tóm tắt luận án tiên sĩ đặc trưng một số lớp vành artin và vành noether

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng
tính Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một
trong những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu
trúc vành. Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện
tương đương, các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI-
vành đã xuất hiện và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp
vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Đặc trưng vành
CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu hơn) trên lớp
môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh là một trong những hướng
nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành
quan tâm.
1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn
chuyên khảo Nicholson là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên
quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF-
vành, giả thuyết Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan
tâm đặc biệt. Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết
Faith là một đề tài hấp dẫn.
1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của
lớp vành Ar tin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã
được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 và
cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài thú vị.
2
Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của lớp
vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm
đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như
một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI.

Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và
Noether.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án đó là:
1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông
qua lớp các môđun trên chúng.
2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó
thu được kết quả mới trên SI- vành.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện
hữu hạn nhất định.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp
vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của l uận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử
dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật
khác đã đượ c chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh.
3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và
sự hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành
Noether. Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào
đó sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith.
Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận
án là một trong những tài li ệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu,
học viên cao học và sinh viên.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một

trong ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi.
Vì vậy việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê
toán học mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào
các ngành khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120
năm nay và ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh
này. Mục đích chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành.
Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể
đưa ra được điều gì nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy,
muốn nghiên cứu cấu trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải
đặt ra các điều kiện cụ thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các
cấu trúc đã biết. Do sự đề xuất của các "điều kiện cụ thể" này m à
đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ bản như: vành Artin, vành Noether,
vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành
hoàn chỉnh, v.v
Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu
trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn
đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các
đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần
4
túy. Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay
thế điều kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một
phía. Qua đó cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành
vào một trường đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc
hoàn chỉnh trong đại số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng.
Có thể nói, định lý này đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết
vành một cách có hệ thống. Để ghi nhận công lao của Artin, người ta
gọi kết quả này là định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và gọi vành
thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho các iđêan một phía là vành Artin
(phía đó). Khi vành Artin không chứa iđêan lũy linh khác không thì
được gọi là vành Artin nửa đơn.

Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin
nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành
các ma trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này,
vành Artin nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số
hữu hạn các thể và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma
trận). Nói rõ hơn, với hữu hạn các số nguyên dương n
i
và hữu hạn
các thể S
i
, i = 1, 2 k, đặt M
n
i
(S
i
) là vành các ma trận cấp n
i
trên
thể S
i
và lập tổng trực tiếp vành:
(1) R = M
n
1
(S
1
)⊕M
n
2
(S

2
)⊕ ⊕M
n
k
(S
k
) thì R là vành Artin nửa
đơn. Ngượ c lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh
được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn -
Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong
những điều kiện sau đây:
(2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu;
(3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu;
(4) Mọi R-môđun phải là nội xạ;
(5) Mọi R-môđun trái là nội xạ;
(6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh;
(7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh.
5
Như vậy, cấu trúc của vành Artin nửa đơn đã được đặc trưng bởi
những điều kiện bên trong thông qua các iđêan và điều kiện bên ngoài
thông qua các môđun. Điều này dẫn đến hai hướng nghiên cứu chính
trong lý thuyết vành.
Hướng thứ nhất: Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều
kiện nội tại (các iđêan một phía).
Hướng thứ hai: Đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (các
môđun trên chúng).
Gọi J là tổng các iđêan lũy linh của vành Artin R bất kỳ, khi đó
vành thương R/J là một vành Artin nửa đơn. Từ đồng cấu tự nhiên
R → R/J, người ta tìm được nhiều tính chất của R, đặc biệt là cấu
trúc b ên trong của R đã được suy ra từ cấu trúc của R/J. Thí dụ,

trong R/J mọi iđêan là hạng tử trực tiếp, vậy trong R iđêan nào là
hạng tử trực tiếp? Đây là ý tưởng chủ yếu của hướng nghiên cứu thứ
nhất. Những kết quả chính về hướng nghiên cứu này của vành Artin
cho đến cuối những năm 1980 gồm: Định lý cấu trúc nhóm cộng đối
với vành Artin của Fuchs- Szele, định lý tách đối với vành Artin của
Szasz, định lý cấu trúc vành Artin với căn Jacobson của Kertesz-
Widiger, định lý tách đối với MHR vành của Đinh Văn Huỳnh, định
lý phân tích tổng quát đối với vành Artin hai phía của Đinh Văn
Huỳnh và nhiều kết quả khác đối với vành compắc tuyến tính, một
dạng tổng quát hóa vành Artin của Leptin (1955-1957).
Một lớp con rất quan trọng và có nhiều tính chất đẹp đẽ của lớp
vành Artin đó là lớp vành tựa Frobenius (gọi tắt là QF vành). Lớp
vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy
đẳng nguyên thủy của vành Artin. Đối ngẫu với vành Artin là vành
Noether, tức là vành thỏa mãn điều kiện tối đại cho các iđêan một
phía, điều này tương đương với sự hữu hạn sinh của mỗi iđêan phía
đó.
Hướng nghiên cứu thứ hai bắt đầu với những kết quả cơ bản của
6
Matlis, Papp, Kushan về đặc trưng vành Artin và Noether qua các
điều kiện nội xạ cụ thể của môđun trên chúng. Faith - Walker đã đặc
trưng QF vành bằng sự liên quan của tính nội xạ và xạ ảnh: Vành R
là QF khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh,
khi và chỉ khi mọi R -môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Các điều
kiện này thực sự yếu hơn các điều kiện (4), (5), (6) và (7) đã nêu
trên. Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp cận nghiên cứu các
khía cạnh khác nhau của QF vành. Các tác giả này bao gồm: Utumi,
Osofsky, Harada, Oshiro, Armendariz, Đinh Văn Huỳnh, John Clark,
N. V. Dung, Wisbauer, Nicholson, Yousif, Đặc biệt, các nghiên
cứu của Đinh Văn Huỳnh trong những năm 1992-1995 đã làm cho

người ta chú ý trở lại việc nghiên cứu QF vành. Đó là các kết quả
nghiên cứu sử dụng các kỹ thuật mới như: đế bậc 2, điều kiện ACC
đối với iđêan cốt yếu một phía, thay tính nội xạ bởi điều kiện yếu
hơn. Trong lý thuyết QF vành có nhiều giả thuyết liên quan, tuy
nhiên trong phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi dành sự quan
tâm đặc biệt cho giả thuyết Faith (Faith’s Conjecture):" Vành nửa
nguyên sơ và nội xạ một phía là QF ".
Những nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sự tiếp tục
và phát triển hướng nghiên cứu thứ hai.
7.2. Cấu trúc luận án: Nội dung của luận án được trình bày trong
4 chương.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa.
Đồng thời ở đây chúng tôi cũng liệt kê một số kết quả đã biết để tiện
sử dụng cho các chứng minh sau này.
Như chúng ta đã biết, điều kiện CS là một điều kiện nhẹ hơn tính
nội xạ. Vì vậy, khi thay điều kiện "nội xạ" tr ong (4) bởi điều kiện
"CS" chúng ta được một lớp vành rộng hơn lớp vành Artin nửa đơn.
Lớp vành này được gọi là lớp vành CS-nửa đơn và cấu trúc của chúng
đã được mô tả trong các công trình của Dung - Smith, Vanaja. Nội
7
dung của chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu đã đạt được
về mô tả cấu trúc của lớp vành này. Trong Định lý 2.2.3, chúng tôi
đã thiết lập một đặc trưng mới cho vành CS-nửa đơn thông qua các
môđun hữu hạn sinh trên chúng.
Trong chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu đặc trưng của lớp
QF vành. Một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất
CS của lớp vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh và vành nguyên sơ
đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Hệ quả
3.2.4 và Hệ quả 3.2.5. Như đã nói ở trên, giả thuyết Fai th nói rằng
vành nửa nguyên sơ nội xạ một phía là QF, chúng tôi hy vọng những

kết quả của chương này có thể giúp làm rõ một khía cạnh nào đấy
trong việc chứng minh hoặc phản chứng minh giả thuyết này.
Nội dung chính của chương 4 là các kết quả đặc trưng tính Noether
của lớp V-vành và lớp các vành đơn. Để giải quyết câu hỏi mở của P.
F. Smith (1991), Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi đã đưa ra điều
kiện (℘) của môđun. Trong chương này, chúng tôi giảm nhẹ điều kiện
(℘) thành (℘

) để đặc trưng tính Noether của V- vành (Định lý 4.2.4).
Ngoài ra chúng tôi đặc trưng tính Noether của vành đơn thông qua
tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M]
(Định lý 4.3.3). Từ kết quả của Định lý 4.3.3, chúng ta có điều kiện
để vành đơn là Noether (Hệ quả 4.3.4), hoặc mạ nh hơn là SI (Định
lý 4.4.2, Hệ quả 4.4.3). Các điều kiện này tương tự như trong các
kết quả của Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth
nhưng được thiết lập một cách tổng quát hơn nhiều thông qua phạm
trù σ(M).
Có thể nói rằng, ý tưởng của luận án này được xuất phát từ các
điều kiện tương đương của định lý Wedderburn - Artin. Các lớp vành
mà chúng tôi đề cập tới trong chương 2, 3 và 4 đều được khởi nguồn
từ lớp vành Artin nửa đơn do vậy chúng liên hệ với nhau.
8
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được
hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0 và mọi R-môđun được xét là
môđun unita phải hoặc trái.
Một môđun con N
R
của M

R
được gọi là cốt yếu hay môđun con
lớn (essential or large) trong M
R
, kí hiệu N 
−
M , nếu N
R
∩ K = 0
với mọi môđun con K = 0 của M. Môđun con N
R
của M
R
được gọi
là môđun con bé (small or superfluous) trong M
R
, kí hiệu N  M
, nếu với mọi môđun K ⊆ M sao cho K + N = M thì K = M.
Đế phải của M
R
, kí hiệu Soc(M
R
), là tổng các môđun con đơn
của M
R
, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M. Nếu M
R
không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(M
R
) = 0. Căn của M

R
,
kí hiệu Rad(M
R
), là giao của tất cả các môđun con tối đại của M
R
,
là tổng của tất cả các môđun con bé của M
R
.
Cho R-môđun M
R
, ta định nghĩa chuỗi đế phải (socle series or
Loewy series) Soc
α
(M
R
) của M
R
là chuỗi các môđun con của M
R
:
Soc
1
(M
R
) ⊆ ⊆ Soc
α
(M
R

) ⊆ thỏa mãn các điều kiện:
∗ Soc
1
(M
R
) = Soc(M
R
) là đế thứ nhất của M
R
;
∗ Soc
α
(M
R
) là đế thứ α của M
R
như là một môđun con của M
R
chứa Soc
α−1
(M
R
) sao cho:
Soc
α
(M
R
)
/
Soc

α−1
(M
R
)
= Soc

M
/
Soc
α−1
(M
R
)

∗ Nếu α là một chỉ số tới hạn thì ta đặt Soc
α
(M
R
) =
∪
β<α
Soc
β
(M
R
).
9
CHƯƠNG 2
VÀNH CS - NỬA ĐƠN
Xuất phát từ một trong những đặc trưng của vành Artin nửa đơn:

Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái)
là nội xạ. Thay thế điều kiện nội xạ bởi một điều kiện yếu hơn, ví
dụ điều kiện CS, chúng ta có lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành
Artin nửa đơn và được gọi là lớp vành CS-nửa đơn.
Vành R được gọi là CS-nửa đơn (CS-semisimple) phải (trái) nếu
mọi M
R
(t.ư,
R
M ) là CS môđun.
Cấu trúc của vành CS-nửa đơn đã được nghiên cứu bởi các tác giả
Nguyễn Việt Dũng, P. F. Smith và N. Vanaja. Các tác giả đã chứng
minh được lớp vành này chính là lớp vành Artin hai phía với J
2
= 0,
bao nội xạ trái (phải) là xạ ảnh. Đồng thời đã đặc trưng được cấu
trúc của nó thông qua các môđun (hoặc môđun xiclic) là tổng trực
tiếp của một môđun nội xạ và một môđun nửa đơn, điều kiện trái và
phải trong trường hợp này là đối xứng. Do đó, không sợ nhầm lẫn,
chúng ta gọi lớp vành này là vành CS-nửa đơn.
Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh, S. T. Rizvi và M. F. Yousif đã đưa
ra đặc tr ưng của lớp vành này thông qua tính chất CS của các môđun
đếm được sinh.
Tiếp theo, năm 2000, Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi đã đặc
trưng lớp vành này bằng cách thay thế điều kiện CS bởi tổng trực
tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn. Như một sự
nghiên cứu tiếp nối các kết quả đó, trong chương này chúng tôi đưa
ra một đặc trưng mới của lớp vành CS - nửa đơn thông qua tính tựa
10
liên tục của môđun hữu hạn sinh (Định lý 2.2.3, Hệ quả 2.2.5). Các

kết quả chính của chương này đã được công bố trong bài báo số 1
(Section 3).
2.1 Một số bổ đề cần thiết
Mục này giới thiệu các kết qủa đã biết có liên quan đến các chứng
minh ở mục 2. 2.
2.2 Đặc trưng vành CS - nửa đơn
2.2.1 Định lý. (Huynh - Rizvi - Yousif) Vành R là CS-nửa đơn
khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) đếm được sinh là CS.
Tiếp theo hướng nghiên cứu này, Đinh Văn Huỳnh và S. T. Rizvi
đã thay thế điều kiện CS bằng tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh
và một môđun nửa đơn. Chúng ta có kết quả sau:
2.2.2 Mệnh đề. (Huynh - Rizvi) Các điều kiện sau tương đương
trên vành R:
(i) R là CS-nửa đơn;
(ii) Mọi R-môđun phải là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh
và một môđun nửa đơn;
(iii) Mọi R-môđun phải đếm được sinh là tổng trực tiếp của
một môđun xạ ảnh và một môđun nửa đơn.
Như một sự nghiên cứu tiếp nối, chúng tôi đưa ra một đặc trưng
mới của lớp vành này trong định lý sau.
2.2.3 Định lý. Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tổng trực
tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn thì R là
một tổng trực tiếp các iđêan phải đều R
i
có độ dài bé hơn hoặc
bằng 2, trong đó các R
i
có độ dài bằng 2 là nội xạ.
Để chứng minh định lý này chúng ta cần bổ đề sau.
11

2.2.4 Bổ đề. Nếu mọi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh là tổng
trực tiếp của một môđun tựa liên tục phải (trái) và một môđun
nửa đơn thì vành R là Artin phải (trái).
Từ kết quả của Định lý 2.2.3 ta có hệ quả sau:
2.2.5 Hệ quả. Vành R là CS - nửa đơn khi và chỉ khi mọi R -
môđun phải hữu hạn sinh là một tổng trực tiếp của một môđun
tựa liên tục và một môđun nửa đơn.
2.2.6 Nhận xét. Một câu hỏi được đặt ra đó là: Kết quả của định lý
còn đúng hay không nếu chúng ta thay thế điều kiện "mọi R-môđun
phải hữu hạn sinh " ở giả thiết bằng điều kiện " mọi R-môđun phải
xiclic"? Câu trả lời là "không", ví dụ sau đây sẽ cho chúng ta thấy
rõ điều này.
2.2.7 Ví dụ. Xét R =

Q R
0 R

trong đó Q, R lần lượt là trường
các số hữu tỷ và các số thực. Khi đó ta có R là vành thỏa mãn điều
kiện mọi R-môđun phải xiclic đều phân tích được thành tổng trực
tiếp của một môđun tựa liên tục và một môđun nửa đơn nhưng R
chỉ là vành Artin phải, do đó nó không là vành CS- nửa đơn.
2.3 Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra được một số kết quả sau:
 Mộ t tiêu chuẩn mới của vành Artin qua lớp các môđun hữu hạn
sinh thỏa mãn sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun tựa
liên tục và một môđun nửa đơn (Bổ đề 2.2.4).
 Từ tiêu chuẩn mới của lớp vành Artin, chúng tôi nhận được một
sự phân tích của lớp vành trên đó các môđun thỏa mãn sự phân tích
nói trên (Định lý 2.2.3), và từ đây thu được một đặc trưng mới của

lớp vành CS - nửa đơn (Hệ quả 2.2.5). Ngoài ra, chúng tôi cũng đã
12
chỉ ra được ví dụ chứng t ỏ kết quả của Định lý 2.2.3 sẽ không còn
đúng nữa nếu chúng ta thay thế điều kiện "hữu hạn sinh" bởi điều
kiện "xiclic".
13
CHƯƠNG 3
QF-VÀNH
Vành R được gọi là tựa Frobenius (quasi-Frobenius), kí hiệu là
QF- vành, nếu R là Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái.
Lớp QF- vành là một lớp con rất quan trọng của lớp vành Artin.
Lớp vành này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế
và lũy đẳng nguyên thủy của vành Artin. Nhiều nhà toán học trên
thế giới đã tập trung nghiên cứu để tìm ra các điều kiện đặc trưng lớp
vành này, nhiều tính chất của nó cũng đã được khám phá. Giả thuyết
Faith: "Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF", một giả
thuyết khá nổi tiếng trong lý thuyết QF - vành. Đinh Văn Huỳnh là
một trong những tác giả đã có nhiều kết quả nghiên cứu sâu sắc về
đặc trưng QF vành thông qua lớ p CS và (1−C
1
) môđun. Nă m 1995,
Đinh Văn Huỳnh đã chứng minh được một đặc trưng mới của lớp
vành này thông qua tính chất đếm được Σ-CS của lớp vành nửa hoàn
chỉnh. Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh và Ngô Sỹ Tùng đã mở rộng kết
quả này bằng việc thay thế điều kiện đếm được Σ−CS bởi một điều
kiện yếu hơn thực sự đó là điều kiện đếm được Σ(1 − C
1
). Như một
sự nghiên cứu tiếp nối, trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh
một số kết quả mới của các lớp vành QF thông qua các điều kiện CS

và đặc trưng của nó cho các lớp vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh l à
các lớp vành mở rộng thực sự của lớp vành nửa nguyên sơ. Các kết
quả của chương này đã được công bố trong bài báo số 1 (Section 4).
14
3.1 Một số bổ đề cần thiết
Mục này trình bày các kết quả đã biết có liên quan đến các chứng
minh ở 3.2.
3.2 Đặc trưng QF-vành
Năm 1995, Đinh Văn Huỳnh đã đưa ra đặc trưng mới của QF-
vành thông qua tinh chất đếm được Σ-CS của lớp vành nửa hoàn
chỉnh:"Vành R là QF nếu và chỉ nếu R là vành nửa hoàn chỉnh,
đếm được Σ-CS phải và thỏa mãn điều kiện J(R) không chứa
iđêan phải xạ ảnh khác không". Năm 1996, Đinh Văn Huỳnh và
Ngô Sỹ Tùng đã mở rộng kết quả trên cho trường hợp đếm được
Σ(1 − C
1
). Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi đã chứng minh
được định lý sau đây:
3.2.1 Định lý. Trên vành R với chiều Goldie phải hữu hạn, các
điều kiện sau là tương đương:
(i) R là QF vành;
(ii) R
R
là liên tục và đếm được Σ(1 − C
1
).
Như chúng ta đã biết, nếu một vành R là liên tục phải (hoặc trái)
thì R là CS phải (hoặc trái) nhưng chiều ngược lại trong trường hợp
tổng quát là không hoàn toàn đúng. Vậy một câu hỏi đặt ra là: Với
điều kiện nào thì một vành CS là vành liên tục? Định lý sau là

một trong những câu trả lời cho vấn đề này.
3.2.2 Định l ý. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho
R/J(R) là một vành đơn. Khi đó R là vành liên tục phải nếu và
chỉ nếu R là CS vành phải.
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau:
15
3.2.3 Hệ quả. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho
R/J(R) đơn và u-dim(R
R
) ≥ 2. Khi đó vành R là tự nội xạ phải
nếu và chỉ nếu R là vành CS phải.
3.2.4 Hệ quả. Giả sử R là một vành hoàn chỉnh trái sao cho
R/J(R) đơn. Các điều kiện sau tương đương:
(a) R là QF vành;
(b) R
(N)
R
là Σ(1 − C
1
) môđun.
3.2.5 H ệ quả. Giả sử R là vành nguyên sơ thỏa mãn điều kiện
ACC cho các linh hóa tử phải. Vành R là QF nếu và chỉ nếu R
chứa một lũy đẳng nguyên thuỷ e sao cho eR ⊕ eR là CS môđun.
3.3 Kết luận Chương 3
Các kết quả chúng tôi đã đạt được trong chương 3 là:
1. Đưa ra được đặc trưng mới của lớp QF-vành thông qua tính chất
đếm được Σ(1 − C
1
) của lớp vành liên tục có chiều Goldie hữu
hạn (Định lý 3.2. 1).

2. Đưa ra điều kiện mới để một vành CS phải là liên tục phải (Định
lý 3.2.2). Từ đó thiết lập được điều kiện để một vành CS phải
là tự nội xạ phải (Hệ quả 3.2.3). Đặc biệt, chúng ta có các đặc
trưng mới của QF-vành thông qua tính chất CS, (1 − C
1
) của
lớp vành hoàn chỉnh trái và vành nguyên sơ (Hệ quả 3.2.4, Hệ
quả 3.2.5).
16
CHƯƠNG 4
ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT SỐ LỚP VÀNH TRỞ THÀNH NOETHER
Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, cùng với lớp
vành Artin, lớp vành Noether được xem như một trong những lớp
vành cơ bản, được nghiên cứu một cách rộng rãi và sâu sắc. Đặc
trưng tính Noether của một vành nào đó luôn là một trong những đề
tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành. Trong
phạm vi nghiên cứu của mình, chúng tôi quan tâm đến việc đặc trưng
tính Noether cho lớp vành đơn và lớp V-vành. Từ đó, chúng tôi tìm
cách thiết lập điều kiện cho lớp vành đơn là SI.
Để trả lời một câu hỏi mở về vành Noether, Đinh Văn Huỳnh và
S. Tariq Rizvi đã thiết lập một điều kiện kí hiệu là (℘): " Vành R
được gọi là thỏa mãn điều kiện (℘) nếu mọi R-môđun phải xiclic
là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Q,
trong đó Q hoặc nội xạ hoặc Noether" và đã chứng minh được rằng:
Mỗi vành R sao cho mọi iđêan phải chính thỏa mãn điều kiện (℘)
là Noether phải.
Trong chương này, trước hết chúng tôi làm nhẹ (℘) thành (℘

)
(xem 4.2) để thu được tính Noether của V -vành.

Vành R được gọi là SI-vành phải nếu mọi R-môđun suy biến phải
là nội xạ. Khái niệm SI vành lần đầu tiên đượ c đưa ra bởi Goodearl.
Đây là một hướng mở rộng khác của vành Artin nửa đơn khi hạn chế
tính nội xạ trên môđun suy biến.
Theo Goodearl một vành không suy biến phải R là SI phải khi và chỉ
R = K ⊕ R
1
⊕ ⊕ R
n
. Trong đó, K/Soc(K) là nửa đơn, mỗi R
i
17
là vành Noether đơn và tương đương Morita với SI miền. Trong lý
thuyết SI vành, người ta đặc biệt quan tâm vành với đế bằng không.
Vì vậy, theo định lý của Goodearl chúng ta có thể giả thiết đó là vành
đơn. Chú ý rằng, T. Y. Lam đã chỉ ra ví dụ chứng tỏ tồn tại vành
đơn nhưng không là Noether phải. Mục đích thứ hai của chương này
là thiết lập điều kiện để một vành đơn là Noether, từ đó thu đượ c
một đặc trưng của lớp SI-vành đơn. Các kết quả chính ở chương này
đã được công bố trong các bài báo 2 và 3.
4.1 Một số bổ đề cần thiết
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa, khái niệm và các
kết quả đã biết có liên quan.
4.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là V -vành phải (trái) nếu
mọi R-môđun phải (tư. tr ái) đơn là nội xạ.
Một môđun xiclic được gọi là môđun xiclic thực sự (proper cyclic)
nếu nó không đẳng cấu với R.
Ngoài ra, để tiện việc theo dõi các chứng minh ở 4.2 và 4.3,
trong mục này chúng tôi giới thiệu một số kết quả đã biết có liên
quan.

4.2 Khi nào một V-vành là Noether
Năm 1979, P. F. Smith lần đầu tiên giới thiệu các kết quả về đặc
trưng vành Noether thông qua sự phân tích của các môđun xiclic.
Trong các công trình nghiên cứu theo hướng này chúng tôi đặc biệt
quan tâm đến định lý sau đây:
4.2.1 Định lý. (D. V. Huynh) Một vành R là Noether phải nếu
và chỉ nếu mọi R-môđun phải xiclic là một tổng trực tiếp của một
môđun xạ ảnh và một môđun Q, trong đó Q hoặc nội xạ hoặc là
Noether.
18
Điều kiện trong định lý này được kí hiệu là (℘). Chúng tôi làm nhẹ
(℘) bởi tính chất sau: Một môđun C được gọi là thỏa mãn điều kiên
(℘

) nếu C là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun
Q, trong đó hoặc Q là CS-môđun hoặc Q là môđun có chiều Goldie
hữu hạn.
4.2.2 Ví dụ. Xét vành các ma trận R = {

a b
0 a

|a ∈ Z, b ∈
C(p
∞
)}. Khi đó, R là một vành giao hoán thỏa mãn điều kiện (℘

)
nhưng không là vành Noether.
4.2.3 Định nghĩa. Vành R được gọi là GV - vành phải (right

generalized V-ring) nếu mọi môđun phải đơn và suy biến là nội xạ.
4.2.4 Định l ý. Cho R là một GV - vành phải. Nếu mọi R-môđun
phải xiclic thực sự thỏa mãn điều kiện (℘

), thì R là vành Noether
phải.
4.2.5 Hệ quả. Cho R là V -vành phải. Nếu mọi R-môđun phải
xiclic thực sự đều thỏa mãn điều kiện (℘

) thì R là tổng trực tiếp
của một vành Artin nửa đơn và hữu hạn các V -vành Noether phải
đơn có đế bằng không.
4.3 Điều kiện để một vành đơn là Noether
Trước hết chúng ta xét ví dụ sau:
4.3.1 Ví dụ. Cho D là một thể và đặt V = ⊕
i≥1
e
i
D là một D-
không gian véctơ phải. Gọi E = End(V
D
) và I là iđêan của E gồm
các tự đồng cấu có hạng hữu hạn. Đặt R = E/I, ta có R là một
vành đơn nhưng không là Noether trái. .
4.3.2 Định nghĩa. Cho M
R
là một môđun. Một môđun X được
gọi là M-suy biến nếu tồn tại một môđun A ∈ σ[M] có chứa một
môđun con cốt yếu E sao cho X
∼

=
A/E.
19
Kết quả chính của phần này là định lý sau:
4.3.3 Định lý. Cho M là một môđun phải xiclic trên vành đơn
Goldie phải R. Nếu mọi môđun xiclic M-suy biến trong σ[M] là
CS, thì M/Soc(M) là môđun Noether.
4.3.4 Hệ quả. Trên vành đơn R, các điều kiện sau là tương
đương:
(i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến là CS;
(ii) Tồn tại một R-môđun phải xiclic X với X = Z(X) sao cho
mọi môđun xiclic X-suy biến trong σ[X] là CS.
Trong trường hợp này, R là vành Noether phải.
4.4 Khi nào một vành đơn là SI
4.4.1 Định nghĩa. Môđun M được gọi là SI-môđun nếu mọi
môđun M-suy biến là M-nội xạ.
Năm 1986, Yousif đã định nghĩa khái niệm này: Môđun M được
gọi là SI-môđun nếu mọ i môđun suy biến trong Mod-R là M- nội
xạ. Như đã nhận xét trong 4.3, mọi môđun M-suy biến là suy biến
trong Mod-R. Do đó chúng ta thấy điều kiện của Yousif đưa ra t hực
sự mạnh hơn định nghĩa trên. Tuy nhiên, trong trường hợp M = R
thì hai khái niệm này là một. Trong luận án này, chúng ta hiểu khái
niệm SI-môđun theo định nghĩa trên.
Kết quả tiếp theo liên quan đến SI-vành là định lý sau:
4.4.2 Định lý. Cho R là một vành đơn Goldie phải và Y là một
R-môđun phải xiclic khác không. Nếu mọi môđun xiclic Y -suy
biến trong σ[Y ] là tựa liên tục thì Y/E là nửa đơn với mọi môđun
con cốt yếu E ⊆ Y .
Từ định lý ta có hệ quả sau:
20

4.4.3 Hệ quả. Trên vành đơn R, các điều kiện sau tương đương:
(i) Mọi R-môđun phải xiclic suy biến là tựa liên tục;
(ii) Tồn tại một R-môđun phải xiclic X với X = Z(X) sao
cho mọi môđun xiclic X-suy biến trong σ[X] là tựa liên tục.
Trong trường hợp này, R là SI-vành phải.
4.4.4 Nhận xét. 1) Khi xét M = R, trở lại vành R ta thu được
các kết quả thú vị của Đinh Văn Huỳnh - S. K. Jain và S.R. Lo’pez-
Permouth như là các hệ quả. Tuy vậy cần nhấn mạnh rằng, trong
trường hợp của chúng tôi đối tượng nghiên cứu rộng hơn nhiều vì
trong mỗi môđun phép nhân không được định nghĩa.
2) Chúng tôi chưa biết liệu Định lý 4.3.3 và Định lý 4.4.2 vẫn đúng
hay không khi bỏ điều kiện chiều Goldie phải hữu hạn của vành R.
4.5 Kết luận Chương 4
Trong Chương 4, chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề
sau: Khi nào một V - vành là Noether? Trên cơ sở kết quả của Đinh
Văn Huỳnh chúng tôi tìm cách thay thế điều (℘) bởi điều kiện (℘

)
yếu hơn. Đồng thời chúng tôi tìm cách thiết lập điều kiện để một
vành đơn là Noether và từ đó suy ra các điều kiện cho vành đơn là
SI-vành. Cụ thể như sau:
1. Thay thế điều kiện nội xạ hoặc Noether trong điều kiện (℘) bởi
điều kiện CS hoặc chiều Goldie hữu hạn. Kết quả thu được đó
là Định lý 4.2.4, từ đó suy ra điều kiện để một V -vành phải là
Noether phải (Hệ quả 4.2.5).
2. Thiết lập điều kiện cho một vành đơn là Noether thông qua tính
chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M]
(Định lý 4.3.3, Hệ quả 4.3.4).
21
3. Chứng minh một kết quả mới về SI- vành thông qua tính chất

tựa liên tục của lớp các môđun xiclic Y - suy biến trong phạm
trù σ[Y ] (Định lý 4.4.2, Hệ quả 4.4.3).
22
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây:
1. Đưa ra được tiêu chuẩn mới của lớp vành Artin và lớp vành
CS-nửa đơn thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn sự phân
tích thành tổng trực tiếp của một môđun nửa đơn và một môđun tựa
liên tục (Bổ đề 2.2.4, Định lý 2.2.3).
2. Đưa ra đặc trưng mới của lớp QF-vành thông qua các tính chất
(1−C
1
), tính chất đếm được Σ-(1−C
1
) (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.4,
Hệ quả 3.2.5).
3. Thiết lập được điều kiện mới để một CS-vành phải là vành liên
tuc phải (Định lý 3.2.2). Từ đó chúng ta có kết quả mới của QF-vành
từ lớp vành nguyên sơ.
4. Giảm nhẹ điều kiện nội xạ hoặc Noether trong điều kiện (℘)
bởi điều kiện CS hoặc chiều Goldie hữu hạn. Kết quả thu được đó là
Định lý 4 .2.4, từ đó đưa ra đặc trưng tính Noether của V -vành phải
(Hệ quả 4.2.5).
5. Thông qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong
phạm trù σ[M], thiết lập được điều kiện mới để một vành đơn là
Noether (Định lý 4.3.3, Hệ quả 4.3.4). Từ kết quả này, chúng tôi thu
được kết quả mới trên lớp SI-vành (Hệ quả 4.4.3).
Các kết quả chính của luận án được công bố trong các bài báo 1,
2 và 3.
23

Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu một số vấn
đề sau:
1. Nghiên cứu đặc trưng của vành CS-nửa đơn thông qua lớp
môđun hữu hạn sinh thỏa mãn sự phân tích thành tổng trực tiếp của
một môđun nửa đơn và một môđun CS hoặc (1 − C
1
).
2. Tiếp tục quan tâm nghiên cứu giả thuyết Faith. Đặc biệt, chúng
tôi sẽ cố gắng giảm nhẹ hoặc thay thế gi ả thiết vành hoàn chỉnh bởi
lớp vành nửa địa phương.
3. Nghiên cứu tính chất Noether của lớp vành đơn thông qua tính
chất CS của lớp các môđun xiclic M-suy biến. Hay nói rõ hơn, chúng
tôi sẽ cố gắng loại bỏ hoặc giảm nhẹ điều kiện Goldie phải trong giả
thiết của Định lý 4.3.3.
Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh
liên quan đến luận án
1. Dinh Van Huynh, Đinh Đức Tài and Le Van An, On the CS Con-
dition and Rings with Chain Conditions. Contemporary Math-
ematics. Amer. Math. Soc, Vol.480 (2009), 241-248.
2. Dinh Van Huynh and Đinh Đức Tài, A note on V-rings. Southeast
Asian Bull. of Math, Vol 33, No 6 (2009), pp. 1071-1074.
3. Dinh Van Huynh and Đinh Đức Tài, Cyclic Modules over Sim-
ple Goldie Rings. Acta Math. Vietnamica, Vol 35, No 2 (2010),
pp.329-334.