đề thi olympic lớp 8 năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO THẠCH HÀ
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 15 - 4 - 2014
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
3 2
x 3x 2x 6 0- + + =
b)
x b x 5
2
x 5 x b
+ +
+ =
- -
(b là tham số)
Bài 2. a) Cho các số a, b thoả mãn
2 2 3 3
a b a b 1+ = + =
Tính giá trị biểu thức
4 4
A a b= +
b) Cho số tự nhiên a và số nguyên tố p thoả mãn đẳng thức
3
a 2p 1= +
Tìm a và p.
c) Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x)

chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1.
Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c thoả mãn hệ thức:
ab bc ca ca ab bc
b c c a a b b c c a a b
+ + = + +
+ + + + + +
. Chứng minh rằng: ABC là tam
giác cân.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi I là điểm nằm giữa A và B.
tia DI cắt CB tại E.
a) Chứng minh IE. IA = IB. ID
b) Chứng minh
2 2 2
1 1 1
DI DE a
+ =
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = BE. Gọi K là giao điểm
của FC và AE. Chứng minh
DK ^
EF
.
Bài 5. Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức:
2 2
2
1
8x y 4
4x
+ + =
Tìm giác trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = xy.
Hết

Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: …………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Câu Nội dung Điểm
Bài 1
(4,0đ)
a)
2,0đ
3 2
x 3x 2x 6 0- + + =
2
(x 1)(x 4x 6) 0Û + - + =

Û
x + 1 = 0 (1) hoặc x
2
– 4x + 6 = 0 (2)
(1)
x 1« =-
(2)
2
(x 2) 2 0« - + =
Vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
{ }
S 1= -
0,5
0,5
0,5
0,5

b)
2,0đ
ĐK : x
¹
5; x
¹
b.
Biến đổi pt về dạng: 2x (b+5) = (b+5)
2
Nếu b
¹
-5 thì x =
b 5
2
+
. Giá trị này là nghiệm nếu
b 5
2
+
¹
b
Û
b
¹
5
Nếu b =-5 ta có 0x =0. pt có nghiệm với mọi x
¹
5; x
¹
- 5

Kết luận:
Nếu b
¹
5; b
¹
-5. Phương trình có nghiệm duy nhất x =
b 5
2
+
Nếu b = 5 pt vô nghiệm
Nếu b = -5 pt có vô số nghiệm x
¹
5; x
¹
- 5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2
(5,0đ)
a)
1,5đ
Từ
2 2 3 3
a b a b 1+ = + =
suy ra
3 2 3 2
a a b b 0- + - =
2 2

a (1 a) b (1 b) 0Û - + - =
Lại có
2 2
a b 1+ =
suy ra
1 a 1; 1 b 1- £ £ - £ £

Þ

a 1 0; b 1 0- ³ - ³
Từ đó
2 2
a (1 a) b (1 b) 0- = - =
Xét các khả năng xảy ra của a,b ta có (a; b) = (0; 1) (1; 0)
Ta có A = 1
0,5
0,5
0,5
b)
1,5đ
Ta thấy 2p + 1 là số lẻ, nên a là số nguyên dương lẽ. Đặt a = 2m + 1 (m là
số tự nhiên)
Ta có
( )
3
2m 1 2p 1+ = +
.
Biến đổi ta được p =
2
m(4m 6m 3)+ +

vì p nguyên tố nên suy ra m= 1, từ
đó a = 3; p = 13
0,5
0,25
0,5
0,25
b)
2,0đ
f(x) Vì
2
(x 1)(x 2) x x 2- + = + -
là đa thức bậc 2 nên f(x) :
[ ]
)2)(1(
+−
xx
có đa
thức dư dạng ax + b
Do f(x) : (x - 1) dư 7
⇒
f(1) = 7
⇒
a + b =7 (1)
f(x) : (x + 2) dư 1
⇒
f(-2) =1
⇒
-2a +b = 1 (2)
Từ (1) và (2)
⇒

a = 2 và b = 5.
Vậy f(x) :
[ ]
)2)(1(
+−
xx
được dư là 2x + 5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(2,0đ)
2,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho thành:
1 1 1 1 1 1
ab( ) bc( ) ac( ) 0
b c a c a c a b a b b c
- + - + - =
+ + + + + +
ab(a b) bc( b c) ac(c a)
0
(b c)(a c) (a c)(a b) (a b)(b c)
- - -
+ + =
+ + + + + +
Qui đồng mẫu hai vế và khử mẫu thu gọn ta được
(a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a) = 0
Ta có a = b hoặc b=c hoặc a = c . vậy tam giác ABC cân
1,5
0,5

Bài 4
(6,0đ)

F
H
K
E
C
B
A
D
I
a)
2,0đ
Chứng minh được tam giác AID đồng dạng với tam giác BIE
Suy ra IE. ID = IB. IA
1,5
1,0
b)
2,0đ
Tam giác ADI đồng dạng với tam giác CED
Suy ra:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
DI AI DI AI DI AD DI
1
DE CD DE CD CD CD
DI DI 1 1 1 1

1
DE CD DE DI CD a
-
= Þ = = = -
Þ + = Þ + = =
0,5
0,5
1,0
c)
2,0đ
ABE DAFD =D
Þ
µ
E F=
$
; lại có
·
·
BAE FAK=
Suy ra
·
FAK
+
F
$
= 90
0
Þ
EK FD^
(1)

Tương tự
FBC ECDD =D
Þ
FC
^
DE (2)
Từ (1) và (2), suy ra K là trực tâm của tam giác EFD =>
DK E F^
0,75
0,75
0,5
Bài 5
(3,0đ)
3,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho ta được
2 2
1
4xy (2x ) (2x y) 2 2
2x
= - + + - ³ -
Suy ra
1
xy
2
-
³
. Đẳng thức xảy ra khi
x 0,5
y 1
ì
=

ï
ï
í
ï
=-
ï
î
hoặc
x 0,5
y 1
ì
=-
ï
ï
í
ï
=
ï
î
=> Min P =
1
2
-
khi
x 0,5
y 1
ì
=
ï
ï

í
ï
=-
ï
î
hoặc
x 0,5
y 1
ì
=-
ï
ï
í
ï
=
ï
î
Biến đổi đẳng thức đã cho ta được
2 2
1
4xy (2x ) (2x y) 2
2x
- = - + - -
Suy ra
1
xy
2
£
. Đẳng thức xảy ra khi
x 0,5

y 1
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
hoặc
x 0,5
y 1
ì
=-
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
=> Max P =
1
2
khi
x 0,5
y 1
ì
=

ï
ï
í
ï
=
ï
î
hoặc
x 0,5
y 1
ì
=-
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Tổng 20,0
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa. Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5./.