chuyên đề Phép đếm nâng cao

www.VNMATH.com

1
Phép đm - các vn đ c bn và nâng cao

Trn Nam Dng
Trng HKHTN Tp HCM

Phép đm hay còn gi là Gii tích t hp đóng mt vai trò khá quan trng trong các môn
khoa hc và đc bit là trong Tin hc và Tóan ng dng. Có th nói, lý thuyt xác sut c
đin có c s là các bài tóan đm, sinh hc di truyn cng s dng đn phép đm, ri
hóa hc cu trúc …

Nhng gii mt bài tóan đm không h đn gin. Khi mi làm quen vi gii tích t hp,
chúng ta vn liên tc đm nhm vì nhng v đm lp, đm thiu, không phân bit đc
các đi tng t hp cn áp dng, không bit khi nào thì dùng quy tc cng, khi nào quy
tc nhân. Khi đã vt qua nhng khó khn ban đu này, ta li gp nhng bài tóan mà vic
áp dng trc tip các quy tc đm c bn và các đi tng t hp không đem li kt qu
mong mun ngay lp tc. Vi nhng bài tóan nh vy, ta cn đn các phng pháp đm
nâng cao hn.

Trong bài vit này, đ có tính h thng, trc ht chúng tôi s trình bày mt cách vn tt
phn lý thuyt c bn ca phép đm, sau đó, chúng tôi s tp trung vào gii thiu các
phng pháp đm nâng cao gm phng pháp song ánh, phng pháp qu đo, phng
pháp thêm bt, phng pháp quan h đ quy và phng pháp hàm sinh.

Bài vit này đc xây dng da trên bài ging ca chúng tôi ti các khóa cao hc, các lp
c nhân tài nng và lp tp hun cho đi tuyn Vit Nam thi toán quc t. Các tài liu
tham kho đc trình bày  cui bài vit.

Chúng tôi xin chân thành cm n Trng HKHTN HN, đc bit là GS Nguyn Vn

Mu đã cho chúng tôi c hi đc trình bày chuyên đ này.

Bài 1. - Phép đm. Các nguyên lý c bn ca phép đm

nh ngha:
i) Mt tp hp A đc nói là hu hn và có n phn t nu tn ti mt song ánh gia A
và tp hp con 1, 2, , n ca N. Ta vit |A| = n.
ii) Nu A không hu hn, ta nói A vô hn.

B đ (Nguyên bù tr): Gi s B là mt tp con ca tp hp hu hn A. Gi C
A
(B) là
phn bù ca B trong A. Khi y ta có
|A| = |B| + |C(B)|.

nh lý: Gi s A, B là các tp hp hu hn. Nu tn ti mt đn ánh t A vào B và mt
đn ánh t B vào A thì A và B có cùng s phn t.

Nguyên lý cng: Nu A, B là các tp hp không giao nhau thì
www.VNMATH.com

2
|A  B| = |A| + |B|.
Nguyên lý cng còn có th phát biu mt cách khác nh sau:
Nu mt công vic có th thc hin bng mt trong hai phng án lai tr ln nhau:
phng án th nht có m cách thc hin và phng án th hai có n cách thc hin. Khi
đó công vic đó có m+n cách thc hin.

Nguyên lý cng m rng: Nu tp hp hu hn C là hp ca n tp đôi mt ri nhau C
1

,
C
2
, , C
n
thì:
| C | = | C
1
| + | C
2
| + + | C
n
|.

nh ngha: Tích Descartes ca hai tp hp A, B ký hiu bi AxB là tp hp tt c các
cp th t (a, b) vi a  A, b  B.

Nguyên lý nhân: Nu A và B là hai tp hp hu hn thì AxB cng hu hn và ta có
|A x B| = |A|.|B|

nh ngha v tích Descartes và nguyên lý nhân trên đây có th m rng cho nhiu tp
hp. Nguyên lý nhân có th phát biu mt cách khác nh sau:
Nu mt quá trình có th đc thc hin qua hai công đan: công đan I có n
1
cách thc
hin, công đan II (sau khi thc hin I) có n
2
cách thc hin. Khi đó có n
1
.n

2
cách thc
hin quá trình đó.

Nguyên lý thêm bt: Vi hai tp hu hn A, B bt k ta có
|A  B| = |A| + |B| - |AB|

Câu hi và bài tp:
1) Hãy tìm s tp con ca mt tp hp có n phn t.
2) Hãy cho mt ví d v áp dng ca nguyên lý bù tr.
3) Hãy cho mt ví d v phép đm phi áp dng c nguyên lý cng và nguyên lý nhân.
4) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau?
5) Có bao nhiêu s có 3 ch s và chia ht cho 3?
6) Có bao nhiêu s có 3 ch s khác nhau và chia ht cho 3?
7) Trong trò chi tin lên, tính xác sut đ mt ngi nào đó có t quí.
8) Nguyên lý thêm bt có th m rng nh th nào?

Bài 2. - Các đi tng t hp và các s t hp

1. H các tp con ca mt tp hp E
P(E) = A| A  E
Mnh đ: |P(E)| = 2
|E|

2. Chnh hp ca n phn t chn k (hay chnh hp chp k ca n phn t)
Gi s E = a
1
, a
2
, , a

n
. Chnh hp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm k
phn t (a
i1
, , a
ik
).
S các chnh hp chp k ca n phn t đc ký hiu là
k
n
A
. Ta có
www.VNMATH.com

3

k
n
A = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)!
3. T hp ca n phn t chn k (hay t hp chp k ca n phn t)
Gi s E = a
1
, a
2
, , a
n
. T hp ca n phn t chn k là mt b không sp th t gm k
phn t a
i1
, , a

ik
. Nói cách khác, đó là mt tp con gm k phn t.
S các t hp chp k ca n phn t đc ký hiu là C
k
n
. Ta có

k
n
C
= n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)!

4. Hóan v
Gi s E = a
1
, a
2
, , a
n
. Mt hóan v ca E là mt cách xp các phn t ca E theo mt
th t nào đó. Nói cách khác, đó chnh là chnh hp ca n phn t chn n.
S các hóan v ca n phn t ký hiu là P
n
. Ta có P
n
= n!.

5. Chnh hp lp
Gi s E = a
1

, a
2
, , a
n
. Chnh hp lp ca n phn t chn k là mt b sp th t gm
k phn t (a
i1
, , a
ik
), trong đó cho phép ly lp li.
S các chnh hp chp k ca n, theo quy tc nhân, bng n
k
.

6. T hp lp
Gi s E = a
1
, a
2
, , a
n
. T hp lp ca n phn t chn k là mt b không sp th t
gm k phn t a
i1
, , a
ik
, trong đó cho phép ly lp li. Nói cách khác, đó là mt đa tp
hp gm k phn t ly t E.
S các t hp lp chp k ca n phn t đc ký hiu là
k

n
H . Ta có

k
kn
k
n
CH
1


7. Hóan v lp
Xét đa tp hp E(r
1
, r
2
, , r
s
) có n phn t, trong đó phn t a
1
có r
1
phiên bn, phn t a
2

có r
2
phiên bn, , phn t a
s
có r

s
phiên bn, r
1
+r
2
+ +r
s
= n. Mt cách xp các phn t
ca E theo th t nào đó đc gi là mt hóan v lp ca n phn t ca E.
S hóan v lp ca đa tp hp E(r
1
, r
2
, , r
s
) bng n!/r
1
! r
s
!.
B đ: (Tính cht h s nh thc)

k
n
k
n
k
n
CCC
1

1




nh lý: (Nh thc Newton)

nn
n
n
n
n
n
n
yCyxCxCyx 

)(
110
.

Câu hi và bài tp:
1) Nêu rõ s khác bit gia chnh hp và t hp, hóan v và hóan v lp.
2) Tìm hiu ý ngha ca các ký hip A, C, P, H.
3) Hãy chng minh đnh lý nh thc.
4) Nêu ví d áp dng cho tng đi tng t hp trên đây.
5) Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình
x
1
+ x
2

+ x
3
= 100
6) Có 5 nam và 5 n. Có bao nhiêu cách chn ra 5 ngi trong đó có ít nht 1 nam và ít
nht 1 n.
www.VNMATH.com

4
7) Rút gn tng



n
k
k
n
n
k
kk
n
kxCBCA
00
)cos(,)2(.
8) Chng minh



n
k
n

n
k
n
CC
0
2
2
.)(

Bài 3. - Các phng pháp đm nâng cao

C s ca phép đm là đnh ngha phép đm, các nguyên lý đm và các s t hp (là các
s thng ny sinh mt cách t nhiên trong các bài tóan đm). Tuy nhiên, vi các công
c c s trên, chúng ta thng ch gii đc nhng bài tóan  dng đn gin nht. Vi
các bài tóan có yêu cu phc tp hn, cn đn các phng pháp đm nâng cao.

Có nhiu phng pháp đm nâng cao da trên các nn tng lý thuyt khác nhau. Ví d
phng pháp song ánh da vào lý thuyt tp hp và ánh x, phng pháp thêm bt cng
da vào lý thuyt tp hp (c th là tng quát hóa ca công thc |A  B| = |A| + |B| -
|AB|), phng pháp qu đo da vào mt đnh lý c bn v s đng đi ngn nht gia
hai đim ca li nguyên, phng pháp quan h đ quy da vào ý tng quy np,
phng pháp hàm sinh s dng các ki
n thc tng hp ca đi s và gii tích

Di đây, qua các ví d, chúng ta s gii thiu mt s phng pháp đm nâng cao.

1. Phng pháp song ánh.
Phng pháp song ánh da vào mt ý tng rt đn gin: Nu tn ti mt song ánh t A
vào B thì |A| = |B|. Do đó, mun chng minh hai tp hp có cùng s phn t, ch cn xây
dng mt song ánh gia chúng. Hn na, ta có th đm đc s phn t ca mt tp hp

A bng cách xây dng song ánh t A vào mt tp hp B mà ta đã bit cách đm.

Ví d 1.
(Bài tóan chia ko ca Euler)
Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình
x
1
+ x
2
+ + x
n
= k (*)

Li gii
: Ta xây dng mt ánh x t tp hp A các nghim nguyên không âm ca (*) vi
tp hp B các xâu nh phân đ dài n+k-1 vi k bit 1 và n-1 bit 0 nh sau:
(x
1
, x
2
, …, x
n
)  1 101 101 1…01 1
trong đó có x
1
s 1 liên tip, sau đó đn s 0, sau đó đn x
2
s 1 liên tip, li đn 1 s 0
…, cui cùng là x
n

s 1 liên tip.

D dàng chng minh đc ánh x này là mt song ánh (hãy gii thích ti sao đây là mt
tòan ánh bng cách xây dng ánh x ngc). T đó | A | = | B | =
.
1
1


n
kn
C

Ví d 2.
(nh lý c bn ca phng pháp qu đo) Chng minh rng s đng đi ngn
nht trên li nguyên t đim A(0, 0) đn B(m, n) bng
m
nm
C

.
Li gii
: Mt đng đi ngn nht t A đn B s bao gm m đan đi ngang và n đan đi
lên. Ta cho tng ng mt đng đi ngn nht t A đn B bng mt xâu nh phân gm m
www.VNMATH.com

5
bit 1 (tng ng vi đan đi ngang) và n bit 0 (tng ng vi đan đi lên). D dàng
chng minh tng ng này là mt song ánh, t đó s đng đi ngn nht t A đn B
bng s xâu nh phân đ dài m+n trong đó có m bit 1, và nh vy bng

m
nm
C

.
Ví d 3
. Xây dng mt song ánh t N vào ZxZ.
Hng dn: ánh s các đim nguyên theo vòng trôn c.

Ví d 4.
Chng minh không tn ti mt song ánh t tp hp các s hu t thuc đon
[0, 1] vào tp hp các s thc thuc đon này.
Hng dn: Phng pháp đng chéo!

Ví d 5
. Có n ngi xp hàng dc. Hi có bao nhiêu các chn ra k ngi sao cho không
có hai ngi liên tip đc chn?
Li gii
: Ta đánh s n ngi bng các s th t 1, 2, …, n. Mt cách chn thích hp
chính là mt b s 1 

a
1
< a
2
< …< a
k


n tha mãn điu kin a

i+1
– a
i
> 1 (tc là  2).
Vy ta cn tìm s phn t ca
A = (a
1
, a
2
, …, a
k
) | 1 

a
1
< a
2
< …< a
k


n, a
i+1
– a
i
 2 vi i=1, 2, …, k-1
Xét ánh x f(a
1
, a
2

, …, a
k
) = (b
1
, b
2
, …, b
k
) vi b
i
= a
i
– i + 1 thì rõ ràng ta có
1) b
1
= a
1
 1;
2) b
i+1
– b
i
= (a
i+1
– (i+1) + 1) – (a
i
– i + 1) = a
i+1
– a
i

– 1 > 0
3) b
k
= a
k
– k + 1  n – k + 1.
Suy ra (b
1
, b
2
, …, b
k
) là phn t ca tp hp B:
B = (b
1
, b
2
, …, b
k
) | 1 

b
1
< b
2
< …< b
k


n – k + 1

D thy f là mt đn ánh.
Ngòai ra, ánh x g(b
1
, b
2
, …, b
k
) = (a
1
, a
2
, …, a
k
) vi a
i
= b
i
+ i – 1 cho chúng ta mt đn
ánh t B vào A. Vy | A | = | B | =
k
kn
C
1
.

Phng pháp song ánh còn có th đc áp dng đ chng minh cách đng thc t hp
mt cách vô cùng hiu qu. Y tng c bn là: Nu ta đm mt tp hp bng hai cách
khác nhau thì các kt qu thu đc phi bng nhau, cho dù, vi các cách đm khác nhau
ta có th ra các biu thc rt khác nhau.

Ví d 6:
Chng minh h thc

1
12
1
2
)(





n
n
n
k
k
n
nCCk
Li gii: Hãy gii bài tóan sau bng hai cách “Có n nhà vt lý và n nhà tóan hc tham gia
mt Hi ngh khoa hc. Hi có bao nhiêu cách chn ra mt nhóm làm vic gm n ngi,
trong đó có 1 nhà vt lý làm nhóm trng”.
Cách 1: Chn nhóm trng vt lý, sau đó chn n-1 thành viên còn li t 2n-1
ngi còn li.
Cách 2: Chn k nhà vt lý, chn nhóm trng là nhà vt lý sau đó chn n-k nhà
tóan hc vi k = 1, 2, …, n.

(Xem thêm bài: Song ánh và các bài toán gii tích t hp – TH&TT, s 1, 2/2001)

2. Phng pháp quan h đ quy.
www.VNMATH.com

6

Phng pháp quan h đ quy là phng pháp gii bài tóan vi n đi tng thông qua vic
gii bài tóan tng t vi s đi tng ít hn bng cách xây dng các quan h nào đó, gi
là quan h đ quy. S dng quan h này, ta có th tính đc đi lng cn tìm nu chú ý
rng vi n nh, bài tóan luôn có th gii mt cách d dàng.
Ta minh ha phng pháp này thông qua mt s ví d:

Ví d 1.
(Bài tóan chia ko ca Euler)
Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình
x
1
+ x
2
+ + x
n
= k (*)
Gii.
Gi s nghim nguyên không âm ca phng trình trên là S(n, k). D dàng thy
rng S(1, k) = 1.  tính S(n, k), ta chú ý rng (*) tng đng vi
x
1
+ + x
n-1
= k - x
n

(**)
Suy ra vi x
n
c đnh thì s nghim ca (**) là S(n-1, k-x
n
). T đó ta đc công thc
S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + + S(n-1, 0)
ây có th coi là công thc truy hi tính S(n, k). Tuy nhiên, công thc này cha tht tin
li. Vit công thc trên cho (n, k-1) ta đc
S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + + S(n-1, 0)
T đây, tr các đng thc trên v theo v, ta đc
S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k)
Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k)
T công thc này, bng quy np ta có th chng minh đc rng S(n, k) =
1
1


n
nk
C .

Ví d 2.
Có bao nhiêu xâu nh phân đ dài n trong đó không có hai bit 1 đng cnh
nhau?
Gii.
Gi c
n
là s xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài. Ta có c
1

= 2, c
2
= 3.
 tìm công thc truy hi, ta xây dng xâu nh phân đ dài n tha mãn điu kin đu bài
có dng a
n
a
n-1
a
n-2
a
2
a
1
. Có hai trng hp

i) a
n
= 1. Khi đó a
n-1
= 0 và a
n-2
a
2
a
1
có th chn là mt xâu bt k đ dài n-2
tha điu kin. Có c
n-2
xâu nh vy, suy ra trng hp này có c

n-2
xâu.
ii) a
n
= 1. Khi đó a
n-1
a
2
a
1
có th chn là mt xâu bt k đ dài n-1 tha điu
kin. Có c
n-1
xâu nh vy, suy ra trng hp này có c
n-1
xâu.
Vy tng cng xây dng đc c
n-1
+ c
n-2
xâu, ngha là ta có h thc truy hi
c
n
= c
n-1
+ c
n-2
.

Ví d 3.

Có bao nhiêu cách lát đng đi kích thc 3x2n bng các viên gch kích thc
1x2?
Li gii:
Gi c
n
là s cách lát đng đi kích thc 3 x 2n. D thy c
1
= 3.  tính c
n
, ta
chia các cách lát đng đi kích thc 3x2n thành n lai, trong đó lai th k là các cách lát
mà phn đng đi 3x2k đu tiên đc ph kín hòan tòan, nhng không tn ti i < k sao
cho phn đng đi 3x2i đu tiên đc ph kín hòan tòan. Gi A
k
là tp hp các cách lát
lai k thì rõ ràng c
n
= |A
1
| + |A
2
| + … + |A
n
|. D dàng nhn thy |A
1
| = 3c
n-1
(phn đng
đi 3x2 đc lát kín bng 3 cách, phn còn li đc lát bng c
n-1

cách). Tip theo, có th
chng minh d dàng rng, ch có hai cách ph phn đng đi 3x2k cho các cách ph
thuc A
k
vi k = 2, 3, …, n, chính là cách ph
www.VNMATH.com

7




và cách ph thu đc bng cách ly đi xng.

T đó suy ra |A
k
| = 2c
n-k
. Nh vy, ta có c
n
= 3c
n-1
+ 2c
n-2
+ … + 2. ây là dng công
thc truy hi bc vô hn.  thu đc mt công thc truy hi bc hu hn, ta thay n 
n+1 và đc
c
n+1
= 3c

n
+ 2c
n-1
+ 2c
n-2
+ … + 2
T đó, tr hai đng thc cui cùng v theo v, ta đc
c
n+1
– c
n
= 3c
n
– c
n-1

và cui cùng là
c
n+1
= 4c
n
– c
n-1
.

Ví d 4.
n đng tròn chia mt phng thành nhiu nht bao nhiêu min?
Hng dn: 1 đng tròn có th ct n-1 đng tròn khác  tt đa bao nhiêu đim?

Ví d 5.

(VMO 2003): Vi mi s nguyên dng n  2 gi s
n
là s các hoán v (a
1
, a
2
, ,
a
n
) ca tp hp E
n
= 1, 2, , n, mà mi hoán v có tính cht 1  |a
i
- i|  2 vi mi i=1,
2, , n. Chng minh rng vi n > 6 ta có 1.75s
n-1
< s
n
< 2s
n-1
.
Hng dn.
Chng minh công thc truy hi s
n+1
= s
n
+ s
n-1
+ s
n-2

+ s
n-3
- s
n-4
.

Ví d 6.
Xét tp hp E = 1, 2, 3, , 2003. Vi tp con A khác rng ca E, ta đt
r(A) = a
1
- a
2
+ + (-1)
k-1
a
k

trong đó a
1
, a
2
, , a
k
là tt c các phn t ca A xp theo th t gim dn. Hãy tính tng
u
S =

A  E
r(A).

3. Phng pháp thêm bt
Ta xét bài toán thc t sau:
Ví d 1.
Rút ngu nhiên 13 quân bài t b bài 52 quân. Tính xác sut đ trong 13 quân đó
có “t quý”.
Gii.
Có
13
52
C cách rút 13 quân bài t b bài 52 quân. Ta cn tìm s cách rút trong đó có 4
quân bài ging nhau (v s!).
Trc ht ta đm s cách rút có “t quý” A. Rõ ràng có
9
48
C
cách rút nh vy (ly 4 con
A và 9 con bt k t 48 con còn li). Vi các quân bài khác cng vy. Vì có 13 quân bài
khác nên s cách rút là có t quý là 13.
9
48
C (!?).
Trong li gii trên, chúng ta đã đm lp. C th là nhng cách rút bài có hai t quý,
chng hn t quý K và t quý A đc đm hai ln: mt ln  t quý A và mt ln  t
quý K. Nhng ta đang đm không hi là s t quý mà là s ln gp t quý. Nh th,
nhng ln đm lp đó phi tr đi. D thy, s cách rút có t quý K và A s là
5
44
C . Lý
lun tip tc nh th, ta có con s chính xác cách rút có t quý là:

1
40
3
13
5
44
2
13
9
48
.13 CCCCC 
www.VNMATH.com

8
và xác sut cn tìm bng
0342.0/).13(
13
52
1
40
3
13
5
44
2
13
9
48
 CCCCCCp .
tc là vi mt ngi chi bài ngu nhiên, c trung bình 29 ln s có 1 ln đt t quý. Xác

sut có 1 t quý trong 1 ván chi cao hn và cng có th tíng bng phng pháp thêm
bt.

P ~ 4p – 6p
2
+ 4p
3
– p
4
= 0.1299

tc là c khang 8 ván s có xut hin 1 t quý.
Trong li gii trên đ không b đm lp, chúng ta đã ln lt bt đi, ri lm thêm vào, ri
li bt đi … C s tóan hc ca phng pháp này chính là đnh lý sau:

nh lý.
Vi n tp hp A
1
, , A
n
bt k ta có công thc
|A
1




A
n
| =


|A
i
| -

|A
i


A
j
| + + (-1)
n-1
|A
1



A
n
|
Chng minh:
Dùng quy np và tính phân phi.

Ví d 2.
Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng
chéo chính sao cho không có con nào n con nào?
Gii.
Có 8! cách xp 8 con xe con xe lên bàn c quc t sao cho không có con nào n con
nào. Ta cn đm s cách xp không hp l, tc là s cách xp có ít nht mt con xe nm

trên đng chéo.
Gi A
i
là tp hp các cách xp có quân xe nm  ô (i, i). Ta cn tìm |A
1
  A
8
|.
Nhng d dàng thy rng |A
i
| = 7!, |A
i
 A
j
| = 6! |A
1
 A
8
| = 1 nên t đnh lý trên ta
suy ra
|A
1
  A
8
| = C
1
8
.7! - C
2
8

.6! + C
3
8
.6! - - C
8
8
.1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!.
Nh vy s cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi mt đng chéo chính sao
cho không có con nào n con nào bng
N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + + 1/8!).

Ví d 3.
Có bao nhiêu cách xp 8 con xe lên bàn c quc t đã b gch đi hai đng chéo
chính sao cho không có con nào n con nào?

Bài nói thêm:
nh lý v xe và đa thc xe.

4. Phng pháp qu đo

Ví d 1
. Có m+n ngi đang đng quanh quy vé, trong đó n ngi có tin 5.000 và m
ngi ch có tin 10.000. u tiên  quy không có tin, vé giá 5.000. Hi có bao nhiêu
cách xp m+n ngi thành hàng đ không mt ngi nào phi ch tin tr li (m  n).

Ví d 2
. (Bài toán bu c) Trong cuc bu c, ng c viên A đc a phiu bu, ng c
viên B đc b phiu bu (a > b). C tri b phiu tun t. Có bao nhiêu cách sp xp vic
b phiu đ lúc nào A cng hn B v s phiu bu?

www.VNMATH.com

9
Cho x > 0 và y là s nguyên. Qu đo t gc to đ đn đim (x; y) là đng gp khúc
ni các đim O, (1; s
1
), , (k; s
k
), (x; s
x
), trong đó
|s
i
- s
i-1
| = 1, s
x
= y.

Gi N
x,y
là s các qu đo ni đim (0; 0) vi đim (x; y). Ta có các đnh lý sau:

nh lý 1
. N
x,y
=
p
qp
C


vi p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 nu x, y cùng tính chn l và N
x,y
= 0
nu x, y khác tính chn l.
Chng minh:
Gi s qu đo gm p đon hng lên trên và q đon hng xung di.
Khi đó
p + q = x, p - q = y
t đó
p = (x+y)/2, q = (x-y)/2
(vì p và q là các s nguyên nên x, y cn phi có cùng tính chn l). Vì qu đo s hoàn
toàn đc xác đnh nu ta ch ra đon nào đc hng lên trên, do đó s các qu đo t
đim O đn đim (x; y) bng N
x,y
=
p
qp
C

.

nh lý 2
. (Nguyên lý đi xng gng) Gi s A(a;

), B(b;

) là các đim có to đ
nguyên, hn na b > a


0,

> 0,

> 0, và A’(a; -

) là đim đi xng vi A qua trc
Ox. Khi đó s các qu đo t A đn B ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox bng s
các qu đo t A’ đn B.
Chng minh
. Mi mt qu đo T t A đn B, ct trc Ox hoc có đim chung vi Ox ta
cho tng ng vi qu đo T’ t A’ đn B theo quy tc sau: xét đon qu đo T t A cho
đn đim gp nhau đu tiên gia T và Ox và ly đi xng đon này qua Ox, tip theo T
và T’ trùng nhau. Nh vy mi mt qu đo T t A đn B ct Ox tng ng vi mt qu
đo xác đnh t A’ đn B. Ngc li mi mt qu đo t A’ đn B tng ng vi mt và
ch mt qu đo t A đn B ct Ox (ly đon qu đo t A’ đn B đn đim gp đu tiên
và ly đi xng đon này qua Ox). Nh vy ta đã thit lp đc song ánh t tp hp các
qu đo t A đn B ct Ox vào tp hp các qu đo t A’ đn B. nh lý đc chng
minh.

nh lý 3.
Gi s x > 0, y > 0. Khi đó s qu đo t O đn (x; y) khôn có đim chung vi
trc Ox (ngoi tr đim O) bng (y/x)N
x,y
.

5. Phng pháp hàm sinh

Phng pháp hàm sinh là mt phng pháp hin đi, s dng các kin thc v chui,
chui hàm (đc bit là công thc Taylor). ây là phng pháp mnh nht đ gii bài tóan

gii tích t hp

nh ngha: Cho dãy s a
0
, a
1
, a
2
, , a
n
,
Chui hình thc
A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+
đc gi là hàm sinh ca dãy a
n
.

www.VNMATH.com

10
Ý tng phng pháp hàm sinh nh sau: Gi s ta cn tìm công thc tng quát ca mt
dãy s a
n
 nào đó. T công thc truy hi hoc nhng lý lun t hp trc tip, ta tìm
đc hàm sinh
A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+
Khai trin A(x) thành chui và tìm h s ca x
n
trong khai trin đó ta tìm đc a
n
.

Công thc khai trin thng s dng (Công thc nh thc Newton)
(1 + x)

= 1 + x + (-1)x

2
/2 + + (-1) (-n+1)x
n
/n!+

Ví d 1.
Tìm s hng tng quát ca dãy s f
0
= 1, f
1
= 2, f
n+1
= f
n
+ f
n-1
.
Gii:
Xét hàm sinh
F(x) = f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ + f
n
x

n
+
= f
0
+ f
1
x + (f
0
+f
1
)x
2
+ + (f
n-1
+f
n-2
)x
n
+
= f
0
+ f
1
x + x
2
(f
0
+f
1
x+ ) + x(f

1
x+ )
= f
0
+ f
1
x + x
2
F(x) + x(F(x)-f
0
)
T đó suy ra
F(x) = (1+x)/(1-x-x
2
)
Tip theo, ta khai trin F(x) thành chui. Ta có
F(x) = (1+x)/(1-x)(1-x)
trong đó ,  là nghim ca phng trình x
2
- x - 1 = 0. Ta d dàng tìm đc hai hng s
A, B sao cho
F(x) = A/(1-x) + B/(1-x)
T đó, s dng công thc 1/(1-x) = 1 + x + x
2
+ + x
n
+ ta đc
F(x) = A + B + (A + B)x + + (A
n
+ B

n
)x
n
+
suy ra
f
n
= A
n
+ B
n

vi ,  là hai nghim ca phng trình x
2
- x - 1 = 0 và A, B, là các hng s hòan tòan
xác đnh.

Ví d 2.
Tìm s hng tng quát ca dãy s a
0
= 1, a
n
a
0
+a
n-1
a
1
+ + a
0

a
n
= 1
Gii:
Xét hàm sinh A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+
Biu thc truy hi gi chúng ta đn h s ca hai đa thc
A(x).A(x) = a
0
+ (a
0
a
1
+a
1
a
0
)x + + (a
n

a
0
+a
n-1
a
1
+ + a
0
a
n
)x
n
+ = 1 + x + x
2
+
+ x
n
= (1-x)
-1
.
T đó suy ra
A(x) = (1-x)
-1/2
= 1 + (1/2)x + (1/2)(3/2)x
2
/2+ + (1/2)(3/2) (n-1/2)x
n
/n! +
Và nh vy
a

n
= (2n-1)!!/2
n
.n! = .4/
2
nn
n
C

Ví d 3.
(Bài tóan chia ko ca Euler)
Cho k, n là các s nguyên dng. Tìm s nghim nguyên không âm ca phng trình
x
1
+ x
2
+ + x
n
= k (*)
Gii:
Gi c
n
(k) là s nghim ca (*). Xét tích ca các tng vô hn
(1+x+x
2
+ )(1+x+x
2
+ ) (1+x+x
2
+ ) = (1+x+x

2
+ )
n
Ta nhn xét rng nu khai trin tích trên thành chui ly tha ca x
(1+x+x
2
+ )
n
= c
0
+ c
1
x + + c
k
x
k
+
www.VNMATH.com

11
thì c
k
= c
n
(k) (Vì sao? Hãy th gii thích)
Nhng
(1+x+x
2
+ )
n

= (1-x)
-n
= 1 + nx + + n(n+1) (n+k-1)x
k
/k! +
Suy ra
c
n
(k) = n(n+1) (n+k-1)/k! = C
k
n+k-1
.

Ví d 4.
Vé xe búyt trong h thng giao thông công cng đc đánh s t 000000 đn
999999. Mt vé đc gi là vé hnh phúc nu tng ba ch s đu tiên bng tng ba ch
s cui cùng. Hãy tìm xác sut gp vé hnh phúc ca mt ngi mua 1 vé bt k.

Ví d 5.
Có 2n đim trên đng tròn. Hãy tìm s cách ni 2n đim này bng n dây cung
không ct nhau.




Câu hi và bài tp

1. 1) n đng thng có th chia đng thng thành nhiu nht bao nhiêu min?
2) n mt phng có th chia không gian thành nhiu nht bao nhiêu min?
2. Hàm sinh ca dãy a

n
 bng A(x). Hãy tính hàm sinh ca các dãy s sau
1) b
n
= ca
n

2) b
n
= a
n
+ b
3) b
n
= a
n
+ a
n-1
+ + a
1
+ a
0

4) b
n
= a
2n

3. Gi s  là mt tp hp gm n phn t. H các tp con A
1

, A
2
, , A
k
đc gi là h
Sperner nu trong các tp hp A
1
, A
2
, , A
k
không có tp nào là tp con ca tp khác.
1) Gi s A
1
, A
2
, , A
k
là mt h Sperner vi s phn t tng ng là i
1
, i
2
, i
k
.
Chng minh rng 1/C
i1
n
+ 1/1/C
i2

n
+ + 1/C
in
n
 1.
2) (nh lý Sperner). Gi s A
1
, A
2
, , A
k
là mt h Sperner. Khi đó k  C
[n/2]
n
.
3) Gi A
n
là s các h Sperner khác nhau ca . Chng minh rng
2
Tn
< A
n
< C
Tn
2^Tn
trong đó T
n
= C
[n/2]
n

.
4. (M 1996) Gi a
n
là s các xâu nh phân đ dài n không cha chui con 010, b
n
là s
các xâu nh phân đ dài n không cha chui con 0011 hoc 1100. Chng minh rng b
n+1

= 2a
n
vi mi n nguyên dng.
5. (Vit Nam 1996) Cho các s nguyên k và n sao cho 1  k  n. Tìm tt c các b sp
th t (a
1
, a
2
, , a
k
) trong đó a
1
, a
2
, , a
k
là các s khác nhau t tp hp 1, 2, , n,
tho mãn điu kin:
1) Tn ti s và t sao cho 1  s < t  k và a
s
> a

t
.
2) Tn ti s sao cho 1  s  k và a
s
không đng d vi s theo mod 2.
6. Tìm s tt c các b n s (x
1
, x
2
, , x
n
) sao cho
(i) x
i
=  1 vi i=1, 2, , n;
(ii) 0  x
1
+ x
2
+ + x
r
< 4 vi r = 1, 2, , n-1;
(iii) x
1
+ x
2
+ + x
n
= 4.
7. (PTNK 2000) Cho M = 1, 2, , n.

www.VNMATH.com

12
1) Tìm s tt c các b ba tp con A, B, C ca M tho điu kin
A  B  C = M, B  C = ;
2) Tìm s tt c các b bn tp con A, B, C, D ca M tho điu kin
A  B  C  D = M, B  C  D = .
8. (Vietnam ST 94) Tính tng
T =  1/n
1
!n
2
! n
1994
!(n
2
+2n
3
+ +1993n
1994
)!
 đây tng ly theo tt c các b có th t các s t nhiên (n
1
, n
2
, , n
1994
) tho mãn điu
kin
n

1
+2n
2
+3n
3
+ +1994n
1994
= 1994.
9. Cho 3n đim trên đng tròn. Có bao nhiêu cách ni các đim đó li đ to thành n
tam giác không có đim chung?
10. Ta gi (i, j) là mt nghch th ca hoán v  ca E
n
= 1, 2, …, n nu (i) > (j) mà
i < j. Tìm s các nghch th trung bình ca mt hóan v đc chn ngu nhiên.



Bài 4. - ng dng ca phép đm

Gii tích t hp không ch gii quyt các bài toán đc đt ra trong chính lý thuyt này
mà còn nhiu ng dng thú v trong các ngành toán hc khác, ví d nh trong đi s, s
hc, hình hc t hp, lý thuyt xác sut

Các h s nh thc thng đc ny sinh mt cách t nhiên trong s hc modular, trong
đi s giao hoán, trong lý thuyt đi s Lie modular, vì vy, nhng đng thc liên quan
đn h s nh
 thc đóng mt vai trò đc bit quan trng.

Di đây, chúng ta xét mt s ví d liên quan đn ng dng ca gii tích t hp trong các
lnh vc khác nhau ca toán hc.

Ví d 1.
Cho p là mt s nguyên t. ng tròn đc chia thành p cung bng nhau. Hi
có bao nhiêu cách tô p cung bng a màu khác nhau (Hai cách tô màu thu đc bng mt
phép quay đc coi là ging nhau)?
Gii
. Mi mi cung có a cách tô màu, nh vy có a
p
cách tô màu p cung (vi quy c c
đnh v trí). Trong s này có a cách tô màu bng ch mt màu. Vi mi cách tô màu dùng
2 màu tr lên, ta có th dùng phép quay đ to ra p cách tô màu khác đc tính trong a
p

cách tô màu trên nhng không đc tính theo cách tính đ bài. Nh vy s cách tô màu
tho mãn điu kin đ bài là (a
p
-a)/p + a.
H qu. (nh lý nh Fermat) Cho p là s nguyên t và a là s nguyên, khi đó a
p
- a chia
ht cho p.

Ví d 2.
Chng minh rng t 2n-1 s nguyên bt k luôn tìm đc n s có tng chia ht
cho n.
Gii.
Ta gi mnh đ  đ bài là A(n). Trc ht ta chng minh rng nu A(m), A(n)
đúng thì A(mn) cng đúng (hãy chng minh!). T đây, bài toán quy v vic chng minh
A(p) vi p là s nguyên t. Xét E = a
1

, a
2
, , a
2p-1
. Gi s ngc li rng vi mi b
a
i1
, , a
ip
ly t E ta có a
i1
+ + a
ip
không chia ht cho p. Khi đó, theo đnh lý nh Fermat
www.VNMATH.com

13
(a
i1
+ + a
ip
)
p-1
 1 (mod p)
T đó suy ra

 (a
i1
+ + a
ip

)
p-1

p
p
C
12 
(mod p)
trong đó tng tính theo tt c các tp con p phn t ca E. Mt khác, ta đm s ln xut
hin ca đn thc a
j1
1
a
jk
k
vi 
1
+ + 
k
= p-1 trong tng  v trái. Có
kp
kp
k
p
CC

 1212

tng dng a
i1

+ + a
ip
có cha a
j1
, , a
jk
. Trong mi tng này, đn thc a
j1
1
a
jk
k
xut
hin vi h s (p-1)!/
1
! 
k
!. Nh vy, đn thc a
j1
1
a
jk
k
s xut hin trong tng v
trái vi h s
kp
kp
k
p
CC


 1212
.[ (p-1)!/
1
! 
k
!] = [(2p-1)!/k!(p-k)!(p-1)!].[ (p-1)!/
1
! 
k
!].
Do 1  k  p-1 nên h s này luôn chia ht cho p, suy ra tng v trái chia ht cho p. Mt
khác
p
p
C
12 
= (2p-1)/p!(p-1)! = (p+1) (2p-1)/(p-1)! không chia ht cho p. Mâu thun.
Ví d 3
. Chng minh rng
n
n
n
k
k
n
CC
2
0
2

)( 


.

Ví d 4.
Cho a là s thc dng và n là s nguyên dng cho trc. Tìm giá tr ln nht
ca biu thc x
1
x
2
x
n
/(1+x
1
)(x
1
+x
2
) (x
n-1
+x
n
)(x
n
+a
n+1
), trong đó x
1
, x

2
, , x
n
là các s
dng tu ý.
Gii.
t u
0
= x
1
, u
1
= x
2
/x
1
, , u
n
= a
n+1
/x
n
thì u
0
u
1
u
n
= a
n+1

và ta cn tìm giá tr nh
nht ca (1+u
0
)(1+u
1
) (1+u
n
). Ta có (1+u
0
)(1+u
1
) (1+u
n
) = 1 + u
i
+ u
i1
u
i 2

+ +
u
i1
u
i k
+ + u
0
u
1
u

n
. Tng u
i1
u
i k
có
k
n
C
1
s hng. Tích ca chúng s là mt biu
thc bc kC
k
n
. Do tính đi xng, mi mt s hng s đúng góp bc là kC
k
n+1
/(n+1). Suy
ra tích ca tt c các s hng này bng (a
n+1
)^(kC
k
n+1
/(n+1)) = a^(kC
k
n+1
). Áp dng bt
đng thc Cauchy, ta có u
i1
u

i k
 C
k
n+1
a
k
. Do đó 1 + u
i
+ u
i1
u
i 2

+ + u
i1
u
i k
+
+ u
0
u
1
u
n

 1 + (n+1)a + C
2
n+1
a
2

+ + C
k
n+1
a
k
+ + a
n+1
= (1+a)
n+1
. Du bng xy ra khi và ch khi
u
0
= u
1
= = u
n
= a tc là khi x
1
= a, x
2
= a
2
, , x
n
= a
n
.

Ví d 5: (Dãy ph đy đ)

Vi mi s nguyên dng k > 1, ta nói b (a
1
, b
1
), … (a
k
, b
k
) lp thành mt dãy ph đy
đ
nu vi mi s t nhiên n, tn ti duy nht ch s i thuc 1, 2, …, k sao cho n đng
d a
i
mođun b
i
.

Chng minh rng nu (a
1
, b
1
), … (a
k
, b
k
) là mt dãy ph đy đ thì
a) 1/b
1
+ 1/b
2

+ … + 1/b
k
= 1.
b) a
1
/b
1
+ a
2
/b
2
+ … + a
k
/b
k
= (k-1)/2.

Ví d 6: (Tp th cp cp 2)

Vi đa tp hp A = a
1
, a
2
, …, a
n
 (các a
i
có th bng nhau), ta gi A
(2)
= a

i
+ a
j
| 1  i <
j  n. Chng minh rng nu tn ti các đa tp hp A, B sao cho
1) |A| = |B| = n
2) A  B
3) A
(2)
= B
(2)

thì n = 2
k
vi k nguyên dng nào đó.
www.VNMATH.com

14

Tài liu tham kho

1. Nguyn Hu Anh, Tóan ri rc, NXB HQG Tp HCM, 2001
2. Trn Ngc Danh, Tóan ri rc nâng cao, NXB HQG Tp HCM, 2003
3. Nguyn Khc Minh, Tài liu bi dng giáo viên, Hà Ni 1996
4. Tp chí Tóan hc và tui tr, s 1, 2/2001.
5. Hebert S. Wilf, Generating Functionology, A.K. Peters Ltd, 2005
6. M. Hall, Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1986
7. Cohen, D., Basic Techniques of Combinatorial Theory, New York: Wiley, 1978
8. Stanley R.P, Enumerative Combinatorics, New York, Cambridge University
Press, 1999.

9. Tp chí Kvant
10. Tài liu Internet, đc bit là các website:
www.mathlinks.ro,
www.diendantoanhoc.net, www.mccme.ru.