Ma trận xác định dương và một số ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (646.14 KB, 59 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Header Page 1 of 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Trang
Lời nói đầu………………………… …………….…………………………… 3
Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….……………………………… …………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….…………………………………… ……………9
1.4 Ma trận đường chéo .…………………………………………………… …9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ……………………………………… ……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ………………………… ………13
2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……………………………………… 24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương…………………………………………………………… …44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân………………… 45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng ……………………………………………… ……………… 45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ……… ………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng………… ………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……………………………………… 52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ………………………………… …………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận…………………………………………………………… ……… 56
Tài liệu tham khảo……………………………………… 57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
3
LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
4
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Đinh Trọng Sỹ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
5
CHƯƠNG I
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương.
1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho
z a bi
là một số phức.
Ký hiệu
z
là liên hợp phức của
z
, tức là
z a bi
.
Nhận xét rằng,
z z
khi và chỉ khi
0
b
, hay
z
là số thực.
Số phức
0
z a bi
khi và chỉ khi
0
z a bi
, tức là
0
a
hoặc
0
b
.
Ta luôn có
2 2
0
zz a bi a bi a b
với mọi số phức
z
;
0
zz
khi và
chỉ khi
0
z
.
Giả sử
H
là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột
x
số chiều
n
có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ
x
và
y
trong
H
là một
số
1 1 2 2
( , ): , :
n n
x y x y x y x y x y x y
, trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
6
1
n
x
x H
x
,
1
n
y
y H
y
,
k k k
x a b i
,
k k k
x a b i
,
1,2, ,
k n
và
1 1 1
1 1
, ,
n n
n n n
x a ib
x x a ib a ib
x a ib
.
Khi
H
là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều
n
có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là
1 1 2 2
( , ): , :
n n
x y x y x y x y x y x y
.
Ánh xạ
:
f H
được gọi là tuyến tính trên
H
nếu với mọi
1
t
,
2
t
, mọi
1 2
,
x x H
ta có
1 1 2 2 1 1 2 2
f t x t x t f x t f x
.
Ánh xạ
:
f H
được gọi là tuyến tính liên hợp trên
H
nếu với mọi
1
t
,
2
t
,
mọi
1 2
,
x x H
ta có
1 1 2 2 1 1 2 2
f t x t x t f x t f x
.
Tính chất Tích vô hướng
.,.
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.
Chứng minh Thật vậy, vì
1
n
x
x
x
nên
1
n
x
x
x
,
*
1
, ,
n
x x x x
;
1
1
1
1
n
y
y
y
,
2
1
2
2
n
y
y
y
nên
1 2 1 2
1 1 1 1 2 1
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
n n n n
y y t y t y
t y t y t t
y y t y t y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
7
Do đó
1 2
1 1 2 1
1 2 * 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2
1
1 2
1 2
1 1 * 1 * 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1
( , ) ( ) , ,
, , .
n
n i i i
i
n n
n n
i i i i
i i
t y t y
x t y t y x t y t y x x x t y t y
t y t y
t x y t x y t x y t x y t x y t x y
Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng
.,.
tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì
1 2 1 2
z z z z
và
2
1 2 1
z z z z
nên
1 2
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
1 2
1 2
, ,
n n
n n
t x t x
t x t x t x t x t x t x t x t x
t x t x
.
Do đó
1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1 1 2
* *
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
, ,
.
n n
n
n n n
i i i i i i i
i i i
y
t x t x y t x t x t x t x
y
t x t x y t x y t x y t x y t x y
tức là
1 2 1 2 1 2 1 * 2 *
1 2 1 2 1 2 1 2
1 * 2 * 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
( ) ( ) , , ( , ) ( , ).
t x t x y t x t x y t x t x y t x t x y
t x y t x y t x y t x y t x y t x y
Vậy
là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu
H
là không gian Euclid hữu hạn chiều
n
với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì
là tuyến tính theo từng biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
8
Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ
x
và
y
là
1 1
( , ): , :
n n
f x y x y x y x y
. Khi ấy tích vô hướng
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một
m n
-ma trận (ma trận cấp
m n
) là một bảng
số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
.
Các số (thực hoặc phức)
a
ij
được gọi là phần tử ở dòng i cột j (
1, ; 1,
i m j n
)
của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn
A a
ij
.
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết
m n
A a
ij
.
Khi
m n
thì ta có ma trận vuông cấp
n
. Kí hiệu ma trận vuông cấp
n
là
n
A
.
Khi
1
n
ma trận
A
có cấp
1
m
được gọi là vectơ cột
1
2
m
x
x
x
x
số chiều
m
.
Khi
1
m
ma trận có cấp
1
n
được gọi là vectơ hàng
1 2
, , ,
n
x x x x
cấp
n
.
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không
gian vectơ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
9
1.3 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là
0, ,
ij
a i j
và được kí hiệu là
n
O
hay
O
.
1.4 Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0,
tức là 0,
ij
a i j
. Kí hiệu ma trận đường chéo là
11 22
diag( , , , )
nn
A a a a
.
1.5 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo
ii
a
bằng 1,
kí hiệu là
I
hay
E
. Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết
n
I
hay
n
E
.
1.6 Các phép toán trên ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp
ij
m n
A a
,
ij
m n
B b
.
Tổng của hai ma trận
A
và
B
là một ma trận cấp
m n
, được viết là
A B
và
được xác định bởi công thức
ij ij
A B a b
, Tức là
11 1 11 1 11 11 1 1
1 1 1 1
n n n n
m mn m mn m m mn mn
a a b b a b a b
a a b b a b a b
;
Tích của ma trận
A
với đại lượng vô hướng
(một số
,
là một số thực hay
một số phức) được xác định bởi hệ thức
ij
A A a
, tức là
11 1 11 1
1 1
n n
m mn m mn
a a a a
a a a a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
10
Giả sử
ij
A a
là một
m n
ma trận và
jk
B b
là một
n p
ma trận.
Tích của hai ma trận
A
và
B
là một
m p
-ma trận
ik
c
với
1 1 2 2
1
. . .
n
ik i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b
.
Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số
phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.
Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ
nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.
Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là
A BC AB C
nếu các
phép nhân ma trận thực hiện được.
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung
AB BA
.
Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân
AB
, còn
BA
thì không.
Ta luôn có
AI IA A
với mọi ma trận
A
.
Ví dụ, cho
7 0 4
1 2 1
A
,
1 0
3 5
2 3
B
. Khi đó ta có
1 0
7 0 4 15 12
3 5
1 2 1 3 13
2 3
AB
;
7 0 4
16 10 7
17 6 11
BA
.
1.7 Ma trận nghịch đảo
Cho
A
là ma trận vuông cấp
n
. Một ma trận vuông
B
cấp
n
được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận
A
nếu
AB BA I
, trong đó I là ma trận đơn vị.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì
A
được gọi là ma trận khả nghịch.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
11
Nếu
A
là ma trận khả nghịch thì
A
chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử
B
và
C
là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính
chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có
( ) ( ) .
B IB CA B C AB CI C
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận
A
(nếu có) là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch
A
được ký hiệu là
1
A
.
Tính chất Tích
AB
của hai ma trận khả nghịch
,
A B
cùng cấp là ma trận khả
nghịch và
1
1 1
AB B A
.
Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có
1 1 1 1 1 1
AB B A A BB A AIA AA I
,
1 1 1 1 1 1
B A AB B A A B B IB B B I
.
Vậy theo định nghĩa ma trận
1 1
B A
là ma trận nghịch đảo của ma trận
AB
hay
1
1 1
AB B A
.
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp
Ma trận
n m
A a
ji
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận
ij
m n
A a
.
Các dòng của ma trận
A
là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận
A
là các dòng tương ứng của ma trận
A
.
Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận
ij
A a
là ma trận
ji
A a
.
Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu:
*
A A
.
Hiển nhiên ta có
A A
và
*
*
A A
. Hơn nữa, ta còn có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
12
Tính chất
AB B A
và
*
* *
AB B A
với mọi ma trận
,
A B
mà phép nhân
ma trận thực hiện được.
Chứng minh Kí hiệu
ij
m n
A a
,
jk
n p
B b
,
ik
m p
C AB c
, trong đó
1 1 2 2
1
. . .
n
ik i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b
.
Tương tự, kí hiệu
jk
n m
A a
,
kj
p n
B b
và
:
ki
p m
D B A d
với
1 1 2 2
1
. . .
n
k i k i k i kn ni kj ji
j
d b a b a b a b a
.
Các phần tử của ma trận
ki
p m
C AB c
được tính theo công thức
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1
. . . . . .
. . . .
k i ik i k i k in nk k i k i nk in
n
k i k i kn ni kj ji ki
j
c c a b a b a b b a b a b a
b a b a b a b a d
Nghĩa là,
k i ki
c d
hay
C D
, tức là
AB C D B A
.
Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được
*
* *
AB B A
.
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận vuông
A
được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu
A A I
, trong đó I là ma trận đơn vị và
A
là ma trận chuyển vị của A.
Ma trận
U
gọi là ma trận unita nếu
U U I
, trong đó I là ma trận đơn vị và
U
là ma trận chuyển vị liên hợp của
U
.
Nếu
U
là ma trận unita thì
U
khả nghịch. Hơn nữa,
det 1
U
(Trong đó
det
U
là định thức của ma trận
U
) vì
2
* *
1 det det det .det det
I U U U U U
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
13
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận
Số phức
(số thực
) được gọi là giá trị riêng của ma trận
A
nếu tồn
tại vectơ
v H
,
0
v
sao cho
Av v
.
Vectơ
v
được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
.
Nhận xét Nếu
v
là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
thì
v
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
.
Thật vậy, ta có
A v Av v v
. Vì vậy, sau này ta thường xét
vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là
1
, 1
n
i i i i
i
v v v v v
.
Phương trình
Av v
A I v
=0 có nghiệm không tầm thường
0
v
. Suy
ra
det 0
A I
. Như vậy, các giá trị riêng của ma trận
A
chính là nghiệm
của phương trình đa thức
det 0
A I
.
Nếu
T
là ma trận đối xứng, tức là
T T I
thì
det 1
T
.
Mặt khác, vì
T T I
nên
T AT I T AT T T T A I T
, nên
det det det det det det
T AT I T A I T T A I T A I
.
Chứng tỏ hai ma trận
A
và
T AT
có cùng giá trị riêng.
Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực
giao. Tương tự cho ma trận unita.
1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite
Ma trận
n n
A
với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A=
A
được gọi là
ma trận đối xứng.
Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện
a
ij
=
a
ji
,
, 1, ,
i j n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
14
Ma trận thỏa mãn
A A
được gọi là ma trận Hermite.
Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.
Chứng minh Vì ma trận
A
là thực nên nếu
là giá trị riêng phức của
A
(là
nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng
det 0
A I
với các hệ số thực)
thì
cũng là giá trị riêng phức của
A
.
Giả sử
và
x
là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận
A
, tức
là
Ax x
. Khi ấy vì
. .
x x
và
Ax Ax
với mọi số phức
, ma trận thực
A
và vectơ phức
x
nên
x x Ax Ax
. Như vậy, ta có
, , ,
x Ax x x x x
và
, , ,
x Ax x x x x
.
Do
A
là ma trận đối xứng nên , , ,
x Ax Ax x x Ax
.
Do đó
, , , ,
x x x Ax x Ax x x
hay
, 0
x x
.
Do
0
x
,
1
, ,
n
x x x
nên
1
, 0
n
i i
i
x x x x
. Vậy
hay
là số thực.
Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.
Định lí 1.2 Hai vectơ riêng
1 2
,
v v
ứng với hai giá trị riêng khác nhau
1 2
,
của
ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là
1 2
, 0
v v
.
Chứng minh Từ các đẳng thức
1 1 1
Av v
và
2 2 2
Av v
ta có
2 1 1 2 1
, ,
v Av v v
và
1 2 2 1 2
, ,
v Av v v
.
Do
A
là ma trận đối xứng nên
1 2 1 2 2 1
, , ,
v Av Av v v Av
.
Trừ các đẳng thức trên ta có
1 2 1 2
0 ,
v v
. Do
1 2
nên
1 2
, 0
v v
hay
hai vectơ
1 2
,
v v
vuông góc với nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
15
Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ
một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T
sao cho
T AT
có dạng đường chéo, nghĩa là
1 2
diag( , , , )
n
T AT
, trong đó
i
- là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận
A
.
Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng
1 2
, , ,
n
của ma
trận
A
là khác nhau. Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng
1 2
, , ,
n
x x x
tương ứng với
1 2
, , ,
n
là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức
là
, 1
i i
x x
,
1,2, ,
i n
. Hơn nữa, do
1 2
, , ,
n
của ma trận
A
là khác nhau
(Định lí 1.2) nên
1 2
, , ,
n
x x x
độc lập tuyến tính và vuông góc, nghĩa là
, 0
i j
x x
,
, 1,2, ,
i j n
,
i j
. Xây dựng ma trận
T
có các cột là các vectơ
1 2
, , ,
n
x x x
. Khi ấy
11 21 1
12 22 2
1 2
n
n
n n nn
x x x
x x x
T
x x x
,
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
x x x
x x x
T
x x x
,
1 1 1 2 1
11 12 1 11 21 1
2 1 2 2 2
21 22 2 12 22 2
1 2
1 2 1 2
, , ,
, , ,
, , ,
n
n n
n
n n
n n n n
n n nn n n nn
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx x x x x x
T T
x x x x x x
x x x x x x
I
.
Vậy
T
là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì
i i
Ax x
,
1,2, ,
i n
nên
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 1 2 2
n n
n n
n n n nn
x x x
x x x
AT
x x x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
16
và
11 12 1 1 11 2 21 1 1
21 22 2 1 12 2 22 2 2
1 2 1 1 2 2
0 0
0 0
0 0
n n n
n n n
n n nn n n n nn n
x x x x x x
x x x x x x
T AT
x x x x x x
.
Vậy ma trận
A
có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận
T
.
Bây giờ giả sử các giá trị riêng
1 2
, , ,
n
của ma trận
A
là bất kì.
Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai.
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là
1
11 12
2
12 22
a a
a
A
a a
a
, trong đó
1
11 12
a a a
và
2
12 22
a a a
.
Giả sử
1
và
11
1
12
x
x
x
là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là
có hệ thức
1
Ax
=
1
1
x
. Suy ra
1
1 1
1 11 11 12 11 11 11 12 12
1
1
2 1
1 12 12 22 12 12 11 22 12
,
,
a x
x a a x a x a x
x Ax
x a a x a x a x
a x
hay
1 1
11 11 12 12 1 11
,
a x a x a x x
,
2 1
12 11 22 12 1 12
,
a x a x a x x
.
Chú ý Ta có thể coi
11
x
,
12
x
là các thành phần của vectơ
1
x
đã được chuẩn hóa,
tức là
1 1 2 2
11 12
, 1
x x x x
.
Ta xây dựng một ma trận trực giao
11 21
1 2
12 22
x x
T x x
x x
cấp
2 2
mà một
cột là vectơ
11
1
12
x
x
x
sao cho
1
2
0
0
T AT
, trong đó
1
,
2
là các giá trị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
17
riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.
Vì
T
là ma trận trực giao nên
T T I
, tức là
2 2
11 12 11 21
11 12 11 21 12 22
2 2
21 22 12 22
21 11 22 12 21 22
1 0 1 0
0 1 0 1
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
.
Suy ra
2 2 2 2
11 12 11 21 12 22 21 22
1, 0, 1
x x x x x x x x
.
Ta có
1 2
1 11
11 12 11 11 12 12 11 21 12 22
11 21
2 2
12 22
12 22 12 11 22 12 12 21 22 22
1 12
,
,
x a x
a a a x a x a x a x
x x
AT
x x
a a a x a x a x a x
x a x
.
Vậy
1 2
1 11
11 12
2 2
21 22
1 12
2 2 1 2 2 2
1 11 12 11 12
1 12
1 2 2 2
22
1 11 21 12 22 21 22
,
,
( ) , ,
.
0
( ) , ,
x a x
x x
T AT
x x
x a x
x x x a x x a x
b
b
x x x x x a x x a x
Ta có thể xác định
12
b
và
22
b
như sau. Vì
AB B A
và
T T
nên
( )
T AT T A T T T A T A T T A T T AT
hay
T AT
là ma trận đối xứng. Suy ra
12
b
= 0.
Như vậy ta có
1
22
0
0
T AT
b
.
Vì
T
là ma trận trực giao, nên hai ma trận
A
và
T AT
có cùng giá trị riêng. Mà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
18
1
22
0
0
T AT
b
nên
1 1
22 22
0 0
0 0
T AT I I
b b
.
Vậy
T AT
có giá trị riêng là
1
và
22
b
.
Vậy
22
b
cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận
A
.
Ta sẽ chứng minh trong trường hợp
n
chiều bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với mỗi
k
,
1,2, ,
k n
ta có thể xác định ma trận trực giao
k
T
đưa ma
trận đối xứng thực
k ij
A a
về dạng đường chéo
1 2
diag( , , , )
k k k
T AT
.
Các phần tử trên đường chéo chính
i
là các giá trị riêng của ma trận
k
A
.
Ta đã chứng tỏ được điều này cho
2
n
. Giả sử qui nạp điều đó đúng cho
k n
,
ta sẽ chứng minh điều đó đúng với
1
k n
.
Xét ma trận
1
1
1
n ij
n
a
A a
a
có
1
,
1
11
1 1
n
x
x
x
là giá trị riêng và vectơ riêng
tương ứng của ma trận
1
n
A
,
1
x
đã được chuẩn hóa (
1 2 2
11 1 1
1
n
x x x
).
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao
T
có cột đầu là
1
x
.
Gọi các cột chưa biết còn lại là
2 3 1
, , .,
n
x x x
thì ma trận
T
có dạng:
11 21 11
12 22 12
1 1 2 1 1 1
n
n
n n n n
x x x
x x x
T
x x x
.
11 12 1 1
21 22 2 1
11 12 1 1
n
n
n n n n
x x x
x x x
T
x x x
.
Vì T là ma trận trực giao nên
T T I
, hay là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
19
11 12 1 1 11 21 11
21 22 2 1 12 22 12
11 12 1 1 1 1 2 1 1 1
2 2
11 1 1 12 1 1
21 11 22 12 2 1
n n
n n
n n n n n n n n
n n
n
x x x x x x
x x x x x x
T T
x x x x x x
x x b b
x x x x x x
1 1 22 2 1
11 11 22 12 1 1 1 1 12 1 1
1 0 0
0 1 0
.
0 0 0
0 0 1
n n
n n n n n n n n
b b
x x x x x x b b
Suy ra,
2 2
11 1 1
1
n
x x
;
21 11 22 12 2 1 1 1
0
n n
x x x x x x
; … ;
11 11 22 12 1 1 1 1
0
n n n n n
x x x x x x
. (1.1)
Ta có
1
n
A T
=
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 1 1
, , ,
, , ,
, , ,
n
n
n n n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
=
1 2 1 1
1 11
2 2 2 1
1 12
1 2 1 1
1 1, 1
, ,
, ,
, ,
n
n
n n n
n
x a x a x
x a x a x
x a x a x
;
Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được:
1 2 1 1
1 11
11 12 1 1
2 2 2 1
21 22 2 1 1 12
1
1 2 1 1
11 12 1 1
1 1, 1
, ,
, ,
, ,
n
n
n
n
n
n n n
n n n n
n
x a x a x
x x x
x x x x a x a x
T A T
x x x
x a x a x
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
20
=
2 2 2
1 11 12 1 1 12 13 1, 1
1 12 1, 1
1 21 11 22 12 2 1 1 1
1 11 11 22 12 1 1 1 1
. . .
0
. . . .
0
n n
n
n n
n
n
n n n n n
x x x b b b
b b
x x x x x x
A
A
x x x x x x
.
trong đó:
- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng
0
, trừ phần tử ban đầu (bằng
1
);
- Các đại lượng
12 13 1
, , ,
n
b b b
sẽ được xác định sau;
- Ma trận A
n
có cấp
n n
.
Do
T T
nên ta có
1 1 1 1 1 1
( )
n n n n n n
T A T T A T T T A T A T T A T T A T
hay
1
n
T A T
là ma trận đối xứng. Suy ra
12 1 1
0
n
b b
.
Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao
T
sao cho
1
1
0 0
0
0
n
n
T A T
A
,
với
n
A
là ma trận đối xứng.
Vì
T
là ma trận trực giao, tức là
T T I
nên
det 1
T
(xem mục 1.9).
Cũng vì
T T I
nên
1 1n n
T AT I T A T T T T A I T
.
Do đó
1 1 1 1
det det det det det det
n n n n
TA T I T A I T T A I T A I
.
Suy ra các giá trị riêng của ma trận
1
n
A
cũng chính là các giá trị riêng của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
21
1
n
T A T
. Nhưng
1 1
det det
n n
T A T I A I
nên các giá trị riêng
2 3 1
, , ,
n
, của ma trận
1
n
A
cũng chính là các giá trị riêng của A
n
.
Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử T
n
là ma trận trực giao đưa A
n
về
dạng đường chéo. Ta lập ma trận
1
1 0 0
0
0
n
n
S
T
cấp
1
n
.
Do
n
T
trực giao nên
1
n
S
cũng là ma trận trực giao, và khi đó
1 1 1 1 2 1
diag( , , , )
n n n n
S T A T S
.
Vì có thể viết
1 1 1 1 1 1
n n n n n n
S T A T S TS A TS
nên
1
n
TS
là ma trận
trực giao đưa ma trận
1
n
A
về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma
trận trực giao T sao cho
1 2 1
diag( , , , )
n
T AT
. Định lí chứng minh xong.
Đặt
x Ty
hay
y T Ty T x
,
1 2
diag( , , , )
n
. Từ Định lí 1.3 ta cũng có
Hệ quả Nếu
A
là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao
T
sao cho
2
1
,
n
i i
i
x Ax y
. (1.2)
Chứng minh Đặt
x Ty
. Ta có
2
1
, , , ,
n
i i
i
x Ax Ty ATy y T ATy y y y
.
Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có
Định lý 1.4 Nếu ma trận
A
là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita
U
sao
cho
*
A U U
(hay
*
U AU
), trong đó
i
,
1,2, ,
i n
là các giá trị riêng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
22
của
A
và
1 2
diag( , , , )
n
.
Định lý 1.5 Cho
A
và
B
là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để
tồn tại một ma trận trực giao
T
đưa
A
và
B
đồng thời về dạng đường chéo
1 2
' diag( , , , )
n
T AT
và
1 2
' diag( , , , )
n
T BT
(1.3)
là ma trận
A
và
B
có tính chất giao hoán.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại
T
thỏa mãn (1.3), khi ấy
và
A B
có tính chất giao
hoán. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có
1 2
diag( , , , )
n
A T T
và
1 2
diag( , , , )
n
B T T
.
Suy ra
1 2 1 2
diag( , , , ) diag( , , , )
n n
AB T T T T
1 2 1 2
diag( , , , )diag( , , , )
n n
T T
1 1 2 2
diag( , , , )
n n
T T
.
Mặt khác, ta cũng có
1 2 1 2
diag( , , , ) diag( , , , )
n n
BA T T T T
1 2 1 2
diag( , , , )diag( , , , )
n n
T T
1 1 2 2
diag( , , , )
n n
T T
.
Vậy
AB BA
, tức là hai ma trận
và
A B
có tính chất giao hoán.
Điều kiện đủ Giả sử
và
A B
giao hoán, ta chứng minh tồn tại
T
thỏa mãn (1.3).
Trước tiên giả sử ma trận
A
có các giá trị riêng khác nhau
1 2
n
ứng
với các vectơ riêng
1 2
, , ,
n
x x x
đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ
1 2
, , ,
n
x x x
vuông góc với nhau, tức là
, 0
i j
x x
với
i j
và
2 2
1
, 1
i i
i ni
x x x x
.
Do
i i
i
Ax x
nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i
i i i i
A Bx AB x BA x B Ax B x B x B x Bx
. (1.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
23
Suy ra
i
Bx
cũng là vectơ riêng của
A
ứng với
i
. Vì các giá trị riêng đều khác
nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau,
tức là
, 1,2, ,
i i
i
Bx x i n
. Nhưng khi ấy,
i
cũng chính là các giá trị riêng
của ma trận
B
với các vectơ riêng
i
x
tương ứng. Như vậy, các ma trận
A
và
B
có cùng các vectơ riêng
1 2
, , ,
n
x x x
.
Đặt
11 21 1
12 22 2
1 2
1 2
( , , , )
n
n
n
n n nn
x x x
x x x
T x x x
x x x
thì
1
11 12 1
2
21 22 2
1 2
n
n
n
n n nn
x
x x x
x x x
x
T
x x x
x
và
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
, , ,
, , ,
, , ,
n
n
n n n n
x x x x x x
x x x x x x
T T I
x x x x x x
.
Xét trường hợp tổng quát, khi
i
là giá trị riêng bội
k
ứng với các vectơ riêng
1 2
, , ,
k
x x x
của ma trận
A
. Từ (1.4), vectơ
i
Bx
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị
riêng
i
, do đó
i
Bx
có thể biểu diễn tuyến tính qua
1 2
, , ,
k
x x x
:
1
, 1,2, , .
k
i j
ij
i
Bx c x i k
(1.5)
Vì các vectơ
i
x
trực giao và
B
là ma trận đối xứng nên
( , ) ( , )
j i j i
ij ji
x Bx c Bx x c
. Chứng tỏ ma trận
ij
C c
là ma trận đối xứng.
Xét tổ hợp tuyến tính
1
k
i
i
i
a x
của các vectơ
1 2
, , ,
k
x x x
. Ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
