phương trình lượng giác Hocmai.vn Phan Huy Khải

2010.20.08-De_bai-PT_bac_nhat_dv_sin_cos.doc
010.20.08-Dap_an-PT_bac_nhat_dv_sin_cos.doc
2010.22.08-De_bai-PT_dang_cap_bac2_3_dv_sin_cos.doc
2010.22.08-Dap_an-PT_dang_cap_bac2_3_dv_sin_cos.doc
2010.24.08-De_bai-PT_doi_xung_dv_sin_cos.doc
2010.24.08-Dap_an-PT_doi_xung_dv_sin_cos.doc
2010.26.08-De_bai-PTLG_SD_nhieu_den_cac_phep_BD.1.doc
2010.26.08-Dap_an-PTLG_SD_nhieu_den_cac_phep_BD.1.doc
2010.28.08-De_bai-PTLG_thuoc_mien_cho_truoc.doc
2010.28.08-Dap_an-PTLG_thuoc_mien_cho_truoc.doc
Bài 1: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

(Giải các phương trình lượng giác sau)

3
3 3 2
3
1/ 4sin x -1 = 3sinx - 3cos4x
2 / sin3x + ( 3 - 2)cos3x =1
3 / 4sin x + 3cos x - 3sinx -sin xcosx = 0
4 / 2sin5x + 3cos3x + sin3x = 0
5 / 2sin4x + 3cos2x +16sin xcosx - 5 = 0

………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn

Bài 1: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo - Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC BTVN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

(Giải các phương trình lượng giác sau)


3
2
2
2 2
1/ 4sin 1 3sin 3 os4 sin 3 3 os3 1
2
1 3 1
18 3
sin 3 os3 sin 3 sin
2
2 2 2 3 6
2 3
2 / sin 3 ( 3 2) os3 1
3 2 ( 3 2)(1 )
: tan 1 ( 3 1) 2 (3 3) 0
2 1 1
1
3
      

 


   
        

   
   

 


  
 
         
 


 



x x c x x c x
k
x
x c x x
k
x
x c x
x t t
Coi t t t
t t

t
t
 
 
 
3 3 2
3
3 2
2
3
tan 1
6 3
2
3 2 2
tan 3
2 9 3
3 / 4sin 3cos 3sin sin cos 0(1)
* ét sinx 0 3cos 3 0
cot 1
1
4
(1) 4 3cot 3(cot 1) cot 0 cot
3
3
1
cot
3


 









  




   
    





 


         




  







k
x
x
x k
x
x x x x x
X x
x
x k
x x x x
x k
x
 
 






4 / 2 sin 5 3 os3 sin 3 0
3 1
3 os3 sin 3 2sin 5 os3 sin 3 sin 5
2 2
5

os 3 sin 5 os( 5 )
6 2
5
3 5 2
6 2
24 4
2
5
3 5 2
36 2
  
      
 
    
 
 


   
  


 




 
   
 



x c x x
c x x x c x x x
c x x c x
k
x x k
x
x k
x x k
 
 
 


 



Bài 1: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo - Thầy Phan Huy Khải.
Page 2 of 2

3
2
5 / 2sin 4 3cos 2 16sin cos 5 0
2sin 4 3cos 2 8sin 2 .2sin 5 0
1 os2
2sin 4 3cos 2 8sin 2 . 5 0
2
2sin 4 3cos 2 4sin 2 2sin 4 5 0

3 4
3cos2 4sin 2 5 cos 2 sin 2 1
5 5
cos
os(2 ) 1 ;( );
2
   
    

 
    
 
 
     
     
      
x x x x
x x x x
c x
x x x
x x x x
x x x x
C x x k k


 
3
5
4
sin

5













………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn



Bài 2: PT đẳng cấp bậc 2, 3 đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

Giải các phương trình lượng giác sau đây:
 
3
2 2

2 2
4 2 2 4
1/ sinx - 4sin x + cosx = 0
2 / tanxsin x - 2sin x = 3 cos2x + sinxcosx
3 / sin2x + 2tanx = 3
4 / cos x - 3sin2x = 1+sin x
5 / 3cos x - 4sin xcos x + sin x = 0

……………….Hết………………


Nguồn: hocmai.vn



Bài 2: PT đẳng cấp bậc 2, 3 đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC
BTVN PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3
ĐỐI VỚI SIN VÀ COS


Giải các phương trình lượng giác sau đây:
 
 
 
3
3
2 3 2

3 2
2
2 2
2
1/ inx 4sin cos 0(1)
ê ' : cos 0 inx 4sin 3 0
t anx
(1) t anx(1 tan ) 4 tan 1 tan 0
3 1 0
t anx
t anx 1
1 3 2 1 0
4
2 / tan x sin 2sin 3 os2 sin x cos
, os
  
     


      

    




     

   



  
S x x
N u x S x
t
x x x
t t t
t
x k
t t t
x x c x x
Chia VT VP cho c x t


 
 
 
 
2 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
ó :
os sin sin x cos
tan 2tan 3
os
t anx
tan 2tan 3 1 tan t anx

3 3 0
t anx
t anx 1
4
1 3 0
t anx 3
3
 
 


     

   


  



 


  



  
 





  


a c
c x x x
x x
c x
t
x x x
t t t
x k
t
t t
x k





 
 
2
2 2
3 2
2
3 / 2 2tan 3
, os ó :

tan
2 tan 2 tan (tan 1) 3(tan 1)
2 3 4 3 0
tan
t anx 1
1 2 3 0
4
 


    

   




     

   


Sin x x
Chia VT VP cho c x ta c
t x
x x x x
t t t
t x
x k
t t t




2 2
2 2
2
4 / os 3 sin 2 1 sin
, os ó :1 2 3 t anx 2 tan 1
t anx t anx 0
2 2 3 0 t anx 3
3
  
  

 
 


   



 
   

 

C x x x
Chia VT VP cho c x ta c x
k

t
x
k
t t




Bài 2: PT đẳng cấp bậc 2, 3 đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
4 2 2 4
4 2 4
2
4 2
2
5 / 3cos 4sin cos sin 0
, os ó :3 4 tan tan 0
t anx
tan 1
4
4 3 0
tan 3
3
  
  

  






  



  




  


x x x x
Chia VT VP cho c x ta c x x
x k
t
x
t t
x
x k





……………….Hết………………

Nguồn: hocmai.vn



Bài 3: Phương trình đối xứng đối với sin và cos – Khóa LT đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

Giải các phương trình lượng giác sau:

3 3 5 5
1/ sinx - cosx + 7sin2x = 1
π
2 / sin2x + 2sin x - = 1
4
3 / Tìm m cho PT : Sin2x + 4(cosx -sinx) = m có ngh
4 / cos2x + 5 = 2(2 - cosx)(sinx - cosx)
5 / sin x + cos x = 2(sin x + cos x)
iÖm
 
 
 

………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn
Bài 3: Phương trình đối xứng đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC

BTVN PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN VÀ COS


Giải các phương trình lượng giác sau:

2 2
1/ inx cos 7sin 2 1
: sinx cos ;( 2)
sinx cos 1
7(1 ) 1 7 6 0
6
sinx cos
7
2
2
1
sin
2
4
2
3 2
;sin
7
2
3 2
sin
4
4 7

2
4
S x x
Coi t x t
x
t t t t
x
x k
x
x k
x k
x
x k



 


 


 
  
  
 


        


 


 


 

 
 
 


 


   

  

 
  

 

 


  





2
0
2
2
2 / 2 2 sin 1
4
: sinx cos ;( 2)
2
4
0 0
1 1 2 sin 2
1 1
4 2
2
3 / Tìm : 2 4(cos sinx) ó
: cos sinx;( 2) 1 4
( ) 4
 
  
 
 
  

 




 
 

          
 
 


 
 

 



  
      
    
Sin x x
Coi t x t
x k
t
t t x x k
t
x k
m cho PT Sin x x m c ng
Coi t x t t t m
m f t t t




 

 
1 '( ) 2 4 0; 2
( 2) ( 2) 4 2 1 4 2 1
       
         
f t t t
f m f m

Bài 3: Phương trình đối xứng đối với sin và cos – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2

2 2
3 3
4 / os2 5 2(2 cos )(sinx cos )
os2 5 4(sinx cos ) sin 2 os2 1
4((sinx cos ) sin 2 4 0
: s inx cos ;( 2) 4 ( 1) 4 0 4 3 0
2
1
2 sin 1 sin
2
4 4
2
2
5 / os 2
   
     

    
           


   

       
   

   


 
C x x x
C x x x c x
x x
Coi t x t t t t t
k
x x x
k
Sin x c x


 
 
   
 
 
5 5
3 2 3 2

2 2
(sin os )
1 2sin os 2 cos 1 0
os2 sinx cos sin sin x cos os 0
os2 0
4 2

    
    
    
x c x
Sin x x c x x
c x x x x c x
k
c x x
 


………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn
Bài 4: PTLG sử dụng nhiều đến các phép biến đổi khác – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN PTLG SỬ DỤNG NHIỀU ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC

Giải các phương trình lượng giác sau:
1
1/ 2cos2x -8cosx +7 =

cosx
2 2
2/ 4cos x+3tan x-4 3cosx+2 3tanx+4=0
3/ 3-cosx - cosx+1=2
π π
3 3
4/ sin x-cos x=cos2x.tan x+ .tan x-
4 4
π 2π
1
2 2
5/ cos x+ +Cos x+ = (sinx +1)
3 3
2
   
   
   
   
   
   

………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn



Bài 4: PTLG sử dụng nhiều đến các phép biến đổi khác – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC BTVN PTLG SỬ DỤNG NHIỀU ĐẾN
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC

Giải các phương trình lượng giác sau:
   
3 2
2 2
2 2
1
1/ 2cos 2 8cos 7 (1)
cos
:
2
cos 1 2
cos ( )
(1) ;
1
cos 2
4 8 5 1 0
2 3
2 / 4cos 3 tan 4 3 cos 2 3 t anx 4 0(2)
:
2
(2) 2cos 3 3 t anx 1 0
3
cos 2
2 6
1
t anx
3

x x
x
DK x k
x x k
t x t
k
x x k
t t t
x x x
DK x k
x
x x k









  
 
  

 


  



    
   


    
 
    
    

  

 


2
6
6
3 / 3 cos cos 1 2
3 cos cos 1 2 4 cos 1 2(cos 1)
2(cos 1) 0;
: cos 1 0 cos 1 2
4 cos 1;
x k k
x k
x x
x x x x
x x
Do x x x k k
x x





 



    

  


   
         
   


         

 






     
3 3
2

2
4 / in os os2 . tan .tan
4 4
s inx- cos 1 sin x cos os2 sinx-cos 1 sin x cos s inx c
os 0
s inx- cos 0 sin 0
4 4
sinx cos ( 2)
1 sin x cos sinx cos 0
1
1 0 2 1
2
   
   
   
   
       
 
      
 
 

  
    

      
S x c x c x x x
x x c x x x x
x x x k
t x t

x x
t
t t t
 
 

 
0 1
4
4
2 ;
1
2
sin
2
4
2









  






 


 




     

 

  

 

 
 





t
x k
x k
x k k
x

x k







 

Bài 4: PTLG sử dụng nhiều đến các phép biến đổi khác – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2


   
 
2 2
2 2
2 2
2 1
5 / os os (sinx 1)
3 3 2
1 1 1
cos 3 sinx cos 3 sinx (s inx 1)
4 4 2
2
s inx 0
1 1
1 2sin (sinx 1) 2sin sin 0 2 ;
1

2 2 6
s inx
2
5
2
6
   
    
   
   
     








           






 


C x C x

x x
x k
x x x x k k
x k
 






………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn



Bài 5: Nghiệm của PT lượng giác thuộc một miền cho trước – Khóa LT đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN NGHIỆM CỦA PTLG THUỘC MỘT MIỀN CHO TRƯỚC
Bài 1:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:

3sin 7 cos7 2
x x 

Bài 2:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π) của phương trình:

5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
 
   
    
   
   

Bài 3:
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc khoảng (-π;7π/3):

sinx cos
m x m 


………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn
Bài 5: Nghiệm của PT lượng giác thuộc một miền cho trước – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

HDG CÁC BTVN NGHIỆM CỦA PTLG THUỘC
MỘT MIỀN CHO TRƯỚC
Bài 1:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:

3sin7 cos7 2

x x 


Giải:

1
5 2
3 1 2
84 7
sin 7 os7 sin 7 sin ;( )
11 2
2 2 2 6 4
84 7
5 2 2 5 2 6 2 5 2 6 5
* :
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
53
2
84
11 2 2 11 2 6 2 11 2 6 11
* :
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
k
x
PT x c x x k
k
x
k k k
Khi x
k x

k k k
Khi x
 
 
 
     

     

 

 
       

 
 

 


          
   
          


2 3
35 59
1,2 ;
84 84
k x x

 
   

Bài 2:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π) của phương trình:

5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
 
   
    
   
   

Giải:

2
2 2 3cos 4 1 2sin
2 2
os2 3sin 1 2sin 1 2sin 1 sinx
PT Sin x x x
c x x x x
 
 
   
       
   
   

       



Bài 5: Nghiệm của PT lượng giác thuộc một miền cho trước – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2

2
1 2 3 4 5
sinx 0
2
2sin sinx 0
1
6
sinx
5
2
2
6
13 5 17
( ;3 ) ; 2 ; ; ;
2 6 6 6
x k
x k
x
x k
Do x x x x x x






   
  
  




 

   

 




 



       

Bài 3:
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc khoảng (-π;7π/3):

sinx cos
m x m 

Giải:
cos 1 0 à 2
sinx (1 cos )
sinx sinx
(*)
1 cos 1 cos
x x v x
PT m x
m m
x x

  
 
 
    
 
 
 
 

Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-
π;7π/3).
Nhưng số nghiệm của (*)thuộc khoảng (-π;7π/3) lại chính là số giao điểm của đường thẳng y=m
với đồ thị (C) có phương trình:
 
2
sinx 7
ê ;
1 cos 3
cos 1

ét àm: ' 0
1 cos
y tr n D
x
x
X h y x D
x


 
  
 

 

   


Dựa vào bảng biến thiên ta có:
0
3; 0 ó 4
m m PT c ng
 


………………….Hết…………………

Nguồn: hocmai.vn