PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (hay; chọn lọc

Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
DẠNG 1: Nhận dậng phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính
Bài 1:Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau (nếu có):
a)x
2
+y
2
-1=0; b) (x+4)
2
+(y-2)
2
=7; c) (2x+5)
2
+(2y-3)
2
=4; d)x
2
+y
2
+4x+1=0;
e) x
2
+y
2
-4x+8y-5=0; f) x
2
+y
2
+4x+6y+15=0; g) 7x
2

+7y
2
-4x+6y-1=0;
Bài 2: Cho phương trình x
2
+y
2
+2mx-2my+3m
2
-4=0 (1)
a)Tìm điều kiện để (1) là phương trình đường tròn.
b) Viết ptđtr (1) biết nó có bán kính bằng 1;
c) Tính bán kính đường tròn biết nó tiếp xúc với đường thẳng (d):2x-y=0;
Bài 3: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau là phương trình đường tròn:
a)x
2
+y
2
-2(m+1)x+4(m-2)y-1=0; b) x
2
+y
2
-2mx+2my+2m
2
+m=0;
DẠNG 2: Lập phương trình đường tròn
Phương pháp: Tùy vào dữ kiện đề bài mà ta có thể làm theo một trong 2 cách sau:
+) Xác định tọa độ tâm và bán kính để viết phương trình dưới dạng
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =

.
+) Tìm các số a,b,c để viết pt đường tròn dưới dạng
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
.
Bài 1:Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a)Tâm I(1; -2); bk R=3; b) Tâm A(-3;2), đi qua B(7;-4); c) đường kính AB với A(7;-3) và
B(1;5);
d) Đi qua A( 3;1), B(5;5) và tâm I nằm trên trục tung; e) Bk R=5, tâm I thuộc Ox và đi qua
A(2;1);
f)Qua A(0;2) ;B(-1;1) và có tâm nằm trên đường thẳng 2x+3y=0.
Bài 2:Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng
a) Tâm I(-2;0) và tiếp xúc với đường thẳng 2x+y-1=0; b)Tiếp xúc với Ox tại A(6;0) và qua B
(9;9);
c) Tiếp xúc với đường thẳng 2x+y-5=0 tại T(2;1) và có bán kính 2
5
;
d) Qua A(5;3) và tiếp xúc với đường thẳng d:x+y+2 =0 tại T(1;-1);
e) Tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(2;0), khoảng cách từ tâm tới B(6;4) bằng 5.
1
Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
Bài 3: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng
a)Tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua A(2;-1);
b) Tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc đường thẳng 3x-5y-8=0;
c)Tiếp xác với 2 đường thẳng song song (d): 2x-y-3=0 , (d’): 2x-y+5=0 và có tâm nằm trên Oy;
d) Tiếp xúc với 2 đường thẳng x-2y+5=0 và x+2y+1=0 và đi qua O;
e)Tiếp xúc với 2 đường thẳng 2x+y-1=0; 2x-y+2=0 và có tâm thuộc đường thẳng x-y-1=0.
Bài 4: Lập phương trình đường tròn qua 3 điểm A(3;1); B(0;7); C(6;5).
Bài 5(ĐHQG-96) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên 3 đường
thẳng x-5y-2=0; x-y+2=0; x+y-8=0.

Bài 6 (KA-2007) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2); C(4;-2). Gọi H là chân
đường cao hạ từ B, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Viết pt đường tròn qua H,M,N.
Bài 7:Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết AB: 3x+4y-6=0; AC: 4x+3y-1=0;
BC: y=0.
Bài 8( ĐHQG-94) trong mặt phẳng Oxy cho A(4;0), B(0;3). Viết phương trình đường tròn nội tiếp,
ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9: Lập phương trình đường tròn
a)tâm I( 1;-2) và cắt đường thẳng 3x-4y=0 theo đoạn có độ dài bằng 8.
b)tâm I(2;-1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (x-5)
2
+(y-3)
2
=9;
c) đối xứng với đường tròn ( C) x
2
+y
2
-4x-2y+3 qua E(1;2);
d) Đối xứng với (C ) qua đường thẳng x-2=0; e) đối xứng với (C) qua đường thẳng x=y.
Bài 10: Cho (C ): x
2
+y
2
-10x=0 và (C’): x
2
+y
2
+4x-2y-20=0. Viết phương trình đường tròn qua các
giao điểm của (C ) và (C’) và có tâm nằm trên đường thẳng x+6y-6=0.
DẠNG 3: Tiếp tuyến của đường tròn

2
Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
Bài 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm nằm trên đường tròn
a)(C):x
2
+y
2
=25, A(3;4); b) (C) : (x-1)
2
+y
2
=100, A(-7;6); c) (C): (x-3)
2
+(y+4)
2
=169, A(8;-16);
d) (C) : x
2
+y
2
+4x+4y-17=0, M(2;1); e) (C) : x
2
+y
2
-4x+2y-11=0, M(2;3).
Bài 2: a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x-3)
2
+(y+1)
2
=25 tại điểm nằm trên đường

tròn và có hoành độ bằng 1.
b) Viết pttt với đường tròn (C): x
2
+y
2
+4x-2y-5=0 tại giao điểm của đường tròn với trục Ox.
c) Tìm trên Oy điểm kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến với đường tròn x
2
+y
2
-4x-4y+3=0, viết pttt đó.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến có phương cho trước
a)Viết pttt của (C) : x
2
+y
2
-2x+6y+5 =0 biết tiếp tuyến song song với d: 2x+y-1=0. Tìm tọa độ tiếp
điểm.
b) Viết pttt với đường tròn (C) : x
2
+(y-1)
2
=25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
c) Viết pttt của (C): x
2
+y
2
=2, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1.
Bài 4: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước không nằm trên đường tròn

a) Cho đường tròn (C): x
2
+y
2
-6x+2y+6=0 viết pttt của (C) qua A(1;3). Tính diện tích tam giác
ABC, với B,C là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến từ A.
b) Viết pttt của (C): x
2
+y
2
-2x+8y-1=0, biết tt đi qua (2;1).
c) Viết pttt đi qua A(3;-2) của (C):x
2
+y
2
-2x-4y-5=0;
d) (C): (x-2)
2
+(y+1)
2
=4. Tìm trên Oy điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến
này vuông góc với nhau.
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C ): x
2
+y
2
-4y-5=0 và (C’): x
2
+y
2

-
6x+8y+16=0.
DẠNG 4: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, đường tròn với đường tròn
Bài 1: Xét vị trí tương đối của điểm và đường tròn
a)Cho (C):
( ) ( )
2 2
x 2 y 1 25− + + =
, và điểm M(6;-4). Xét vị trí của M với (C), viết pttt của (C) qua M.
b)Cho M(6;2) và (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
x 1 y 2 5− + − =
, chứng tỏ M nằm ngoài (C), lập ptđt d qua
M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho
10AB =
.
3
Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
c) Cho A(3;-1) và (C):
2 2
x y 2x 4y 4 0+ − + − =
. Chứng minh A nằm trong đường tròn, viết ptđt d qua A
và cắt (C) theo 1 dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Vị trị tương đối của đường thẳng và đường tròn
a)Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:x-7y+10=0 và đường tròn (C):
2 2
x y 2x 4y 20 0.+ − + − =
Tìm
tọa độ giao điểm nếu có.

b)Xét vị trí của đường thẳng
{
1 2
:
2
x t
y t
= +
∆
= − +
và (C):
( ) ( )
2 2
x 1 y 2 16− + − =
. Tìm tọa độ giao điểm nếu có.
Bài 3:Biện luận theo m vị trín tương đối của đường thẳng
∆
và đường tròn (C)
a)
∆
:x+3y+m=0; (C): (x-2)
2
+y
2
=10; b)
∆
:x-my+m-4=0 và (C): x
2
+y
2

-2x-4y+4=0
Bài 4: Cho hệ pt
{
2 2
0
0
x y x
x ay a
+ − =
+ − =
. Tìm a để hệ có nghiệm.
Bài 5: Tìm a để hệ sau có nghiệm
2
2 ( 1) 2
x y
x y x y a
+ ≤


+ + − + =

Bài 6: Vị trí tương đối của đường tròn và đường tròn:
a)Cho hai đường tròn (C): x
2
+y
2
-2x-4y+1=0 và (C’): x
2
+y
2

+4x+4y-1=0.Chứng minh hai đường tròn
tiếp xúc ngoài, tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C): x
2
+y
2
-16x-4=0 và (C’): x
2
+y
2
-4x-6y+8=0. Viết pt
đường thẳng đi qua các giao điểm
Bài 7: Xét vị trí tương đối của 2 đường tròn (C): x
2
+y
2
-1=0 vaf (C’):x
2
+y
2
-4x-4y-1=0. Viết pttt
chung của 2 đường tròn.
Bài 8:Cho 2 đường tròn (C):x
2
+y
2
-2x-2y-2=0 và x
2
+y
2

-8x-4y+16=0.
a)Chứng minh hai đường tròn bằng nhau và cắt nhau;
b)Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của 2 đường tròn;
c) Viết pttt chung của 2 đường tròn.
Bài 9:Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
a)
2 2
2 2
( 1)
( 1)
x y m
x y m

+ + ≤

+ + ≤

b)
2 2
2 2
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x y m
x y m

− + + ≤

+ + − ≤

DẠNG 5: Một số bài toán trong các đề thi đại học

4
Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
Bài 1 (ĐH D- 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;0) và đường tròn (C): x
2
+y
2
-
2x+4y-5=0. Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông
cân tại A.
Bài 2 (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x-1)
2
+y
2
=1. Gọi I là tâm của (C).
Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho
·
0
30IMO =
.
Bài 3(ĐH D-2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) (x-1)
2
+(y+2)
2
=9 và đường thẳng
(d):3x-4y+m=0. Tìm M để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB (A,
B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Bài 4 (ĐH D-2006) Cho đường thẳng d : x-y+3=0 và đường tròn (C): x
2
+y
2

-2x-2y+1=0. Tìm tọa độ
điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi đường tròn tâm (C), tiếp xúc ngoài
với đường tròn (C).
Bài 5 (CĐ A, B, D -2012) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x
2
+y
2
-2x-4y+1=0 và đường
thẳng d: 4x-3y+m=0. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho
·
0
120AIB =
, với I là tâm của (C).
Bài 6 (ĐH B-2012) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C
1
): x
2
+y
2
=4, (C
2
): x
2
+y
2
-12x+18=0 và
đường thẳng d: x-y-4=0. Viết phương trình đường tròn tâm thuộc (C
2
), tiếp xúc với d và cắt (C
1

) tại 2
điểm A, B sao cho AB vuông góc với d.
Bài 7 (ĐH B-2006): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x
2
+y
2
-2x-6y+6=0 và điểm M(-3;1).
Gọi T
1
, T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
Bài 8 (dự bị ĐH B-2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x
2
+y
2
-2x+4y+2=0. Viết phương
trình đường tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho
3AB =
.
Bài 9 (ĐH B- 2009) Trong mặt phẳng Oxy cho (C ) : (x-2)
2
+y
2
=
4

5
và hai đường thẳng
1
: 0x y∆ − =
và
2
: 7 0x y∆ − =
. Xác định tâm K và bán kính đường tròn (C
1
) biết nó tiếp xúc với các đường thẳng
1 2
,∆ ∆
và tâm K thuộc đường tròn (C).
Bài 10 (ĐH A- 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
∆
: x+y+2=0 và đường tròn
(C): x
2
+y
2
-4x-2y=0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc
∆
. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB
đến (C) (A, B là các tiếp điểm,). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Bài 11: (ĐHA-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
3 0x y+ =
và d
2

:
3 0x y− =
.
Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại
B. Viết pt đường tròn (T) biết tam giác ABC có diện tích bằng
3 / 2
và A có hoành độ dương.
Bài 12 (ĐH A- 2007) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2); C(4;-2). Gọi H là chân
đường cao hạ từ B, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Viết pt đường tròn qua H,M,N.
5
Trần Hằng –GV THPT SÔNG LÔ
Bài 13 (ĐH A -2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+y
2
+4x+4y+6=0 và
đường thẳng
∆
: x+my-2m+3=0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để
∆
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
6