giải dưới đây:
Đặt a = 5 khi đó phương trình (1.6) trở thành
a2 + 3at − t2 t2 − t + 2 = 0

(1.7)

Coi (1.7) là phương trình bậc 2 đối với a. Ta có:
∆ = t2 (2t + 1)2
Do đó:


−3t + t (2t + 1)
a=
5 = t2 − t
a = t (t − 1)

2


(1.7) ⇔ 
⇒
⇔
−3t − t (t + 1)
5 = −t2 − 2t
a = −t (t + 2)
a=
2

√

√
t2 − t − 5 = 0
1 ± 21
1 ± 21
⇔t=
⇔
⇔ log2 x =
2
2
2
t + 2t + 5 = 0 (vô nghiệm)
√
1 ± 21
2
⇔x=2
(thỏa mãn điều kiện)


Nhận xét 1.3.1. Khi giải phương trình chứa tham số chúng ta thường
được yêu cầu giải phương trình với một giá trị cho trước nào đó của tham
số. Đây là bài tốn quen thuộc, tuy nhiên với phương trình trên hằng số
đã quay ngược lại đóng vai trị là tham số. Vì lẽ đó những phương trình
dạng này thường được giải bằng phương pháp đặc biệt mà ta gọi là phương
pháp hằng số biến thiên.
18


1.4.

Tiềm năng của các bài tốn về phương trình và

hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy
sáng tạo cho học sinh

Trong q trình học Tốn thì kỹ năng vận dụng Tốn học là quan trọng
nhất, nhà trường phổ thơng khơng chỉ cung cấp cho học sinh những kiến
thức Tốn học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập,
sự độc đáo và khả năng sáng tạo.
Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các
phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại
hoặc kết quả khơng đáp ứng được các địi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất
hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ".
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai
thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển
tư duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả
năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết
quả mới (khai thác các kết quả của một bài tốn, xem xét các khía cạnh
khác nhau của một bài tốn).
Chủ đề phương trình và hệ phương trình chứa đựng nhiều tiềm năng to
lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên
cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có
thể khai thác các tiềm năng đó thơng qua việc xây dựng hệ thống bài tập
mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển
năng lực sáng tạo của mình.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ
thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề
quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh.
Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách
giáo khoa, để tạo ra các bài tốn có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính
19

nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy.
Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc
trưng của nó và dựa vào quan điểm: rèn luyện và bồi dưỡng từng yếu tố
cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp
để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em. Các bài tập chủ yếu
nhằm rèn luyện và bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo với các
đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ
khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều
kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen
biết. Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện và bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn
của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: khả năng tìm được nhiều giải pháp
trên nhiều góc độ và hồn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượng
dưới những khía cạnh khác nhau. Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện và
bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng:
nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài
tốn mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic.
Chủ đề phương trình và hệ phương trình là một chủ để quan trọng và
hấp dẫn của chương trình tốn phổ thơng. Việc rèn luyện, bồi dưỡng cũng
như phát triển tư suy sáng tạo cho học sinh luôn gắn liền với việc phát
triển của phương pháp suy luận mà ở cấp độ cao đó là sự phát triển tư
duy đại số.
Như vậy tiềm năng của chủ đề phương trình và hệ phương trình trong
việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn.

1.5.

Kết luận chương 1

Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy

sáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, và vận dụng
được tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo, đồng thời nêu được
tiềm năng lớn của chủ đề phương trình và hệ phương trình trong việc rèn

20


luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy
học giải bài tập tốn là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh
học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong
học tập và trong cuộc sống.
Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được
các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh.

21


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH
HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO

2.1.

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các
bài tốn về phương trình và hệ phương trình
giải bằng phương pháp đánh giá giá trị hai vế

2.1.1.

Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế

Cho phương trình
f (x) = g(x)

(2.1)

Phương pháp đánh giá giá trị hai vế (gọi tắt là đánh giá hai vế) của
phương trình (2.1) là tìm các giá trị của đối số x thuộc miền xác định của
phương trình (2.1) để giá trị hai vế bằng nhau. Khi đó các giá trị đó chính
là nghiệm của phương trình (2.1).
Khi đánh giá hai vế của phương trình ta phải đánh giá theo hai chiều
ngược nhau. Nghĩa là nếu đánh giá f (x) theo chiều f (x) ≥ M thì phải
đánh giá g(x) theo chiều g(x) ≤ N . Khi đó các khả năng sau đây có thể
xảy ra:
1. Nếu N < M thì khi đó g(x) ≤ N < M ≤ f (x) suy ra g(x) < f (x) với
mọi x thuộc miền xác định và do đó phương trình (2.1) vơ nghiệm.