Phương trình đường thẳng trong Không gian

MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
LÊ HỒ QUÝ
(GV THPT Duy Tân – Kon Tum)
Trong những năm gần đây, bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian
thỏa mãn các điều kiện cho trước, xuất hiện trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao
đẳng khá nhiều. Nhằm giúp các bạn chuẩn bị thi vào Đại học nắm vững kiến thức phần này,
bài viết giới thiệu một số dạng toán thường gặp và phương pháp để giải các bài toán đó.

Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
và vuông góc với mặt
phẳng
( ).P
Phương pháp. Vectơ chỉ phương (VTCP) của
∆
là vectơ (VTPT) của
( ).P
Thí dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho hai điểm
(1;4;2)A
và
( 1;2;4).B −
Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua trọng tâm
G
của tam giác

OAB
và vuông góc
với mặt phẳng
( ).OAB
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D - 2007)
Lời giải. Trọng tâm tam giác
OAB
là
(0;2;2).G
Ta có
(1;4;2), ( 1;2;4).OA OB= = −
uuur uuur
Vì
( )d OA B⊥
nên
d
nhận
, (12; 6;6) 6(2; 1;1)n OA OB
 
= = − = −
 
ur uuur uuur
làm VTCP.
Vậy
d
có phương trình
2 2
.
2 1 1
x y z− −

= =
−

Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
M
và vuông góc với hai
đường thẳng
1 2
, d d
(ở đây
1
d
và
2
d
không cùng phương).
Phương pháp
 Xác định VTCP của
∆
là
[ ]
=
r uur uur
1 2
, ,u u u
trong đó
uur uur
1 2

, u u
thứ tự là VTCP của
1 2
, .d d
 Hoặc giả sử VTCP của
∆
là
( ; ; ),u a b c=
r
từ điều kiện
1
d∆ ⊥
và
2
d∆ ⊥
ta tìm được
, , .a b c
Thí dụ 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
−(2; 1;1)M
và vuông góc với
hai đường thẳng
− + −
= =
− −
1
1 2 2
: ,
1 1 2
x y z
d


= +


= − −


=


2
2
: 3 2
0.
x t
d y t
z
1
Lời giải
Cách 1. Đường thẳng
1
d
có vectơ chỉ phương
1
( 1;1; 2)u = − −
uur
; đường thẳng
2
d
có vectơ chỉ

phương
2
(1; 2;0).u = −
uur
Vì
1 2
, d d∆ ⊥ ∆ ⊥
(hơn nữa
1 2
,u u
uur uur
không cùng phương), nên ∆ có vectơ chỉ phương
1 2
, ( 4; 2;1).u u u
 
= = − −
 
r uur uur
Do ∆ còn đi qua M(2; -1; 1) nên có phương trình
2 1 1
.
4 2 1
x y z− + −
= =
− −

Cách 2. Giả sử
( ; ; )u a b c=
r
, với

2 2 2
0a b c+ + >
là vectơ chỉ phương của ∆.
Ta có
1
d∆ ⊥
nên
1 1
. 0 2 0.u u u u a b c⊥ ⇔ = ⇔ − + − =
r uur r uur
(1)

2
d∆ ⊥
nên
2 2
. 0 2 0.u u u u a b⊥ ⇔ = ⇔ − =
r uur r uur
(2)
Từ (1) và (2), ta có
2 , .
2
b
a b c= = −
Do
2 2 2
0a b c+ + >
nên ta có thể chọn
2, 4, 1.b a c= − = − =
Vậy phương trình của ∆ là

2 1 1
.
4 2 1
x y z− + −
= =
− −

Lưu ý. Trường hợp
1 1
//d d
thì
(0;0;0);u =
r
ta viết phương trình mp
( )P
chứa
1 2
, .d d
Khi
đó
∆
là đường thẳng qua
A
và vuông góc với
( ).P
Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng
∆
song song với đường thẳng
d
và cắt

cả hai đường thẳng
1 2
, .d d
Phương pháp
 Xác định các giao điểm
,M N
của
∆
với
1 2
, .d d
Khi đó đường thẳng
∆
đi qua
,M N

hoặc đi qua
M
(hoặc
N
) và song song với
.d
 Hoặc
∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )P
và
( ),Q
trong đó
( )P

chứa
1
d
và song song
với
;d
còn
( )Q
chứa
2
d
và song song với
.d
Thí dụ 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng

− −
= =
−
1 5
:
3 1 1
x y z
d

và cắt cả hai đường thẳng


= +



= − +


= +


1
1
: 2 4
2 3
x t
d y t
z t
và
+ +
= =
2
4 7
: .
5 9 1
x y z
d
Lời giải
Cách 1. Giả sử
1 2
, d M d N∆ ∩ = ∆ ∩ =
thì
2
(1 ; 2 4 ;2 3 ), N( 4 5 '; 7 9 '; ').M t t t t t t+ − + + − + − +
Suy ra

(5 5 ';5 4 9 ';2 3 ').NM t t t t t t= + − + − + −
uuuur
Vì ∆ // d nên
NM
uuuur
và
u
r
cùng phương (
u
r
là vectơ chỉ phương của d)

5 5 ' 5 4 9 ' 2 3 '
3 1 1
t t t t t t+ − + − + −
⇔ = =
−
24
13 32 ' 0
35 142 58
94
; ; .
7 10 ' 7 49
47 47 47
'
94
t
t t
A

t t
t

−
=


− + =
 
 
⇔ ⇔ ⇒ −
 
 ÷
− = −
 



=


Vậy đường thẳng ∆ có phương trình
35 142 58
47 47 47
.
3 1 1
x y z− + −
= =
−
Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d

1
và song song với d. Ta có
1
(1;4;3)u =
uur
và
(3; 1;1)u = −
r
tương ứng là các vectơ chỉ phương của d
1
và d. Khi đó vectơ pháp tuyến
1
n
uur

của (P) là
1 1
, (7;8; 13).n u u
 
= = −
 
uur uur r
Do (P) còn đi qua
1
(1; 2;2)M −
(do
1 1
M d∈
và
1

( )d P⊂
) nên (P) có phương trình
7( 1) 8( 2) 13( 2) 0x y z− + + − − =

7 8 13 35 0.x y z⇔ + − + =
2
d
đi qua điểm
2
( 4; 7;0)M − −
và có vectơ chỉ phương
2
(5;9;1).u =
uur
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d
2
và song song với d. Lúc này, (Q) có vectơ pháp tuyến
2 2
, (10; 2; 32)n u u
 
= = − −
 
uur uur r
cùng phương với
(5; 1; 16).v = − −
r
Vậy (Q) có phương trình
5( 4) 1( 7) 16( 0) 0x y z+ − + − − =

5 16 13 0.x y z⇔ − − + =

Rõ ràng (P) và (Q) cắt nhau (do
7 : 8 : 13 5 : 1 : 16− ≠ − −
).
Giả sử
( ) ( )P Q∆ = ∩
thì
7 8 13 35 0
:
5 16 13 0.
x y z
x y z
+ − + =


∆

− − + =


Do ∆ // d nên có thể lấy
(3; 1;1)u = −
r
làm vectơ chỉ phương cho ∆.
Trong (P), do
u
r
và
1
u
uur

không cùng phương (vì
3 : 1 : 1 1 : 4 : 3− ≠
) nên ∆ và d
1
cắt nhau.
Tương tự trong (Q), ∆ và d
2
cũng cắt nhau.
Vậy ∆ chính là đường thẳng cần tìm. 
Lưu ý. Phải kiểm tra xem ∆ có cắt d
1
, ∆ có cắt d
2
không ? Vì phép dựng ∆ ở trên mới chỉ
là điều kiện cần.
3
Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
M
và cắt hai đường
thẳng
1 2
,d d
cho trước (với
M
không nằm trên cả
1
d
lẫn

2
d
).
Phương pháp

∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng : mp
1
( , )M d
và mp
2
( , ).M d
 Lập phương trình mp
1
( , );M d
xác định giao điểm
2 1
( , ).N d mp M d= ∩
Khi đó
∆
là
đường thẳng qua
, .M N
 Xác định các giao điểm
,A B
của
∆
với
1 2
, .d d

Lúc đó
∆
là đường thẳng qua
,M A
hoặc
đường thẳng qua
, .M B
Thí dụ 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; -1; 1) và cắt cả hai đường
thẳng sau đây :

= +


=


= −


1
1 2
:
3 ;
x t
d y t
z t
+ −
= =
−
2

1 2
: .
1 2 1
x y z
d
Lời giải. Dễ thấy
1 2
, A .A d d∉ ∉
Cách 1. d
1
đi qua điểm
1
(1;0;3)M
và có vectơ chỉ phương
1
(2;1; 1)u = −
uur
. d
2
đi qua điểm
2
(0; 1;2)M −
và có vectơ chỉ phương
2
(1; 2;1).u = −
uur
Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng : mp(A, d
1
) và mp(A, d
2

).
mp(A, d
1
) có vectơ pháp tuyến
1 1 1
, ( 3;4; 2).n A M u
 
= = − −
 
uur uuuuur uur
mp(A, d
2
) có vectơ pháp tuyến
2 2 2
, (2;2;2)n A M u
 
= =
 
uur uuuuur uur
cùng phương với
(1;1;1).v =
r
Vậy đường thẳng ∆ có vectơ chỉ
phương
1
, (6;1; 7).u n v
 
= = −
 
r uur r

Do đó ∆ có phương trình là :
1 1 1
.
6 1 7
x y z− + −
= =
−
Trong mp
1
( , ),A d
do
u
r
và
1
u
ur
không cùng phương nên
∆
và
1
d
cắt nhau. Tương tự
∆
cắt
2
.d
Cố nhiên
∆
qua

A
(vì
1 2
( , ) ( , )mp A d mp A d∩ = ∆
mà
1 2
( , ) ( , )A mp A d mp A d∈ ∩
).
Tóm lại
∆
đi qua
,A
cắt cả
1
d
và
2
d
nên là đường thẳng cần tìm.
Cách 2. mp(A, d
1
) có vectơ pháp tuyến
1
( 3;4; 2)n = − −
uur
nên có phương trình là
3 4 2 9 0.x y z− + − =
Gọi
2 1
( , )B d mp A d= ∩

, ta có :
2
( ; 1 2 ;2 )B s s s d− − + ∈
1
1
( , ) 3 4( 1 2 ) 2(2 ) 9 0 .
13
B mp A d s s s s∈ ⇔ − − − + + − = ⇔ =
Suy ra
1 15 27
; ; .
13 13 13
B
 
−
 ÷
 
Khi đó
12 2 14
; ;
13 13 13
A B
 
= − −
 ÷
 
uuur
cùng phương với
( 6; 1;7).u = − −
r

Vậy ∆ đi qua A và B có phương trình :
4
1 1 1
.
6 1 7
x y z− + −
= =
− −
Cách 3. Phương trình tham số của d
2
là
1 2
2 .
x s
y s
z s

=

= − −


= +


Giả sử
1 2
, N .M d d= ∆ ∩ = ∆ ∩
Khi đó

(1 2 ; ; 3 ), N( ; 1 2 ;2 ).M t t t s s s+ − − − +
Ta có A, M, N thẳng hàng hay
A M
uuuur
và
A N
uuuur
cùng phương.
Ta có
(2 ;1 ;2 ), ( 1 ; 2 ;1 ).A M t t t A N s s s= + − = − + − +
uuuur uuuur
Do đó :
1 2 2 2 2 1
, ; ;
2 1 1 1 1 -2s
(1 5 ; 2 2 3 ;1 5 ).
t t t t t t
A M AN
s s s s s
t s ts t s ts t s ts
 
+ − − +
 
 ÷
=
 
 ÷
− + + − + − +
 
= + + − − − + − + − −

uuuur uuuur
A M
uuuur
và
A N
uuuur
cùng phương
, 0A M AN
 
⇔ =
 
uuuur uuuur r

1 5 0
2 2 3 0
1 5 0.
t s ts
t s ts
t s ts

+ + − =

⇔ − − + − =


+ − − =

Khử số hạng ts từ các phương trình trên, ta được hệ :
3
4 13 5

2
4 26 4 1
.
13
t
t s
t s
s

= −


+ = −
 
⇔
 
+ = −



=


Khi đó
1 7
3; ;
2 2
A M
 
= − −

 ÷
 
uuuur
cùng phương với vectơ
( 6; 1;7).u = − −
r
Vậy đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình :
1 1 1
.
6 1 7
x y z− + −
= =
− −

Lưu ý. Sau khi tìm xong
,
∆
phải có phép thử lại xem
∆
có thỏa mãn điều kiện đặt ra hay
không ?
Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng
( )P
và cắt cả
hai đường thẳng
1
d
và

2
.d
Phương pháp
 Xác định các giao điểm
,A B
của
( )P
với
1 2
, .d d
Đường thẳng
∆
chính là đường thẳng
qua
A
và
.B
 Hoặc xác định các giao điểm
1 2
,A d B d= ∆∩ = ∆ ∩
sao cho
( ).P∆ ⊂
Đường thẳng
∆

chính là đường thẳng qua
A
và
.B
5

Thí dụ 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng
+ =( ) : 2 0P y z
và
cắt cả hai đường thẳng sau đây :

= −


=


=


1
1
:
4 ;
x t
d y t
z t

= −


= +


=



2
2
: 4 2
1.
x s
d y s
z
Lời giải
Cách 1. Gọi
1 2
( ), ( )A d P B d P= ∩ = ∩
thì
1 2
(1 ; ; 4 ) , (2 ; 4 2 ;1) .A t t t d B s s d− ∈ − + ∈
Ta có
( ) 2.4 0 0.A P t t t∈ ⇔ + = ⇔ =
Vậy
(1; 0;0).A
( ) (4 2 ) 2 0 3.B P s s∈ ⇔ + + = ⇔ = −
Vậy
(5; 2;1).B −
Khi đó
(4; 2;1).A B = −
uuur
Đường thẳng phải tìm qua A và B có phương trình :
1
: .
4 2 1
x y z−

∆ = =
−
Cách 2. Giả sử
1 2
, A d B d= ∆ ∩ = ∆ ∩
thì
1 2
(1 ; ; 4 ) , (2 ; 4 2 ;1) .A t t t d B s s d− ∈ − + ∈
(1 ; 4 2 ;1 4 ).A B s t s t t⇒ = − + + − −
uuur
mp(P) có vectơ pháp tuyến
(0;1;2).n =
ur
Do
A B
uuur
là vectơ chỉ phương của ∆, nên
( )
2.4 0 0
( )
4 2 2(1 4 ) 0 3.
A P
t t t
P
s t t s
A B n

∈
 
+ = =

  
∆ ⊂ ⇔ ⇔ ⇔
  
+ − + − = = −
⊥
 

 

uuur ur
(1;0;0), (4; 2;1).A A B⇒ = −
uuur
Vậy đường thẳng ∆ qua A và B có phương trình :
1
.
4 2 1
x y z−
= =
−

Bài toán 6. Viết phương trình đường vuông góc chung
∆
của hai đường thẳng chéo
nhau
1 2
, .d d
Phương pháp
 Xác định mp
( )P
chứa

1
d
và
;
∆
mp
( )Q
chứa
2
d
và
.
∆
Khi đó
∆
là giao tuyến của
( )P

và
( ).Q
 Hoặc xác định giao điểm
A
của
1
d
với mp
( )Q
(chứa
2
d

và
∆
). Khi đó
∆
đi qua
A
và có
VTCP
1 2
, ,n u u
 
=
 
r ur uur
với
1 2
,u u
ur uur
theo thứ tự là VTCP của
1 2
, .d d
 Hoặc xác định
1 2
,A d B d∈ ∈
sao cho
1 2
, .AB d AB d⊥ ⊥
Khi đó
∆
chính là đường thẳng

qua
, .A B
Thí dụ 6. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau đây :

+
∆ = =
1
1 - 1 - 2
:
2 3 1
x y z
và
+
∆ = =
2
- 2 2
: .
1 5 -2
x y z

Lời giải. Dễ thấy ∆
1
và ∆
2
chéo nhau.
6
Cách 1. Gọi
n
r
là VTCP của đường vuông góc chung

∆
thì
1 2
, .n u u
 
=
 
r ur uur
Ta có
1 2 1 2
(2;3;1), (1;5; 2), , ( 11;5;7).u u n u u
 
= = − = = −
 
ur uur r ur uur
Gọi
( )P
là mặt phẳng chứa
1
d
và đường vuông góc chung
∆
thì VTPT của
( )P
là
( )
1 1
, 16;-25;43 .n u n
 
= =

 
ur ur r
Do
( )P
chứa
1
d
nên nó đi qua điểm
( 1;1;2).M −
Suy ra phương trình của
( )P
là
16 25 43 45 0.x y z− + − =

Gọi
( )Q
là mặt phẳng chứa
2
d
và đường vuông góc chung
∆
thì VTPT của
( )Q
là
( )
2 2
1
, 45;15;60 (3;1;4).
15
n u n

 
= = =
 
uur uur r
Do
( )Q
chứa
2
d
nên nó đi qua điểm
(2; 2;0).N −
Suy
ra phương trình của
( )Q
là
3 4 4 0.x y z+ + − =
Đường vuông góc chung
∆
là giao tuyến của
( )P
và
( )Q
nên nó có phương trình
16 - 25 43 - 45 0
3 4 - 4 0.
x y z
x y z
+ =



+ + =


Nhận xét. Cách giải trên cho phương trình đường vuông góc chung dưới dạng tổng quát.
Cách giải này không cho trực tiếp tọa độ của chân đường vuông góc chung.
Cách 2. Phương trình mặt phẳng
( ) :3 4 4 0Q x y z+ + − =
(Q) (như cách 1).
Tìm giao điểm của
1
d
với (Q):
Phương trình tham số của
1
d
:
-1 2
1 3
2 .
x t
y t
z t
= +


= +


= +


Tham số
t
ứng với giao điểm
A
của
1
d
và
( )Q
là nghiệm của phương trình:
2
3.( 1 2 ) (1 3 ) 4.(2 ) 4 0 - .
13
t t t t− + + + + + − = ⇔ =
Vậy
17 7 24
- ; ; .
13 13 13
A
 
 ÷
 
Đường thẳng
∆
cần tìm đi qua
A
và nhận
(-11; 5; 7)n =
r
làm VTCP.

Vậy đường vuông góc chung
∆
có phương trình
17 7 24
- -
13 13 13
.
-11 5 7
x y z+
= =
Cách 3. Ta có phương trình của
1
d
và
2
d
dưới dạng tham số :
1
-1 2
: 1 3 ;
2
x t
d y t
z t
= +


= +



= +

2
2 '
: -2 5 '
2 '.
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

Xét điểm
1
( 1 2 ;1 3 ;2 )A t t t d− + + + ∈
và
2
(2 '; 2 5 '; 2 ') .B t t t d+ − + − ∈
Suy ra
(3 '-2 ;-3 5 '-3 ;-2- 2 '- ).AB t t t t t t= + +
uuur
AB
sẽ là đường vuông góc chung của
1
d

và
2
d
khi và chỉ khi :
7
 
⊥ =
 
⇔
 
⊥ =
 
 
uuur uuur
uur uur
uuur uuur
uur uur
1 1
2 2
. 0
. 0
A B u A B u
A B u A B u
2.(3 '-2 ) 3.(-3 5 '-3 ) 1.(-2-2 '- ) 0
1.(3 '-2 ) 5.(-3 5 -3 )-2.(-2-2 '- ) 0
t t t t t t
t t t t t t
+ + + + =

⇔


+ + + =

2
-
15 '-14 5
3
30 '-15 8 37
' .
195
t
t t
t t
t

=

=


⇔ ⇔
 
=


=


17 7 24 427 205 74
- ; ; , ;- ;-

13 13 13 195 195 195
A B
   
⇒
 ÷  ÷
   
682 310 434 62
;- ;- (11;-5;-7).
195 195 195 195
AB
 
⇒ = =
 ÷
 
uuur
Đường vuông góc chung của
1
d
và
2
d
là đường thẳng
AB
đi qua
17 7 24
- ; ;
13 13 13
A
 
 ÷

 
và nhận
(11;-5;-7)v =
r
làm VTCP.
Vậy nó có phương trình
17 7 24
- -
13 13 13
.
11 -5 -7
x y z+
= =

Nhận xét. Trong cách giải này, để viết phương trình đường vuông góc chung ta đã sử dụng
phương pháp tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung như trên. Cách giải này có hiệu
lực khi các biểu diễn tham số của các đường thẳng
1 2
,d d
là đơn giản.
Bài toán 7. Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng
( )P
và cắt
cả hai đường thẳng
1 2
,d d
chéo nhau cho trước.
Phương pháp

 Xác định mp
( )Q
chứa
1
d
và vuông góc với
( );P
mp
( )R
chứa
2
d
và vuông góc với
( ).P

Khi đó
∆
chính là giao tuyến của mp
( )P
và mp
( ).Q
Lưu ý. Thử lại xem
∆
có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không rồi mới kết luận !
 Hoặc xác định các giao điểm
1 2
, A d B d= ∆ ∩ = ∆∩
sao cho
( ).P∆ ⊥
Khi đó

∆
chính là
đường thẳng qua
, .A B
Thí dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
+ − =( ) : 7 4 0P x y z
và cắt hai đường thẳng sau đây :
− +
= =
−
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
và

= − +


= +


=


2
1 2
: 1

3.
x t
d y t
z
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A - 2007)
Lời giải. Dễ thấy d
1
và d
2
chéo nhau.
Cách 1. d
1
đi qua
1
(0;1; 2)M −
và có vectơ chỉ phương
1
(2; 1;1)u = −
uur
;
d
1
đi qua
2
( 1;1;3)M −
và có vectơ chỉ phương
2
(2;1;0).u =
uur

8
mp(P) có vectơ pháp tuyến
(7;1; 4).n = −
ur
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d
1
và vuông góc với (P).
mp(P) có vectơ pháp tuyến
1 1
, (3;15;9)n u n
 
= =
 
uur uur ur
cùng phương với vectơ
'
1
(1;5;3).n =
uur
Do đó, (Q) có phương trình :
( 0) 5( 1) 3( 2) 0x y z− + − + + =
hay
5 3 1 0.x y z+ + + =
Gọi (R) là mặt phẳng chứa d
2
và vuông góc với (P).
mp(R) có vectơ pháp tuyến
2 2
, ( 4;8; 5).n u n
 

= = − −
 
uur uur ur
Do đó, (R) có phương trình :
4( 1) 8( 1) 5( 3) 0x y z− + + − − − =
hay
4 8 5 3 0.x y z− + − =
Vì
1 : 5 : 3 4 : 8 : 5≠ −
nên (Q) và (R) cắt nhau.
Giả sử
( ) ( )Q R d∩ =
thì
( ).d P⊥
Do đó, d có vectơ chỉ phương
(7;1; 4).n = −
ur
Trong (Q), d cắt d
1
(do
2 : 1 : 1 7 : 1 : 4− ≠ −
).
Tương tự, trong (R), d cắt d
2
.
Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình :
5 3 1 0
4 8 5 3 0.
x y z
x y z


+ + + =


− + − =


Cách 2. Giả sử
1 2
, d d A d d B∩ = ∩ =
thì
1 2
, A d B d∈ ∈
nên
(2 ;1 ; 2 ), ( 1 2 ;1 ; 3).A s s s B t t− − + − + +

(2 2 1; ; 5).A B t s t s s⇒ = − − + − +
uuur
(P) có vectơ pháp tuyến
(7;1; 4).n = −
ur
Vì
( )d P⊥
nên
A B
uuur
cùng phương với
n
ur
2 2 1 5

7 1 4
t s t s s− − + − +
⇔ = =
−
5 9 1
4 3 5
t s
t s

+ = −

⇔

+ = −


1
2.
s
t

=

⇔

= −


(2;0; 1), ( 5; 1; 3).A B⇒ − − −
Vậy d có phương trình :

2 1
.
7 1 4
x y z− +
= =
−

Bài toán 8. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
M
vuông góc với đường
thẳng
1
d
và cắt đường thẳng
2
d
(ở đây
2
M d∉
).
Phương pháp
 Lập phương trình mp
( )P
đi qua
M
và vuông góc với
1
.d

Xác định giao điểm
2
( ).N d P= ∩
Khi đó
∆
chính là đường thẳng qua
, .M N
 Hoặc xác định giao điểm
2
N d= ∆ ∩
sao cho
1
.d∆ ⊥
Khi đó
∆
chính là đường thẳng
qua
, .M N
Thí dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(1;2;3)A
và hai đường thẳng :
− + −
= =
−
1
2 2 3
: ;
2 1 1
x y z
d

− − +
= =
−
2
1 1 1
: .
1 2 1
x y z
d
9
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D - 2006)
Lời giải
Cách 1. Vì ∆ qua A và vuông góc với d
1
nên ∆ phải nằm trong mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với d
1
. mp(P) nhận vectơ chỉ phương
1
(2; 1;1)u = −
uur
của d
1
làm vectơ pháp tuyến.
Vì thế, (P) có phương trình :

2( 1) ( 2) ( 3) 0x y z− − − + − =
hay
2 3 0.x y z− + − =

Phương trình tham số của d
2
là
1
1 2
1 .
x t
y t
z t

= −

= +


= − +

Gọi
2
( )M d P= ∩
thì
2
(1 ;1 2 ; 1 ) .M t t t d− + − + ∈
Ta lại có
( ) 2(1 ) (1 2 ) ( 1 ) 3 0 1.M P t t t t∈ ⇔ − − + + − + − = ⇔ = −
Vậy

(2; 1; 2).M − −
Khi đó
(1; 3; 5).A M = − −
uuuur
Đường thẳng ∆ qua A và M có phương trình :
1 2 3
.
1 3 5
x y z− − −
= =
− −
Cách 2. Giả sử
2
d B∆ ∩ =
thì
2
(1 ;1 2 ; 1 ) .B t t t d− + − + ∈
Suy ra
( ;2 1; 4).A B t t t= − − −
uuur
Ta có
1
d∆ ⊥
nên
1 1
. 0A B u A B u⊥ ⇔ =
uuur uur uuur uur

2( ) (2 1) ( 4) 0 1.t t t t⇔ − − − + − = ⇔ = −

Khi đó
(1; 3; 5).A B = − −
uuur
Vậy ∆ qua A và B có phương trình là :
1 2 3
.
1 3 5
x y z− − −
= =
− −

Bài toán 9. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
,M
vuông góc và cắt
đường thẳng
.d

Phương pháp

∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )P
và
( ),Q
trong đó mp
( )P
chứa
M

và
;d
mp
( )Q
chứa
M
và và vuông góc với
.d
 Hoặc lập phương trình mp
( )Q
qua
M
và vuông góc với
;d
xác định giao điểm
( ).N d Q= ∩
Khi đó
∆
là đường thẳng qua
, .M N
 Hoặc xác định hình chiếu vuông góc
N
của
M
lên
.d
Khi đó
∆
là đường thẳng qua
, .M N

Thí dụ 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
− −( 4; 2; 4)A
và đường thẳng
10


= +


=


= +


-3 2
: 1 -
-1 4 .
x t
d y t
z t

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối B - 2004)
Lời giải
Cách 1. Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là
mặt phẳng đi qua A và chứa d; còn (Q) là mặt phẳng đi qua A và (Q) ⊥ d.
 Đường thẳng d đi qua
( 3;1; 1)B − −
và có vectơ chỉ phương

u=(2 ; -1 ; 4).
r
Ta có
( )
1;3;-5 .A B =
uuur
Mặt phẳng (P) nhận
u
r
và
AB
uuur
làm cặp vectơ chỉ phương, suy ra (P) có một vectơ pháp
tuyến là :
( )
1
- , 1;-2; -1 .
7
n u A B
 
= =
 
ur r uuur
Mặt phẳng (P) lại qua
( 4; 2; 4)A − −
nên có phương trình :
1(x + 4) -2(y + 2) -1(z – 4) = 0 hay x – 2y – z + 4 = 0.
 Do (Q) ⊥ d nên (Q) nhận
(2;-1;4)u =
r

làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng
( )Q
lại qua
( 4; 2; 4)A − −
nên có phương trình :
2(x + 4) -1(y + 2) + 4(z – 4) = 0 hay 2x – y + 4z – 10 = 0.
Vậy phương trình của ∆ là :
- 2 - 4 0
2 - 4 - 10 0
x y z
x y z

+ =


+ =


hay
1 3
2
3 .
x t
y t
z t

= − −

= −



= +

Cách 2. Do ∆ đi qua A và vuông góc với d nên ∆ phải nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua A và
vuông góc với d. mp(Q) nhận vectơ chỉ phương
(2;-1;4)u =
r
của d làm vectơ pháp tuyến.
Bởi vậy, (Q) có phương trình :
2( 4) ( 2) 4( 4) 0x y z+ − + + − =
hay
2 4 10 0.x y z− + − =
Gọi
∩ =( )d Q M
thì
( 3 2 ;1 ; 1 4 ) .M t t t d− + − − + ∈
Ta cũng có
( ) 2( 3 2 ) (1 ) 4( 1 4 ) 10 0M P t t t∈ ⇔ − + − − + − + − =


21 21 0 1.t t⇔ − = ⇔ =
Vậy
( 1;0;3).M −
Khi đó
(3;2; 1).A M = −
uuuur
Đường thẳng ∆ qua A và M có phương trình :
4 2 4
.

3 2 1
x y z+ + −
= =
−
Cách 3. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d thì
.M d∈
( 3 2 ;1 ; 1 4 ).M t t t− + − − +
Khi đó
(1 2 ; 3 - ; -5 4 ).A M t t t= + +
uuuur
d có vectơ chỉ phương
(2;-1;4).u =
r

Ta có
. 0A M d A M u⊥ ⇔ =
uuuur r
11
⇔ 2(1 + 2t) -1(3 – t) + 4(-5 + 4t) = 0 ⇔ t = 1.
Suy ra
(3;2;-1).A M =
uuuur

Đường thẳng ∆ đi qua A và M nên có phương trình là :
4 2 - 4
.
3 2 -1
x y z+ +
= =


Bài toán 10. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua giao điểm
M
của đường
thẳng
d
và mặt phẳng
( ),P
nằm trong
( )P
và vuông góc với
d
(ở đây
/d ( P )⊥
).
Phương pháp
 Lập phương trình mp
( )Q
qua
M
và vuông góc với
.d
Khi đó
∆
chính là giao tuyến của
( )P
và
( ).Q
 Hoặc xác định VTCP của

∆
là
, ,v n u
 
=
 
r r r
với
n
r
là VTPT của
( ),P

u
r
là VTCP của
.d
 Hoặc xác định VTCP của
∆
là
( ; ; )v a b c=
r
sao cho
( ), .P d∆ ⊂ ∆ ⊥
Thí dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mp(P) có
phương trình :
− + −
= =
−
1 3 3

: ;
1 2 1
x y z
d
+ − + =( ) : 2 2 9 0.P x y z
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình tham số của
đường thẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d.
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A - 2005)
Lời giải. Phương trình tham số của d là
1
3 2
3 .
x t
y t
z t

= −

= − +


= +

Thay x, y, z ở phương trình trên vào phương trình của (P), ta được :
2(1 ) ( 3 2 ) 2(3 ) 9 0 1.t t t t− + − + − + + = ⇔ =
Vậy
(0; 1;4).A −
Cách 1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d thì (Q) có vectơ pháp tuyến
( 1;2;1)u = −
r

là vectơ chỉ phương của d nên có phương trình :
( 0) 2( 1) ( 4) 0x y z− − + + + − =
hay
2 2 0.x y z− − + =
Giao tuyến ∆ của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và
d∆ ⊥
(vì
( )Q∆ ⊂

mà
( )d Q⊥
). Suy ra ∆ có phương trình :
2 2 9 0
2 2 0
x y z
x y z

+ − + =


− − + =


hay
4
1
.
x t
y
z t


= − +

= −


=

Cách 2. (P) có vectơ pháp tuyến
(2;1; 2).n = −
ur
d có vectơ chỉ phương
( 1;2;1).u = −
r
12
Vì
( )P∆ ⊂
và
d∆ ⊥
nên vectơ chỉ phương
v
r
của ∆ vuông góc với cả
n
ur
và
v
r
, nên ta có
thể chọn :

, (5;0;5)v n u
 
= =
 
r ur r
cùng phương với vectơ
' (1;0;1).v =
ur
Vậy đường thẳng ∆ có phương trình :
1
4 .
x t
y
z t

=

= −


= +

Cách 3. (P) có vectơ pháp tuyến
(2;1; 2).n = −
ur
d có vectơ chỉ phương
( 1;2;1).u = −
r
Giả sử
( ; ; )v a b c=

r
, với
2 2 2
0a b c+ + >
là vectơ chỉ phương của ∆.
Vì
d∆ ⊥
và
( )P∆ ⊂
nên :
. 0 2 2 0 0
2 0 .
. 0
v n a b c b
a b c a c
v u

 
= + − = =
  
⇔ ⇔
  
− + + = =
=
 

 

r ur
r r

Do
2 2 2
0a b c+ + >
nên ta có thể chọn
1a c= =
(1; 0;1).v⇒ =
r
Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tham số :

=


= −


= +


1 .
4
x t
y
z t

Nhận xét. Ta đã dùng kết quả hiển nhiên sau : Đường thẳng
∆
đi qua
( )A P∈
sẽ nằm trên
( )P

khi và chỉ khi
,n∆ ⊥
r
với
n
r
là VTPT của
( ).P
Bài toán 11. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
,M
song song với mặt
phẳng
( )P
và vuông góc với đường thẳng
.d
Phương pháp

u
r
là VTCP của
d
và
n
r
là VTPT của
( );P

, .a u n

 
=
 
r r r
Nếu
0a ≠
r r
thì
a
r
là VTCP của
,∆
từ đó viết được phương trình của
.
∆
Nếu
0a =
r r
tức là
( ),d P⊥
khi đó ta lập phương trình mp
( )Q
qua
M
và chứa
.d
Đường
thẳng
∆
cần tìm đi qua

M
và vuông góc với
( ).Q
 Hoặc xác định mp
( )Q
qua
M
và song song với
( );P
mp
( )R
qua
M
và vuông góc với
.d
Khi đó
∆
chính là giao tuyến của mp
( )Q
và mp
( ).R
Thí dụ 11. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
(1;1; 2),A −
song song với mặt phẳng
( ) : 1 0P x y z− − − =
và vuông góc với đường thẳng
1 1 2
: .

2 1 3
x y z
d
+ − −
= =
Lời giải
13
Cách 1.
d
có VTCP
(2;1;3),u =
r
( )P
có VTPT
(1; 1; 1)n = − −
r
nên
, (2;5; 3).a u n
 
= = −
 
r r r

Vậy
∆
đi qua
,A
song song với
( )P
và vuông góc với

d
sẽ nhận
(2;5; 3)a = −
r
làm VTCP
nên
∆
có phương trình là
1 1 2
.
2 5 3
x y z− − +
= =
−
Cách 2. Đường thẳng
∆
đi qua
A
và song song với
( )P
nên
∆
nằm trên mp
( )Q
qua
(1;1; 2)A −

và song song với
( ).P

Ta có
( ) :1.( 1) 1.( 1) 1.( 2) 0Q x y z− − − − + =
hay
( ) : 2 0.Q x y z− − − =
Đường thẳng
∆
đi qua
A
và vuông góc với
d
nên
∆
nằm trên mp
( )R
qua
(1;1; 2)A −
và
vuông góc với
.d

Ta có
( ) : 2.( 1) 1.( 1) 3.( 2) 0R x y z− + − + + =
hay
( ) : 2 3 3 0.R x y z+ + + =
Vậy
∆
có phương trình
2 0
2 3 3 0.
x y z

x y z
− − − =


+ + + =


 Bài toán 12. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
,M
song song với mặt
phẳng
( )P
và cắt đường thẳng
.d
Phương pháp
 Lập phương trình mặt phẳng
( )Q
đi qua
M
và song song với
( ).P
Xác định giao điểm
( ).N d Q= ∩
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua
, .M N
 Hoặc xác định giao điểm
.N d= ∆ ∩
Đường thẳng

∆
đi qua
, .M N
 Hoặc lập phương trình mặt phẳng
( )Q
đi qua
M
và song song với
( );P
mặt phẳng
( )R
đi
qua
M
và chứa
.d
Thí dụ 12. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
(3;2; 4),A −
song song mặt phẳng
( ) :3 2 3 7 0,P x y z− − − =
đồng thời cắt đường thẳng
2 4 1
: .
3 2 2
x y z
d
− + −
= =

−
Lời giải
Cách 1. Gọi
( )Q
là mặt phẳng đi qua
(3;2; 4)A −
và song song với
( )P
thì
( ) :3.( 3) 2.( 2) 3.( 4) 0 3 2 3 17 0.Q x y z x y z− − − − + = ⇔ − − − =

Gọi
( )B d Q= ∩
thì
(2 3 ; 4 2 ;1 2 ) .B t t t d+ − − + ∈
Hơn nữa
( )B Q∈
nên
6
3.(2 3 ) 2.( 4 2 ) 3.(1 2 ) 17 0 .
7
t t t t+ − − − − + − = ⇔ =
Suy ra
32 40 19
; ; .
7 7 7
B
−
 
 ÷

 

Đường thẳng
∆
đi qua
A
và nhận
1
(11; 54;47)
7
AB = −
uuur
làm VTCP nên có phương trình
3 11
2 54 ( ).
4 47
x t
y t t
z t
= +


= − ∈


= − +

¡
Cách 2. Gọi
B d

= ∆∩
thì
(2 3 ; 4 2 ;1 2 )B t t t d+ − − + ∈
và
.B
∈∆
Suy ra
(3 1; 2 6;2 5).AB t t t= − − − +
uuur
( )P
có VTPT
(3; 2; 3).
p
n = − −
uur

Để
//( ),P∆
ta cần có
p
AB n⊥
uuur uur
hay
. 0.
p
AB n =
uuur uur
Vậy ta có phương trình sau để xác định
t
14

6
3.(3 1) 2.( 2 6) 3.(2 5) 0 .
7
t t t t− − − − − + = ⇔ =
Suy ra
32 40 19
; ; .
7 7 7
B
−
 
 ÷
 

Đường thẳng
∆
đi qua
A
và nhận
1
(11; 54;47)
7
AB = −
uuur
làm VTCP nên có phương trình
3 2 4
.
11 54 47
x y z− − +
= =

−
Cách 3. Đường thẳng
∆
đi qua
A
và song song với
( )P
nên
∆
nằm trên mặt phẳng
( )Q
đi
qua
A
và song song với
( ).P
Mặt phẳng
( )Q
có VTPT
(3; 2; 3).
Q p
n n= = − −
uur uur
Do đó
( ) :3.( 3) 2.( 2) 3.( 4) 0 3 2 3 17 0.Q x y z x y z− − − − + = ⇔ − − − =
Đường thẳng
∆
đi qua
A
và cắt

d
nên
∆
nằm trên mặt phẳng
( )R
đi qua
A
và chứa
.d
d
đi qua
(2; 4;1)M −
và có VTCP
(3; 2;2).u = −
r
( )R
đi qua
(3;2; 4)A −
và có cặp vectơ chỉ phương
(1;6; 5), (3; 2;2)MA u= − = −
uuur r
nên có
VTPT
, (2; 17; 20).
R
n MA u
 
= = − −
 
uur uuur r

Do đó
( ) : 2.( 3) 17.( 2) 20.( 4) 0 2 17 20 52 0.R x y z x y z− − − − + = ⇔ − − − =

Vậy
∆
có phương trình
3 2 3 17 0
2 17 20 52 0.
x y z
x y z
− − − =


− − − =


 Bài toán 13. Viết phương trình hình chiếu
∆
của đường thẳng
d
lên mặt phẳng
( ).P

Phương pháp
 Lập phương trình mặt phẳng
( )Q
chứa
d
và vuông góc với
( ).P

Khi đó
∆
chính là giao
tuyến của
( )P
và
( ).Q
 Hoặc xác định giao điểm
( );A d P= ∩
hình chiếu
H
của điểm
M d
∈
lên
( ).P
Đường
thẳng
∆
đi qua
, .A H
 Hoặc sử dụng phương trình chùm mặt phẳng.
Thí dụ 13. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
∆
của đường thẳng
8 3
:
1 4 2
x y z
d

− −
= =
trên mặt phẳng
( ) : 7 0.P x y z+ + − =

Lời giải. Dễ thấy d cắt (P) và không vuông góc với (P)
Cách 1. Gọi
( )Q
là mặt phẳng chứa
∆
và
.d
Khi đó mp
( )Q
chứa
d
và vuông góc với
( ).P
d
đi qua
(0;8;3)M
và có VTCP
=
r
(1;4;2);u

( )P
có VTPT
(1;1;1).
P

n =
uur
Do
( )Q
đi qua
(0;8;3)M
và có cặp VTCP
= =
r uur
(1;4;2), (1;1;1)
P
u n
nên có VTPT
, (2;1;-3).
Q P
n u n
 
= =
 
uur r uur
Vậy
( ) : 2.( -0) 1.( -8) -3.( -3) 0 2 -3 1 0.Q x y z x y z+ = ⇔ + + =
15
Do đó
∆
là đường thẳng có phương trình là
-7 0
2 -3 1 0.
x y z
x y z

+ + =


+ + =


Cách 2. Tham số
t
ứng với giao điểm
A
của
d
và
( )P
là nghiệm của phương trình :
7
(8 4 ) (3 2 ) -7 0 - .
4
t t t t+ + + + = ⇔ =
Suy ra
4 40 13
- ; ; .
7 7 7
A
 
 ÷
 
Đường thẳng
∆
đi qua

(0;8;3)M d∈
và vuông góc với
( )P
có phương trình tham số là
'
8 '
3 '.
x t
y t
z t
=


= +


= +

Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
trên (P) thì
( ).H P= ∆ ∩
Từ đó, ta dễ dàng tìm
được
4 20 5
- ; ; .
3 3 3
H

 
 ÷
 
Suy ra
16 20 4 4
- ; ; - - (4; -5; 1).
21 21 21 21
AH
 
= =
 ÷
 
uuur
Đường thẳng
∆
đi qua
A
và nhận
( )
4;-5;1v =
r
làm vectơ chỉ phương có phương trình
4 40 13
7 7 7
.
4 5 1
x y z+ − −
= =
−
Cách 3. Ta có phương trình của

d
dưới dạng tổng quát
4 8 0
2 3 0.
x y
x z
− + =


− + =

Mặt phẳng
( )Q
xác định bởi
d
và hình chiếu
∆
của nó thuộc chùm mặt phẳng sinh bởi
d

2 2
(4 8) (2 3) 0, 0
(4 2 ) 8 3 0.
a x y b x z a b
a b x ay bz a b
− + + − + = + >
⇔ + − − + + =
VTPT của
( )Q
là

(4 2 ; ; ).
Q
n a b a b= + − −
uur
Ta có
( ) ( ) . 0,
Q P Q P
Q P n n n n⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
tức là
1.(4 2 ) 1.( ) 1.( ) 0 3 0.a b a b a b+ + − + − = ⇔ + =
Do
2 2
0a b+ >
nên ta có thể chọn
1, 3.a b= = −
Lúc đó
( ) : 2 3 1 0.Q x y z+ − + =
Vậy
-7 0
:
2 -3 1 0.
x y z
x y z
+ + =

∆

+ + =



Lưu ý. Trước khi tìm hình chiếu của
d
trên
( )P
phải xem
d
có vuông góc với
( )P
hay
không ?
 Nếu
( )d P⊥
thì ta làm như trên.
 Nếu
( )d P⊥
thì
( )M d P= ∩
chính là hình chiếu của
d
trên
( ).P
BÀI TẬP
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
(1; 2;3)A −
và vuông góc với hai đường thẳng :
16
1
1 2
: 2 2

1;
x t
d y t
z

= +


= −


= −


2
3 2 10 0
:
4 0.
x y
d
z
+ − =



− =


2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
(2;3;1)A

và cắt cả hai đường thẳng sau đây :
1
2 2
: ;
1 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
2
5 3
: 2
.
x t
d y t
z t

= − +


= −


=


3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Ox và cắt cả hai đường thẳng :
1
- 2 4

: ;
1 -1 2
x y z
d
+
= =
2
8 - 6 - 10
: .
2 1 -1
x y z
d
+
= =
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng
( ) : 2 0P x y+ =
và cắt cả hai
đường thẳng :
1
1
: ;
1 4 1
x y z
d
−
= =
−
2
4 2
: 4

2 .
x t
d y
z t

= +


=


= −


5. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau đây :
1
1 3
: ;
1 2 3
x y z
d
− −
= =
2
1 2 1
: .
1 2 1
x y z
d
+ − −

= =
−
6. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
( 1;2; 3)A − −
, vuông góc với đường thẳng
1
3 2
:
6 2 3
x y z
d
+ −
= =
− −
và cắt đường thẳng
2
1 1 3
: .
3 2 5
x y z
d
− + −
= =
−
7. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
(3;2;1)A
, cắt và vuông góc với đường
thẳng
3
: .

2 4 1
x y z
d
+
= =
8. Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình :
( ) : 2 1 0;P x y z+ + − =
1 2
: .
2 1 3
x y z
d
− +
= =
−
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm của (P) và d, vuông góc với d và nằm
trong (P).
9. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng
( ) : 2 2 1 0P x y z− − + =
và
cắt cả hai đường thẳng sau đây :
1
1 2
: ;
3 1 1
x y z
d
− +
= =
2

2 0
:
1 0.
x y z
d
x
+ − + =



+ =


10. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
(2;1; 3),A −
song song với mặt phẳng
( ) : 1 0P x y z+ − − =
và vuông góc với đường thẳng
3 1 5
: .
2 1 2
x y z
d
− − −
= =
17
11. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
∆
của đường thẳng
6 3 2

:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
trên mặt phẳng
( ) : 2 3 0.P x y z− + =
12. Trong không gian
,Oxyz
cho mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0P x y z− + − =
và hai đường thẳng
1 2
4 1 3 5 7
: , : .
2 2 1 2 3 2
x y z x y z
d d
− − + + −
= = = =
− −
a) Chứng tỏ
1
d
song song với
( ),P

2
d

cắt
( ).P
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
.d
c) Viết phương trình đường thẳng
∆
song song với
( ),P
cắt
1
d
và
2
d
lần lượt tại
M
và
N
sao cho
3.MN =
18
Trên đây là nguyên bản bài viết mà tôi đã gởi cho Tòa soạn Tạp chí Toán học &
Tuổi trẻ, tuy nhiên bài viết được đăng trong cuốn “ Tuyển chọn theo chuyên đề : Chuẩn
bị cho kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và thi vào Đại học, Cao đẳng – Môn Toán -
Tập 2” của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam đã được Hội đồng biên tập Tạp chi Toán
học & Tuổi trẻ chắc lọc, chỉnh sửa chút ít.

Về mặt này, mặt nọ không thể tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Rất
mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo chân thành từ quý Thầy cô giáo đáng kính, các bạn
bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Mọi góp ý xin gởi về :
Lê Hồ Quý – GV. THPT Duy Tân, Kon Tum
Email: