Ma trận xác định dương: Bài toán bảo toàn tuyến tính và tính đơn điệu của trung bình nhâ: Khóa luận toán học

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
HUỲNH ĐÌNH TUÂN
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG:
BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TRUNG BÌNH NHÂN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành : Đại số
Cán bộ hướng dẫn
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
Huế, tháng 5 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu
đáo của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự
kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản
thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt
quá trình học tập. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục
tìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy.
Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy
cô đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý
thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến
thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,
bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học
tập vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2011
Huỳnh Đình Tuân
ii

MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 3
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN 5
1 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG 6
1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận trực giao - ma trận
Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định dương . . . . . . . 8
1.3 Một số phép toán trên không gian các ma trận . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Căn bậc hai của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Một số bất đẳng thức ma trận và các tính chất liên quan đến ma
trận khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương . . . . 18
1.7 Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH 21
2.1 Bài toán bảo toàn tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Bảo toàn tuyến tính hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Bài toán bảo toàn định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Bảo toàn tuyến tính chuẩn và tập các ma trận Unita . . . . . . . . 24
2.5 Bảo toàn tuyến tính miền số học và bán kính số học . . . . . . . . . 25
2.6 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Toán tử tuyến tính xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n, 0, 0) . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Một số kết quả mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
3 TRUNG BÌNH NHÂN CỦA CÁC MA TRẬN 37
3.1 Trung bình của hai ma trận xác định dương và một số tính chất . . 37
3.2 Một số biểu diễn của trung bình nhân hai ma trận . . . . . . . . . . 40

3.3 Mở rộng khái niệm trung bình nhân bằng phương pháp quy nạp . . 43
3.4 Mở rộng khái niệm trung bình nhân dựa vào hình học Riemann . . 49
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57
2
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về ma trận xác định dương chiếm một vị trí quan trọng trong đại
số tuyến tính. Có nhiều định lý liên quan đến ma trận xác định dương đơn giản
song có ứng dụng lớn. Hiện nay, còn rất nhiều bài toán mở liên quan mật thiết đến
ma trận xác định dương.
Các bài toán bảo toàn tuyến tính là một hướng nghiên cứu sôi động trong
lý thuyết ma trận và lý thuyết toán tử. Các bài toán này đề cập đến các toán tử
bảo toàn một hàm, một tập con, một quan hệ nào đó trên không gian các ma trận.
Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Dù đã có
hàng trăm công trình trong lĩnh vực này nhưng vẫn còn rất nhiều vấn đề mở cần
được nghiên cứu, đặc biệt là bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính. Cho
đến nay, việc xác định tất cả các toán tử tuyến tính bảo toàn chỉ số (n, 0, 0), tức
bảo toàn tập các ma trận xác định dương vẫn nằm ngoài mọi hướng tiếp cận.
Trung bình ma trận là sự mở rộng khái niệm trung bình trên tập hợp các số
dương sang tập hợp các ma trận xác định dương. Đối với trung bình cộng và trung
bình điều hòa, việc mở rộng là đơn giản. Việc xây dựng khái niệm trung bình nhân
cho hai ma trận xác định dương đã được thực hiện. Khi người ta tìm cách mở rộng
khái niệm trung bình nhân cho trường hợp n ma trận xác định dương thì có nhiều
khó khăn nảy sinh. Hiện nay, có hai hướng tiếp cận chủ yếu đối với vấn đề này.
Nếu dựa vào phương pháp quy nạp, khái niệm trung bình nhân đưa ra quá phức
tạp. Một hướng khác đơn giản hơn là dựa vào hình học Riemann. Tuy vậy, đối với
phương pháp này, việc chứng minh tính đơn điệu của trung bình nhân vẫn còn là
một vấn đề mở.
Khóa luận nhằm mục tiêu tìm hiểu, hệ thống hóa các tính chất của ma trận
xác định dương, tổng quan các kết quả đã được nghiên cứu về bài toán bảo toàn

tuyến tính, các hướng xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận, phát triển
một số kết quả đã có về bài toán bảo toàn tập các ma trận xác định dương.
Nội dung của khóa luận chia làm ba chương.
Chương một hệ thống hóa các kiến thức về ma trận xác định dương, trình
bày một số kiến thức cần thiết cho các chương tiếp theo.
Chương hai tổng quan một số kết quả đạt được trong lĩnh vực bảo toàn tuyến
3
tính, các kết quả đạt được trong các đề tài khoa học đã thực hiện. Chương này
cũng trình bày một số kết quả mới về bài toán bảo toàn tính xác định dương.
Chương ba giới thiệu khái niệm trung bình ma trận, một số loại trung bình và
hai phương pháp xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận tổng quát: phương
pháp quy nạp và phương pháp dựa vào hình học Riemann.
4
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG
KHÓA LUẬN
A
t
Chuyển vị của ma trận A
A
∗
Chuyển vị liên hợp của ma trận A
Mat
m×n
(K) Không gian các ma trận cỡ m × n trên trường K
Mat
n
(K) Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường K
S
n
(R) Không gian các ma trận đối xứng thực cấp n

H
n
Không gian các ma trận Hermite cấp n
S
n
Không gian S
n
(R) hoặc không gian H
n
U
n
Không gian các ma trận tam giác trên cấp n
GL
n
(K) Nhóm các ma trận khả nghịch cấp n trên trường K
với phép nhân ma trận
O
n
Nhóm các ma trận trực giao cấp n
U
n
Nhóm các ma trận Unita cấp n
diag(a
1
, ··· , a
n
) Ma trận đường chéo với các phần từ a
1
, ··· , a
n

trên
đường chéo chính
.
2
Chuẩn phổ
.
∗
Chuẩn vết
.
F
Chuẩn Frobenius
S(A, B) Tích đối xứng của hai ma trận A, B
A ⊗ B Tích Tensor (tích Kronecker) của hai ma trận A, B
A ◦ B Tích Hadamard (tích Schur) của hai ma trận A, B
AB Trung bình nhân của hai ma trận A, B
log A Logarit tự nhiên của ma trận A
exp A Lũy thừa cơ số e của ma trận A
A
∼
=
B A và B tương đương Unita
A ∼ B A và B tương đẳng
5
Chương 1
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Trong chương này, chúng tôi nêu định nghĩa ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma
trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương và một số tính chất cơ bản. Chúng tôi tập
trung mô tả một số tính chất đặc trưng của ma trận xác định dương và một số kiến thức liên
quan đến ma trận xác định dương như: căn bậc hai của ma trận, phương trình ma trận, bất
đẳng thức ma trận, hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương. Chúng tôi

cũng giới thiệu tích đối xứng, tích Schur, tích Kronecker và các tính chất liên quan đến ma trận
xác định dương của chúng.
1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận
trực giao - ma trận Unita
Ma trận vuông A trên trường số thực R được gọi là đối xứng nếu A
t
= A. Ta
đã biết tập hợp S
n
(R) các ma trận đối xứng thực cấp n là không gian con của
không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số thực Mat
n
(R). Tương ứng
với khái niệm ma trận đối xứng trên trường số thực là khái niệm ma trận Hermite
trên trường số phức. Ma trận vuông A trên trường số phức C được gọi là Hermite
nếu A
∗
= A, ở đây ký hiệu A
∗
để chỉ chuyển vị liên hợp của ma trận A. Tương tự
tập hợp S
n
(R), tập hợp H
n
các ma trận Hermite cấp n tạo thành một không gian
con của không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức Mat
n
(C). Các
ma trận đối xứng và ma trận Hermite có một tính chất chung rất quan trọng, mọi
giá trị riêng của chúng đều là các số thực. Từ nay trở đi, ta sử dụng ký hiệu S

n
để
chỉ một trong hai không gian S
n
(R) hoặc H
n
.
Để khảo sát các tính chất của ma trận đối xứng và ma trận Hermite cũng như
một số tính chất khác, ta cần tìm hiểu thêm về ma trận trực giao và ma trận
Unita. Ma trận Q thuộc Mat
n
(R) được gọi là trực giao nếu Q
t
Q = I
n
. Tập hợp O
n
6
các ma trận trực giao cấp n trên trường số thực là nhóm con của nhóm GL
n
(R)
các ma trận thực khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận. Tương ứng với khái
niệm ma trận trực giao trên trường số thực là khái niệm ma trận Unita trên trường
số phức. Ma trận U thuộc Mat
n
(C) được gọi là Unita nếu U
∗
U = I
n
. Cũng vậy,

tập hợp U
n
các ma trận Unita cấp n trên trường số phức là nhóm con của nhóm
GL
n
(C) các ma trận phức khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận. Liên quan
đến khái niệm ma trận trực giao và ma trận Unita, hai định lý về chéo hóa ma
trận dưới đây đóng vai trò quan trọng.
Định lý 1.1.1. [10] (Định lý phân tích SVD đối với không gian phức) Cho ma trận
A ∈ Mat
m×n
(C). Khi đó tồn tại các ma trận Unita U ∈ Mat
m
(C), V ∈ Mat
n
(C)
và ma trận S ∈ Mat
m×n
(C), S = diag(σ
1
, ··· , σ
p
), σ
1
≥ σ
2
≥ ··· ≥ σ
p
, p =
min{m, n} sao cho A = USV .

Định lý 1.1.2. [10] (Định lý phân tích SVD đối với không gian thực) Cho ma
trận A ∈ Mat
m×n
(R). Khi đó tồn tại các ma trận trực giao P ∈ Mat
m
(R),
Q ∈ Mat
n
(R) và ma trận S ∈ Mat
m×n
(R) S = diag(σ
1
, ··· , σ
p
), σ
1
≥ σ
2
≥ ··· ≥
σ
p
, p = min{m, n} sao cho A = P SQ.
Các phần tử trên đường chéo của ma trận S trong hai định lý trên được gọi là
các giá trị kỳ dị của A. Đây có thể xem là một sự mở rộng khái niệm giá trị riêng
của các ma trận vuông. Trên các không gian S
n
(R) và H
n
, các định lý về chéo hóa
ma trận dưới đây sẽ được sử dụng nhiều trong khuôn khổ khóa luận này.

Định lý 1.1.3. [10] Cho A ∈ S
n
(R). Khi đó tồn tại ma trận trực giao Q ∈
Mat
n
(R) sao cho Q
t
AQ là ma trận chéo.
Định lý 1.1.4. [10] Cho A ∈ H
n
. Khi đó tồn tại ma trận Unita U ∈ Mat
n
(C)
sao cho U
∗
AU là ma trận chéo.
Dưới đây là một vài tính chất của các ma trận thuộc S
n
thu được từ các định
lý trên và chúng sẽ được nhắc đến trong các phần tiếp theo.
Định lý 1.1.5. [10] Cho A ∈ S
n
(R). Khi đó rank(A) = r khi và chỉ khi A =

r
i=1
k
i
x
i

x
t
i
, trong đó k
i
∈ {−1, 1} ∀ i = 1, 2, ··· , r và x
1
, ··· , x
r
là các vector độc
lập tuyến tính.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q
t
AQ = D =
diag(λ
1
, ··· , λ
n
), trong đó λ
1
, ··· , λ
n
là các giá trị riêng của A. Do rank(A) = r
7
nên tồn tại đúng r giá trị riêng của A khác không. Không mất tính tổng quát, giả
sử λ
1
, ··· , λ
r
là các giá trị riêng khác 0 của A, lúc đó

A = QDQ
t
=
r

i=1
Q(λ
i
e
i
e
T
i
)Q
t
=
r

i=1
sign(λ
i
)(

|λ
i
|Qe
i
)((

|λ

i
|Qe
i
)
t
.
Đặt x
i
=

|λ
i
|Qe
i
, k
i
= sign(λ
i
), ta có ngay A =

r
i=1
k
i
x
i
x
t
i
. Do Q khả nghịch

và e
1
, ··· , e
r
độc lập tuyến tính nên x
1
, ··· , x
r
độc lập tuyến tính.
Đảo lại, giả sử A =

r
i=1
k
i
x
i
x
t
i
, trong đó k
i
∈ {−1, 1} ∀i = 1, 2, ··· , r và
x
1
, ··· , x
r
là các vector độc lập tuyến tính. Bổ sung vào hệ {x
1
, ··· , x

r
} các vector
x
r +1
, ··· , x
n
để được cơ sở của R
n
. Đặt P = [x
1
x
2
···x
n
], ở đây các vector x
i
được viết theo cột, ta có P khả nghịch và A = Pdiag(k
1
, ··· , k
r
, 0, ··· , 0)P
t
. Vậy
rank(A) = r.
Định lý 1.1.6. Giả sử A ∈ S
n
(R), đặt W(A) = {x
t
Ax, ||x|| = 1}, khi đó ta có
W (A) = [λ

min
(A), λ
max
(A)].
Chứng minh. Giả sử λ
min
(A) = λ
1
≤ ··· ≤ λ
n
= λ
max
(A) là dãy không giảm
các giá trị riêng của A. Khi đó theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao
Q sao cho Q
t
AQ = D = diag(λ
1
, ··· , λ
n
). Đặt y = Q
t
x = (y
1
···y
n
)
t
, khi đó
y

2
1
+ ··· + y
2
n
= y
t
y = (Q
t
x)
t
(Q
t
x) = x
t
(QQ
t
)x = x
t
x = 1. Mặc khác ta có
x
t
Ax = x
t
QDQ
t
x = y
t
Dy = λ
1

y
2
1
+ ··· + λ
n
y
2
n
. Từ đây ta suy ra ngay điều cần
chứng minh.
Nhận xét 1.1.7. Nếu ta thay các cụm từ "ma trận trực giao", "chuyển vị" trong
các phát biểu trên không gian thực bởi các cụm từ "ma trận Unita", "chuyển vị
liên hợp" đối với không gian phức thì các tính chất trên vẫn còn đúng trên không
gian H
n
. Trong phần lớn các trường hợp thì các kết quả trên hai không gian này
là tương tự nhau. Do vậy trong các phát biểu và chứng minh, thông thường ta chỉ
xét trên không gian S
n
(R) hoặc H
n
mà thôi. Đối với các trường hợp có sự khác
biệt giữa hai không gian này, ta sẽ nói rõ cụ thể.
1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định
dương
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là ma trận trên không gian S
n
.
1. A được gọi là nửa xác định dương trên S
n

(R) nếu x
t
Ax ≥ 0 ∀ x ∈ R
n
.
8
2. A được gọi là xác định dương trên S
n
(R) nếu A là nửa xác định dương và
x
t
Ax = 0 ⇐⇒ x = 0.
3. A được gọi là nửa xác định dương trên H
n
nếu x
∗
Ax ≥ 0 ∀ x ∈ C
n
.
4. A được gọi là xác định dương trên H
n
nếu A là nửa xác định dương và
x
∗
Ax = 0 ⇐⇒ x = 0.
5. Ta dùng ký hiệu A ≥ 0 (A > 0) để chỉ ma trận A là nửa xác định dương (xác
định dương).
6. A được gọi là nửa xác định âm (xác định âm) nếu −A là nửa xác định dương
(xác định dương), kí hiệu A ≤ 0 (A < 0).
7. Nếu A −B > 0 (A −B ≥ 0) thì ta viết A > B (A ≥ B) hay B < A (B ≤ A).

8. Tập hợp các ma trận nửa xác định dương cấp n được ký hiệu là P
n
, tập hợp
các ma trận xác định dương cấp n được ký hiệu là P
n
.
Nhận xét 1.2.1. Từ định nghĩa ta thấy ngay một số tính chất sau
1. Quan hệ A ≥ B ⇐⇒ A −B ≥ 0 là quan hệ thứ tự trên S
n
.
2. P
n
là một nón lồi trong không gian S
n
.
3. P
n
là một nón lồi và là một tập mở trong không gian S
n
.
Tiếp theo ta tìm hiểu một số dấu hiệu nhận biết ma trận nửa xác định dương -
ma trận xác định dương. Để thuận tiện ta sẽ làm việc trên trên không gian S
n
(R).
Ta đã biết một số dấu hiệu quen thuộc sau để nhận biết các ma trận nửa xác định
dương - xác định dương:
1. A > 0 khi và chỉ khi A ≥ 0 và det(A) = 0.
2. A ≥ 0 (> 0) khi và chỉ khi các giá trị riêng của A không âm (dương).
3. A ≥ 0 (> 0) khi và chỉ khi các định thức con chính của A không âm (dương).
Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết các ma trận nửa xác định dương khi đã

biết hạng của chúng.
Định lý 1.2.2. [4] Cho A ≥ 0. Khi đó rank(A) = r khi và chỉ khi A =

r
i=1
x
i
x
t
i
,
trong đó x
1
, ··· , x
r
là các vector độc lập tuyến tính.
9
Chứng minh. Suy ra ngay từ Định lý 1.1.5
Định lý 1.2.3. [4] Cho A ≥ 0 và rank(A) = r. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch
W với A = W (

r
i=1
E
ii
)W
t
, trong đó E
ii
= e

i
e
t
i
với mọi i = 1, 2 ··· , n.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q
t
AQ =
D = diag(λ
1
, ··· , λ
r
, 0, ··· , 0) trong đó λ
i
= 0 với mọi i = 1, 2, ··· , r. Do A
là ma trận nửa xác định dương nên λ
i
> 0 với mọi i = 1, 2, ··· , r. Ta có A =
QDQ
t
= Q(

r
i=1
λ
i
E
ii
)Q
t

. Đặt K = diag(
√
λ
1
, ··· ,
√
λ
r
, 1, ··· , 1), thế thì K khả
nghịch và A = QK(

r
i=1
E
ii
)KQ
t
= W (

r
i=1
E
ii
)W
t
với W = QK là ma trận
khả nghịch.
Hệ quả 1.2.4. [4] Nếu A ≥ 0 thì tồn tại ma trận W sao cho A = WW
t
. Nếu A

xác định dương thì W khả nghịch.
Hơn thế nữa, người ta còn chứng minh được nếu A ≥ 0 thì có thể biểu diễn
A = UU
t
, trong đó U là ma trận nửa tam giác trên và diag(U) ≥ 0. Biểu diễn này
được gọi là phân tích Cholesky của ma trận A.
Định lý 1.2.5. [4] A = (a
ij
)
n×n
nửa xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các
vector x
1
, ··· , x
n
sao cho a
ij
= x
i
, x
j
 ∀ i, j = 1, 2, ··· , n. A > 0 khi và chỉ khi
{x
1
, ··· , x
n
} độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử có các vector x
1
, ··· , x

n
sao cho a
ij
= x
i
, x
j
 ∀ i, j =
1, 2, ··· , n. Đặt P = [x
1
, ··· , x
n
] ta có A = P
t
P , do đó A ≥ 0. Đảo lại, nếu A ≥ 0,
ta viết A = Q
t
DQ, trong đó Q là ma trận trực giao và D = diag(λ
1
, ··· , λ
n
), ở đây
λ
i
> 0, i = 1, ··· , n . Đặt A
1
2
= Q
t
diag(

√
λ
1
, ··· ,
√
λ
n
)Q, x
j
= A
1
2
e
j
, j = 1, ··· , n
ta có
a
ij
= e
i
, Ae
j
 = A
1
2
e
i
, A
1
2

e
j
 = x
i
, x
j
.
Trong phần tiếp theo, ta tìm hiểu một số tính chất về chéo hóa của các ma trận
xác định dương.
Định lý 1.2.6. Giả sử A, B ∈ S
n
(R), A > 0. Khi đó tồn tại ma trận W khả nghịch
để W
t
AW = I
n
, W
t
BW = diag(λ
1
, ··· , λ
n
). Hơn nữa {λ
1
, ··· , λ
n
} chính là tập
các giá trị riêng của ma trận A
−1
B.

Chứng minh. Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q
t
AQ =
D = diag(α
1
, ··· , α
n
). Do A là ma trận xác định dương nên α
i
> 0 với mọi
10
i = 1, 2, ··· , n. Đặt K = diag(
1
√
α
1
, ··· ,
1
√
α
n
), khi đó ta có K
t
Q
t
AQK = I
n
.
Đặt B


= K
t
Q
t
BQK, theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao P sao cho
P
T
B

P = diag(λ
1
, ··· , λ
n
). Ma trận W = QKP thỏa mãn các yêu cầu đặt ra ban
đầu.
Do W
t
AW = I
n
, W
t
BW = diag(λ
1
, ··· , λ
n
) nên W
−1
(A
−1
B)W = diag(λ

1
, ··· , λ
n
).
Vậy {λ
1
, ··· , λ
n
} chính là tập các giá trị riêng của ma trận A
−1
B.
Định lý 1.2.7. [10] Giả sử A, B ∈ S
n
(R), A > 0. Khi đó ma trận AB chéo hóa
được và có số giá trị riêng dương, âm, bằng không như ma trận B .
Chứng minh. Tương tự chứng minh Định lý 1.2.5, ta đặt A = (A
1
2
)
2
. Khi đó ma
trận AB đồng dạng với ma trận (A
1
2
)
−1
(AB)A
1
2
= A

1
2
BA
1
2
. Với mọi vector x ∈ R
n
thì tồn tại vector y để x = A
1
2
y và khi đó x
t
Bx = y
t
(A
1
2
BA
1
2
)y. Vậy ma trận AB
chéo hóa được và có số giá trị riêng dương, âm, bằng không như ma trận B.
Dưới đây là một số tính chất liên quan đến ma trận nửa xác định dương - xác
định dương được sử dụng trong các phần tiếp theo của khóa luận này.
Mệnh đề 1.2.8. Giả sử A ∈ S
n
(R) là ma trận nửa xác định dương và diag(A) > 0.
Khi đó tồn tại vector x ∈ R
n
sao cho mọi thành phần của x đều khác 0 và ma trận

nửa xác định dương B ∈ S
n
(R) để A = xx
t
+ B.
Chứng minh. Giả sử x
i
= (x
i1
, ··· , x
in
). Đặt u
1
= α
1
x
1
+ β
1
x
2
= (u
11
, ··· , u
1n
),
v
1
= β
1

x
1
− α
1
x
2
, ở đây α
1
, β
1
được chọn sao cho α
1
, β
1
> 0, α
2
1
+ β
2
1
= 1 và nếu
x
1k
= 0 hoặc x
2k
= 0 thì u
1k
= 0. Hiển nhiên ta có u
1
u

t
1
+ v
1
v
t
1
= x
1
x
t
1
+ x
2
x
t
2
.
Tương tự đặt u
2
= α
2
u
1
+ β
2
x
3
và tiếp tục quá trình trên ta được A = u
r − 1

u
t
r−1
+

r − 1
i=1
v
i
v
t
i
. Đặt x = u
r − 1
và B =

r − 1
i=1
v
i
v
t
i
ta có đpcm.
Mệnh đề 1.2.9. Giả sử B ∈ S
n
(R).
1. Nếu B ∈ P
n
, B = 0 thì với mọi ma trận xác định dương A ∈ S

n
(R) ta có
tr(AB) > 0.
2. Nếu B /∈ P
n
thì tồn tại ma trận A ∈ S
n
(R), A > 0 sao cho tr(AB) < 0.
Chứng minh. 1. Theo Hệ quả 1.2.4 tồn tại ma trận khả nghịch W sao cho A =
W W
t
. Ta có AB ∼ W
−1
ABW = W
t
BW . Do B là ma trận nửa xác định dương
khác 0 nên W
t
BW cũng là ma trận nửa xác định dương khác 0. Do vậy tr(AB) =
tr(W
t
BW ) > 0.
2. Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho D = Q
−1
BQ là ma trận
chéo. Do B không phải là ma trận nửa xác định dương nên tồn tại phần tử λ
i
< 0
11
trên đường chéo chính của D. Chọn ma trận chéo C > 0 sao cho tr(CD) < 0. Đặt

A = QCQ
−1
ta có A > 0 và tr(AB) = tr(Q
−1
AQQ
−1
BQ) = tr(CD) < 0.
Mệnh đề 1.2.10. Nếu A, B ∈ S
n
(R) là các ma trận xác định dương thì tồn tại số
thực dương α sao cho A > αB.
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.6, tồn tại ma trận W khả nghịch để W AW
t
=
I
n
, WBW
t
= diag(λ
1
, ··· , λ
n
). Chọn α là số thực dương nhỏ hơn
1
λ
min
, ở đây
λ
min
= min{λ

i
, i = 1, ··· , n} ta có A > αB.
1.3 Một số phép toán trên không gian các ma trận
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử A, B là các ma trận thuộc Mat
n
(R). Tích đối xứng
của A, B, ký hiệu S(A, B) được xác định bởi
S(A, B) = AB + BA.
Nhận xét 1.3.1. Nếu A, B là các ma trận đối xứng thì S(A, B) cũng là ma trận đối
xứng. Tuy vậy, nếu A > 0, B > 0 thì chưa chắc S(A, B) ≥ 0. Thực vậy, với
A =

1 0
0 

, B =

1 α
α 1

trong đó  là số dương đủ nhỏ và α gần bằng 1 ta có A > 0, B > 0 nhưng
S(A, B) =

2 α(1 + )
α(1 + ) 2

không phải là ma trận nửa xác định dương.
Định lý 1.3.2. [4] Giả sử A, B ∈ S
n
(R), A > 0. Nếu S(A, B) > 0 (≥ 0) thì

B > 0 (B ≥ 0).
Chứng minh. Giả sử B = Q
t
diag(β
1
, ··· , β
n
)Q, trong đó Q là ma trận trực giao.
Đặt S

= Q
t
S(A, B)Q, A

= Q
t
AQ và gọi s

ii
, a

ii
là phần tử thứ i trên đường chéo
chính của S

và A

. Ta có S

= A


diag(β
1
, ··· , β
n
) + diag(β
1
, ··· , β
n
)A

, do vậy
s

ii
= 2β
i
a

ii
, i = 1, ··· , n. Do S

≥ 0, A

> 0 nên s

ii
≥ 0, a

ii

> 0, i = 1, ··· , n.
Vậy β
i
≥ 0, i = 1, ··· , n, suy ra B ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2. Cho A = (a
ij
)
m×n
, B = (b
ij
)
m×n
là hai ma trận thuộc
Mat
m×n
(K). Tích Hadamard (tích Schur) giữa A và B, ký hiệu A ◦ B được định
nghĩa bởi
A ◦ B = (a
ij
b
ij
)
m×n
.
12
Định lý 1.3.3. [10] (Định lý Schur) Nếu A ≥ 0, B ≥ 0 thì A ◦B ≥ 0.
Chứng minh. Giả sử rank(A) = r, rank(B) = s, khi đó tồn tại r vector độc lập
tuyến tính x
1
, ··· , x

r
, tồn tại s vector độc lập tuyến tính y
1
, ··· , y
s
sao cho A =

r
i=1
x
i
x
t
i
, B =

s
i=1
y
i
y
t
i
. Ta có
A ◦ B =
r

i=1
x
i

x
t
i
◦
s

i=1
y
i
y
t
i
=

i,j
(x
i
x
t
i
) ◦ (y
j
y
t
j
) =

i,j
(x
i

◦ y
j
)(x
i
◦ y
j
)
t
≥ 0
(do mỗi thành phần của tổng

i,j
(x
i
◦ y
j
)(x
i
◦ y
j
)
t
đều là các ma trận nửa xác
định dương).
Hơn thế nữa chúng ta có
Mệnh đề 1.3.4. Nếu A > 0, B ≥ 0, diag(B) > 0 thì A ◦ B > 0.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.8 tồn tại vector x ∈ R sao cho mọi thành phần
của x đều khác 0 và ma trận nửa xác định dương C ∈ S
n
(R) để B = xx

t
+ C. Do
A là ma trận xác định dương nên tồn tại n vector độc lập tuyến tính x
1
, ··· , x
n
sao cho A =

n
i=1
x
i
x
t
i
. Ta có A ◦(xx
t
) =

n
i=1
x
i
x
t
i
◦(xx
T
) =


n
i=1
(x
i
◦x)
t
. Ta sẽ
chỉ ra các vector x
1
◦ x, ··· , x
n
◦ x là độc lập tuyến tính. Thực vậy, xét biểu thức

n
i=1
α
i
(x
i
◦ x) = 0, α
i
∈ R, i = 1, ··· , n ta có
n

i=1
α
i
(x
i
◦ x) = 0 ⇐⇒ (

n

i=1
α
i
x
i
) ◦ x = 0
⇐⇒
n

i=1
α
i
x
i
= 0
⇐⇒ α
1
= ··· = α
n
= 0.
Điều này chứng tỏ x
1
◦ x, ··· , x
n
◦ x độc lập tuyến tính, suy ra ma trận A ◦ xx
t
xác định dương. Do C ≥ 0 nên A ◦ C ≥ 0. Từ đó A ◦ B = A ◦ (xx
t

+ C) =
A ◦ xx
t
+ A ◦ C > 0. Vậy A ◦B là ma trận xác định dương.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu B không phải là ma trận nửa xác định dương trên S
n
(R)
thì tồn tại ma trận A xác định dương trên S
n
(R) sao cho A ◦B không phải là ma
trận xác định dương.
Chứng minh. Do B không phải là ma trận xác định dương nên tồn tại x ∈ R
n
sao
cho x
t
Bx < 0. Với mỗi  ∈ R đặt A

= (1)
n
+ I
n
,trong đó (1)
n
là ma trận vuông
cấp n với mọi phần tử đều là 1. Khi đó A

là ma trận xác định dương với mọi
 > 0. Ta có A


◦B = (1)
n
◦B + I
n
◦B = B + diag(B), trong đó diag(B) là ma
13
trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính tương ứng là các phần tử
trên đường chéo chính của B. Chọn  > 0 đủ bé sao cho x
t
Bx + x
t
diag(B)x < 0,
khi đó A

xác định dương và A

◦ B không xác định dương do tồn tại x ∈ R sao
cho x
t
(A

◦ B)x < 0.
Định nghĩa 1.3.3. Cho A = (a
ij
)
m×n
∈ Mat
m×n
(R), B = (b
ij

)
p×q
∈ Mat
p×q
(R).
Tích Tensor (tích Kronecker) của A và B, ký hiệu A ⊗B được xác định bởi
A ⊗ B =







a
11
B ··· a
1n
B
a
21
B ··· a
2n
B
···
a
m1
B ··· a
mn
B








.
Nhận xét 1.3.6. Giả sử A ∈ Mat
n
(R) có các giá trị riêng λ
i
, i = 1, ··· , n, B ∈
Mat
m
(R) có các giá trị riêng µ
j
, j = 1, ··· , m. Khi đó tập các giá trị riêng của
A ⊗ B là {λ
i
µ
j
, i = 1, ··· , n, j = 1, ··· , m}. Từ đây ta thấy ngay nếu A, B là các
ma trận nửa xác định dương thì A ⊗ B cũng là ma trận nửa xác định dương.
1.4 Căn bậc hai của ma trận
Trong mục này, ta chỉ tìm hiểu sơ lược về căn bậc hai của của ma trận trong
một số trường hợp đặc biệt. Để hiểu sâu hơn lý thuyết về căn bậc n của ma trận
tổng quát, có thể tham khảo trong [11].
Định lý 1.4.1. [4] Cho A ∈ S
n

(R). A ≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại duy nhất ma trận
B ∈ S
n
(R), B ≥ 0 sao cho A = B
2
.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.3 ta có A = Q
t
DQ, trong đó Q là ma trận trực giao,
D = diag(λ
1
, ··· , λ
n
), λ
i
≥ 0, i = 1, ··· , n. Đặt B = Q
t
diag(
√
λ
1
, ··· ,
√
λ
n
)Q, ta
có ngay B ∈ S
n
(R), B ≥ 0 và B
2

= A. Giả sử có ma trận C ≥ 0, C ∈ S
n
(R)
để C
2
= A, đặt C

= QCQ
t
ta có ngay C
2
= D. Do vậy, tồn tại ma trận trực
giao W sao cho C

= W
t
diag(
√
λ
1
, ··· ,
√
λ
n
)W . Từ C
2
= D ta có W
t
DW = D,
suy ra C


= W
t
diag(
√
λ
1
, ··· ,
√
λ
n
)W = diag(
√
λ
1
, ··· ,
√
λ
n
). Vậy B = C. Ta có
đpcm.
Định nghĩa 1.4.1. Ma trận B trong Định lý 1.4.1 được gọi là căn bậc hai của
ma trận A, ký hiệu A
1
2
.
Nhận xét 1.4.2. Hoàn toàn tương tự ta có thể đưa ra khái niệm căn bậc n của ma
trận nửa xác định dương. Hơn thế nữa, có thể chứng minh rằng nếu A ∈ Mat
n
(R)

14
là ma trận chéo hóa được có các giá trị riêng không âm thì tồn tại duy nhất ma
trận B ∈ Mat
n
(R) có các giá trị riêng không âm để A = B
2
. Ma trận B trong
trường hợp này cũng được gọi là căn bậc hai của ma trận A, ký hiệu A
1
2
.
1.5 Một số bất đẳng thức ma trận và các tính chất
liên quan đến ma trận khối
Cũng như bất đẳng thức số, các bất đẳng thức ma trận là một lĩnh vực rất
phong phú. Tuy vậy, giữa chúng cũng có nhiều sự khác biệt nhất định. Một số bất
đẳng thức không còn đúng trong trường hợp ma trận. Trong mục này, chúng tôi
chỉ trình bày một số bất đẳng thức đơn giản. Một vài bất đẳng thức thú vị khác
sẽ được giới thiệu trong chương 3.
Mệnh đề 1.5.1. [4] Nếu A, B là các ma trận xác định dương và A > B thì
A
1
2
> B
1
2
.
Chứng minh. Đặt X = A
1
2
, Y = B

1
2
ta có
A − B = X
2
− Y
2
=
1
2
S(X + Y, X − Y ).
Do X + Y > 0, X
2
− Y
2
> 0 nên theo Định lý 1.3.2 ta có X −Y > 0.
Nhận xét 1.5.2. Nếu A ≥ B ≥ 0 thì chưa chắc A
2
≥ B
2
. Thực vậy, với
A =

2 1
1 1

, B =

1 1
1 1


ta có ngay A ≥ B ≥ 0 nhưng
A
2
− B
2
=

3 1
1 0

 0.
Mệnh đề 1.5.3. [4] Nếu A, B là các ma trận nửa xác định dương thì A ≥ B khi
và chỉ khi A
−1
≤ B
−1
.
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.6, tồn tại ma trận W khả nghịch sao cho W
t
AW =
I
n
, W
t
BW = D , ở đây D là ma trận chéo. Ta có A ≥ B ⇔ I
n
≥ D ⇔ I
n
≤ D

−1
⇔
A
−1
≤ B
−1
.
Định nghĩa 1.5.1. Toán tử A ∈ Mat
n
(K) được gọi là co nếu A ≤ 1.
Mệnh đề 1.5.4. [4] Toán tử A ∈ Mat
n
(C) co khi và chỉ khi

I A
A
∗
I

≥ 0.
15
Chứng minh. Giả sử phân tích SVD của ma trận A là A = USV , S = diag(s
1
, ··· , s
n
).
khi đó ta có

I A
A

∗
I

=

I USV
V
∗
SU
∗
I

=

U O
O V
∗

I S
S I

U
∗
O
O V

∼
=

I S

S I

.
Hiển nhiên ma trận

I S
S I

tương đương Unita với ma trận

1 s
1
s
1
1

⊕

1 s
2
s
2
1

⊕ ··· ⊕

1 s
n
s
n

1

.
Vậy

I A
A
∗
I

≥ 0 khi và chỉ khi s
i
≤ 1, i = 1, ··· , n . Nói cách khác,

I A
A
∗
I

≥ 0
khi và chỉ khi A là toán tử co.
Mệnh đề 1.5.5. [4] Giả sử A, B là các ma trận nửa xác định dương. Khi đó

A X
X
∗
B

≥ 0 khi và chỉ khi tồn tại toán tử co K để X = A
1

2
KB
1
2
.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh bài toán với A, B là các ma trận xác định
dương. Với giả thiết này ta có

A X
X
∗
B

∼

A
−
1
2
O
O B
−
1
2

A X
X
∗
B


A
−
1
2
O
O B
−
1
2

=

I A
−
1
2
XB
−
1
2
B
−
1
2
X
∗
A
−
1
2

I

.
Đặt K = A
−
1
2
XB
−
1
2
, theo Mệnh đề 1.5.4 ta có ngay đpcm.
Trong trường hợp A, B là các ma trận nửa xác định dương, áp dụng kết quả trên
đối với các ma trận xác định dương A + I
n
, B + I
n
,  > 0 và cho  dần về 0 ta
thu được kết quả bài toán.
Mệnh đề 1.5.6. [4] Giả sử A, B là các ma trận xác định dương. Khi đó

A X
X
∗
B

≥
0 khi và chỉ khi A ≥ XB
−1
X

∗
.
Chứng minh. Ta có

A X
X
∗
B

∼

I −XB
−1
O I

A X
X
∗
B

I O
−B
−1
X
∗
I

=

A − XB

−1
X
∗
O
O B

.
Do B > 0 nên

A X
X
∗
B

≥ 0 khi và chỉ khi A ≥ XB
−1
X
∗
.
16
Dưới đây là một vài kết quả được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên.
Hệ quả 1.5.7. [4] Nếu A > 0 thì

A I
I A
−1

≥ 0
Hệ quả 1.5.8. [4] Giả sử B là ma trận xác định dương và X là ma trận bất kỳ,
khi đó ta có

XB
−1
X
∗
= min

A :

A X
X
∗
B

≥ 0

.
Hệ quả 1.5.9. [4] Giả sử A, B là các ma trận nửa xác định dương và X là ma
trận bất kỳ, khi đó ta có
A − XB
−1
X
∗
= max

Y :

A X
X
∗
B


≥

Y O
O O


.
Mệnh đề 1.5.10. [4] Giả sử A, B là các ma trận xác định dương, khi đó ta có

A + B
2

−1
≤
A
−1
+ B
−1
2
.
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.5.7 ta có

A I
I A
−1

≥ 0,

B I

I B
−1

≥ 0. Do vậy

A + B 2I
2I A
−1
+ B
−1

cũng là ma trận nửa xác định dương. Theo Mệnh đề 1.5.6
ta có A
−1
+ B
−1
≥ 4(A + B)
−1
, hay

A + B
2

−1
≤
A
−1
+ B
−1
2

.
Mệnh đề 1.5.11. [10] (Bất đẳng thức Fiedler) Nếu A là ma trận xác định dương
cấp n thì A ◦ A
−1
≥ I
n
.
Chứng minh. Với các ma trận xác định dương A, B bất kỳ, theo Hệ quả 1.5.7 thì

A I
I A
−1

≥ 0,

B I
I B
−1

≥ 0. Theo Định lý 1.3.3 ta có

A ◦ B I
I A ◦ B

≥ 0.
Theo Mệnh đề 1.5.6 ta có A ◦ B ≥ (A
−1
◦ B
−1
)

−1
. Thay B = A
−1
vào bất đẳng
thức trên ta được
A ◦ A
−1
≥ (A
−1
◦ A)
−1
= (A ◦A
−1
)
−1
.
Vậy A ◦A
−1
≥ I
n
.
17
1.6 Hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận
xác định dương
Hàm ma trận và các tính chất lồi, lõm, đơn điệu của nó có thể xem là sự tổng
quát hóa hàm số và các tính chất. Lý thuyết tương đối hoàn chỉnh về hàm ma trận
có thể được tìm thấy trong [11].
Định nghĩa 1.6.1. Ánh xạ f : S
n
−→ S

n
được gọi là lồi nếu
f((1 − α)A + αB) ≤ (1 − α)f(A) + αf (B) ∀ A, B ∈ S
n
, ∀ α ∈ [0, 1]. (1.6.1)
Định nghĩa 1.6.2. Ánh xạ f : S
n
−→ S
n
được gọi là lõm nếu
f((1 − α)A + αB) ≥ (1 − α)f(A) + αf (B) ∀ A, B ∈ S
n
, ∀ α ∈ [0, 1]. (1.6.2)
Tương tự trong trường hợp hàm số, nếu hàm ma trận f là liên tục thì f lồi
(lõm) khi và chỉ khi f

A + B
2

≤ (≥)
f(A) + f(B)
2
∀ A, B ∈ S
n
.
Nhận xét 1.6.1. Nếu K là tập con của S
n
thì ta gọi f là lồi (lõm) trên K nếu bất
đẳng thức (1.6.1) ((1.6.2)) đúng với mọi A, B ∈ K.
Ví dụ 1.6.2. Theo Mệnh đề 1.5.10 với mọi ma trận xác định dương A, B ta có


A + B
2

−1
≤
A
−1
+ B
−1
2
.
Do vậy ánh xạ f : A −→ A
−1
lồi trên tập P
n
.
Ví dụ 1.6.3. Ánh xạ f : A −→ A
2
lồi trên tập P
n
.
Mệnh đề 1.6.4. [4] Ánh xạ f : P
n
× Mat
n
(C) −→ P
n
, (B, X) −→ XB
−1

X
∗
lồi
theo cả hai biến B và X.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.5.6 với các ma trận B
1
, B
2
∈ P
n
, X
1
, X
2
∈ Mat
n
(C)
ta có

X
1
B
−1
1
X
∗
1
X
1
X

∗
1
B
1

≥ 0,

X
2
B
−1
2
X
∗
2
X
2
X
∗
2
B
2

≥ 0.
Do vậy



X
1

B
−1
1
X
∗
1
+ X
2
B
−1
2
X
∗
2
2
X
1
+ X
2
2

X
1
+ X
2
2

∗
B
1

+ B
2
2



≥ 0.
Lại theo Mệnh đề 1.5.6 ta có
1
2
(X
1
B
−1
1
X
∗
1
+ X
2
B
−1
2
X
∗
2
) ≥

X
1

+ X
2
2

B
1
+ B
2
2

−1

X
1
+ X
2
2

∗
.
Bất đẳng thức trên chứng tỏ f lồi theo cả hai biến.
18
Định nghĩa 1.6.3. Ánh xạ f : S
n
−→ S
n
được gọi là đơn điệu tăng (giảm) nếu
với mọi A, B ∈ S
n
, A ≥ B =⇒ f(A) ≥ (≤)f(B). Ánh xạ đơn điệu tăng, giảm gọi

chung là ánh xạ đơn điệu.
Ví dụ 1.6.5. Ánh xạ A −→ A
1
2
đơn điệu tăng trên P
n
, trong khi ánh xạ A −→ A
2
không phải là hàm đơn điệu trên P
n
.
Mệnh đề 1.6.6. [4] Ánh xạ f : P
n
×P
n
×S
n
−→ S
n
, (A, B, X) −→ A −XB
−1
X
∗
lõm theo cả ba biến A, B, X và đơn điệu tăng theo các biến A, B.
Mệnh đề 1.6.7. [4] Ánh xạ f(A) = A
r
trên P
n
đơn điệu nếu 0 ≤ r ≤ 1 và lồi
nếu 1 ≤ r ≤ 2.

1.7 Phương trình ma trận
Phương trình ma trận ẩn X có dạng f(X) = A, trong đó f : Mat
n
(K) −→
Mat
n
(K), X −→ f(X) là một ánh xạ trên không gian các ma trận cấp n.
Ví dụ 1.7.1. Phương trình Lyapunov là phương trình ma trận có dạng
A
∗
X + XA = W. (1.7.1)
Người ta chứng minh được rằng nếu các giá trị phổ của A nằm trong nửa mặt
phẳng bên phải thì phương trình Lyapunov (1.7.1) có duy nhất nghiệm. Hơn thế
nữa, nếu W là ma trận nửa xác định dương thì nghiệm của phương trình trên cũng
là nửa xác định dương.
Trong trường hợp A = diag(α
1
, ··· , α
n
) thì nghiệm của phương trình Lyapunov
được cho bởi công thức
X =

1
α
i
+ α
j

n×n

◦ W. (1.7.2)
Ví dụ 1.7.2. Phương trình Stein là phương trình ma trận có dạng
X − F
∗
XF = W. (1.7.3)
Nếu các giá trị phổ của F chứa trong hình cầu mở đơn vị thì phương trình Stein
(1.7.3) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức
X =
∞

m=0
F
∗m
W F
m
. (1.7.4)
Trong trường hợp F = diag(β
1
, ··· , β
n
) thì nghiệm của phương trình Stein được
cho bởi công thức
X =

1
1 − β
i
β
j


n×n
◦ W. (1.7.5)
19
Phương trình ma trận Riccati dưới đây đóng vai trò quan trọng trong các khảo
sát ở chương 3.
Định nghĩa 1.7.1. Phương trình Riccati là phương trình ma trận có dạng
XAX = B. (1.7.6)
Mệnh đề 1.7.3. [4] Nếu A > 0, B ≥ 0 thì nghiệm nửa xác định dương của phương
trình Riccati (1.7.6) tồn tại duy nhất và được cho bởi công thức
X = A
−
1
2
(A
1
2
BA
1
2
)
1
2
A
−
1
2
. (1.7.7)
Chứng minh. Từ phương trình (1.7.6) ta có
A
1

2
XAXA
1
2
= A
1
2
BA
1
2
.
Lấy căn bậc hai hai vế ta thu được
A
1
2
XA
1
2
= (A
1
2
BA
1
2
)
1
2
.
Vậy nghiệm nửa xác định dương của phương trình (1.7.6) tồn tại duy nhất và
được cho bởi công thức (1.7.7).

20
Chương 2
BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lớp bài toán bảo toàn tuyến tính, đặc biệt là lớp
bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính. Chúng tôi tổng quan một số kết quả trong
lĩnh vực này và giới thiệu một số kết quả đạt được trong các đề tài thực hiện trong các năm
2009, 2010. Trong quá trình thực hiện khóa luận, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả
mới. Cụ thể, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ để toán tử tuyến tính hạng 3 bảo toàn chỉ số
(n, 0, 0). Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một lớp toán tử hạng r bảo toàn chỉ số này.
2.1 Bài toán bảo toàn tuyến tính
Các bài toán bảo toàn tuyến tính là một hướng nghiên cứu sôi động trong lĩnh
vực toán tử và lĩnh vực ma trận. Các bài toán này đề cập đến các toán tử bảo
toàn trong không gian các ma trận hay toán tử. Các bài toán bảo toàn có thể là
bảo toàn một hàm, một tập con, một quan hệ. Bài báo đầu tiên đề cập đến vấn
đề này xuất hiện năm 1897. Kể từ đó đến nay, rất nhiều những công trình ra đời
nhằm trả lời cho loại câu hỏi này. Hiện nay lĩnh vực này đang thu hút nhiều nhà
toán học quan tâm, nổi bật là Chi-Kwong Li và Stephen Pierce. Vẫn đang còn rất
nhiều vấn đề mở cần nghiên cứu về bài toán bảo toàn tuyến tính, đặc biệt là bài
toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính. Trong lớp bài toán này, bài toán bảo
toàn chỉ số (n, 0, 0), tức bài toàn bảo toàn tính xác định dương hiện nay vẫn nằm
ngoài mọi cách tiếp cận.
Trong phần này, ta giả sử T : Mat
m×n
(K) −→ Mat
m×n
(K) là một toán tử
tuyến tính. Trước hết, chúng ta sẽ đề cập đến ba vấn đề bảo toàn tuyến tính quan
trọng.
21
Bảo toàn tuyến tính hàm

Toán tử tuyến tính T gọi là bảo toàn hàm f : Mat
m×n
(K) −→ K nếu f(A) =
f(T (A)) với mọi A ∈ Mat
m×n
(K). Chẳng hạn khi f = det và Mat
m×n
(K) ≡
Mat
n
(K), ta có bài toán bảo toàn định thức.
Bảo toàn tuyến tính tập con
Giả sử ξ là một tập con của Mat
m×n
(K). Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo
toàn tập ξ nếu T (ξ) ⊆ ξ. Chẳng hạn khi Mat
m×n
(K) ≡ Mat
n
(C) và ξ là nhóm
các ma trận unita U
n
, ta có bài toán bảo toàn nhóm U
n
.
Bảo toàn tuyến tính một quan hệ hoặc quan hệ tương đương
Giả sử Φ là một quan hệ hay là một quan hệ tương đương trên Mat
m×n
(K).
Toán tử tuyến tính T gọi là bảo toàn quan hệ Φ nếu T (A)ΦT (B) khi AΦB hoặc

T (A)ΦT (B) khi và chỉ khi AΦB. Chẳng hạn ở đây quan hệ Φ được định nghĩa bởi
AΦB khi AB = BA.
Trong phần tiếp theo, ta tìm hiểu sơ lược một số dạng bài toán bảo toàn tuyến
tính và các kết quả đã biết.
2.2 Bảo toàn tuyến tính hạng của ma trận
Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo toàn hạng k nếu với mọi ma trận A thuộc
Mat
m×n
(K) sao cho rank(A) = k ta có rank(T (A)) = k. Đối với bài toàn bảo toàn
hạng 1, người ta đã giải quyết trên không gian Mat
m×n
(K), với K là trường đại số
đóng với đặc số bằng 0. Năm 1959, Marus và Moyls chứng minh được định lý sau
Định lý 2.2.1. [13] Giả sử T là một toán tử tuyến tính bảo toàn hạng 1 trên
Mat
n
(C), khi đó tồn tại hai ma trận khả nghịch P và Q sao cho
T (A) = P AQ, ∀ A ∈ Mat
n
(C), (2.2.1)
hoặc
T (A) = P A
t
Q, ∀ A ∈ Mat
n
(C). (2.2.2)
Trong trường hợp T là toán tử tuyến tính trên Mat
m×n
(C), m = n, người ta
chứng minh được rằng T có dạng (2.2.1) với P ∈ Mat

m
(C), Q ∈ Mat
n
(C) là các
ma trận khả nghịch.
Người ta còn xét bài toán bảo toàn hạng 1 trên các không gian khác và thu được
22
nhiều kết quả thú vị. Chẳng hạn xét trên không gian các ma trận Hermite cấp n
ta có kết quả sau
Định lý 2.2.2. [7] Xét T là toán tử tuyến tính trên H
n
bảo toàn hạng 1. Giả sử
tồn tại một ma trận Hermite có ảnh là khả nghịch. Khi đó tồn tại một ma trận
khả nghịch S trên Mat
n
(C) và ε ∈ {−1, 1} sao cho
T (A) = εSAS
∗
, ∀ A ∈ H
n
,
hoặc
T (A) = εSA
t
S
∗
, ∀ A ∈ H
n
.
Bài toán bảo toàn hạng k đã được giải quyết trong trường hợp Mat

n
(C). Một
toán tử tuyến tính bảo toàn hạng k trên Mat
n
(C) sẽ có dạng (2.2.1) hoặc (2.2.2).
2.3 Bài toán bảo toàn định thức
Toán tử tuyến tính T trên Mat
n
(C) được gọi là bảo toàn định thức nếu det(A) =
det(T (A)) với mọi ma trận A ∈ Mat
n
(C).
Bài toán bảo toàn định thức là bài toán được đề cập đầu tiên trong lĩnh vực
bảo toàn tuyến tính và đã được giải quyết triệt để vào năm 1897 bởi Ferdinand
Georg Frobenius (1849 - 1917).
Định lý 2.3.1. [13] Giả sử T là một toán tử tuyến tính bảo toàn định thức trên
Mat
n
(C), khi đó tồn tại hai ma trận nghịch đảo P và Q với det(P Q) = 1 sao cho
T (A) = P AQ, ∀ A ∈ Mat
n
(C),
hoặc
T (A) = P A
t
Q, ∀ A ∈ Mat
n
(C).
Chúng ta thấy rằng dạng của toán tử tuyến tính bảo toàn định thức và bảo toàn
hạng 1 trên Mat

n
(C) là hoàn toàn giống nhau. Thực ra hoàn toàn có thể quy bài
toán bảo toàn định thức về bài toán bảo toàn hạng 1. Đối với bài toán bảo toàn
định thức, người ta còn quan tâm đến những toán tử T thỏa mãn
det(A + λB) = det(T (A) + λT (B)), ∀ A, B ∈ Mat
n
(C), ∀ λ ∈ C. (2.3.1)
Năm 2002, Dolinar và Semrl chỉ ra rằng nếu toán tử T toàn ánh và đồng thời
thỏa mãn (2.3.1) thì T là tuyến tính. Theo công trình mới của Wang Fei, có thể
bỏ đi giả thiết T toàn ánh.
23