BI KÍP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 CHUYÊN SƯ PHẠM

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải mở rộng mặt phẳng để tìm
điểm chung
+) Nếu biết một điểm chung thì ta lấy mặt phẳng thứ ba (R) không qua điểm chung và
qua một đường thẳng

thuộc (P) hoặc (Q) , giả sử là( P). Sau đo tìm giao tuyến của (R) và (Q)
là d . Giao của d và

sẽ thuộc P,Q
+) Nếu chưa biết điểm chung nào thì ta làm như trên hai lần
Muốn dựng

qua M và d,d’ trong không gian chéo nhau ta làm như sau:
Ta tìm giao điểm của d (hoặc d’) với mặt phẳng P qua đường thẳng d’ (hoặc d) và chứa
M, bằng cách tìm giao tuyến

của P và mặt phẳng qua d ,

sẽ cắt d tại N cũng thuộc P nên
MN cũng cắt d’. Suy ra MN là đường thẳng cân dựng
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian, và đường thẳng c.Cách dựng
đường thẳng

// c đi qua a, b như sau:
+) Tìm hoặc dựng mặt phẳng (P) qua a ( hoặc b ) và //c ( Tìm d cắt a hoặc b và // c thì
(P) là (a,d) hoặc (b,d))
+) Lấy giao của b (hoặc a ) với (P)
+) Từ giao điểm đó dựng đường thẳng

// c sẽ cắt a (hoặc b)

Ta được đường thẳng cần dựng
Cho mặt phẳng (b) cố định và đường thẳng d thuộc (b) cố định. Muốn dựng mặt
phẳng (a) qua d và hợp với (b) một góc x nào đó ta làm như sau:
+)Qua một điểm cố định ( chẳng hạn O) trong hình vẽ của bài và thuộc (b) ta dựng
đường thẳng d’ vuông góc với d và cắt d tại I, và cũng qua điểm cố định đó ta dựng đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (b) . Khi đó d sẽ vuông góc với (d’,

)
+) Mặt phẳng (a) qua d sẽ cắt

tại K ,thì góc giữa hai mặt phẳng (a) ,(b) là góc KIO
+) Ta chi việc dựng K sao cho góc KIO=x , thì mặt phẳng (d,K) chính là (a)
Muốn dựng (P) qua d và tạo với  một góc ỏ ta làm như sau:
+) Chọn (Q) qua

và //d hoặc trùng d
+) Lấy d’ là hình chiếu của d trên (Q)
+)

giao d’ tại O, dựng (R) vuông góc với d’ cắt

tại A
+) Giả sử giao của (P’) ( là mặt phẳng qua d’ //d) , (R) tại

’, qua A dựng
đường vuông góc với

’ , dựa vào các dữ kiện của của bài toán ta xác định


’ qua điểm cố
định nào đó và hợp với d’ góc nào đó, từ đó dựng ngược trở lại (P).
Hoặc ta tính khoảng cách từ một điểm trên

tới (P) để suy ra những điều cần thiết để
dựng thiết diện
Nếu (P) vuông góc với đường thẳng hay mặt phẳng nào đó thì quy về dựng qua đường
thẳng nào đó
Bài 1:
Cho tứ diện ABCD; X,Y,Z thuộc AB,AC,AD , M ∈(BCD). Gọi N =AM ∩(XYZ). Tìm N
Bài 2 :
Cho tứ diện ABCD,M∈[CD], K ∈(ABC),L ∈(ACD) ,N =KL ∩ (ABM).vẽ N
Bài 3 :
Cho tứ diện ABCD, K ∈(ABC),L ∈(ACD). Tìm KL ∩(BCD)
Bài 4 :
Cho tứ diện ABCD, M nằm trong tứ diện . A’,B’,C’,D’ là giao của AM,BM,CM,DM với
(BCD),(ACD),(ABD),(ABC).CMR:
a)

1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
=+++
'

'
'
'
'
'
'
'
b)
{ }
∑
< BDCDBCADACABMA ,,,,,'
Gợi ý:a) Dùng bài toán : cho M trong ABC , A’,B’,C’ là giao của AM,BM,CM với
BC,CA,AB. Khi đó
∑
= 1
AA
MA
'
'
Gọi K ,L là giao của AA’ và BB’; CC’ và DD’ sau đó áp dụng bài trên
b)
{ } { } { }
BDCDBCADACAB
MA
ADACAB
MA
AKAB
MA
AA
MA

,,,,,max
'
,,max
'
,max
'
'
'
>>>
Bài 5 :
Cho tứ diện S.ABC,G là trọng tâm ABC; A’,B’,C’ bất kì trên cạnh SA,SB,SC , AG
giao (A’B’C’) tại G’. CM:
∑
=
'' SG
SG
3
SA
SA
Gợi ý:Gọi A
1
,B
1
,C
1
là trung điểm BC,CA,AB. A
2
,B
2
,C

2
là giao SA
1
và B’C’;SB
1
và
A’C’;SC
1
và A’B’. A
3
,B
3
,C
3
là giao AA1 và A’A
2
; BB
1
và B’B
2
;CC
1
và C’C
2
.
Dùng menelauyt cho A
3
GG’ và A
3
AA’ với S,A

1
,A
2
thẳng hàng. Sau suy ra
'2
'2
.
'
3
' AA
GA
SG
SG
SA
SA
=
Tương tự có các đẳng thức còn lại,cộng vào có dpcm
Bài 6 :
Cho tứ diện ABCD,A’,B’,C’,D’ là trọng tâm
BCD,ACD,ABD,ABC.CM:AA’,BB’,CC’,DD’ động quy tại một điểm
Bài 7:
Cho hình chóp SABCD. M,N,P thuộc SA,SB,SC .Tìm thiết diện của (MNP) và hình chóp
Bài 8:
Cho tứ diện ABCD,M ∈(ABC),N ∈(ACD),P ∈(ADB). Vẽ thiết diện của (MNP) và
ABCD
Bài 9:
Cho hình chóp tứ giác SABCD,M ∈[SA],N: B∈[SN],P ∈[ CD]. Tìm thiết diện của
(MNP) và hình chóp
Bài 10:
Cho hình chóp SABCD, N ∈[SD], P ∈(ABCD), lấy M:B∈[SM]. Tìm thiết diện của

(MNP) và hình chóp
Bài 11:
Cho tứ diện ABCD,có các cạnh đối bằng nhau .CM: các mặt của tứ diện là các tam giác nhọn và
bằng nhau
Gợi ý:Gọi M,N là trung điểm của AB,CD ,có CM=DM suy ra MN ⊥CD, tương tự với
AB, Tính MN theo các cạnh
Bài 12 :
Cho S.ABC, M N,P thuộc SA,SB,SC
I=(BCM) ∩(CAN) ∩(ABP)
J=(NAP) ∩(PMB) ∩(MNC)
CM:a) S,I,J thẳng hàng
b)
CP
SP
BN
SN
AM
SM
1
IJ
SJ
+++=
Gợi ý:
a) Gọi A’,B’,C’ là giao của BP và CN;AP và CM;BM và AN
I = AA’ giao BB’ giao CC’
J= MA’ giao NB’ giao PC’
Suy ra: I= (SBB’) giao (SCC’) giao (SAA’)
J= (SMA’) giao (SNB’) giao (SPC’)
a) Gọi Q = SA’ giao BC
H=SI giao AQ

K = MA’ giao AQ
Ta có (AQHK)=-1

1
HS
HI
JI
JS
=
.
(1)
C1:Menelauyt cho SIC với C’,J,P thẳng hàng

'
'
.
AA
IA
JI
JS
PC
SP
=
Tương tự có các đẳng thức khác; cộng vào có
∑







−=⇒
++=++
HS
HI
1
JI
JS
MA
SM
CC
IC
BB
IB
AA
IA
JI
JS
PC
SC
NB
SB
MA
SA
)
'
'
'
'
'

'
.(

Kết hợp với (1) ta có dpcm
C2:Dùng bổ đề cho ABC, M thuộc ; A’,B’,C’ là giao của Am,BM,CM và
BC,AC,AB. Khi đó
''
'
'
'
MA
AM
CC
AC
BB
AB
=+
(cm:qua A kẻ đường thẳng //BC)
Ta có:
IH
SI
QA
SA
MA
SM
MA
SM
=+=
∑
'

'
Điều cần chứng minh
HI
HS
JI
JS
IH
SI
1
IJ
SJ
=⇔
+=⇔

Bài 13:
Cho tứ diện ABCD ; M,N,P,Q,R,S là trung điểm của AB,CD,AC,BD,AD,BC.CM:
a)MN,PQ,RS đồng quy tại trung điểm mỗi đường
b) Điểm đồng quy đó là trọng tâm của tứ diện
Bài 14:
Cho tứ diện ABCD, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),(SAC),(SAB) sao cho
MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC
CMR:
∑
SA
MA'
=1
Bài 15:
Cho tứ diện ABCD, A’,B’,C’,D’ là trọng tâm của (BCD),(ACD),(ABD),(ABC) ; M bất
kì; Lấy A’:
'." MA3MA =

.Tường tự có B”,C”,D”.CMR:
a)AA”,BB”,CC”,DD” đồng quy tại trung điểm của mỗi đường gọi là N
b)MN đi qua trọng tâm tứ diện
Bài 16:
Cho tứ diện S.ABC , G là trọng tâm của ABC,M thuộc ABC; ∋M và  // SG cắt
(SBC),(SCA),(SAB) tại A’,B’,C’.CMR: MA’+MB’+MC’+MD’=3SG
Gọi ý: Dùng talet
Bài 17:
Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC;
A
,
B
,
C
qua A,B,C //SM cắt (SBC),(SAC),
(SAB) tại A’,B’,C’,
a) CM:
∑
=
'AA
1
SM
1
b) Gọi M’=SM ∩(A’B’C’).Tính SM : SM’
Gợi ý :b) Để ý giao điểm I của BC’ , CB’ và S,A thẳng hàng.Gọi L =A’I
∩SM’,P=A’M’∩B’C’, N=IP∩BC .Ta có IP=IN  SL=LM’,SL=SM.Suy ra SM’=2SM
Bài 18:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b .M,N di chuyển trên a,b.Tìm quỹ tích trung điểm I của
MN
Gọi ý:Lấy hai điểm cố định A.B trên a,b.Gọi O là trung điểm AB, qua O kẻ ,’lần lượt

//a,b; trên ,’ lấy M’,N’ sao cho MM’,NN’ //AB
Bài 19:
Tứ diện ABCD M thay đổi thuộc AC ,(ỏ)∋M và // AB,CD cắt AD,BD,BC tại N,P,Q .
a) CMR:MNPQ là hình bình hành
b) Tìm điều kiện của M để MNPQ là hình thoi
c) Tìm quỹ tích của tâm I của MNPQ
d) Tìm điều kiện của ABCD để MNPQ có chu vi không đổi
Gợi ý:b) MN=
CD
AC
AM
MQ=
AB
AC
CM
MNPQ là hình thoi <=> MN=MQ
c)Gọi E,F là trung điểm của AB,CD khi đó I thuộc EF. áp dụng bài 18
d) MN+MQ=
( )
AC
ABCDCDABAM
AC
ABAMACCDAM
AC
ABCMCDAM .)( +−
=
−+
=
+
Chu vi =const KHI và chỉ khi AB=CD do AM thay đổi.

*) Trong chương quan hệ song song có hai loại thiết diện là:
+) Thiết diện qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.
+) Thiết diện qua một đường thẳng và song song với một đường thảng khác
Thường thì các thiết diện này được dựng qua các hình chóp
Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại trên
a) Giả sử thiết diện qua M và song song với d,d’ chéo nhau:
+) Ta dựng giao tuyến  của (M,d) với (P) qua d’
+) Dựng đường thẳng song song d qua M cắt  tại O
+) Trong (P) dựng đường thẳng //d’
Cách hai áp dụng cho bài toán có hình lăng trụ hoặc hình hộp:
+) Ta tịnh tiến một trong hai đường thẳng đến đường thẳng kia tạo (Q)
+) Qua M dựng mặt phẳng song song với (Q)
b) Giả sử thiết diên qua d và song song d’:
+) Chọn hai điểm A,B trên d ( thường thì sẽ có trong hình bài ra)
+) Dựng giao tuyến  của (A,d’) với (P) chứa B
+) Trong (A,d’) dựng đường thẳng qua A //d’ ,Giả sử cắt giao tuýên trên tại C ,khi đó
(ABC) là mặt phẳng cần tìm
+) Cuối cùng dựng thiết diện của (ABC) với hình bài ra.
Ta có thể lấy các điểm bất kì và thử tìm thiết diện
Sau đây là một số bài tập
Bài 20:
Cho hình chóp S.ABCD.M,N là trung điểm của AB,SB. Mặt phẳng (P) ∋M và (P)//
CN,SD. Dựng thiết diện của (P) với S.ABCD.
Bài 21:
Cho S.ABC, M∈ABC .Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P)∋ M và (P)//
SB,AC
Bài 22:
Cho S.ABCD , N,P là trung điểm của SB,AD .Lấy M sao cho B là trung điểm của MN.
Dựng thiết diện của mặt phẳng (P)⊃MP và (P) //CN với S.ABCD
Bài 23:

Cho hình chóp S.ABCD ,N là trung điểm của BC ,P∈[SC] :SP=2CP ,M∈SA:S là trung
điểm của AM. Dựng thiết diện của mặt phẳng (P)⊃ MN, (P)// DP với S.ABCD
Bài 24:
Cho S.ABCD , P là trung điểm của SD, M thuộc BC sao cho B là trung điểm của CM , N
thuộc [SB] sao cho SN=2NB. Dựng thiết diện của mp (P)⊃ NP và (P)//AM với S.ABCD.
Bài 25: ( phần mặt phẳng song song)
Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (SBC),(SAC),(SAB) sao cho
MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC
Gọi M’=SM∩(A’B’C’). CMR:M’ là trọng tâm của A’B’C’, tính tỉ số SM : SM’
Gợi ý :Lấy giao của (MA’B’) với SC, hoặc chứng minh SM cắt các trung tuyến = việc để
ý (SAB)//(MA’B’)
Bài 26:
Cho tứ diện S.ABC, G là trọng tâm của tứ diện. M bất kì thuộc ABC. A’,B’,C’thuộc
(SBC),(SAC),(SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ // GA,GB,GC. CMR: GM đi qua trọng tâm của
A’B’C’
Gợi ý : Gọi A”,B”,C” là giao của MA’,MB’,MC’ với (GBC),(GCA),(GAB),khi đó
A”,B”,C”, chia GA’,GB’,GC’ theo tỉ số 3:1 do tính chất của trọng tâm tứ diện . Theo bài 25 thì
MG sẽ đi qua trọng tâm A”B”C”, vị tự A”B”C” thành A’B’C’ ,suy ra GM đi qua trọng
tâm A’B’C’
Bài 27:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b ; (P) qua a // b ; (Q) qua b // a. M ∉(P) ∪ (Q) .CMR:
Tồn tại duy nhất đường thẳng qua M cắt a,b
Bài 28:
Hai đường thẳng chéo nhau a,b cắt (P). M,N di chuyển trên a,b sao cho MN // (P). Tìm
quỹ tích trung điểm I của MN
Gợi ý : tương tự bài 18, chú ý M’N’ luôn tự song song
Bài 29:
Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau, mặt phẳng (P) di chuyển luôn song song với
chính mình và cắt a,b,c tạ A,B,C .Tìm quỹ tích trong tâm G của  ABC
Gợi ý: Theo bài 27 thì quỹ tích trung điểm M của BC là đường thẳng d nào đó xác định,

điểm G chia đoạn AM theo tỉ số 2, mà AM luôn song song (P), từ đó theo cách làm bài 18,lấy O
chia AM theo tỉ số 2. Ta được quỹ tích G
Bài 30:
Cho hình hộp xiên ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
, M là điểm bất kỳ thuộc AB
1
, Gọi I= (MCD
1
)∩ BC
1
,
J =(MCD1)∩A1D. CMR:M,I,J thẳng hàng
Gợi ý : Dùng Talet
Bài 31:
Cho hình lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
,gọi N là trung điểm của AA
1
, G

1
là trọng tâm của A
1
B
1
C
1
a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (P) ∋M và (P)// CN,BC
1
b) Gọi E là giao của (P) với A
1
B
1
. Tính
EB
EA
1
1
Gợi ý: Dùng cách 2 bí kíp (a) ở trên.
Bài 32:
Cho hình lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. M thuộc [BA
1

] sao cho
5
4
1
=
MA
MB
.Gọi (Q) ∋M và
(Q) // AC
1
,CB
1
.
a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với (Q)
b) Gọi E =(Q) ∩ CC
1
. Tính
EC
CE
1
Gợi ý : như bài trên
Bài 33:
CMR: Thiết diện bất kì của tứ diện bất kì có chu vi nhỏ hơn max của chu vi các mặt của
tứ diện
Bài 34:
Cho hình hộp xiên ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
, gọi XYZTUV là thiết diện của (P) với hình hộp, có
XT,YU,ZV đồng quy tại O. CMR :O là giao của các đường chéo của hình hộp
Gợi ý: Giao tuyến
Bài 35:
Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. I,K,G là trọng tâm của ABC,A’B’C’ ACC’.CMR:
(IKG)//(BB’CC’) ,(A’KG)//(AIB’)
Bài 36: ( Đề kiểm tra )
Cho diện ABCD, gọi I
1
,I
2
,I
3
,I
4
là tâm đường tròn nội tiếp của BCD, ACB, DAB,
ABC. CMR:AI
1
, BI
2
, CI
3
, DI
4
đồng quy AC.BD = AB.CD = AD.BC
Gợi ý: làm từng chiều một
Bài 37: ( Đề kiểm tra )

Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
,O là giao của DC
1
và CD
1
, M thuộc tia AA
1
sao cho
MA=3MA
1
a)Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)⊃MO và (P)//BD
b)Gọi L là giao của (P) với CC
1
. Tính LC:LC
1
Bài 38: ( Đề kiểm tra )
Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tứ diện. M là điểm bất kì
thuộctứdiện,MG∩(BCD)=A
1
,MG∩(ACD)=B
1
,MG∩(DAB)=C
1

, MG∩(ABC)=D
1
.CMR:
∑
1
1
GA
MA
=4
Gợi ý: Gọi giao AM,BM,CM,DM với các mặt phẳng đối diện, sau dùng melaúyt.
Bài 39: ( Đề kiểm tra A
1
)
Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
,O =DC
1
∩CD
1
, M∈[A
1
B
1
]

sao cho MB’=2MA’
a) Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (P)⊃MO và (P)// AC
b) Gọi L =(P) ∩CC
1
. Tính LC:LC
1
Bài 40: ( Đề kiểm tra A
1
)
Cho tứ diện ABCD . CMR: AB.CD, AC.BD, AD.BC là ba cạnh một tam giác
Gợi ý: Lấy trên AB,AC, AD các điểm B’,C’,D’ sao cho AB’.AB=AC’.AC=AD’.AD. Sau
đó dùng tam giác đồng dạng
Cách dựng đường thẳng  vuông góc với (P):
Trong (P) chọn a,b cắt nhau
C1: dựng hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với a,b ,khi đó  là giao tuyến của
hai mặt phẳng trên
C2: dựng mặt phẳng vuông góc với a (hoặc b). khi đó  là đường thẳng trong
mặt phẳng đó và vuông góc với a (hoặc b)
Trong chương quan hệ vuông góc thì có hai loại mặt phẳng:
+) Qua một điểm A và vuông góc với một đường thẳng  cho trước
+) Qua một đường thẳng  cho trước vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại mặt phẳng trên:
Loại 1:
+) Tìm hai đường thẳng vuông góc với  ( thường lấy đường thẳng cắt đường
nào đó trên hình chữa A)
+) Qua A dựng mặt phẳng song song đường thẳng trên
Loại 2 :
+) Tìm đường thẳng d vuông góc (P) (có thể cắt  thì càng tốt)
+) Nếu cắt  thì song rồi, nếu không thì qua  dựng mặt phẳng song song d

Dựng đoạn vuông góc chung AB của hai đường thẳng a,b chéo nhau
a) a,b vuông góc với nhau:
 Qua a dựng mặt phẳng vuông góc với b, cắt b tại B
 Qua B dựng đường vuông góc với a
b) a,b không vuông góc:
 Tìm (P) qua a song song với b
 Dựng hình chiếu b’ của b trên (P) cắt a tại A
 Qua A kẻ đương thẳng vuông góc với b
Tổng quát :
 Tìm (P) ⊥a, (P)∩a=H
 Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b
 Dựng HK⊥b’, K∈b’
 Dựng KB//a,B∈b
 Dựng BA//HK,A∈a
Trên đây chỉ là lí thuyết còn trong thực tế thì phải linh động với từng bài toán
Chương song song và vuông góc có quan hệ chặt chẽ với nhau , thay bằng việc tìm trực
tiếp yếu tố vuông góc thì ta có thể tìm các hình khác sau đó dựng song song
Bài 41:
Cho tứ diện ABCD, có AC ⊥BD,AB ⊥CD.CMR: AD ⊥BC.
Gợi ý: C
1
: Gọi trung điểm của các cạnh ta được các hình chữ nhật
C
2
: Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện có bốn đỉnh là bối đỉnh của tứ diện. Khi đó
ta có các mặt hình thoi
Bài 42:
Cho tứ diện ABCD, M,N là trung điểm của AB,CD. CMR:
MN ⊥AB,CD  AC=BD và BC=AD
Gợi ý : làm tương đương và dùng công thức trung tuyến hoặc lấy trung điểm của

AC,BD,BC,AD
Bài 43:
Cho tứ diện ABCD có:
AB
2
+ CD
2
= AC
2
+ DB
2
CMR: BC ⊥AC
Bài 44:
Cho tứ diện ABCD có: AC= BD; AD=BC
Tìm M : (MA + MB + MC + MD) min
Bài 45:
Cho tứ diện ABCD.M di chuyển trên AC, (P)∋M và (P)//AB,CD. Tìm M sao cho thiết
diện của hình chóp với (P) có diện tích max
Gợi ý: Gọi thiết diện là MNPQ, MNPQ là hình bình hành. Diện tích = MN.MQ. sin
( AB,CD). Tính MN,MQ theo AB,CD sau dùng côsi
Bài 46:
Cho tứ diện ABCD. CMR: 6 mặt phẳng trung trực của tứ diện đồng quy.
Bài toán tương đương với việc chứng minh 4 trục của các tam giác đồng quy
Bài 47:
Cho ABC , ∋A,⊥(ABC), M chạy trên  .H,K là trực tâm của ABC, MBC.
a) CMR: HK ⊥(MBC)
b) CMR: HK cắt  , Gọi N=HK∩
CMR:AM.AN = const
Bài 48:
Cho (O) ,đường kính AB. ∋A⊥(O) , M di chuyển trên (O), S là điểm cố định trên  .

AH ⊥SM (H thuộc SM) . CMR: AH vuông góc SB, và H thuộc một đường tròn cố định
Gợi ý : Chứng minh H thuộc mặt phẳng cố định là mp qua A vuông góc SB, và thuộc
đường tròn cố định trong mp dó
Bài 49:
Cho góc xOy. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho góc MOx = MOy
Gợi ý : Là mặt phẳng vuông góc ( xOy) qua đường phân giác của góc xOy
Bài 50:
Cho hình bình hành ABCD. Điểm S thoả mãn góc ASB=BSC=CSD=DSA, O=AC∩BD.
CMR: SO⊥( ABCD)
Gợi ý : B,D thuộc mặt phẳng phân giác của AC, SO là phân giác của góc ASC, suy ra SO ⊥AC;
A,C thuộc mặt phẳng phân giác của BD,tương tự
Bài 51:
Hình thang ABCD có BC=CD=DA=a. SA⊥(ABCD).(P)∋A,(P)⊥ SC
;B’=(P)∩SB,C’=(P)∩SC,D’=(P)∩SD .
a) CMR: Thiết diện nội tiếp được một đường tròn
b) CMR: B’C’, D’C’, D’B’ đi qua điểm cố định.
c) Cho SA=
3
a tính diện tích thiết diện
Bài 52:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành, SA⊥(ABCD) , M di chuyển trên cạnh
BC, SK ⊥DM(K∈DM). Tìm quỹ tích của K
Bài 53:
Cho mặt phẳng (P), A cố định trong (P),  quay quanh A. S cố định nằm ngoài (P), SH
⊥(H∈) .Tìm quỹ tích của H
Bài 54: (kiểm tra học kì)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AC,BC. Lấy K thuộc tia đối của DC và
gọi P =BD ∩NK,Q=AD∩MK, E =MP ∩NQ
a)CMR: DE đi qua trọng tâm của ABC
b)Tính tỉ số KC/KD, biết rằng S

(KMN)
=4S
(KPQ)
Khi gặp hai đương thẳng chéo nhau (có thể vuông góc với nhau) thì phải nghĩ ngay đến
đường vuông chung dựng các đường song song thích hợp
Bài 55:
Cho hai tia Ax,By chéo nhau, M,N di chuyển trên Ax,By sao cho AM=kBN, I thuộc đoạn
MN sao cho IM=mIN. Tìm quỹ tích I
Bài 56:
Cho hai tia Ax,By chéo nhau , AB vuông góc với Ax,By .M trong không gian . MH, MK
vuông góc với Ax,By. AH + BK=AB; MH=MK. Tìm quỹ tích của M
Gợi ý : Vẽ hình lập phương có cạnh nằm trên Ax,By, và có độ dài bằng AB .Khi đó quỹ
sẽ là đương chéo của hình lập phương không có điểm chung với Ax,By . Từ AH+BK=AB suy
ra các hình vuông suy ra M thuộc trục của mặt phẳng chéo hình lập phương
Ta có thể thay AH+BK=kAB ( k là số thực) thì ta bài toán chỉ khác là dựng hình hộp chữ
nhật có 1 cạnh là AB và hai cạnh kia bằng nhau và bằng kAB.
Bài 57:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc
chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho AM +BN=MN; O là trung điểm của AB, OH ⊥MN
(H∈MN). Tìm quỹ tích của H
Gợi ý : AM=MH,BN=NH
Bài 58:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung,
M,N di chuyển trên a,b sao cho 2AM.BN=AB
2
. O là trung điểm của AB, OH ⊥MN (H∈MN).
Tìm quỹ tích của H
Bài 59:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đường vuông góc
chung . M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const. Tìm quỹ tích của trung điểm I của MN

Gợi ý: qua B vẽ đường thẳng a’// a O là trung điểm của AB, OI= const, quỹ tích là đường
tròn
Bài 60:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau. AB là đường vuông góc
chung . M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const. I là trung điểm của MN, O là trung điểm
của AB. Tính OI
Bài 61:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b vuông góc với nhau, AB là đương vuông góc chung,
O là trung điểm của AB, M trong không gian sao cho với H,K là hình chiếu của M lên a,b thì
MO=MH=MK. Tìm quỹ tích của M
Gợi ý: Vẽ hình lập phương
Bài 62:
a) Cho tứ diện ABCD đều, M,N nằm trong BC,AD sao cho BM=2MC, DN=2AN. Dựng
và tính đường vuông góc chung của : MNvà CD, MN và AC
b) Cho tứ diện đều ABCD, H,K lần lượt là trung điểm của CD,AB. Dựng và tính đường
vuông góc chung của BH,CK
Bài 63:
Cho (P),(Q) cắt nhau tại  . Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai mặt phẳng trên
Gợi ý : Làm tương đương
Bài 64:
Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, M,N chạy trên a,b sao cho (a,MN)=(b,MN). Tìm quỹ
tích trung điểm I của MN
Gợi ý: Lấy đường vuông góc chung AB, O là trung điểm của AB, qua O lấy a’,b’ song
song với a,b . Từ I vẽ các đường vuông góc với a,a’,b,b’. Quỹ tích là hai phân giác của góc tạo
bởi a’,b’
Bài 65:
Cho tứ diện bất kì ABCD, K thuộc AD sao cho (KBC) là mặt phẳng phân giác của
(BCA) và (BCD). CMR:
S(BCD)
S(BCA)

=
KD
KA
Gợi ý: Từ A,D vẽ các đường vuông góc với (BCK) hoặc
Chiếu vuông góc lên (P) vuông góc với BC
Bài hệ quả: tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh BC,AD,AB,CD cắt
các cạnh đối diện tại M,N,P,Q sao cho
NC
BN
MD
AM
=
và PD=nPC . Tính
QB
AQ
Bài 66:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a, AB=2a, AC’=3a . Dựng
và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)∋O và (P) ⊥AC’ với hình hộp.
Bài 67:
Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp. AA’=a, AB=2a, AD=3a . Dựng
và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P)∋O và (P) ⊥AC’ với hình hộp.
Bài 68:
CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có một thiết diện là lục giác đều thì hình hộp đó là hình lập
phương.
Bài 69:
Cho tứ diện ABCD, trực tâm tại A , M nằm trong tứ diện . H,K,I,J lần lượt là hình chiếu
của M lên (BCD),( ACB), (DAB), (ABC) .Tìm min của MH
2
+MK
2

+MJ
2
+MI
2
Gợi ý: Vẽ hình hộp chữ nhật tại A. áp dụng bài toán phẳng : Tam giác ABC. MH,MK,MI
vuông góc BC,CA,AB. Tìm min( MH
2
+MK
2
+MI
2
).
Bài 70:
Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là hình chiếu của A,B trên  .
CMR:A’B’= ABcosỏ
Gợi ý : Qua B’ vẽ ’ , lấy A” sao cho AA” song song BB’
Hệ quả: a) Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là hình chiếu của A,B
trên , M là trung điểm AB, M’ là hình chiếu của M trên  . CMR: M’ là trung điểm của A’B’
b) Cho  và đoạn thẳng AB; (,AB)=ỏ; A’,B’ là hình chiếu của A,B
trên ; M,M’ lần lượt là trung điểm của AB,A’B’. CMR: MM’ ⊥
Bài 71:
1) Cho hình lăng trụ đều cạnh a ABC.A’B’C’. K là trọng tâm của tam giác ABC, M,N là
trung điểm của BB’,CC’ . Đường thẳng qua G cắt MN, AB’ tại P,Q. Tính PQ
2) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ . AB=a,BC=b,AA’=c(c
2
>a
2
+b
2
) ABC vuông

tại B. (P)∋A: (P)⊥ CA’. Tính diện tích thiết diện của lăng trụ vơi (P)
Bài 72:
Cho tứ diện ABCD, HK là đoạn vuông góc chung của AB,CD.
CMR: KC=KD  S
(CAB)
= S
(DAB)
Bài 73:
CMR: Tứ diện là gần đều  các mặt có diện tích bằng nhau
Gợi ý: Dùng bài 72
Bài 74:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M di chuyển trên cạnh AD. Tìm M sao cho thiết
diện tạo bởi hình lập phương và (CA’M) có diện tích nhỏ nhất
Gơi ý: Vẽ đường cao của tam giác MCA’ ,dùng đoạn vuông góc chung có độ dài ngắn
nhất
Bài 75:
Cho hình chóp S.ABC có SBC,ABC là các tam giác đều cạnh a AS=
2
a, O là
trung điểm của BC, Đ
O
(A)=D.
a) Tính các cạnh của của S.BCD
b) (P) ∋ D và (P)// BC, ((P),BD)= 30
0
. Tính diện tích thiết diện của (P) với S.BCD.
Gợi ý : Dùng bí kíp
Bài 76:
Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥(ABC) , nhị diện cạnh SB bằng 90
0

. Góc BSC bằng 45
0
, góc
ASB=ỏ.
a) CM : BC ⊥SB
b) Tìm ỏ để nhị diện cạnh SC bằng 60
0
Bài 77:
Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥(ABC) và ABC vuông tại C. D là trung điểm của AB.
a) Tính góc giữa SD và AC
b) Tính khoảng cách giữa SD,AC
c) Tính khoảng cách giữa SD,BC
Bài 78:
Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SAB đều, SCD vuông cân tại S. I,J là
trung điểm của AB,CD
a) CMR: SI ⊥(SCD), SJ ⊥(SAB)
b) H la hình chiếu của S trên IJ. CM:SH ⊥AC
Bài 79:
Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SC=a
2
, ASB đều. H,K là trung điểm của
AB,AD
a) CM:SH ⊥(ABCD)
b) CM: AC ⊥SK, CK ⊥SD
Bài 80:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a,AA’=a, M thuộc [AD] sao
cho MA=3MD. Tính d
M/(AB’C)

Gợi ý: Tính khoảng cách từ D sau dùng tales

Bài 81:
Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và cùng bằng a. M,N,K là trung
điểm BC,CA,AB . Đ
K
(O)=E, I= CE∩(CMN)
a) CM: CE ⊥(OMN)
b) Tính diện tích tứ giác OMIN.
Bài 82:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M,N,P là trung điểm BB’,CD, D’A’.
a) CM: AC’ ⊥(MNP)
b) Tính nhị diện (P,AC,M)
Gợi ý : a) (MNP) // (BDA’) // (D’B’C)( dùng tales trong không gian) b)
(P,AC,M) = 180
0
– (M,AC,B) – (P,AC,D).
Bài 83:
Cho Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc, A,A’;B,B’;C,C’ thuộc Ox,Oy,Oz sao cho
OA.OA’=OB.OB’=OC.OC’. G là trọng tâm của  ABC.
CMR: OG ⊥( A’B’C’)
Trong phần mặt cầu thì:
-) Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng cùng nội tiếp một mặt cầu bằng nhau thì có thể
chứng minh khoảng cách từ chúng tới tâm bằng nhau
-) Một mặt phẳng qua 1 đường thẳng cố định nếu cách 1 điểm cố định thì mặt phẳng đó cố định
-) Chứng minh tâm mặt cầu thuộc 1 đường thẳng cố định thì có thể chứng minh:
+) các cách như hình học phẳng
+) Mặt cầu qua 1 đường tròn cố định
Bài 84:
CMR: có duy ngất 1 mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện
Bài 85:
CMR: Có duy ngất một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện

Bài 86:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng; M,N; P,Q;R,S lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz sao cho
OM.ON=OP.OQ=OR.OS. CMR: M,N,P,Q,R,S cùng thuộc 1 mặt cầu
Bài 87:
Cho (P) cố định , trong (P) có đường tròn tâm O đường kính AB, AB quay quanh O. S cố
định nằm ngoài (P). Tìm quỹ tích của tâm đường trong ngoại tiếp ABC.
Gợi ý: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua S và (O) , I cố định, H là tâm (ABC), SH
2
-HO
2
=IS
2
-
IO
2
=const. H thuộc mặt phẳng cố định
Bài 88:
Tứ diện ABCD. Tồn tại mặt cầu tiếp xúc với các cạnh  AB+CD=AC+DB=AD+BC.
Bài 89: Đề 122 bộ đề tuyển sinh
Mặt cầu (O) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. M di chuyển trên mặt cầu, hai tiếp tuyến của
mặt cầu tại M cặt (P) tại A,B.
a) CMR: Góc AMB=góc AIB.
b) I’ là điểm đối xứng với I qua AB. CMR: O,I,I’,M đồng phẳng và MI’ đi qua điểm cố
định trên mặt cầu.
c) M di chuyển trên mặt cầu sao cho AM ⊥BM; A,B di chuyển trên hai đường thẳng
d,d’ thuộc (P) ( d’,d bất kì và cố định trên (P)) và d,d’ vuông góc với nhau tại
K.CMR: Mặt cầu đường kính AB luôn đi qua 1 đường tròn cố định, I’ di chuyển trên
đường thẳng cố định, M di chuyển trên đường tròn cố định
Gợi ý:
b) Các điểm cùng thuộc phặt phẳng vuông góc với AB, MI’ đi qua điểm J đối xứng với I

qua O
c)Đi qua đường tròn đường kính IK trong (OIK). I’ di chuyển trên  qua K sao cho d,d’
là hai phân giác của góc tạo bởi  và IK, M thuộc ( ,J ) và mặt cầu ( cố định) nên thuộc
đường tròn cố định
Bài 90:
Cho tứ diện ABCD , mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện và tiếp xúc với (BCD), (ABC) tại
K,H. CMR: Góc AHB= góc CKD.
Gợi ý: Gọi các tiếp điểm còn lại, cộng các góc có đỉnh là các tiếp điểm của mặt (ABC),
(ABD) bằng (ACD),(BCD). 2 góc AHB=2 góc CKD.
Bài 91:
Cho tứ diện ABCD, mặt cầu bàng tiếp đỉnh A tiếp xúc với (BCD) tại K, (ABC) tại H.
CMR: Góc CKD= góc AHB.
Gợi ý: Chú ý các góc bằng nhau
Bài 92:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O, mp(P) vuông góc với AO cắt AB,AC,AD tại
M,N,P.
a) CMR: B,C,D,M,N,P cùng thuộc một mặt cầu
b) CMR:
AD.BC AC.DB
PM
AB.CD
MNNP
==
Gợi ý: a) I là giao của AO với (P), AJ là đường kính của mặt cầu
AM.AB=AN.AC=AP.AD=AI.AJ
b) Chú ý các tam giác đồng dạng
Bài 93:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M,N di chuyển trên tia A’B’, A’D’ sao cho
(AMN) tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương ( tiếp xúc với các cạnh), A’B cắt AM tại
K, A’D cắt AN tại L.

CMR: KL tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Gợi ý: Gọi O
1
,O
2
,O
3
là tâm A’B’C’D’, AA’B’B,ADD’A’, dùng bài 91 chứng minh
MO
1
N=90
0
, suy ra A’M+A’N bằng cạnh hình lập phương. Gọi H là tiếp điểm của (AMN) với
mặt cầu . Đặt A’M=x,A’N=y, tính LK bằng định lý hàm cos, tính KH +LH= KO
2
+LO
3
, Suy ra H
thuộc LK. Hoặc góc AHK = AO
2
K=90
0
, AHL=A0
3
L=90
0
suy ra KL đi qua H
Bài 94:
CMR: giao của hai mặt cầu là một đường tròn
Bài 95:

Cho tứ diện SABC có diện tích xung quanh =3s, chu vi đáy là 3a. Một mặt cầu tiếp xúc
với ba cạnh đáy tại các trung điểm của chúng và đi qua ba trung điểm của ba cạnh bên.
a) CM : Hình chóp SABC là hình chóp tam giác đều.
b) Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 96:
Cho hình chóp SABC có SC tạo (ABC) một góc 60
0
, M,N,P lần lượt là trung điểm của
SA,SB,SC.Biết các điểm A,B,C,M,N,P cùng thuộc một mặt cầu bán kính R. Tính đường cao SH
của hình chóp.
Bài 97:
Cho mặt phẳng (P) , góc xOy bằng 90
0
quay quanh O luôn cắt đường thẳng d cố định , S
cố định :SA ⊥(P), d(O,d)= a.
a) Giả sử SO=
3
8
a,SA=
6
5
OA. Tính góc OAB
b) OE ⊥SA,OF ⊥ SB. Tìm quỹ tích E,F
Bài 98:
Cho (P), góc xOy cố định thuộc (P), SO ⊥(P), SO=a; M,N chạy trên Ox,Oy sao cho
OM+ON=a.
a) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp SOMN
b) Chứng minh tổng các góc phẳng tại đỉnh S của hình chóp SOMN bằng 90
0
c) Chứng minh (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định

Bài 99:
Cho (P) cố định ,đường thẳng (d) cố định và O∉(d), O cố định. Góc xOy quay quanh O
cắt (d) tại A,B.  ⊥(P), ⊃ A, S cố định, S∈ . SH⊥SA,SK⊥SB(H∈SA,K∈SB).
a) CMR: A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu
b) Tính bán kính mặt cầu khi góc AOB bằng 90
0
, OA=2,OB=3
c) Giả sử góc AOB vuông, chứng minh mặt cầu trên luôn qua một đường tròn cố định
Gợi ý: a)Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì I là tâm mặt cầu
c)Mặt phẳng (Q)⊃:(Q)⊥ (d) , (Q)∩ mặt cầu bằng đường tròn cố định
Bài 100:
Cho (O,R) cố định ⊂(P) cố định, AH là đường kính cố định , I nằm ngoài đoạn AH
sao cho HI=R.  ⊃ I ⊥AH. M di chuyển trên (O), AM∩ =B,HM∩ =C . S là điểm sao
cho S.ABC là tứ diện vuông tại S( các góc phẳng tại S bằng 90
0
).
a) Tính SH,IB.IC
b) Tìm quy tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Bài 101:
Cho (O,R) ⊂(P). A∈(O,R), A cố định, BC là đường kính thay đổi, góc ABC bằng a.
AH⊥ BC ( H∈BC). SA ⊥ (P) và SA=2R.
a)Tìm quỹ tích của H
b)Tìm a để S
(SBC)
max
c) Lấy A’∈SA,B’∈SB,C’∈SC : SA.SA’=SB.SB’=SC.SC’ =3R
2
CMR:(SB’C’) cố định và đường tròn qua S, B’,C’ luôn qua 1 điểm cố định thứ 2 khác S
Bài 102:
Cho đường tròn (O) ⊂ (P), M nằm trong (O) , AB của (O), (O)∋ M. S là điểm cố định

sao cho SA ⊥(P).
CMR: tg
2
.
2
ASM BSM
tg
= const
Gọi ý: Kẻ OI ⊥ AB
Hoặc vẽ mặt cầu tâm S bán kính SA, Lấy giao (SAB) với mặt cầu
Bài 103:
Cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp, trực tâm trọng
tâm của tứ diện thẳng hàng
Gợi ý: gọi H là điểm đối xứng với tâm mặt cầu ngoại tiếp qua trọng tâm. Chứng minh H
là trực tâm của tứ diên