Hệ thức lượng giác

HÖ thøc lîng gi¸c
Đinh Tiến Nguyện
Team_BQT
The first: Biến đổi lợng giác
Chuyên đề 1: Hệ thức cơ bản của hàm số lợng giác
A. Công thức thờng sử dụng
1. sin
2
a + cos
2
a = 1

sin
2
a = 1 - cos
2
a hoặc cos
2
a = 1-sin
2
a.
2. tan a =
sin
cos
a
a
;
cos
cot
sin
a

a
a

3.
1
tan .cot 1 tan
cot
a a a
a

4.
2 2
2 2
1 1
tan 1 ;cot 1
cos sin
a a
a a

.
B. Các dạng toán
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức lợng giác
Bài toán: CMR : A(sin,cos,tan,cot) = B(sin,cos,tan,cot).
Phơng pháp:
Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang về đơn giản.
1 2
1 2


m

n
A A A A B
B B B B A





Cách 2: Biến đổi đến cùng biểu thức trung gian.
1 2
1 2


m
n
A A A A G
A B
B B B B G






Cách 3: Biến đổi tơng đơng.
1 1

n m
A B A B A B
(luôn đúng).

Các ví dụ minh họa:
Bài 1: CMR :
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
a
a
a



Bài 2: CMR :
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
a a a
a a a a



.
Bài 3: CMR:
1 sin cos
cos 1 sin
a a

a a



.
Dạng 2: Rút gọn biểu thức lợng giác.
Phơng pháp:
Đa về cùng một loại hàm số lợng giác.
Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
Nếu gặp dạng phân thức thì biến đổi cả tử và mẫu về dạng tích các hàm
số lợng giác rồi rút gọn nhân tử chung.
Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong dấu căn dới
dạng lũy thừa rồi rút gọn chỉ số căn thức.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Rút gọn biểu thức : A = cos
2
a + cos
2
a.cot
2
a.
Bài 2: Rút gọn biểu thức : B =
1 1
1 tan . 1 tan
cos cos
a a
a a

.
Bài 3: Rút gọn biểu thức : C =
2
2cos 1
sin cos
a
a a


.
Bài 4: Rút gọn biểu thức : D =
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )a a a a
.
Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.
Phơng pháp:
Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận đợc biểu thức đơn giản mà
không phụ thuộc vào biến số đúng theo yêu cầu bài toán.
Các biểu thức ta chuyển về một biến số ( theo t chẳng hạn) thì biểu thứ c rút
gọn là một hằng số.
Các ví dụ minh họa:
Bài 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
4 4 2
4 2 2 2
6 6 4 4
8 8 6 6 4
4 2 4 2
cos sin 2sin
cos sin cos sin

2(sin cos ) 3(sin cos )
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin
sin 4cos cos 4sin
A x x x
B x x x x
C x x x x
D x x x x x
E x x x x





Dạng 4: Giá trị biểu thức lợng giác liên quan đến tổng hiệu.
Phơng pháp:
Đặt sinxcosx = t.

sinxcosx=f(t). Biến đổi biểu thức cần tính giá trị về
dạng sao cho xuất hiện dạng tổng và tích của sinx và cos x.
Đặt tanxcotx = t

tan
2
x+cot
2
x=t
2

2 . Sử dụng hằng đẳng thức đa về
xuất hiện các dạng giống nh ta đặt.

Nếu biểu thức cần tính giá trị dạng phân thức chứa cả sinx và cos x dạng
lũy thừa. Ta chia cả tử và mẫu cho cosx0. Rồi chuyển về biểu thức chỉ
chứa tan hoặc cot.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho sin x+ cos x =
5
4
. Tính giá trị của các biểu thức:
3 3
sin .cos ; sin cos ; sin cos .A x x B x x C x x
Bài 2: Cho tan x-cot x = 2. Tính giá trị các biểu thức:
2 2 4 4
tan cot ; tan cot ; tan cotD x x E x x F x x
.
Bài 3: Cho tan x = 2. Tính giá trị biểu thức sau:
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
3sin 5sin cos 77sin cos 4sin cos 2cos
5sin 3sin cos 4sin cos 2sin cos 3cos
x x x x x x x x
G
x x x x x x x x



.
Dạng 5: Tính giá trị biểu thức bằng cách giải phơng trình.
Phơng pháp:
Đặt t = sin
2

x ( -1 t 1)

cos
2
x = 1 - t. Sau đó thay vào giả thiết tìm ra t.
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho 3sin
4
x - cos
4
x=
1
2
. Tính A=sin
4
x + 3cos
4
x.
Bài 2: Cho 3sin
4
x + 2cos
4
x. Tính B = 2sin
4
x - 5cos
6
x
Chuyên đề 2: Công thức rút gọn các góc lớn
A. Kiến thức cơ bản:
1. Đờng tròn lợng giác.

2. Các công thức rút gọn góc.


sin 2 sink


cos 2 cosk


tan tank


cot cotk

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

sin( ) cos
2



cos( ) sin
2



tan( ) cot
2



cot( ) tan
2



sin( ) cos
2

cos( ) sin
2



tan( ) cot
2



cot( ) tan
2


B. Bài tập vận dụng
1. Tính giá trị của các hàm số lợng giác của góc 495
0
;
43
6

.
2. Tính giá trị biểu thức:
a.
0 0 0
0 0
0

(cot44 cot 226 ).cos406
cot72 .cot18
cos316
A


b.
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180B
c.
0 0 0 0 0
tan10 .tan20 .tan30 tan70 tan80C
Chuyên đề 3: Công thức cộng lợng giác
I. Các công thức sử dụng:
1.cos( ) cos cos sin sin
2.sin( ) sin cos cos sin
tan tan
3.tan( )
1 tan tan
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b

II. Bài tập minh họa:
1. Tính giá trị của các hàm số lợng giác của
5 7
; ;
12 12 12

.
2. Tính giá trị của biểu thức:
0 0 0 0
0 0 0 0
sin10 cos20 sin 20 cos10
cos17 cos13 sin17 sin13
A



0 0 0 0
sin9 cos39 cos9 sin39
3 5 3 5
cos cos sin sin
7 28 7 28
B




3. Cho
12
sin
13

. ớnh cos( )
3
3
2
2
a
T a
a













.
4. Cho
1
sin ;0
2
5
. :
1
4

sin ;0
2
10
a a
CMR a b
b b













.
5. CMR:
0 0
1 3
4
sin10 os10c

.
6. Chứng minh rằng:
a.
tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C

b.
tan tan tan 3 3A B C
c.
6 6 6
tan tan tan 81A B C
.
d.
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A

e.
tan tan tan 3
2 2 2
A B C

Chuyên đề 4: Công thức nhân lợng giác
A. Tóm tắt công thức hay sử dụng
I. Công thức góc nhân đôi
1. sin2a = 2sina.cosa
2. cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2 cos
2
a - 1 = 1 - 2 sin
2
a.
Lu ý: Từ công thức nhân đôi trên ta có thể rút ra vài đẳng thức đặc biệt nh:

2
2
2
1 sin 2 (sin cos )
1 cos2 2sin
1 cos2 2cos
a a a
a a
a a



II. Công thức góc nhân ba
1. sin3a = 3sina - 4sin
3
a
2. cos3a = 4cos
3
a - 3cosa
III. Công thức hạ bậc
1. sina.cosa =
1
2
sin2a.
2.
2
1 cos2
sin
2
a

a


3.
2
1 cos2
cos
2
a
a


3
3sin sin3
sin
4
a a
a


3
3cos cos3
cos
4
a a
a


B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác

1. CMR :
2
2
1 2sin
1
2cot( )cos ( )
4 4
a
a a




2. CMR:
2
1 cos cos2 cos3
2cos
cos cos 1
a a a
a
a a



3. CMR:
2
1 2sin 1 tan
1 sin 2 1 tan
a a
a a

4. CMR:
2
1 1 2sin
tan 2
cos2 1 sin2
a
a
a a



5. CMR:
1 sin 2
tan( )
4 cos2
a
a
a


6. CMR:
1
tan ( 1) tan
2 cos
a
a
a

.
Dạng 2: Rút gọn các biểu thức lợng giác
Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau:
a.
0
2 0
tan15
1 tan 15
A

b.
3 3
cos sin sin cosB a a a a
c.
1 sin 1 sinC a a
với
0
2
a


d.
3 3
cos .cos3 sin .sin3D a a a a
e.
3 3
sin .cos3 cos .sin3F a a a a
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức lợng giác bằng CT sin của góc nhân đôi
Công thức: sin 2a = 2 sina.cosa.

1. Tính :
0 0 0 0
cos20 .cos40 cos60 cos80A
2. Tính :
4 5
cos .cos .cos
7 7 7
B


3. Tính :
0 0 0
sin10 sin50 sin70C
4. Tính :
0 0 0 0 0
sin5 .sin15 sin 25 sin75 .sin85D
Chuyªn ®Ò 5: C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch
A. C«ng thøc sö dông
1.
cos cos 2.cos .cos
2 2
a b a b
a b
 
 
2.
cos cos 2.sin .sin
2 2
a b a b
a b

 
  
3.
sin sin 2.sin .cos
2 2
a b a b
a b
 
 
4.
sin sin 2.cos .sin
2 2
a b a b
a b
 
 
5.
2 sin( )
4
sin cos
2 cos( )
4
a
a a
a



 


6.
2 sin( )
4
sin cos
2 cos( )
4
a
a a
a



 
 
B. C¸c d¹ng to¸n
D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc lîng gi¸c
1. Rót gän
sin sin3 sin5
sin3 sin5 sin7
a m a a
A
a m a a
 

 
2. Rót gän:
1 2cos2
3 2sin 2
a
B

a



D¹ng 2: Chøng minh ®¼ng thøc lîng gi¸c
VÝ dô: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc lîng gi¸c sau:
a. cos4a + 4cos2a + 3 = 8.cos
4
a.
b. cos85
0
+ cos35
0
- cos25
0
= 0.
c. 3 - 2cos2a + cos4a = 8.sin
4
a
Chuyên đề 6: Công thức biến đổi tích thành tổng
I. Công thức sử dụng:
1.
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b
2.
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2

a b a b a b
3.
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b
II. Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng:
a.
sin( ).sin( ) sin( ).sin( ) sin( ).sin( ) 0a b a b b c b c c a c a
b.
4sin .sin( ).sin( ) sin3
3 3
a a a a


.
2. Tính giá trị biểu thức:
a.
7
sin .sin
12 12
A


b.
11 5
cos .cos
12 12
B

c.
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
C


d.
2 4 6 8
cos cos cos cos
9 9 9 9
D


Cỏc em lu
ý l ph
n h thc lng trong tam giỏc thy li khi no ụn thi i hc s dy !
The end
Ai c
ng cú m
t cuc sng riờng ca mỡnh. Mi ngi cú mt la chn hng cuc
sng theo ý riờng ca mỡnh. Riờng tụi, cuc sng l nhng th thỏch, l chụng gai, l nhng
con ng khụng bng phng, trong ú cú nhng ngó r m tụi luụn phi phõn võn nờn la
chn nh th no? Cuc sng l ng xu hai mt m ta luụn phi chn mt sp hay nga.
Nhng dự l mt no i chng na, hóy n lc, hc tp lao ng ht mỡnh ri thnh cụng
s n. ng bao gi ch i may mn s n vi mỡnh. Hóy bt tay vo hnh ng bi
ch cú hnh ng mi em li thnh cụng.
H Ni, ngy 19 thỏng 3 nm 2012