Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2016 cực hay (Phần 10: Phương trình lượng giác)

1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ÔN TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2
2
sin x = 1 − cos x
sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒  2
2
cos x = 1 − sin x

1
1
= 1 + tan 2 x ⇒ tan 2 x =
−1
2
cos x
cos 2 x
1
1
= 1 + cot 2 x ⇒ cot 2 x =
−1
2

sin x
sin 2 x
tan x.cot x = 1 ⇒ cot x =

1
tan x

sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x; sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x
sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x)

II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Góc I

Góc II

Góc III

Góc IV

sinx

+

+

–

–

cosx

+

–

–

+

tanx

+

–

+

–

cotx

+

–

+

–

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau:

1
π
2 π
a) sin x = ;0 < x <
b) cos x = −
; 3
2
5 2
3π
1 3π
c) tan x = 2; π < x <
d) cot x = − ;
< x < 2π
2
2 2
Lời giải:
1
1 8
2 2
a) sin x = ⇔ cos 2 x = 1 − sin 2 x = 1 − = ⇒ cos x = ±
3
9 9
3
π
2 2
Do 0 < x < ⇒ cos x > 0 
→ cos x =
.
2

3

sin x
1
2
=
=
 tan x =
cos x 2 2
4
Từ đó ta được: 
cot x = 1 = 2 2

tan x
−2
4 1
1
b) cos x =
⇒ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sin x = ±
5 5
5
5
π
1
Do < x < π ⇒ sin x > 0 
→ sin x =
.
2
5
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

sin x −1
=
cos x 2
1
= −2
tan x
1
1
=
c) Từ tan x = 2 ⇒ cot x =
tan x 2


 tan x =
Từ đó ta được: 
cot x =



1
 2
sin x = ±
sin x


cos
x
=
=2
sin x = 2 cos x
 tan x =


5
Ta có 
⇔
⇔
⇔
cos x
2
4
5
cos
x
=
1
2
2
2

sin x + cos x = 1
sin x =
cos x = ±



5


2
5
1
5

−2

sin
x
=

sin x < 0
3π
5
Do π < x <
⇒
⇒
2
cos x < 0 cos x = −1

5
1
1
d) cot x = − ⇒ tan x =
= −2
2
cot x


1
 2
sin x = ±
sin x

cos x =

= −2
sin x = −2 cos x
 tan x =


5
Ta có 
⇔
⇔
⇔
cos x
2
5cos x = 1
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2 x = 4
cos x = ±



5
−2


sin x =

sin x < 0
3π
5

Do
< x < 2π ⇒ 
⇒
2
cos x > 0 cos x = 1

5
Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x
c) 1 −

2
5
1
5

sin x + cos x − 1
cos x
=
sin x − cos x + 1 1 + sin x
tan x + tan y
d) tan x.tan y =
cot x + cot y

b)

sin 2 x
cos 2 x
−
= sin x cos x
1 + cot x 1 + tan x

Lời giải:
sin x
sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x)
2
a) tan 2 x − sin 2 x =
−
sin
x
=
=
= tan 2 x sin 2 x ⇒ đpcm.
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được:
x
x
x 2sin x  cos x − sin x 
x
x
2 sin cos − 2sin 2


 cos − sin
sin x + cos x − 1
2
2
2
2
2
2 =
2
2 , (1)
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
sin x − cos x + 1 2sin cos + 2sin 2
2sin  cos + sin  cos − sin
2
2
2
2
2
2
2

2
x
x
x
x
cos 2 − sin 2
cos − sin
cos x
2
2 =
2
2 , ( 2).
Mặt khác
=
2
x
x
1 + sin x 
x
x
cos + sin
 sin + cos 
2
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
sin 2 x
cos 2 x

sin 2 x
cos 2 x
sin 3 x
cos3 x
sin 3 x + cos3 x
c) 1 −
−
= 1−
−
= 1−
−
= 1−
=
cos x
sin x
1 + cot x 1 + tan x
sin
x
+
cos
x
sin
x
+
cos
x
sin
x
+
cos

x
1+
1+
sin x
cos x
2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

(sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x)
= 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ đpcm.
sin x + cos x
sin x sin y sin x cos y + sin y cos x
+
tan x + tan y cos x cos y
sin x sin y
cos x cos y
d)
=
=
=

= tan x tan y ⇒ đpcm.
cos
x
cos
y
sin
x
cos
y
+
sin
y
cos
x
cot x + cot y
cos
x
cos
y
+
sin x sin y
sin x sin y
Ví dụ 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau
= 1−

cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
A=
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x

cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)

2(1 + sin x)
B=
.
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x

D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x
Lời giải:
cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x)
2
2
cos x + cos x. 2
cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
cos 4 x
sin x =
sin 2 x
Ta có A =
=
=
= cot 4 x
2
2
2
2
4
sin
x
sin
x
(cos

x
+
sin
x
)
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x
sin
x
sin 2 x + sin 2 x.
cos 2 x
cos 2 x
Ta có
cos 2 x − 2sin x(1 − sin x)
1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2
=
=
=
(1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x
(1 − sin x + 1 + sin x) cos x
2 cos x
2 cos x
(1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x
=
=
= cos x
.
2 cos x
1 − sin x
cos x
cos x

 cos x  3
 sin x  3
C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +
 sin x + 1 +
 cos x − sin x cos x =
 sin x 
 cos x 
= sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x

→B =

= (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x
= (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x

(1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x
( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3

Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x =
= cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin 2 x
sin x + cos x
−
= sin x + cos x
sin x − cos x
tan 2 x − 1

b) 1 − cot 4 x =

2
1
− 4

2
sin x sin x

Bài 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

1 + sin 2 x
= 1 + 2 cot 2 x
2
1 − cos x

b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2

Bài 3: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a)

sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x
=
cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x

Facebook: LyHung95

b)

cos 2 x − sin 2 x

= sin 2 x.cos 2 x
2
2
cot x − tan x

b)

sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x
= tan 4 x
2
2
4
cos x − sin x + sin x

Bài 4: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

1 − 4sin 2 x cos 2 x
= (sin x − cos x) 2
2
(sin x + cos x)

Bài 5: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau
a) A =

1 − cos x
1
−
2
sin x 1 + cos x

b) B =

1 − sin 2 x.cos 2 x
− cos 2 x
cos 2 x

Bài 6: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau
a) A =

1 − cos x
1 + cos x
−
1 + cos x
1 − cos x

b) B = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1

Bài 7: [ĐVH]. Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) sin x =

1
π
;0 < x <
2
3

c) tan x + cot x = 2; 0 < x <

b) cot x = − 2; −

π
2

d) cos x =

π
< x<0
2

2
3π
;π < x <
2
6

Bài 8: [ĐVH]. Tính giác trị của các hàm số lượng giác
a) tan x − cot x = −

2
3π
;π < x <
2
3

b) tan x = −

1 π
; 3 2

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

tan x sin x
−
= cos x
sin x cot x

b)

sin 4 x + cos 4 x − 1 2
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 3

b)

sin 2 x − tan 2 x
= tan 6 x
2
2
cos x − cot x

b)

1
= 2 + tan 2 x + cot 2 x
sin x.cos 2 x

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

1 + sin 2 x
= 1 + 2 tan 2 x
2
1 − sin x

Bài 10: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x − cos x + 1

2

Bài 11: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a)

sin 4 x + 3cos 4 x − 1
3
=
6
6
4
sin x + cos x + 3cos x − 1 2

b) cos 2 x(2sin 2 x + cos 2 x) = 1 − sin 4 x

Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a) (cos x + 1 + sin x)(cos x − 1 + sin x) = 2sin x cos x
b) (1 − sin x + cos x) 2 = 2(1 − sin x)(1 + cos x)
Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
a) cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x(1 − tan x)(1 + tan x)
b) sin 3 x(1 + cot x) + cos3 x(1 + tan x) = sin x + cos x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 14: [ĐVH]. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x?
a) A =

2
cot x + 1
+
tan x − 1 cot x − 1

b) B = 2 cos 4 x − sin 4 x + sin 2 x cos 2 x + 3sin 2 x

Bài 15: [ĐVH]. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x?
tan 2 x − sin 2 x
a) A =
.cot 6 x
2
2
cot x − cos x

b) B = sin 2 x.tan 2 x + 4sin 2 x − tan 2 x + 3cos 2 x

Bài 16: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức
cos3 x + cos x.sin 2 x − sin x
A=
, với tanx = 2.
sin 3 x − cos3 x
B=

12
1 + cos x + sin x
, với cos x = −
và π/2 < x < π
1 − cos x
13

C=

2sin 2 x + sin x.cos x + cos 2 x
, với tanx = 3.
sin 4 x − cos 4 x

Bài 17: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau

sin x − cos x + cos x
x
= cos 2
2
2(1 − cos x)

2
Bài 18: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
4

4

2

a)

a)

tan 2 a − tan 2 b
= tan( a + b).tan( a − b)
1 − tan 2 a tan 2 b

 1

(1 + cot 2 x ) 
− 1
2
 cos x 
b)
1 + tan 2 x

b)

cos x − sin x
1
=

− tan 2 x
cos x + sin x cos 2 x

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ÔN TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
π 
 3π 
a) A = sin ( x + π) + cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  − x 
2 
2

 3π

 5π

b) B = sin  + x  .cos ( x − 3π ) .cot  + x 
 2


 2


(

2sin 25500.cos −1880
1
c) C =
+
tan 3680
2 cos 6380 + cos 980

)

Lời giải:
π
3
π




a) A = sin ( x + π) + cos  − x  + cot ( 2π − x ) + tan  − x 
2 
2

π



= − sin x + sin x − cot x + tan  π + − x  = − cot x + cot x = 0
2


π
π
 3π

 5π





b) B = sin  + x  .cos ( x − 3π ) .cot  + x  = sin  π + + x  .cos ( x − π − 2 π ) .cot  2 π + + x 
2
2
 2

 2





π

π

= − sin  + x  .cos( x − π).cot  + x  = − cos x.(− cos x).(− tan x) = − sin x cos x

2

2


c) C =

=

(

)

(

)

(

)
)

2sin 25500.cos −1880
2sin 7.3600 + 300 .cos −1800 − 80
1
1
+
=
+
7

tan 3680
2 cos 6380 + cos 980


tan 3600 + 80
2 cos  1800. + 80  + cos 900 + 80
2



(

)

(

1
−2 sin 300.(−cos80 )
1
cos8
2
+
=
+
=
0
tan 8
2 sin 8 − sin 8
tan 8 sin 8 tan 8

Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
 11π 
 21π 
 9π 
 29π 
 2π 
a) sin 
 + sin 
 + sin  −  + sin  −
 = −2cos  
 10 
 10 
 10 
 10 
 5 
0
0
0
0
sin515 .cos −475 + cot 222 .cot 408 1 2 0
= cos 25
b)
cot 4150.cot −5050 + tan1970.tan730 2

(
(

)
)

c) tan1050 + tan 2850 − tan ( −4350 ) − tan ( −750 ) = 0
Lời giải:
 11π 
 21π 
 9π 
 29 π 
a) A = sin 
 + sin 
 + sin  −  + sin  −
=
 10 
 10 
 10 
 10 
9π 

 21π 
 9π 
 21π

= sin  2 π −  + sin 
− 5π  =
 + sin  −  + sin 
10 

 10 
 10 
 10

9π

21π
9π
21π
9π
2π
 9π π 
= − sin
+ sin
− sin
− sin
= −2 sin
= −2 cos 
−  = −2 cos
10
10
10
10
10
5
 10 2 
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b) B =
=

(
)

cot 415 .cot ( −505 ) + tan197 .tan 73

sin 5150.cos −4750 + cot 2220.cot 4080
0

0

0

0

Facebook: LyHung95

=

sin(3600 + 1800 + 250 ).cos(−3600 − 900 − 250 ) + cot(1800 + 420 ).cot(3600 + 480 )
=
cot(360 + 55).cot(−360 − 90 − 55) + tan(180 + 17). tan(90 − 17)

sin 250.(− sin 250 ) + cot 420.cot(900 − 420 ) − sin 2 250 + 1 cos 2 250
=
=
cot 550.tan 550 + tan17 0.cot17 0
2
2
0
0
0
0
c) C = tan105 + tan 285 − tan ( −435 ) − tan ( −75 )

=

(

)

= tan(1800 − 750 ) + tan(3600 − 750 ) − tan(−3600 − 750 ) − tan −750 =
= − tan 75 − tan 75 + tan 75 + tan 75 = 0
0

0

0

0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau
9
3π
π

a) A = tan  x −  , với cos x = − ; π < x <
41
2
4

8
5
b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: sin a = , tan b =
17

12
Tính: sin ( a − b ) , cos ( a + b ) , tan ( a − b )
Lời giải:
9
81 1600
40
a) cos x = − ⇔ sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −
=
⇒ sin x = ±
41
1681 1681
41
3π
40
sin x 40
Do π < x <

→ sin x < 0 
→ sin x = − 
→ tan x =
=
2
41
cos x 9
40
π
−1
tan x − tan
π
31


9
4
Từ đó ta được A = tan  x −  =
=
= .
4  1 + tan x tan π 1 + 40 49

4
9
b) Ta có:
8
15
sin a = 
→ cos a = ±
17
17
15
8
Do a là góc nhọn ⇒ cos a > 0 
→ cos a = 
→ tan a = .
17
15
5
5
tan b =
⇔ sin b = cos b
12
12

5

5

sin b = ±

sin
b
=
cos
b


13
Từ đó ta có 
⇔
12
sin 2 b + cos 2 b = 1 cos b = ± 12


13
5

sin b = 13
Do b là góc nhọn nên sin b > 0; cos b > 0 
→
cos b = 12

13
8 12 15 5

21
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b = . − . =
17 13 17 13 221
15 12 8 5 140
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b = . − . =
17 13 17 13 221

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8 5
−
tan a − tan b
15
12 = 21
• tan(a − b) =
=
1 + tan a tan b 1 + 8 . 5 220
15 12
Ví dụ 4: [ĐVH]. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
π

π

a) A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x 
3


3

3
3
3cos x − cos 3 x 3sin x + sin 3 x
+
b) B =
cos x
sin x
Lời giải:
a) Cách 1 :
2

π
π
π 
π
π

π


A = cos x + cos  x +  + cos 2  − x  = cos 2 x +  cos x cos − sin x sin  +  cos x cos + sin x sin 
3
3
3 
3
3


3


1
3
3
1
3
3
sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x +
sin x cos x + sin 2 x =
= cos 2 x + cos 2 x −
4
2
4
4
2
4
3
3
3
= cos 2 x + sin 2 x =
2
2
2
Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc:
2π 
2π 



1 + cos  2 x +
1 + cos  2 x −


π
3 
3 

π
 1 + cos 2 x


A = cos 2 x + cos 2  x +  + cos 2  − x  =
+
+
=
3
2
2
2

3

3 1
1 
2π 
2π   3 1
1
2π 


= + cos 2 x + cos  2 x +
 + cos  2 x −
  = + cos 2 x +  2 cos 2 x.cos  =
2 2
2 
3 
3  2 2
2
3 

3 1
2π 3 1
1
3
3
= + cos 2 x + cos 2 x.cos
= + cos 2 x − cos 2 x = 
→A= .
2 2
3 2 2
2
2
2
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
3cos3 x − cos 3 x 3sin 3 x + sin 3 x 3cos3 x − 4 cos 3 x + 3cos x 3sin 3 x − 4sin 3 x + 3sin x
+
=
+
b) Ta có B =
cos x

sin x
cos x
sin x
3
3
− cos x + 3cos x − sin x + 3sin x
=
+
= − cos 2 x − sin 2 x + 6 = 5
cos x
sin x
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
2

2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
sin ( a + b ) sin ( a − b )
a) tan 2 a − tan 2 b =
cos 2 a.cos 2 b
1
3
b) sin 4 x + cos 4 x = cos 4 x +
4
4
6 + 2 cos 4 x
c)
= cot 2 x + tan 2 x
1 − cos 4 x
Lời giải:

sin a sin b sin a.cos b − sin 2 b.cos 2 a
a) tan 2 a − tan 2 b =
−
=
cos 2 a cos 2 b
cos 2 a.cos 2 b
(sin a cos b − sin b cos a )(sin a cos b + sin b cos a ) sin(a − b)sin(a + b)
=
=
cos 2 a.cos 2 b
cos 2 a.cos 2 b
2
1
1
3 1
b) sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2(sin x cos x) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x = 1 − (1 − cos 4 x) = + cos 4 x
4
4
4 4
2
2
4
4
sin x cos x sin x + cos x
c) tan 2 x + cot 2 x =
+
=
cos 2 x sin 2 x
sin 2 x cos 2 x
2

2

2

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

2


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 1 2 
 1 1

2
x + cos 2 x − 2(sin x cos x) 2 4  1 − 2 sin 2 x  4 1 − 4 + 4 cos 4 x  6 + 2 cos 4 x
=
=
=
2
1 2
1 − cos 4 x
sin
2
x

1 − cos 4 x
sin 2 x
4
2
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B
b) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B. tan C
Lời giải:
a) sin B cos C + cos B sin C = sin( B + C ) = sin( π − A) = sin A 
→ đpcm.
sin A sin B sin C
b) tan A + tan B + tan C =
+
+
=
cos A cos B cos C
sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos C (sin A cos B + sin B cos A) + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B cos C.sin C + sin C cos A cos B
=
=
cos A cos B cos C
cos A cos B cos C
sin C (cos C − cos A cos B) sin C [ − cos( A + B ) − cos A cos B ] sin C sin B sin A
=
=

=
= tan A.tan B.tan C
cos A cos B cos C
cos A cos B cos C
cos A cos B cos C
Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực
hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau
tanA + tan B
A + B + C = π ⇔ A + B = π − C 
→ tan ( A + B ) = tan ( π − C ) ⇔
= − tan C
1 − tan A.tan B
⇔ tan A + tan B = − tan C + tan A. tan B. tan C ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C 
→ dpcm

( sin
=

)

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
 11π 
 11π 
a) A = cos ( x + 5π) − 2sin 
− x  − sin 
+ x

 2

 2

π

 3π

b) B = cos  − x  + cos ( π − x ) + cos  − x  + cos ( 2π − x )
2

 2


Bài 2: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
7π 
 3π

 3π


 7π

a) A = cos  − x  − sin  − x  + cos  x −  cos 
− x
2 
 2

 2



 2

 5π

 11π

 7π

b) B = sin  − x  − cos 
− x  − 3sin ( x − 5π ) + tan 
− x  . tan(− x)
 2

 2

 2


Bài 3: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
3π 

π
  3π

A = cos ( π − x ) + sin  x −  − tan  + x  cot  − x 
2 

2
  2



(

)

(

)

(

)

(

)

(

B = sin 2700 − x − 2sin x − 4500 + cos x + 9000 + 2 sin 7200 − x + cos 5400 − x

)

Bài 4: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

π

 3π

 7π

tan  x −  .cos  + x  − sin 3 
− x
2

 2

 2

A=
π

 3π

cos  x −  . tan  + x 
2

 2


13π 
 11π


 3π


B = 1 + tan 2 
− x   1 + cot 2 ( x − 3π )  .cos  + x  sin (11π − x ) .cos  x −
 sin ( x − 7π )
2 
 2

 2



98
Bài 5: [ĐVH]. Cho 3sin 4 x + 2 cos 4 x = . Tính giá trị biểu thức A = 2 sin 4 x + 3cos 4 x.
81
Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

(

)

cos − 20 0 .sin 70 0

a)

=1

sin 160 0.cos 340 0. tan 250 0
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

sin(−3280 ).sin 9580 cos( −5080 ).cos(−10220 )
−
= −1
cot 5720
tan(−2120 )

b)

tan 2 x 1 + cot 2 x
1 + tan 4 x
.
=
1 + tan 2 x cot 2 x
tan 2 x + cot 2 x

b)

cos 2 x − sin 2 x
= sin 2 x cos 2 x
2
2
cot x − tan x

1 − cos 4 x − sin 4 x
2
c)
=

6
6
1 − sin x − cos (2π − x) 3
Bài 8: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
2
π

π

a) sin 2  + x  − sin 2  − x  =
sin 2 x
8

8
 2

c) tan x −

1
2
=−
tan x
tan 2 x

b) sin x(1 + cos 2 x) = sin 2 x.cos x
x 1

d) tan 
+ 1 = tan x
2  cos x 

Bài 9: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau
π
π

π

π


A = sin  x −  .cos  − x  + sin  − x  .cos  x − 
3
3

4

4



B = sin 4 x.cot 2 x − cos 4 x

π
π

π

π



C = cos  x −  .cos  + x  − cos  + x  .cos  x − 
3
4

4

6


Bài 10: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau

π

 2π

D = tan x + tan  x +  + tan 
+ x
3

 4


π x
1 + sin x − 2sin 2  − 
 4 2
E=
x
4 cos
2
sin 4 x.cos 2 x

(1 + cos 4 x)(1 + cos 2 x)

G=

F=

cos3 x.sin x − sin 3 x.cos x
sin 2 x.cos 2 x

H=

sin 2 2 x − 4sin 2 x
sin 2 2 x + (4sin 2 x − 4)

J=

cos x + sin x cos x − sin x
−
cos x − sin x cos x + sin x

Bài 11: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau
I=

2(sin 2 x + 2 cos 2 x − 1)
cos x − sin x − cos 3 x + sin 3 x

K=

sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x
cos x + cos 3 x + cos 5 x + cos 7 x

L=

1 1 1 1 1 1
π

+
+
+ cos x ,  0 < x < 
2 2 2 2 2 2
2


Bài 12: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

tan 2 2a − tan 2 a
= tan a.tan 3a
a)
1 − tan 2 2a. tan 2 a

π

π

b) sin  + a  − sin  − a  = 2 sin a
4


4


Bài 13: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
sin ( a − b ) sin ( a + b )
a)
= − cos 2 a.sin 2 b
2
2
1 − tan a.cot b
Bài 14: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau
1
3
a) 4 cos 4 x − 2 cos 2 x − cos 4 x =
2
2
Bài 15: [ĐVH]. Cho
Chứng minh:

sin8 x

Facebook: LyHung95

b)

cos ( a − b ) cos ( a + b )
2

2

cos a.cos b

= 1 − tan 2 a. tan 2 b

b) cos 3 x.sin x − sin 3 x.cos x =

sin 4 x
4

sin 4 x cos4 a
1
+
=
, vôùi a, b > 0.
a
b
a+b
+

cos8 x

1

=

.
a
b
(a + b)3

Bài 16: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
3

3

π

1 + cos  + x 
2
 = 1
π

sin  + x 
2

Bài 17: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

π x
a) tan  +  .
 4 2

π
 1 + sin 2 x
b) tan  + x  =
cos 2 x
4


cos x
π x

= cot  − 
1 − sin x
 4 2
Bài 18: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

b) tan x.tan 3x =

a)

a) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x =
b) sin 6

tan 2 2 x − tan 2 x
1 − tan 2 x.tan 2 2 x

1
sin 4 x
4

x
x 1
− cos6 = cos x(sin 2 x − 4)
2
2 4

1 − sin 2 x
= 1
π



2π
2 cot  + x  .cos  − x 
4

4

Bài 19: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:

c)

a) cot x − tan x − 2 tan 2 x = 4 cot 4 x

1 − 2sin2 2 x 1 + tan 2 x
b)
=
1 − sin 4 x
1 − tan 2 x

Bài 20: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
c)

1
6

− tan 6 x =

3 tan 2 x
2

+1

cos x
cos x
Bài 21: [ĐVH]. Chứng minh các đẳng thức sau:
e) tan 6 x − tan 4 x − tan 2 x = tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x

d) tan 4 x −

1
sin 2 x − cos 2 x
=
cos 4 x
sin 2 x + cos 2 x

sin 7 x
= 1 + 2 cos 2 x + 2 cos 4 x + 2 cos 6 x
sin x
g) cos 5 x.cos 3 x + sin 7 x.sin x = cos 2 x.cos 4 x

f)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 cos 2 x + 5sin x − 4 = 0
b)

(
x − 2(

)
3 + 1) cos x +

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

c) 4 cos 2

3=0

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

(

)

π

− 2x  = 0
2


a) 2 sin 4 x + cos 4 x − cos 

b) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
1
a) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x −
2
Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

b) sin 4

a)

2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x.cos x
=0
2 − 2sin x

x
x
+ cos 4 = 1 − 2sin x
2
2

b) sin 4 x + cos 4 x + sin x.cos x = 0

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a)

( 2 − 3 ) cos x − 2sin

2 cos x − 1

2

x π
 − 
2 4 =1

b) cos 4 x = sin 2 x −

1
4

Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
cos 6 x + sin 6 x 1
= tan 2 x
cos 2 x − sin 2 x 4
Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

b) sin 4

a)

x
x π 2
−  tan x − cos 2 = 0
2
2 4

x

x 5
+ cos 4 =
3
3 8

b) cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

a) sin 2 

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau



a) tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x. tan

x

2

b) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x

b) sin 6 x + cos 6 x = cos 4 x

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
1
a)
− ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0

cos 2 x
Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

b)

3
+ tan 2 x = 9
cos x

b)

1
= cot x + 3
sin 2 x

4
=0
1 + tan 2 x
Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) 9 − 13cos x +

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a) cos 2 x − 3cos x = 4 cos 2

x
2

b)

Facebook: LyHung95

1
+ 3cot 2 x = 5
2
cos x

Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 cos 2 x + tan x =

4
5




b) sin 4 x + sin 4  x +

π
π 5
4
 + sin  x −  =

4
4 4

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x




b) cot x + sin x 1 + tan x tan

x
=4
2

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) cos3 x + sin 3 x + 2 sin 2 x = 1

b) cot x = tan x +

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1

a)
=0
tan x + 3
Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

b) tan 

( 2 − 3 ) cos x − 2sin
a)

2

x π
 − 
 2 4  =1

2 cos x − 1
Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
sin 4 x + cos 4 x 1
1
a)
= cot 2 x −
5sin 2 x
2
8sin 2 x

2 cos 4 x
sin 2 x

sin x

 3π

− x +
=2
 2
 1 + cos x

b)

2sin 2 x + 3 2 sin x − sin 2 x + 1
+1 = 0
sin 2 x + 1

b) tan

4

( 2 − sin
x +1 =

2

2 x ) sin 3 x

cos 4 x

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
x
x π
a) sin  −  tan 2 x − cos 2 = 0

2
2 4
Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
3
2sin x
a) (2 cos x − 1) cot x =
+
.
sin x cos x − 1
Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
1 + sin 2 x + cos 2 x
a)
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x
Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
cos x cos 5 x
a)
−
= 8sin x sin 3 x
cos 3 x cos x
2

b)

b)

cos 2 x ( cos x − 1)
sin x + cos x

= 2 (1 + sin x )

sin 2 x cos x
+
= tan x − cot x
cos x sin x

b) sin 2 x + sin x −

(

1
1
−
= 2 cot 2 x
2 sin x sin 2 x

)

b) 4 sin 4 x + cos 4 x + cos 4 x + sin 2 x = 0

Thầy Đặng Việt Hùng
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
• Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c
• Cách giải: Chia hai vế phương trình cho

+) Đặt

+) Đặt

a
a2 + b2
a
a +b
2

2

= sin α;
= cosβ;

b
a2 + b2
b
a +b
2

2

a

a 2 + b 2 

→

= cos α ⇒ cos( x − α) =
= sin β ⇒ sin( x + β) =

a2 + b2
c
a 2 + b2
c

a + b2
2

sin x +

b
a2 + b2

cos x =

c
a2 + b2


→x

→x

• ĐK có nghiệm của phương trình a 2 + b 2 ≥ c 2
• Chú ý: Khi phương trình có a = c hoặc b = c thì ta sử dụng phép nhóm nhân tử chung.

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) cos x + 3 sin x = 2
3 cos 3 x + sin 3 x = 2

c)

b) sin x + cos x =

6
2

d) sin x + cos x = 2 sin 5 x

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

(

3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1 = 0

b)

π

3 sin 2 x + sin  + 2 x  = 1
2


Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) 3sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3 x

π 1

b) sin 4 x + cos 4  x +  =
4 4


Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) cos 7 x − sin 5 x = 3 ( cos 5 x − sin 7 x )

(

b) tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x

)

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

3 (1 − cos 2 x )
= cos x
2sin x

b) sin 2 x + sin 2 x =

1
2

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) cos x + 3 sin x =

1
cos x

 2π 6 π 
b) cos 7 x − 3 sin 7 x + 2 = 0, x ∈  ; 
 5 7 

Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin15 x + 3 cos 5 x + sin 5 x = 0

b) sin x + 3 cos x +

6
=4
sin x + 3 cos x + 1

Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a)

3 sin x + cos x =

3

3 sin x + cos x + 1

b)

Facebook: LyHung95

cos x − 2sin x.cos x
= 3
2 cos 2 x + sin x − 1

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x 2
= 3 − 3 sin x
2 cos 2 x + cos x − 1
3

(

)

b) cos 2 x − 3 sin 2 x − 3 sin x − cos x + 4 = 0

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )

b) 2 sin 2 x + 3 sin 2 x = 3

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) 8 cos x =

3
1
+
sin x cos x

b)

π

3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin  2 x −  = 2 2
6


Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)
c)

3 (sin 2 x + sin x) + cos 2 x − cos x = 2

b) 8 sin 2 2 x. cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x

2 3 cos 2 x + 2 sin 3 x cos x − sin 4 x − 3
3 sin x + cos x

=1

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SINX VÀ COSX
• Dạng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c.cos 2 x + d = 0
• Cách giải:
+) Xét cosx = 0 có là nghiệm của phương trình không?
+) Xét cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được a tan 2 x + b tan x + c + d (1 + tan 2 x) = 0 ⇒ tan x ⇒ x

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0

b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = 0

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin2x – 10sinx.cosx + 21cos2x = 0

b) 2sin2x – 5 sinx.cosx + 3cos2x = 0

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

(

)

a) sin 2 x + 1 − 3 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0

b) 3sin2x + 4sin2x + 4 cos2x = 0

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

(

)

a) 3sin 2 x + 8sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0

b) 3sin2x – 4 sinx.cosx + 5cos2x = 2

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 4 sin 2 x + 3 3 sin x cos x − 2 cos 2 x = 4

b) cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 4 sin x + 6 cos x =

1
cos x

π

 3π


− x  + 4sin 2 ( x + π) + 2 sin  + x  cos(π + x) = 1
2

 2


b) 4 sin x cos 

Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin x − 4sin 3 x + cos x = 0

b) 2sin 3 x = cos x

Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2cos3x = sin3x

b) 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 0

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

b) cos3x – sin3x = cosx + sinx

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 6sin x − 2 cos3 x = 5sin 2 x cos x

b) cos3 x + sin x − 3sin 2 x cos x = 0

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

a) cos3 x − 4 sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0

b) 4 sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0

Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) tanxsin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)

b) 2 sin x + 2 3 cos x =

Facebook: LyHung95

3
1
+
cos x sin x

Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 4sin3 x cos3x + 4cos3 x sin 3x + 3 3cos 4 x = 3
b) sin 3 x cos 3 x + cos3 x sin 3 x = sin 3 4 x
Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin 3 x.cos x − cos3 x.sin x =

1
4

b) 2cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x = 0

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
• Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = 0
• Dạng phương trình: a (tan 2 x + cot 2 x) + b(tan x ± cot x) + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b sin 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b cos 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b sin 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b cos 2 x + c = 0
• Dạng phương trình: a sin 4 x + b cos 4 x + c.cos 2 x + d = 0

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0

b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = 0

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0

b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
π

a) sin 2 x + 2 sin  x −  = 1
4


b) tan x − 2 2 sin x = 1

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 1 + tan x = 2sin x +

1
cos x

b) sin x + cos x =

1
1
−
tan x cot x

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin x +

1
1

10
+ cos x +
=
sin x
cos x 3

b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1

Bài 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx

b) 1 – sin3x + cos3x = sin2x

Bài 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2

Bài 8: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2

b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1

Bài 9: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

2 sin 2 x ( sin x + cos x ) = 2

b) |sinx – cosx| + 4sin2x = 1

Bài 10: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 2 sin 2 x − 3 3 sin x + cos x + 8 = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

2
b) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) ( sin x − cos x ) + 2 = 0

Bài 11: [ĐVH]. Giải các phương trình sau

(

a) tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x

)

b) cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)

Bài 12: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
b) cos 2 x = cos3 x + sin 3 x

a) 2 sin x + cot x = 2sin 2 x + 1
Bài 13: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 3(tan x + cot x) = 2(2 + sin 2 x)

b)

1
1
5
+
− ( tan x + cot x ) + 1 = 0
2
2
sin x cos x 2

Bài 14: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
b) 2 (1 − sin x − cos x ) + tan x + cot x = 0

a) tan 2 x + cot 2 x + 3(tan x − cot x) = 6
Bài 15: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
3

x
x
x
x

a)  sin + cos  − 2 sin x + sin + cos − 2 2 = 0
2
2
2
2


b)

1
1
1
1 
+
( sin 3x + cos 3x ) + 1 +  tan 3x + cot 3x +
=0
2
2
sin 3 x cos 3 x 

Bài 16: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a)

1
1
+ 2 tan 2 x + 2
+ 2 cot 2 x − 8 = 0
2
cos 2 x
sin 2 x

b) tan 4 x + cot 4 x − 8 ( tan x + cot x ) + 9 = 0
2

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!