Bài tập lượng giác

Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a)
1cossin
22
=+ xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan =
c)
x
x
x
sin
cos
cot =
d)
x
x
2
2
cos
1
tan1 =+

e)
x
x
2
2
sin
1
cot1 =+
f)
1cot.tan
=
xx
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2
π
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
sin)sin(
cos)cos(
−=−
−=−
−=−
=−
xx
xx
xx

xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
=+
=+
=+
=+
π
π
π
π
d) Hai cung khác nhau

π
e) Hai cung phụ nhau
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
=+
=+
−=+
−=+
π
π
π
π
xxxx
xxxx
tan
2
cot ; cot
2
tan
sin
2
cos ; cos
2
sin

=






−=






−
=






−=






−

ππ
ππ
B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của
α
để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
αα
cos1
1
;
sin1
1
−
=
+
= BA
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a)
oo
132sin123sin −
b)
oo
316cot304cot −
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
oooo
540cos3990sin41170cos2540tan5 −++
b)
3
19

cos2
4
13
tan3
6
25
sin3
πππ
+−

c)
oooo
75sin55sin35sin15sin
2222
+++
d)
oooo
75cos55cos35cos15cos
2222
+++
e)
12
11
sin
12
9
sin
12
7
sin

12
5
sin
12
3
sin
12
sin
222222
ππππππ
+++++
f)
12
11
cos
12
9
cos
12
7
cos
12
5
cos
12
3
cos
12
cos
222222

ππππππ
+++++
g)






++−+






+−+ aaaa
2
3
tan)2cot(
2
cos)sin(
π
π
π
π
h)
aaaaA
2224
cos.sincossin ++=

i)
2
cos.
2
sin
2
tan
1
2
cos
2
sin
2
aaa
aa
B
−
−






+
=
j)
oo
ooo
C

342cot252tan
156cos530tan).260tan(696cos
22
22
+
−−+
=
k)
( )
2
2
7cot
4
13
cot
2
7
tan
4
17
tan






−++













−+ bb
π
πππ
Bai tap luong giac - 1 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
l)








−
+
−
+
−









−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
cos1
cos1
cos1
cos1
sin1
sin1
sin1
sin1
m)
)tan1(cos)cot1(sin

33
aaaa +++
n)
bb
b
cottan
tan
+
o)
a
aa
4
44
cos
sincos1 −−
p)






+−






−

−−−
xxx
xxx
2
3
cot).cot(.
2
sin
)2sin().2cos().sin(
π
π
π
πππ
q)
22
)2cos(
2
3
cos)sin(
2
sin






−+







−+






−+






− xxxx
π
π
π
π
r)







−++






+






+






− aaaaa
2
3
tan).tan(
3
5
cos.
3
2

tan.
3
sin
π
π
πππ
s)
)5,3tan()6cot(
)4tan()5,5cot(
ππ
ππ
−−−
−+−
ba
ba
t)
oooooo
700tan.400tan.260tan.250tan.190tan.50tan
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a)
-cosAC)cos(B ;sin)sin( =+=+ CBA
c)
-cotCB)cot(A ;tan)tan( =+−=+ BCA
b)
2
sin
2
CB
cos ;
2

cos
2
BA
sin
AC
=
+
=
+
d)
2
tan
2
BA
cot ;
2
cot
2
tan
CBCA
=
+
=
+
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
cos2
−+
+
=

xx
x
y
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng
ππ
<<− x
:
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx
y
.
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho
ACB
222
sin2sinsin =+
. Chứng minh
o
60A ≤
.
b)
ABCcbaCcBbAa ∆⇒++=++ )coscoscos(2
đều.
c) Chứng minh:
1sinC.sinA-sinB.sinC-sinA.sinB-Csinsinsin0

<++<
BA
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
=±
±=±
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan()3

±
=±
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
a)






+=







−=+ aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
ππ
b)






−=






+=− aaaa
4
sin2
4

cos2sincos
ππ
2. Rút gọn các biểu thức:
a)






++−






+−
aa
aa
4
sin2sin2
4
cos2cos2
π
π
Bai tap luong giac - 2 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
b)
ooooo

79cos.69cos21cos.11cos10cos ++
c)
bababa tan.tan)cot().tan(tan −−−
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
tanCtanA.tanB.tanCtanBAtan
=++
b)
1
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan =++
ACCBBA
c)
1cot.cotcot.cotcot.cot
=++
ACCBBA
d)
2
cot.
2

cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
=++
4. a) Cho
4
π
=−ba
, chứng minh:
a
b
b
tan
tan1
tan1
=
−
+
và
b
a
a
tan

tan1
tan1
−=
+
−
.
b) Cho
4
π
=+ ba
, chứng minh:
2)tan1)(tan1( =++ ba
và
2)cot1)(cot1( =−− ba
c) Cho
nya
max
=−
=+
)tan(
)tan(
. Chứngminh:
ab
ba
yx
+
−
=+
1
)tan(

.
d) Cho
5
2
tan =a
,
7
3
tan =b

)10( va, b <<
. Tìm a + b.
e) Cho
2
1
tan −=a

)
2
(
π
π
<< a
và
3tan
=
b

)
2

0(
π
<< b
. Tìm a + b.
f) Cho
3
2
1tan =a
,
4
1
tan =b
)10( va, b <<
. Tìm a - b.
g) Cho
12
1
tan =a
,
5
2
tan =b
,
3
1
tan =b
. Chứng minh a + b + c = 45
o
.
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc:

o
15
hoặc
12
π
và
o
75
hoặc
12
5
π
.
6. Cho
γβα
, ,
thoả mãn điều kiện:
2
π
γβα
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
αγγββα
tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++=A
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam
giác ABC cân:
a)
)cot(cot
2
1

sinsin
coscos
22
22
22
BA
BA
BA
+=
+
+
b)
A
C
B
cos2
sin
sin
=
c)
)tantan(
2
tan BbAa
A
ba +=+
d)
BABA
2
tan.tantan2tan =+
II. Công thức nhân đôi nhân ba.

A. Lý thuyết cần nhớ
aaa
aaa
a
a
a
aaaaa
aaa
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tan1
tan2
2tan
1sco2sin21sincos2cos
cossin22sin
3
3
2
2222
−=
−=
−
=
−=−=−=
=
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
aaaa
aa

sin3coscos3sin
4
sin.
4
sin
−






+






−
ππ
b)
8tan
1
8
tan
2
π
π
−

c)
ooo
80cos.40cos.20cos
d)
)sin(coscossin2
22
aaaa −
Bai tap luong giac - 3 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
e)
aaaa
4224
sincossin6cos +−
f)
2
cos
2
sin4cos
222
aa
a −
g)
aa
22
cossin81−
h)
ooo
40cos20cos10cos8
i)

aaaa 3sincos43cossin4
33
+
j)
aa 2sin4sin4
24
+
k)
5
2
cos
5
cos
ππ
l)
oooo
80cos60cos40cos20cos
m)
aaaaaa 32tan3216tan168tan84tan42tan2tan +++++
n)
aa
aa
3coscos
3sinsin
3
3
−
+
o)
aa

aa
3sinsin
3coscos
+
−
2. Chứng minh:
a)
aaaa 3sin
4
1
3
sin
3
sinsin =






+






−
ππ
. Áp dụng với

9
π
=a
.
b)
118sin818sin8
23
=+
c)
32
cot
32
tan
16
tan2
8
tan48
ππππ
=+++
d)
572tan36tan
22
=
oo
e)
aaaa 3cos
4
1
3
cos

3
coscos =






+






−
ππ
. Tính:
18
7
cos
18
5
cos
18
cos
πππ
f)
a
aa

a
2
3
tan31
tantan3
3tan
−
−
=
g)
aaaa 3tan
3
tan
3
tantan =






+






−
ππ

. Chứng minh:
5210
15
66tan54tan6tan
+
−
=
ooo
.
3. a) Cho
)0,(
2
sin >
+
= ba
ba
ab
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
b) Cho
2

1
2
cos
a
a
+
=
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
c) Cho
4
5
cossin =+
αα
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,

α
2tan
.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a)






−






+=
4
sin
4
sin
ππ
xxy
b)
xxy
44
sincos −=
c)

xxy
22
cossin81−=
III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo
2
tan
a
t =
.
A. Lý thuyết cần nhớ
aa
aa
2
2
sin22cos1
cos22cos1
=−
=+
2
1
2
sin
t
t
a
+
=
2
2
1

1
cos
t
t
a
+
−
=
2
1
2
tan
t
t
a
−
=
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan
2sinsin2
2sinsin2
2
a
aa
aa
=
+

−
b)






−=
++
+−
a
aa
aa
4
tan
2cos2sin1
2cos2sin1
π
c)
2
cos4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
+
=+++
d)
a
aa

cot2
2
cot
2
tan −=
e)






−=
−
+
24
cot
sin1
sin1
2
a
a
a
π
f)
( )( )
1223'307tan −−=
o
g)
2

cos2)cos(coscos)sin(sinsin
2
ba
baabaa
−
=+++
Bai tap luong giac - 4 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
h)
2
sin4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
−
=−+−
i)
a
a
a
a
sin1
24
sin
sin1
24
sin
+







−
−
−






+
ππ

)0(
π
<< a
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2

1
++
)0(
πα
≤<
b)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
+−
)0(
πα
≤<
c)
2
cot1
2
cot2
2
a
a
+
d)

4
tan
4
cot
2
tan
2
cot
aa
aa
+
−
e)
2
tan1
2
tan
2
tan1
2
tan
a
a
a
a
−
+
+
f)
2

tan1
1
2
tan1
1
aa
+
−
−
g)
αα
αα
sin2sin
2coscos1
−
+−
h)
α
α
α
α
cos1
cos
.
2cos1
2sin
++
3. Tìm giá trị biểu thức
a)
a

a
cos23
sin
−
biết
2
2
tan =
a
b)
aa
aa
sintan
sintan
−
+
Biết
15
2
2
tan =
a
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a)
xxy
2
sin2cos2 +=
b)
xxy 2cossin2
2

−=
c)
22
)cos(sin
4
sin xxxy −+






−=
π
IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin
)cos()cos(
2
1
coscos
)sin()sin(
2

1
cossin
bababa
bababa
bababa
+−−=
−++=
−++=
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
baba

ba
baba
ba
−+
−=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
sinsin
)sin(
cotcot
sinsin
)sin(
cotcot
coscos

)sin(
tantan
coscos
)sin(
tantan
−
−=−
+
=+
−
=−
+
=+
B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
Bai tap luong giac - 5 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
a)
N)(n )cos( )2cos()cos(cos ∈+++++++ nbababaa
b)
aaaa
aaaa
7sin5sin3sinsin
7cos5cos3coscos
+++
−+−
c)
aaa
aaa
3sin2sinsin

3cos2cos2cos
++
++
d)
a
aa
a
cos2
6
2cos
6
2cos
cos






+−






−
−
ππ
e)

2
cotcot
3
cos
3
cos
a
a
aa
−






−+






+
ππ
f)
aaaa 2cos
2
1
4cos

4
1
cos2cos
2
−−
g)
2cos4cos1cos3cos
22
−+
h)
)158sin112(sin203sin291sin1sin
ooooo
+++
i)
)140sin130(sin185sin2125cos35cos
ooooo
+++
j)
oooo
80sin60sin40sin20sin
k)
oooo
80tan60tan40tan20tan
2. Chứng minh:
a)
16
3
80sin60sin40sin20sin =
oooo
b)

na
anaaa
anaaa
tan
)12cos( 5cos3coscos
)12sin( 5sin3sinsin
=
−++++
−++++
c)
2
sin
2
)1(
sin
2
sin
sin 3sin2sinsin
a
anna
naaaa
+
=++++
d)
2
sin
2
)1(
cos
2

sin
cos 3cos2coscos
a
anna
naaaa
+
=++++
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
CBA
CBA =++
b)
2
sin
2
sin
2
sin41coscoscos
CBA
CBA +=++
c)
)coscoscos1(2sinsinsin
222
CBACBA +=++

d)
CBACBA coscoscos21coscoscos
222
−=++
e)
2
cos
2
sin
2
sin4sinsinsin
CBA
CBA =−+
f)
1
2
sin
2
cos
2
cos4coscoscos −=−+
CBA
CBA
g)
CBACBA sinsinsin42sin2sin2sin =++
h)
CBACBA coscoscos412cos2cos2cos
−−=++
i)
CBACBA cossinsin2sinsinsin

222
=−+
4. Chứng minh bất đẳng thức:
)sin(sin
2
1
2
sin yx
yx
+≥
+
với
π
<< yx,0
.
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7
sin
16
5
sin
16
3
sin
16
sin
4444
ππππ

+++
b)
'57tan'57cot'567cot'567tan
oooo
−+−
c)
ooo
65cos55cos5cos
Bai tap luong giac - 6 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
d)
11
9
cos
11
7
cos
11
5
cos
11
3
cos
11
cos
πππππ
++++
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a)







−++
24
cos42sinsin4
224
x
xx
π
với
2
3
π
π
<< x
b)
xxxx 2coscos42coscos4
224
−+
c)






−+







++ xxx
3
cos
3
coscos
222
ππ
d)






−+






++ xxx
3
2

sin
3
2
sinsin
222
ππ
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
BA
CB
A
coscos
sinsin
sin
+
+
=
8. Chứng minh nếu các góc của
ABC
∆
thoả mãn:
2
3
coscoscos =++ CBA
thì nó là tam giác đều.
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của
ABC
∆
thoả mãn hệ thức:
a
cb

BA
+
=+coscos
thì
tam giác đó là tam giác vuông.
10. Cho tam giác ABC và
1
2
tan
2
tan5 =
BA
. Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình:
⇔=
α
sinsin x
παπ
πα
2
2
kx
kx
+−=
+=
2. Phương trình:
⇔=

α
coscos x
πα
2kx +±=
2. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
tantan
4. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
cotcot
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
6
3sin =






−
π
x

b) sin(3x - 2) = -1 c)
1
5
2cos2 =






−
π
x
d) cos(3x - 15
o
) = cos150
o
e) tan(2x + 3) =
3
tan
π
f) cot(45
o
- x) =
3
3
g) sin3x - cos2x = 0 h)
xx 3cos
3
2

sin =






+
π
i)
0
4
3cos
6
5
3sin =






++






−

ππ
xx
j)
)302cos(
2
cos
o
x
x
−−=
k) cos2x = cosx l)






−=






+
4
2sin
4
sin
ππ

xx
m)
1
12
sin =






−
π
x
n)
2
1
6
12sin =






+
π
x
o)
2

3
2
6cos =






+
π
x
p)
1)5cos( −=− x
π
q)
1)63tan( =− x
π
r)
( )
36tan =−
π
x
s)
3
1
2
4
tan =







− x
π
t)
312
6
5
cot =






+ x
π
u)
3
3
5
7
12
cot =







− x
π
v)
( )
2
2
312sin =− x
π
w)
( )
xax 3sin2cos =−
x)
xbx 5cos)3sin( =−
y)






+=







− xx
6
5
cot
4
tan
ππ
z)
( )






+=− xx 7
12
7
tan3cot
π
π
II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Bai tap luong giac - 7 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)

032cos72sin3
2
=−+ xx
b)
07sin5cos6
2
=−+ xx
c)
03sin52cos
=−−
xx
d)
01cos2cos
=++
xx
e)
1412cos3sin6
2
=+ xx
f)
7cos12sin4
24
=+ xx
g)
5cossin8
2
=− xx

2. Giải các phương trình lượng giác:
a)

1
5
cot3
2
=






+
π
x
b)
3
4
2tan
2
=






−
π
x
c)

12cot4tan7
=−
xx
d)
03cot)13(cot
2
=−−+ xx
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxbxa =+ cossin
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
cba ≤+
.
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho
22
ba +
rồi đặt:
22
cos
ba
a
+
=
α
;
22
sin
ba

b
+
=
α
.
Đưa phương trình về dạng:
βαβαα
sin)sin(sincossinsincos =+⇔=+ xxx
. Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a)
xxy 2cos2sin)32( +−=
b)
xxxxxy cossin32cos2)cos(sin
2
++−=
c)
1)cossin2)(cos2(sin −+−= xxxxy
d)
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx
y
2. Giải các phương trình sau:
a)

5cos3sin4 =− xx
b)
2
9
sin32cos3 =+ xx
c)
32cos22sin3 =+ xx
d)
xxx 14sin132cos32sin2 =+
e)
2cos3sin4 =− xx
f)
1cos3sin =− xx
3. Tìm các giá trị của






−∈
π
π
;
4
3
x
thoả mãn phương trình sau với mọi m:
xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin
2222

−=+−−
4. Tìm các giá trị của
α
để phương trình:
a)
03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos
2
=+−+−−+−+
αααααα
xx
có nghiệm x = 1.
b)
0sin)33(cos2)sin3()1cossin2(
222
=−−+−+−
ααααα
xx
có nghiệm x =
3
.
5. Giải phương trình:
a)
08
14sin5cos12
5
sin5cos12 =+
++
++
xx
xx

.
b)
042)cos5sin4(13)cos5sin4(
2
=+−−− xxxx
c)
6
1sin4cos3
6
sin4cos3 =
++
++
xx
xx
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
dxcxxbxa =++
22
coscossinsin
- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu
0cos ≠x
. Chia cả 2 vế của phương trình cho
x
2
cos
rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối
với tanx:
0tantan)(

2
=−++− dcxbxda
.
B. Bài tập
Bai tap luong giac - 8 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
1. Giải các phương trình sau:
a)
0cos3cossin2sin
22
=−− xxxx
b)
2coscossinsin6
22
=−+ xxxx
c)
xxx 2cos2sin22sin
2
=−
d)
22cos2cos2sin22sin2
22
=+− xxxx
e)
1)cos(
2
3
sin2cos)sin(4
2
cossin4 =+







−+++






− xxxxxx
π
π
π
π
f)
2
1
cos2cossin4sin3
22
=+− xxxx
2. Giải các phương trình sau:
a)
xxx sin3cos4sin2
33
=+
b)







++=+






+
22
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin3
22
3
cos
2
sin3
2222

ππ
xxxxxxx
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
0cos32sinsinsin
33
=−+ xxxx
. Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxxbxxa =+± cossin)cos(sin
.
Cách giải: Đặt
xxt cossin
±=
, ta có:
2|| ≤t
.
xxxt 2sin1cossin21
2
±=±=→
. Thay vào phương
trình rồi giải ra t.
B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a)
xxxx cossintancot +=−
b)
12sin2cotsin2 +=+ xxx
c)

1sincos
33
−=− xx
d)
12sin4|cossin| =+− xxx
e)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
f)
2)sin1)(cos1( =++ xx
VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02
4
3
cos2cos =−+
x
x
b)
)cot(tan
2
1
2sin
cossin
44

xx
x
xx
+=
+
c)
04tan32cos34tan3cos4
22
=++−+ xxxx
d)
xxx cos2sin1sin1 =−++
e)
2
7
24
sin42sin4cossin
22
−






−=−
x
xxx
π
f)
0

2
5
cos
2
tan
2
1
=+−
x
x
g)
0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64(
23
=−−−+−+− xmxxmxmxm
(Biện luận theo m).
h)
xxx 2tantan2tan1
2
=−
i)
1cos24sin
2
−= xx
j)
14coscos8
4
=− xx
k)
2
cos2sin2cos1

2
x
xx =++
l)
2
3
4sin2sin
22
=+ xx
m)
xxxx cos3sin2tantan =+
n)
)cos3(sin4cot3tan xxxx +=−
o)
xxx 2coscossin
33
=+
p)
xx tan4sin =
q)
1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx

r)
2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx
s)
27sin37cos −=− xx
t)
1sin22tan =− xx
u)
xx 3sincos2

3
=
v)
x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
w)
)cos(sin
6
5
cossin
4466
xxxx +=+
Bai tap luong giac - 9 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
x)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4

tan
2cos2sin
4
44
=






+






−
+
ππ
y)
4
1
4
tan
4
tan
cossin
66

−=






+






−
+
xx
xx
ππ
z)
01cos2sin2cos
2
=+++ xxx
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
2sin1
tan1

tan1
+=
+
−
b)
xx
x
sin
1
cos
1
4
sin22 +=






+
π
c)
82cos2sin3cos6sin9
=+−+
xxxx
d)
xxx 3sin26)4cos2(cos
2
+=−
e)

1
sin5
5sin
=
x
x
f)
2
1
2
3
sin
2
sinsin
2
3
cos
2
coscos =−
xx
x
xx
x
g)
)105,10sin(6cos4sin
22
xxx +=−
π
. Tìm các nghiệm thuộc khoảng







2
;0
π
h)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
i)
xxx 2cos222cos22sin3
2
+=−
j)
2
3
3sin2sinsin
222
=++ xxx
k)
x
xx
cos
1

cossin3 =+
l)
1
2tan22tan2cot
+
+=
xxx
m)
xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+
n)
xxxx cos4sin12cos22sin −+=+
o)
3tan22sin =+ xx
p)
xxxx 4sin
2
1
2cos)coscos1( =+−
q)
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
−
−
=
+ x
xx
xx
r)

xx sin2
4
sin
3
=






+
π
s)
01cos263sinsin22cos28
436
=−−+ xxxx
t)
xxxxx cossin2sinsincos
33
++=+
u)
)1sin2(sincos43
2
+=− xxx
v)
xxxx 8sin2coscossin34 =
w)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222

+−=
x)
0
tan1
cos
3
4
cos
2
2
=
−
−
x
x
x
y)






+=







− xxx
4
sin2sin
4
3sin
ππ
z)
xxx 2coscossin
=+
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0239
cotcot
=−+
xx
b)
01sincos
2
=++ xx
c)
022cos23sin =−+ xx
d)
02sinsin3sin =+− xxx
e)
02cos32cos =++ xx
f)
13cos24cos3
2
=− xx
g)

xxxxx 2sinsin23cos2coscos31
+=++
h)
xxxx 2cos3sin2tantan
−=+
i)
x
x
x
cos
cos1
tan
2
+
=
j)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
k)
)2cos2(sin2cottan xxxx +=+
l)
xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+
m)
8
9
)

4
(sin)
4
(sinsin
444
=++−+
ππ
xxx
n)
0cos2
sin1
2sin
=+
+
x
x
x
o)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx
p)
xxx sin2cossin2
3
=+
q)
2cos1cos3 =+−− xx
r)
2cos2sin2cossin
=++

xxxx
s)
16
1
8cos4cos2coscos =xxxx
t)
xxxx 4cos2cos3sinsin
2222
+=+
u)
0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx
v)
0
24
cos8
cos
)sin1(3
tantan3
2
2
3
=






−−
+

+−
x
x
x
xx
π
Bai tap luong giac - 10 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
w)
xx 3sincos2
3
=
x)
04cossin32sin32cos =+−−− xxxx
y)
xxx tan1cos2cos
2
+=
z)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
4. Giải các phương trình sau:
a)
0
cos
1
cos222cos2sintan =







−+−−
x
xxxx
b)
)1(sin5)2cos3(sin4 −=− xxx
c)
)cos(sin2cossincossin2cos2
22
xxxxxxx +=++
d)
)cossin2(cos3sin2sintan
22
xxxxxx +=−
e)
xxxx
2
cos4)2tan(cot2sin =+
f)
0)cot2cot1(
sin
2
cos
1
48
24
=+−− xx

xx
g)
xxx 4coscossin
66
=+
h)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
i)
2
tan2cos2
x
x =+
j)
)2sin1(23cos23cos
22
xxx +=−+
k)
03sin2sinsin
=++
xxx
l)
xxxx cossintancot +=−
m)
xxxx 2cossin212cos3sin +=+
n)
x
xx
cos

1
7cos82cos2 =+−
o)
4
1
4cossin3sincos3cos
333
+=− xxxxx
p)
82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx
q)
xxxxx 4sin3sincos3cossin
333
=+
r)
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin +++=+++
s)
1coscossinsin2
22
−=−− xxxx
t)
0
cossin
12cos2sin
42
=
−+
xx

xx
u)
0cos2cossin2
3
=+− xxx
v)
xxx 2sinsincos1
33
=−+
w)
03cos2coscos1
=+++
xxx
x)
04cos3cos2coscos
=+++
xxxx
y)
0cossincos
32
=++ xxx
z)
1|sincos|sincos =++ xxxx
5. Giải các phương trình sau:
a)
xx sin52cos2
−=+
b)
)cos(sin2cossin
5533

xxxx +=+
c)
xxx 3cos2cossin
222
+=
d)
xx 3cos
3
cos8
3
=






+
π
e)
2|cossin||cossin| =++− xxxx
f)
12sin2cotsin2
+=+
xxx
g)
xxx 2cos
8
13
sincos

266
=−
h)
xx 2sin2tan31
=+
i)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx +=
j)
1099
22
cossin
=+
xx
k)
xxx cos82sin23cos4
3
=+
l)
x
x
cos
2
1
2
=−
m)
xx sin2
4

sin
3
=






+
π
n)
5
5sin
3
3sin xx
=
VII. Hệ phương trình lượng giác
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a)
3
3
1
tantan
π
=+
=
yx
yx
b)

yx
yx
tantan3
4
1
cossin
=
=
c)
6tantan
3tantan
=
=
=++
zy
yx
zyx
π
d)
2coscos
2sinsin
=+
=+
yx
yx
e)
yxx
yxx
sinsincos
coscossin

2
2
=
=
f)
12cos32cos
1tantantantan
−=+
=−−
xy
yxxy
Bai tap luong giac - 11 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
g)






−=+






+=+
4
sin2cottan

4
sin2cottan
π
π
xyy
yxx
h)
4
5
sincos
2
3
cossin
22
=+
=+
yx
yx
VIII. Các dạng bài tập khác
1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
0cos2sin51
2
=+− xx
thoả mãn
0cos
≥
x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
xxxxy sincoscossin +=

.
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:
mCBA =++
222
sinsinsin
. Nếu m = 2 thì
tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2
sin2
2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA =−++
. Chứng minh
rằng số đo của góc C là 120
o
.
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
1
2
tan
2
A
tan =+
B
. Chứng minh rằng:
1

2
tan
4
3
<≤
C
.
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:
|1||1|cos2sin2
22
−++=++− aaxxxx
.
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
3)cotcot(cot
sin
1
sin
1
sin
1
=++−++ CBA
CBA
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
012cos2cos2cos =+++ CBA
thì tam
giác đó là tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có:
)sin()()sin()(
2222
BCbcBCcb +−=−+

thì tam giác đó vuông
hoặc cân.
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xxy 5coscos5 −=
trên






−
4
;
4
ππ
.
11. Cho phương trình:
xm
xm
xm
xm
sin2
2cos
cos2
2sin
−
−
=
−

−
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi
0≠m
và
2±≠m
, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn
]30,20[
ππ
.
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
3
2
cot
2
cot2 =⇔+=
CA
cab
.
13. Cho tam giác ABC có:
1
2
tan
2
A
tan5 =
B
. Chứng minh rằng:
)(23 bac +=
.

14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
5cossin4sin2)(
2
++= xxxxf
.
15. Tìm các giá trị
)2,0(
π
∈x
sao cho
02cossincos >−− xxx
.
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
],0[
π
∈x
:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
.
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
S
cba
CBA

4
cotcotcot
222
++
=++
.
18. Chứng minh với
2
0
π
<< x
thì:
1
2
3
tansin2
222
+
>+
x
xx
.
19. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa

. Chứng minh tam giác ABC đều.
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy −−+=
.
21. Giải phương trình sau:
0239
cotcot
=−+
xx
.
Bai tap luong giac - 12 -
Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com
22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
=+
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có:
1coscoscos >++ CBA
.
24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi
BbAaAbBa sinsincoscos

−=−
.
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
2
cot2tantan
C
BA =+
thì tam giác ABC cân.
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:
2
1
cossin
2
+−= xxy
.
27. Cho
xy 5sin
2
=
. Tính
)(n
y
.
28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
cos2
sin3
1

+
+=
.
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
.
30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong







4
;0
π
:
02cossin42cos
2
=−+− mxxxm
.
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2tantan2cotcot
2244
+++= babaP
.
32. Với giá trị nào của a thì phương trình:
xna cossin1
2
=+
có nghiệm duy nhất.
33. Tìm m để bất phương trình:
03cossin2
2
≤−− xmx
nghiệm đúng






∈∀

2
;0
π
x
.
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn:
0
2
5
)2cos2(cos32cos =+++ CBA
.
35. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
BA
b)tan(abtanBAtan
+
+=+a
. Chứng minh tam giác ABC cân.
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++ CBA
.
37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác ABC vuông.

38. Cho phương trình:
xxkxx cossinsincos
33
=+
.
a) Giải phương trình với
2=k
.
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
39. Giải và biện luận phương trình:
2
3
sincos2)sin(cos2
2
+−+=+ xxmxxm
.
40. Cho phương trình:
xxmx tan1)(cos2cos
2
+=
.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
41. Chứng minh rằng
)
2
;0(
π
∈∀x
ta có:

6
cos
1
sin
1
cottansincos >+++++
xx
xxxx
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
xxy
2020
cossin +=
.
43. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
CBA
theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì
3
2
cot.
2
cot =
CA
.
44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

xx
y
cos
1
sin
1
+=
với






∈
2
;0
π
x
.
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
)tantan(
2
tan BbAa
C
ba +=+
thì nó cân.
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:
xxmxxxf cossin2cossin)(
44

−+=
.
Bai tap luong giac - 13 -