Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức SKKN toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT Bình Sơn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện : NguyÔn C¶nh Th¾ng
Năm học 2011 – 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT Bình Sơn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện : NGUYỄN CẢNH THẮNG
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn : 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác 
Có đính kèm :
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học 2011 – 2012
Sở GD&ĐT Đồng Nai CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Bình Sơn Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :
1. Họ và tên : NGUYỄN CẢNH THẮNG
2. Ngày tháng năm sinh : 13-03-1980
3. Nam, nữ : Nam
4. Địa chỉ : Ấp 1 –Bình Sơn –Long Thành _Đồng Nai

5. Điện thoại : Cơ quan : 0613533100
ĐTDĐ :
6. E-mail :
7. Chức vụ : Giáo viên
8. Đơn vị công tác : Trường THPT Bình Sơn
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :
- Học vị : Cử nhân
- Năm nhận bằng : 2005
- Chuyên ngành đào tạo : Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC :
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm :
- Số năm có kinh nghiệm : 5 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây :
Phần một : THUYẾT MINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác 
MÔT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Bất đẳng thức là một nội dung thường gặp trong chương trình toán THPT và có nhiều
ứng dụng. Nội dung bất đẳng thức được đưa vào lớp 10 ( Cả chương trình Ban Cơ Bản và
Ban KHTN ) trong " chương IV - Bất Đẳng Thức, Bất phương Trình " với số tiết không nhiều
.Do yêu cầu chương trình nên sách giáo khoa đại số 10 không đi sâu vào mô tả chính xác
khái niệm về bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp.
Thực tế, khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức, không ít học sinh lúng túng,

không biết xoay xở ra sao. Một điều đáng tiếc cho học sinh lớp 10, 11, thậm chí cả học sinh
lớp 12 là các em rất vất vả trong việc giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Nhiều em
học sinh đã rất khổ tâm và cảm thấy chán nản khi không làm được các bài toán chứng minh
bất đẳng thức trong các kỳ thi kiểm tra, hoặc khi thi Đại Học trong điều kiện thời gian hạn
chế. Tự kiểm điểm, các em thấy rằng đã hết sức cố gắng học toán, tin tưởng là mình nắm
vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, đã hiểu các bài trong sách giáo khoa, đã tìm
nhiều hướng giải nhưng cuối cùng vẫn bế tắc, không tìm ra lời giải đúng. Về sau, xem lại lời
giải những bài toán bế tắc ấy, thì thấy rằng không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng
những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài giải nhiều khi đơn giản nhưng chỉ tại một chút
thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy.
II. THỰC TRẠNG TRUỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI :
1. Thuận lợi : Được sự giúp đỡ của đồng nghiệp và sự quan tâm của nhà trường.
2. Khó khăn: Trường THPT Bình Sơn thuộc diện vùng sâu vùng xa của tỉnh Đồng Nai ,
học sinh tương đối yếu và không đồng đều nên việc dạy và học của thầy và trò rất khó khăn
trong việc triển khai đề tài nay.
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI :
1. Cơ sở lý luận : Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được
bài trong sách giáo khoa là hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức, biết hệ
thống các phương pháp giải từng dạng toán. Số các bài toán trong về chứng minh bất đẳng
thức trong các sách bồi dưỡng, tạp chí, báo toán tuổi trẻ, toán tuổi thơ và cả trên thư viện
toán điện tử vv Mỗi bài mỗi vẽ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều
phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hướng dẫn học sinh học
tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân loại các dạng toán thường
gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức. Từ đó hướng dẫn học sinh rèn
luyện các phương pháp suy nghĩ đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm.
2. Một số biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài :
1). Cơ sở lý thuyết của chứng minh bất đẳng thức.
2). Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
3). Những bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức.
4). ứng dụng của bất đẳng thức.

5). Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán chứng minh bất đẳng thức.
6). Một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất lượng học tập
môn toán cho học sinh trường THPT Bình Sơn .
7). Những kết quả đạt được. Kết luận.
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đă phân loại các dạng toán thường gặp và tổng
hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được một số
kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn thiện kiến
thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin
đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng cao chất
lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ".
Dạy học chứng minh bất đẳng có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực tư duy
cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. Trong
mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ phù hợp
với trình độ học sinh . Một số bài tập chọ lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học sinh tự
học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các dạng toán
khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số,
Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất
đẳng thức; Đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng
cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở
trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của
tỉnh Đồng Nai.
Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông
qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác
dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục
tiêu giáo dục.
Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu
sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện

và có tác dụng hơn.
V. KẾT LUẬN :
Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và
tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc rút được
một số kinh nghiệm trong công tác dạy học chứng minh bất đẳng thức, vừa củng cố, hoàn
thiện kiến thức về bất đảng thức cho học sinh ban cơ bản; nâng cao. Trong khuôn khổ đề tài
này, tôi xin đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng
cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh lớp 10 ".
Dạy học chứng minh bất đẳng thức có tác dụng to lớn trong việc bồi dưỡng năng lực
tư duy cho học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh THPT.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số phương pháp chứng minh bất
đẳng thức mà giáo viên toán cụ thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng
tốt. Trong mỗi phương pháp, tôi đã đưa ra những kiến thức cần nhớ và những ví dụ minh hoạ
phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về bất đẳng thức nhằm hướng dẫn học
sinh tự học, rèn luyên kỹ năng chứng minh. Đó là cơ sở để học sinh ứng dụng vào giải các
dạng toán khác như: Tìm cực trị, giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số,
Bên cạnh đó, tôi đã trình bày một số sai lầm của học sinh khi giải toán chứng minh bất
đẳng thức; đồng thời đưa ra một số giải pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức nhằm nâng
cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở
trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện vùng sâu ,vùng xa, có nhiều khó khăn của
tỉnh Đồng Nai.
Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT, thông
qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác
dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục
tiêu giáo dục.
Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và thiếu
sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện
và có tác dụng hơn.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1. Phương pháp giải toán Đại Số - Lê Hồng Đức

2. Các chuyên đề bất đẳng thức –Phạm Hóa An
3. Phân loại và phương pháp giải bài tập Bất Đẳng Thức –Nguyễn Kiếm –Lê Thị Hương.
4. Sai lầm thường gặp & các sáng tạo trong giải toán - Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn -
NXB Hà Nội.


Bình Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Nguyễn Cảnh Thắng
Phần hai : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện : Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chương I: Cơ sở lý thuyết của phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I. Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các
dấu > , < , ≥, ≤ . Ta có: A ≥ B
⇔
A - B ≥ 0. A > B A - B > 0.
-Trong các bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B , A ≥ B, A ≤ B ), A gọi là vế trái, B gọi
là vế phải của bất đẳng thức.
-Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều, các bất đẳng
thức A > B và E < F gọi là hai bất đẳng thức trái chiều.
Nếu ta có: A > B
⇒

C > D , ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B.
-Nếu ta có: A > B
⇔
C > D, ta nói bất đẳng thức A > B và C > D là hai bất đẳng
thức tương đương.
* A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức ngặt, A ≥ B ( hoặc A ≤ B ) là bất đẳng thức
không ngặt.
*A ≥ B là A > B hoặc A = B.
*A ≠ B cũng là bất đẳng thức.
-Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng
thức kép. Ví dụ: A < B < C.
*Chú ý: Như bất cứ một mệnh đề nào, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, người ta quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu đó
là bất đẳng thức đúng. Do đó khi nói: " Chứng minh bất đẳng thức a > b " thì ta hiểu là "
chứng minh rằng a > b là một bất đẳng thức đúng ".
II. Các tính chất của bất đẳng thức.
Tính chất 1: a > b và b > c
⇒
a > c.
Tính chất 2: a > b
⇒
a + c > b +c.
Hệ quả: a > b + c
⇔
a - c > b.
Tính chất 3: a > b và c > d
⇒
a + c > b + d.
Tính chất 4: a > b
⇔

ac > bc ( nếu c > 0 ); hoặc ac < bc ( nếu c < 0 ).
Tính chất 5: a > b > 0 bà c > d > 0
⇒
ac > bd.
Tính chất 6: a > b > 0, n nguyên dương
⇒

n
a
>
n
b
.
Tính chất 7: a > b > 0, n nguyên dương
n
a
⇒
>
n
b
.
Hệ quả: a > b ≥ 0:
aba
⇔≥
22
≥
bab
≥⇔
.
Tính chất 8: a > b, ab > 0

a
1
⇒
<
b
1
.
Tính chất 9: a > 1, m và n nguyên dương, m > n
m
a
⇒
>
n
a
.
0 < a < 1, m và n nguyên dương, m > n
⇒

m
a
<
n
a
.
III. Các hằng bất đẳng thức.
1)
.0
2
≥
a

Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
2)
0
2
≤−
a
. Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
3) Các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối.
.0≥a
Dấu " = " xảy ra
0=⇔ a
.
.aa ≥
Dấu " = " xảy ra
⇔
.0≥a
baba +≤+
. Dấu " = " xảy ra
0
≥⇔
ab
.
.baba −≥−
Dấu " = " xảy ra
.0;00)(
≤≤≥≥⇔≥−⇔

bababab
4) cũng cần nhớ thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán có thể sử dụng chúng
như một bổ đề, chẳng hạn:
.2
22
abba
≥+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
ba
baba
,;
411
+
≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )
.4
2
2
2
abbaab
ba
≥+⇔≥







+
Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
ba
a
b
b
a
,;2≥+
> 0. Dấu " = " xảy ra
.ba
=⇔
( )( )
( )
.
2
2222
byaxyxba
+≥++
Dấu " = " xảy ra
.bxay
=⇔
5) Một số bất đẳng thức thường áp dụng.
* Bất đẳng thức côsi cho 2 số dương a,b. ta có :
ab
ba

≥
+
2
*Tổng quát : Cho n số dương
., ,
21 n
aaa
Ta có:


21
21
n
n
n
aaa
n
aaa
≥
+++
Dấu " = " xảy ra

21 n
aaa
==⇔
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho hai bộ số
.,,,,
21 n
aaa

và
.,,,,
21 n
bbb
Ta có:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa
++++≤+++
Dấu " = " xảy ra

2
2
1
1
n
n
b
a
b
a

b
a
===⇔
Chương II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Khi giải một bài toán, ta cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương
pháp giải thích hợp. Sau đây là một số phương pháp mà tôi đã sử dụng hướng dẫn cho học
sinh, nắm vững để vận dụng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Mỗi bài toán chứng
minh bất đẳng thức có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối
hợp nhiều phương pháp.
Vấn Đề I. Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B ta làm như sau:
. Lập hiệu số: A - B.
. Chứng tỏ A - B ≥ 0.
. Kết luận A ≥ B.
B.Bài tập
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức:
a)
).(23
222
cbacba
++≥+++
b)
cba
cba
cba ,,;9)
111
)(( ≥++++
> 0.
Giải:

a) Ta có:
.0)1()1()1(
)12()12()12(
222)(2)3(
222
222
222222
≥−+−+−=
+−++−++−=
−−−++=++−+++
cba
ccbbaa
cbacbacbacba
Do đó:
).(23
222
cbacba
++≥+++
b) Ta có:
9)
111
)(( −++++
cba
cba
.
=
9111 −++++++++
b
c
a

c
c
b
a
b
c
a
b
a
.
=
).2()2()2( −++−++−+
a
c
c
a
b
c
c
b
a
b
b
a
=
).0,,(;0
)()()(
222
〉≥
−

+
−
+
−
cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
Do đó:
9)
111
)(( ≥++++
cba
cba
. Với a, b, c > 0.
Bài 2. Chứng minh rằng: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) ≥ - 1.
Giải:
Xét hiệu: ( x- 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) - ( - 1 )
=
1)65)(45(
22
++−+−
xxxx
.
Dặt
55
2

+−=
xxy
, biểu thức trên bằng: ( y - 1 )( y + 1 ) + 1 = y
2
≥ 0.
Vậy ( x - 1)( x - 2 )( x - 3)( x - 4 ) ≥ - 1.
Vấn Đề II. Phương pháp dùng các phép biến đổi tương đương.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất
đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng.
A ≥ B
⇔
A
1
≥ B
1

⇔⇔

( * ). Mà ( * ) đúng thì A ≥ B.
B. Bài Tập
Bài 1. Chứng minh các Bất đẳng thức:
a)
baba +≥+
.
b)
yx
yxyx
,;
411

+
≥+
> 0.
Giải:
a)
22
)()( babababa
+≥+⇔+≥+

2222
22 bababbaa
++≥++⇔

abababba
≥⇔≥⇔
.( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.baba
+≥+
b) Vì x, y > 0, nên xy( x + y ) > 0. Do đó:
.04)(4)(
4411
22
≥−+⇔≥+⇔
+
≥
+
⇔
+
≥+

xyyxxyyx
yxxy
yx
yxyx
0)(
2
≥−⇔ yx
, ( bất đẳng thức đúng ).
Vậy
.
411
yxyx
+
≥+
Với x, y > 0.
Bài 2. Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
.9)
1
1)(
1
1( ≥++
ba
Giải:
Ta có:
9)
1
1)(
1
1( ≥++

ba
. ( 1 ).
abbaab
b
b
a
a
919
1
.
1
≥+++⇔≥
++
⇔
. Vì ab > 0.
ababba 8281 ≥⇔≥++⇔
. ( Vì a + b = 1 ).
.4)(41
2
abbaab
≥+⇔≥⇔
( Vì a + b = 1 ).
.0)(
2
≥−⇔
ba
( 2 ).
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương.
Vậy bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh.
C. Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần lưu ý các biến đổi tương đương có

điều kiện, chẳng hạn:
.
22
baba
≥⇔≥
Với a, b > 0.
m > n
m
a
⇔
>
n
a
. Với m, n nguyên dương, a > 1.
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương.
Vấn Đề III. phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.
A. Kiến thức cần nhớ. Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta có thể dùng các tính
chất của bất đẳng thức ( xem phần II. Chương I ).
B. Bài tập.
Bài 1. Cho a + b > 1. Chứng minh rằng:
44
ba
+
>
8
1
Giải:
Do
ba +
> 1 ( 1 ).

Bình phương hai vế:
2
)( ba
+
> 1
22
2 baba
++⇒
> 1 ( 2 ).
Mặt khác:
020)(
222
≥+−⇒≥−
bababa
. ( 3 ).
Cộng từng vế của ( 2 ) và ( 3 ) được:
)(2
22
ba
+
> 1.
Suy ra:
22
ba
+
>
2
1
( 4 ).
Bình phương hai vế của ( 4 ):

4224
2 bbaa
++
>
4
1
. ( 5 ).
Mặt khác:
020)(
4224222
≥+−⇒≥−
bbaaba
. ( 6 ).
Cộng từng vế ( 5 ) và ( 6 ) được:
)(2
44
ba
+
>
4
1
.
Suy ra:
44
ba
+
>
8
1
.

Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức:
.
2
2
2
2
2
2
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++≥++
Giải:
Ta có:
.20)(
222
xyyxyx
≥+⇒≥−
Dấu " = " xảy ra
.yx
=⇔

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
.2 2
2
2
2
2
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
=≥+
( 1 ).
Tương tự :
.2
2
2
2
2
a
b
a
c
c
b

≥+
( 2 ).
.2
2
2
2
2
b
c
b
a
a
c
≥+
( 3 ).
Cộng từng vế của các bất đẳng thức ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ). Được:

.
)(2)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒
++≥++
Vấn Đề IV. Phương pháp làm trội
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B nhiều khi ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc

bằng B, từ đó ta có A ≥ B; Hoặc chứng minh D ≥ B Với D là biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng
A, từ đó ta có A ≥ B.
B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng:
nnn 2
1

2
1
1
1
++
+
+
+
>
.
2
1
( Với
nNn ,
∈
> 1 ).
Giải:
Ta có:
1
1
+n
>
.

2
11
nnn
=
+
Tương tự:
2
1
+
n
>
.
2
1
n


.
2
1
2
1
nn
≥
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên theo từng vế ( lưu ý từ số hạng n + 1 đến số hạng
thứ n + n = 2n, có tất cả là n số ), ta được đpcm.
Bài 2. Chứng minh rằng:
222
1

3
1
2
1
1
n
++++
>
).1,(;
1
≥∈
+
nNn
n
n
Giải:
Ta có:
222
1

3
1
2
1
1
n
++++
>
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
=
1
11

4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
+
−++−+−+−
nn
=

.
11
1
1
+
=
+
−
n
n
n
Suy ra đpcm.
Vấn Đề V. Phương pháp phản chứng.
A. Kiến thức cần nhớ.
Để chứng minh A ≥ B, ta giả sử A < B, từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta
đã dùng phương pháp phản chứng.
B. Bài tập.
Bài 1. Cho
.2
22
≤+
ba
Chứng minh rằng:
.2≤+ ba
Giải: Giả sử
ba +
> 2, bình phương hai vế ( hai vế dương ), ta được:
22
2 baba
++

> 4. ( 1 )
Mặt khác ta có:
Mà: 2
4)(
22
≤+ ba
( giả thiết ), do đó
.42
22
≤++
baba
( 2 ) mâu thuẫn với ( 1 ).
Vậy phải có
.2≤+ ba
Bài 2. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
.02;02;02
222
≥+≥+≥+
abcacbbca
Giải:
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai. Thế thì ta có:
bca 2
2
+
< 0;
acb 2
2
+
< 0;
abc 2

2
+
< 0.
abcacbbca 222
222
+++++⇒
< 0
2
)( cba
++⇔
< 0, vô lí ! Do vậy điều giả sử là sai. Vậy phải
có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là đúng. ( đpcm )
Vấn Đề VI. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức cơ bản về phân số.
A. Kiến thức cơ bản.
Một số bài toán bất đẳng thức có có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản
về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán 1. Với
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a
<
b
thì:
b
a
<
cb
ca
+

+
.
b) Nếu
ba ≥
thì:
.
cb
ca
b
a
+
+
≥
Bài toán 2. Với
zyx ,,
> 0. Chứng minh rằng:
a)
.
)(
41
2
yx
xy
+
≥
b)
.
411
yxyx
+

≥+
c)
.
9111
zyxzyx
++
≥++
* Chú ý: Hai bài toán trên chứng minh rất đơn giản ( có nhiều cách chứng minh ). Khi
dùng đến các bài toán này ta cần chứng minh rồi mới vận dụng.
B. Ví dụ.
Bài 1. Cho
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Giải: Vì
cba ,,
là ba cạnh của một tam giác nên
a

<
cb
+
, theo bài toán 1a) ta có:

cb
a
+
<
.
2
cba
a
cba
aa
++
=
++
+
( 1 ).
tương tự:
ac
b
+
<
.
2
cba
b
++

( 2 ).

ba
c
+
<
.
2
cba
c
++
( 3 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta có:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
<
.2
)(2
=
++
++

cba
cba
Bài 2. Cho
ba,
> 0. Chứng minh rằng:

.
)(
1
8
1
44
1
222
ba
ab
ba +
≥+
+
Giải:
Vì
ba,
> 0
22
44 ba
+⇒
> 0 và
ab8
> 0. Theo bài toán 2b) ta có:
.

)(
1
)(4
4
844
4
8
1
44
1
222222
babaabba
ab
ba +
=
+
=
++
≥+
+

⇒
đpcm.
Bài 3. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
3
2
1

2
1
2
1
cbaaccbba ++
≥
+
+
+
+
+
Giải:
Vì
cba ,,
> 0
ba +⇒ 2
> 0;
cb
+
2
> 0;
ac
+
2
> 0.
Theo bài toán 2c) ta có:
.
3
)(3
9

222
9
2
1
2
1
2
1
cbacbaaccbbaaccbba
++
=
++
=
+++++
≥
+
+
+
+
+

⇒
đpcm.
Vấn Đề VII. Phương pháp vận dung các bài toán cơ bản về giá trị tuyệt đối.
A.Kiến thức cần nhớ.
Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài
toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng:
a)
baba +≥+

. Dấu " = " xảy ra khi
0≥ab
.
b)
baba
−≤−
. Dấu " = " xảy ra khi
0)(
≥−
bab
.
Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu
0,
≠
yx
thì:

.2
≥+≥+
x
y
y
x
x
y
y
x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
yx
±=

.
Từ đó suy ra nếu m, n > 0 thì ta có: 1)
.2≥+
m
n
n
m
2)
.2
1
≥+
m
m
Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta dễ dàng chứng minh được các bài toán trên.
Khi cần đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi vận dụng.
B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng:
zyxzyx
++≤++
.
Giải:
Từ bài toán 1a) ta có:
zyxzyxzyx
++≤++≤++
.
* Chú ý: Từ kết quả trên ta có bài toán sau:
Chứng minh rằng:
nn
aaaaaa
+++≤+++

2121
.
Bài 2. Cho
0,
≠
ba
. Chứng minh rằng:
04)(3
2
2
2
2
≥++−+
a
b
b
a
a
b
b
a
.
Giải:
Đặt x=
a
b
b
a
+

, ta có:
2
≥
x
( theo bài toán 2 ).
Ta được:
23234)(3
2
2
2
2
2
2
+−=+






+−






+=++−+
xx
a

b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
=
0)1)(2(
≥−−
xx
. Vì



−⇒
≥
−≤
⇔≥
)2(
2
2

2 x
x
x
x
và
)1(
−
x
cùng dấu.
0430)1)(2(
2
2
2
2
≥+






+−+⇔≥−−⇒
a
b
b
a
a
b
b
a

zx
. ( đpcm ).
Bài 3. cho
.20091,2008,1 ≤−≤−≤ bcaa
Chứng minh rằng:

.4017≤− cab
Giải:
Vì:
20092009120091,1
≤−⇒≤−⇒≤−≤
aabbaba
.
Mà:
2008≤− ca
. Suy ra:
4017≤−+− caaab
.
Theo bài toán 1) ta có:
caaabcaaabcab
−+−≤−+−=−
)()(
.
Vậy:
4017
≤−
cab
.
Vấn Đề VIII. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương,
bình phương của tổng, tích hai số.

A. Kiến thức cần nhớ.
Chú ý vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng,
tích hai số sau ( lưu ý: Phải chứng minh mới vận dụng ):
1)
xyyxyx 4)()(2
222
≥+≥+
.
2)
)(3)()(3
2222
zxyzxyzyxzyx
++≥++≥++
.
B. Ví dụ.
Bài 1. Cho x,y > 0, thoả mãn: x + y ≥ 1. Chứng minh rằng: x
4
+ y
4
≥
8
1
.
Giải:
áp dụng bài toán 1) ta có:
8
1
2
2
)(

2
)(
2
2
22
44
≥






+
≥
+
≥+
yx
yx
yx
.
Bài 2. Chứng minh rằng:
)(
444
cbaabccba ++≥++
.
Giải:
Áp dụng bài toán 2) ta có:

)(

))(())(())((
444
222222444
cbaabccba
abcacabcbcabaccbbacba
++≥++⇒
++≥++≥++
Vấn Đề IX. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng.
A. Phương pháp.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức đưa được về dạng X ≥ Y, trong đó X =
n
AAA
21
và Y =
n
BBB
21
hoặc X =
n
AAA
+++

21
và Y =
n
BBB
+++

21
với

), ,2,1(, niBA
ii
=
là đa thức, phân thức mà các biểu thức
ii
BA ,
có chung quy luật. Dễ dàng chứng minh được
các bất đẳng thức riêng
iinn
BABABA
≥⇒≥≥
, ,
11
.
B. Ví dụ.
Bài 1. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
.
222
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
Giải:
Ta chứng minh các bất đẳng thức riêng:

ba
b
a
−≥
2
2
. ( 1 )
Ta có:
22
2
22 babaab
b
a
−≥⇔≥
(vì
b
> 0 ).
0)(02
222
≥−⇔≥+−⇔
bababa
. ( bất đẳng thức luôn đúng ).
Vậy ( 1 ) được chứng minh !
Tương tự
ac
a
c
cb
c
b

−≥−≥
2;2
22
. ( 2 ).
Từ ( 1 ), ( 2 ) ta được đpcm.
Bài 2. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:

3
22
3
22
3
22
3
cba
caac
c
bccb
b
abba
a
++
≥
++
+
++
+
++

.
Giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng:
3
2
22
3
ba
abba
a
−
≥
++
. ( 1 )
Ta có ( 1 )
))(2(3
223
abbabaa
++−≥⇔
0))((
0
2223
2
2233
2322233
≥−+⇔
≥−−+⇔
−−−++≥⇔
baba
abbaba

abbbabaabaa
Vậy ( 1 ) đúng.
Tương tự
3
2
22
3
cb
bccb
b
−
≥
++
. ( 2 )
3
2
22
3
ac
caac
c
−
≥
++
. ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được đpcm.
Vấn Đề X. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của biến.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức nhiều khi việc xét từng khoảng giá trị của biến
giúp ta tìm được lời giải dễ dàng hơn.

B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng:
1
278
+−+−
xxxx
> 0.
Giải:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức.
Cách 1. * Nếu
1
≥
x
thì A
1)1()1(
7
+−+−= xxxx
> 0.
* Nếu x < 1 thì A
)1()1(
528
xxxx −+−+=
> 0.
Vậy ta có đpcm.
Cách 2. A =
2727
)1)(1()1()1( xxxxxxx
+−−=+−−−
.
* Nếu

0)1)(1(11
77
≥−−⇒≥⇒≥
xxxx
, mà
2
x
> 0. Nên A > 0.
* Nếu x < 1
7
x
⇒
< 1
)1)(1(
7
−− xx
> 0, còn
2
x
> 0. Nên A > 0.
Bài 2. Cho
Rcba
∈
,,
, thoả mãn:
abccba ≥++
.
Chứng minh rằng:
abccba
≥++

222
.
Giải:
Xét hai trường hợp:
1)
abccbacbacba
≥++≥++⇒≥≥≥
222
1,1,1
.
2) Trong ba số
cba ,,
có ít nhất một số nhỏ hơn 1. Không giảm tính tổng quát, giả sử
c
< 1. Ta có
abcabcabbacba
≥≥≥+≥++
2
22222
.
Vấn Đề XI. Phương pháp đổi biến.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức ta có thể đổi biến rồi từ đó dẫn đến bài toán
quen thuộc dẫ biết cách giải
* Chú ý: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức dạng
1 2
1 2

n
n

A
A A
a
B B B
+ + + ≥
.
( a là hằng số,
nn
BBAA , ,,, ,
11
là các đa thức nhiều biến cùng bậc ), ta có thể chọn cách đổi
biến
nn
BmBmBm
===
, ,,
2211
, sau đó biểu diễn
1
A
theo
n
mmm , ,,
21
sẽ đưa về bài toán quen
thuộc sau:
Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì
2
≥+
x

y
y
x
.
B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng: ( x+ 2007)
4
+ ( x + 2009 )
4
≥
2.
Giải:
Đặt x + 2008 = y, ta có : ( x + 2007 )
4
+( x + 2009 )
4
= ( y - 1 )
4
+( y + 1 )
4

=
22122
24
≥++ yy
.
* Chú ý: Ta có thể chứng minh tổng quát :
8
)(
)()(

4
44
ba
bxax
−
≥+++
bằng cách đặt
2
ba
xy
+
+=
.
Bài 2. Cho
1=++ cba
.Chứng minh rằng:
3
1
222
≥++ cba
.
Giải:
Đặt
zcybxa +=+=+=
3
1
;
3
1
;

3
1
. Do
.01
=++⇒=++
zyxcba
Ta có:
222222
)
3
1
()
3
1
()
3
1
( +++++=++ zyxcba

3
1
3
1
)(
3
2
3
1
222
222

≥+++=
++++++=
zyx
zyxzyx
Dấu " = " xảy ra
3
1
0 ===⇔===⇔ cbazyx
.
Bài 3. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
3≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
.
Giải:
Đặt x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.
Vì a ,b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x, y, z > 0.
Suy ra
.
2
;

2
;
2
yx
c
zx
b
zy
a
+
=
+
=
+
=

Vậy
z
yx
y
xz
x
zy
cba
c
bac
b
acb
a
222

+
+
+
+
+
=
−+
+
−+
+
−+
.
=






−++−++−++
)2()2()2(6
2
1
x
z
z
x
y
z
z

y
x
y
y
x
36.
2
1)()()(
6
2
1
222
=≥






−
+
−
+
−
+≥
zx
xz
yz
zy
xy

yx
.
Vấn Đề XII. Phương pháp sắp thứ tự các biến.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán mà trong đó giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh không thay đổi vai
trò các biến. Chúng ta có thể sắp xếp các biến để phát hiện thêm tính chất của biến, giúp tìm
lời giải dễ dàng hơn.
B. Ví dụ.
Bài 1. Cho a, b, c thoả mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1.
Chứng minh rằng:
2
111
≤
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a
.
Giải:
Vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử:
0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Ta có ab + 1 ≤ ac + 1, ab + 1 ≤ bc + 1.
Do đó:
.
111111 +

+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+ ab
c
ab
b
ab
a
ab
c
ca
b
bc
a
1111 +
++
≤
+
+
+
+
+
⇒

ab
cba
ab
c
ca
b
bc
a
. ( 1 ).
Mặt khác:
1210)1)(1(
+≤+≤+⇒≥−−
ababbaba
. Mà
1≤c
nên
).1(2112
+=++≤++
ababcba
Do đó:
2
1
)1(2
1
=
+
+
≤
+
++

ab
ab
ab
cba
. ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra đpcm.
Bài 2. Cho
cba ,,
> 0. Chứng minh rằng:
abccbaccbabcbaa 3)()()(
222
≤−+++−+++−
.
Giải:
* Nhận xét: Khi hoán vị vòng quanh
acba →→→
thì bất đẳng thức cần chứng minh không
đổi.
Giả sử
c
là số nhỏ nhất tức là
cbca
≥≥
,
. Ta có:
[ ]
),:(;0))(()()(
))(()()()(
))(())(())((
)()()(

)()()(3
2
222
222
cbcadobcacccbaba
bcacccbbcaaba
bcaccabcbbcabaa
abcbcacccababcbbbcacabaa
cbacbacbacbaabc
≥≥≥−−+−+−=
−−+−−−−=
−−+−−+−−=
+−−++−−++−−=
−++−++−+−
Vậy ta được đpcm.
Vấn Đề XIII. Phương pháp quy nạp toán học.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi
)(1 Nnn
∈≥
. ta có thể vận
dụng phương pháp quy nạp toán học.
Các bước chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:
1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng khi
1
=
n
.
2) Giả sử bất đẳng thức đúng khi
kn

=
.
Chứng minh bất đẳng thức đúng khi
1+= kn
3) Kết luận bất dẳng thức đúng với mọi
n
nguyên dương.
B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng:
2
2
+
n
>
52
+
n
, với mọi
n
nguyên dương.
Giải:
Giả sử bất đẳng thức đúng với
kn
=
, tức là:
2
2
+
k
>

52
+
k
, ta cần chứng minh bất đẳng
thức đúng với
1+= kn
.
Ta có:
232)1(
2.222
++++
==
kkk
>
104)52(2
+=+
kk
>
5)1(2522
++=++
kk
.
Vậy bất
2
2
+
n
>
52
+

n
với mọi
n
nguyên dương.
Bài 2. Cho
0,
≥
ba
. Chứng minh rằng:
22
nn
n
baba +
≤






+
, với mọi
n
nguyên dương.
Giải:
Với
1
=
n
, ta có

22
11
1
baba +
≤






+
, hiển nhiên đúmg.
Giả sử bất đẳng thức đúng với
kn
=
, tức là:
22
kk
k
baba +
≤






+
.Ta cú:

4
))((
242
42
.
22
.
22
111111
11
1
kkkkkkkkkk
kkkkkk
kk
bababaabbababa
bbaababababababa
−−
−
+
=
−−+
−
+
=
+++
=
++
≤







++
=






+
++++++
++
+
Mà:
)();(
kk
baba −−
cùng dấu nên
0))((
≥−−
kk
baba
.
Do đó:
22
11

1
++
+
+
≤






+
kk
k
baba
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Vấn Đề XIV. Phương pháp phân tích số hạng.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bất đẳng thức mà ta mà ta có thể đưa về bất đẳng thức mà một hoặc hai vế có dạng
)( )2()1( nfff
+++
, khi đó ta có thể dùng phương pháp sai phân hữu hạn: Ta tìm hàm F(k)
thoả mãn hệ thức
)()()1( kfkFkF
=−+
. Từ đó dễ dàng thấy rằng:
)1()1()()1( )2()3()1()2()( )2()1( FnFnFnFFFFFnfff
−+=−+++−+−=+++
.
Do đó giúp ta tìm ra lời giải dễ dàng hơn.

B. Ví dụ.
Bài 1. Chứng minh rằng:
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
++++
nn
< 1.
Giải:
Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:
1
11
)1(
1
+
−=
+ kkkk
. Vậy
ta có:
1
1
1
1

11

3
1
2
1
2
1
1
1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
+
−=
+
−++−+−=
+
++++
nnnnn
< 1. ( đpcm ).
Bài 2. Chứng minh rằng:
22
)1(

12

144
7
36
5
4
3
+
+
++++
nn
n
< 1.
Giải:
Các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh đều có dạng:
2222
)1(
11
)1(
12
+
−=
+
+
kkkk
k
. Ta có:
222222222
)1(

1
1
)1(
11

3
1
2
1
2
1
1
1
)1(
12

144
7
36
5
4
3
+
−=
+
−++−+−=
+
+
++++
nnnnn

n
< 1.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
XV. Phương pháp véc tơ và hình học.
A. Kiến thức cần nhớ.
Một số bài toán bất đẳng thức mà biến là các số dương, ta dễ dàng tìm ra lời giải nếu sử
dụng phương pháp hình học, bằng việc sử dụng các tính chất:
1). Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a + b > c & a - b < c.