các cách phát hiện đa cộng tuyến. các biện pháp khắc phục hiện tượng đa cộng tuyến. ví dụ minh họa


Trong mô hình phân tích hồi quy bội, chúng ta giả thiết giữa các biến giải
thích của mô hình độc lập tuyến tính với nhau, tức là các hệ số hồi quy đối
với một biến cụ thể là số đo tác động riêng phần của biến tương ứngkhi tất
cả các biến khác trong mô hình được giữ cố định. Tuy nhiên khi giả thiết đó
bị vi phạm tức là các biến giải thích có tương quan thì chúng ta không thể
tách biệt sự ảnh hưởng riêng biệt của một biến nào đó.
Hiện tượng trên được gọi là đa công tuyến.Vậy phải làm như thế nào để
nhận biết và khắc phục hiện tượng này.Chúng ta đi nghiên cứu đề tài: “
 
!"#$%”
A. LÍ THUYẾT
I. GIỚI THIỆU VỀ ĐA CỘNG TUYẾN
Thông thường các biến độc lập không có mối quan hệ tuyến tính, nếu quy
tắc này bị vi phạm sẽ có hiện tượng đa cộng tuyến. Như vậy, đa cộng tuyến là
hiện tượng các biến độc lập trong mô hình phụ thuộc lẫn nhau và thể hiện được
dưới dạng hàm số.
II. CÁC CÁCH PHÁT HIỆN HIỆN TƯỢNG ĐA CỘNG TUYẾN
&'
2
()*+,
Trong trường hợp R
2
cao (thường R
2
> 0,8) mà tỉ số t thấp thì đó chính là dấu
hiệu của hiện tượng đa cộng tuyến .
-./0123"(
Nếu hệ số tương quan cặp giữa các biến giải thích cao (vượt 0,8) thì có khả năng
có tồn tại đa cộng tuyến. Tuy nhiên tiêu chuẩn này thường không chính xác. Có
những trường hợp tương quan cặp không cao nhưng vẫn có đa cộng tuyến. Thí

dụ, ta có 3 biến giải thích X
1
, X
2
, X
3
như sau
X
1
= (1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)
X
2
= (0,0,0,0,0, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)
X
3
= (1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1, 0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0)
Rõ ràng X
3
= X
2
+ X
1
nghĩa là ta có đa cộng tuyến hoàn hảo, tuy nhiên tương
quan cặp là:
r
12
= -1/3 ; r
13
= r
23

=0,59
Như vậy đa cộng tuyến xảy ra mà không có sự bảo trước cuả tương quan cặp
những dẫu sao nó cũng cung cấp cho ta những kiểm tra tiên nghiệm có ích.
456$78/09:
Vì vấn đề được đề cập đến dựa vào tương quan bậc không. Farrar và Glauber đã
đề nghị sử dụng hệ số tương quan riêng. Trong hồi quy của Y đối với các biến X
2
, X
3
,X
4
. Nếu ta nhận thấy răng r
2
234,1
cao trong khi đó r
2
34,12
; r
2
24,13
; r
2
23,14
tương
đối thấp thì điều đó có thể gợi ý rằng các biến X
2
, X
3
và X
4

có tương quan cao
và ít nhất một trong các biến này là thừa.
Dù tương quan riêng rất có ích nhưng nó cũng không đảm bảo rằng sẽ cung cấp
cho ta hướng dẫn chính xác trong việc phát hiện ra hiện tượng đa cộng tuyến.
;<=0
Một cách có thể tin cậy được để đánh giá mức độ của đa cộng tuyến là hồi
quy phụ. Hồi quy phụ là hồi quy mỗi một biến giải thích X
i
theo các biến giải
thích còn lại. R
2
được tính từ hồi quy này ta ký hiện R
2
i
Mối liên hệ giữa F
i
và R
2
i
:
F=
)1/()1(
)2/(
2
2
+−−
−
knR
kR
i

i
F
i
tuân theo phân phối F với k – 2 và n-k +1 bậc tự do. Trong đó n là , k là
số biến giải thích kể cả hệ số chặn trong mô hình. R
2
i
là hệ số xác định trong hồi
quy của biến X
i
theo các biến X khác. Nếu F
i
tính được vượt điểm tới hạn F
i
(k-
2,n-k+1) ở mức ý nghĩa đã cho thì có nghĩa là X
i
có liên hệ tuyến tính với các
biến X khác. Nếu F
i
có ý nghĩa về mặt thống kê chúng ta vẫn phải quyến định
liệu biến X
i
nào sẽ bị loại khỏi mô hình. Một trở ngại của kỹ thuật hồi quy phụ là
gánh nặng tính toán. Nhưng ngày nay nhiều chương trình máy tính đã có thể đảm
đương được công việc tính toán này.
>?@ABC/*
Một thước đo khác của hiện tượng đa cộng tuyến là nhân tử phóng đại
phương sai gắn với biến X
i

, ký hiệu là VIF(X
i
).
VIF(X
i
) được thiết lập trên cơ sở của hệ số xác định R
2
i
trong hồi quy của biến
X
i
với các biến khác nhau như sau:
VIF(X
i
) =
R1
1
2
i
−
(5.15)
Nhìn vào công thức (5.15) có thể giải thích VIF(X
i
) bằng tỷ số chung của
phương sai thực của β
1
trong hồi quy gốc của Y đối với các biến X và phương sai
của ước lượng β
1
trong hồi quy mà ở đó X

i
trực giao với các biến khác. Ta coi
tình huống lý tưởng là tình huống mà trong đó các biến độc lập không tương quan
với nhau, và VIF so sánh tình huông thực và tình huống lý tưởng. Sự so sánh này
không có ích nhiều và nó không cung cấp cho ta biết phải làm gì với tình huống
đó. Nó chỉ cho biết rằng các tình huống là không lý tưởng.
Đồ thị của mối liên hệ của R
2
i
và VIF là
V
IF
Như hình vẽ chỉ ra khi R
2
i
tăng từ 0,9 đến 1 thì VIF tăng rất mạnh. Khi
R
2
i
=1 thì VIF là vô hạn.
Có nhiều chương trình máy tính có thể cho biết VIF đối với các biến độc lập
trong hồi quy.
D(.6E
Khía cạnh chủ yếu của VIF chỉ xem xét đến tương quan qua lại giữa các biến
giải thích. Một độ đo mà xem xét tương quan của biến giải thích với biến được
giải thích là độ đo Theil. Độ đo Theil được định nghĩa như sau
0,9
100
1
1

0
5
R
2
i
m = R
2
-
∑
=
k
i 2
( R
2
- R
2
i−
)
Trong đó R
2
là hệ số xác định bội trong hồi quy của Y đối với các biến X
2
, X
3
… X
k
trong mô hình hồi quy:
Y = β
1
+ β

2
X
i2
+ β
3
X
i3
+ ……. + β
k
X
ki
+ U
i
R
2
i−
là hệ số xác định bội trong mô hình hồi quy của biến Y đối với các biên X
2
,
X
3
, … ,X
1−i
, X
1+i
, … ,X
k

Đại lượng R
2

- R
2
i−
được gọi là “đóng góp tăng thêm vào” vào hệ số xác định
bội. Nếu X
2
, X
3
… X
k
không tương quan với nhau thì m = 0 vì những đóng góp
tăng thêm đó cộng lại bằng R
2
. Trong các trường hợp khác m có thể nhận giá trị
âm hoặc dương lớn.
Để thấy được độ đo này có ý nghĩa, chúng ta xét trường hợp mô hình có 2 biến
giải thích X
2
và X
3
. Theo ký hiệu đã sử dụng ở chương trước ta có:
m = R
2
- ( R
2
- r
2
12
) – (R
2

– r
2
13
)
Tỷ số t liên hệ với tương quan riêng r
2
3,12
, r
2
2,13
Trong phần hồi quy bội ta đã biết:
R
2
= r
2
12
+ (1- r
2
12
) r
2
2,13
R
2
= r
2
13
+ (1- r
2
13

) r
2
3,12
Thay 2 công thức này vào biểu thức xác định m ta được:
m = R
2
- (r
2
12
+ (1- r
2
12
) r
2
2,13
- r
2
12
) - ( r
2
13
+ (1- r
2
13
) r
2
3,12
- r
2
13

)
= R
2
- ((1- r
2
12
) r
2
2,13
+ (1- r
2
13
) r
2
3,12
)
Đặt 1- r
2
12
= w
2
; 1- r
2
13
= w
3
và gọi là các trọng số. Công thức (5.16) được
viết lại dưới dạng
m = R
2

- (w
2
r
2
2,13
+ w
3
r
2
3,12
)
Như vây độ đo Theil bằng hiệu giữa hệ số xác định bội và tổng có trọng số của
các hệ số tương quan riêng.
Như vậy chúng ta đã biết một số độ đo đa cộng tuyến nhưng tất cả đều có ý
nghĩa sử dụng hạn chế. Chúng chỉ cho ta những thông báo rằng sự việc không
phải là lý tưởng.
Còn một số độ đo nữa nhưng liên quan đến giá trị riêng hoặc thống kê Bayes
chúng ta không trình bày ở đây.
II. Biện pháp khắc phục
1. FA#G:$
Một trong các cách tiếp cận để giải quyết vấn đề đa cộng tuyến là phải tận
dụng thông tin tiên nghiệm hoặc thông tin từ nguồn khác để ước lượng các hệ số
riêng.
Thí dụ : ta muốn ước lượng hàm sản xuất của 1 quá trình sản xuất nào đó có dạng
:
Qt =AL
Trong đó Qt là lượng sản phẩm được sản xuất thời k‚ t ; Lt lao động thời k‚ t ; Kt
vốn thời k‚ t ; Ut là nhiƒu ;A , α, β là các tham số mà chúng ta cần ước lượng .Lấy
ln cả 2 vế (5.17) ta được :
LnQt = LnA + αlnLt + βKt Ut

Đặt LnQt = Q*t ; LnA = A* ; LnLt = L*t
Ta được Q*t = A* + αL*t + βK*t + Ut (5.18)
Giả sử L|K và L có tương quan rất cao dĩ nhiên điều này sẽ dẫn đến phương
sai của các ước lượng của các hệ số co giãn của hàm sản xuất lớn .
Giả sử từ 1 nguồn thông tin có lới theo quy mô nào đó mà ta biết được rằng
ngành công nghiệp này thuộc ngành cso lợi tức theo quy mô không đổi nghĩa là
α+ β =1 .Với thông tin này ,cách xử lý của chúng ta sẽ là thay β = 1 - α vào (5.18)
và thu được :
Q*t = A* + αL*t + ( 1 - α )K*t + Ut (5.19)
Từ đó ta được Q*t – K*t = A* + α(L*t – K*t ) + Ut
Đặt Q*t – K*t = Y*t và L*t – K*t = Z*t ta được
Y*t = A* + α Z*t + Ut
Thông tin tiên nghiệm đã giúp chúng ta giảm số biến độc lập trong mô hình
xuống còn 1 biến Z*t
Sau khi thu được ước lượng của α thì tính được từ điều kiện = 1 –
2. .H*+E(1E,:$$I$J
Vì đa cộng tuyến là đặc trưng của mẫu nên có thể có mẫu khác liên quan đến
cùng các biến trong mẫu ban đầu mà đa cộng tuyến có thể không nghiêm trọng
nữa. Điều này có thể làm được khi chi phí cho việc lấy mẫu khác có thể chấp nhận
được trong thực tế .
Đôi khi chỉ cần thu thập thêm số liệu , tăng cˆ mẫu có thể làm giảm tính
nghiêm trọng của đa cộng tuyến .
3. KL
Khi có hiện tượng đa cộng tuyến nghiêm trọng thì cách “ đơn giản nhất “là bỏ
biến cộng tuyến ra khỏi phương trình. Khi phải sử dụng biện pháp này thì cách
thức tiến hành như sau :
Giả sử trong mô hình hồi quy của ta có Y là biến được giải thích còn X2 .X3
…Xk là các biến giải thích . Chúng ta thấy rằng X2 tương quan chặt chẽ với
X3 .Khi đó nhiều thông tin về Y chứa ở X2 thì cũng chứa ở X3 .Vậy nếu ta bỏ 1
trong 2 biến X2 hoặc X3 khỏi mô hình hồi quy , ta sẽ giải quyết được vấn đề đa

cộng tuyến nhưng sẽ mất đi 1 phần thông tin về Y .
Bằng phép so sánh R
2
và
2
R
trong các phép hồi quy khác nhau mà có và không
có 1 trong 2 biến chúng ta có thể quyết định nên bỏ biến nào trong biến X2 và X3
khỏi mô hình .
Thí dụ R
2
đối với hồi quy của Y đối với tất cả các biến X1X2X3 …Xk là
0.94; R
2
khi loại biến X2 là 0.87 và R
2
khi loại biến X3 là 0.92 ;như vậy trong
trường hợp này ta loại X3
Chúng ta lưu ý 1 hạn chế của biện pháp này là trong các mô hình kinh tế có
những trường hợp đòi hỏi nhất định phải có biến này hoặc biến khác ở trong mô
hình .Trong trường hợp như vậy việc loại bỏ 1 biến phải được cân nhắc cẩn thận
giữa sai lệch khi bỏ 1 biến cộng tuyến với việc tăng phương sai của các ước lượng
hệ số khi biến đó ở trong mô hình .
4. FA#*@,&
Thủ tục được trình bày trong chương 7 – tự tương quan .Mặc dù biện pháp
này có thể giảm tương quan qua lại giữa các biến nhưng chúng cũng có thể được
sử dụng như 1 giải pháp cho vấn đề đa cộng tuyến .
Thí dụ Chúng ta có số liệu chuỗi thời gian biểu thị liên hệ giữa các biến Y và các
biến phụ thuộc X2 và X3 theo mô hình sau :
Yt = β

1
+ β
2
X
2t
+ β
3
X
3t
+ U
t
(5.20)
Trong đó t là thời gian . Phương trình trên đúng với t thì cũng đúng với t-1
nghĩa là :
Yt-1 = β
2
+ β
2
X
2t-1
+ β
3
X
3t-1
+ U
t-1
(5.21)
Từ (5.20) và (5.21) ta được :
Y
t

– Y
t-1
= β
2
(X
2t
- X
2t-1
) + β
3
(X
3t
- X
3t-1
) + U
t
- U
t-1
(5.22)
Đặt y
t
= Y
t
– Y
t-1

x
2t
= X
2t

- X
2t-1
x
3t
= X
3t
- X
3t-1
V
t
= U
t
- U
t-1

Ta được : y
t
= β
2
x
2t
+ β
3
x
3t
+ V
t
(5.23)
Mô hình hồi quy dạng (5.23) thường làm giảm tính nghiêm trọng của đa cộng
tuyến vì dù X2 và X3 có thể tương quan cao nhưng không có lý do tiên nghiệm

nào chắc chắn rằng sai phân của chúng cũng tương quan cao.
Tuy nhiên biến đổi sai phân bậc nhất sinh ra 1 số bấn đề chŠng hạn như số
hạng sai số Vt trong (5.23) có thể không thỏa mãn giả thiết của mô hình hồi quy
tuyến tính cổ điển là các nhiƒu không tương quan .Vậy thì biện pháp sửa chữa này
có thể lại còn tồi tệ hơn căn bệnh .
5.M3$/09(=0N
Nét khác nhau của hồi quy đa thức là các biến giải thích xuất hiện với lũy thừa
khác nhau trong mô hình hồi quy .Trong thực hành để giảm tương quan trong hồi
quy đa thức người ta thường sử dụng dạng độ lệch .Nếu việc sử dụng dạng độ lệch
mà vẫn không giảm đa cộng tuyến thù người ta có thể phải xem xét đến kỹ thuật “
đa thức trực giao “.
6. *+
Ngoài các biện pháp đã kể trên người ta còn sử dụng 1 số biện pháp khác nữa
để cứu chữa căn bệnh này như sau :
- Hồi quy thành phần chính
- Sử dụng các ước lượng từ bên ngoài
Nhưng tất cả các biên pháp đã trình bày ở trên có thể làm giải pháp cho vấn đề
đa cộng tuyến như thế nào còn phụ thuộc vào bản chất của tập số liệu và tính
nghiêm trọng của vấn đề đa cộng tuyến.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Cho bảng số liệu sau:
Y X Z
130771 321853 435319
150033 342607 474855
177983 382137 527055
217434 445221 603688
253686 511221 701906
298543 584793 822432
358629 675916 951456
493300 809862 1108752

589746 1091876 1436955
632326 1206819 1580461
770211 1446901 1898664
827032 1794466 2415204
tổng cục thống kê từ năm
2000 -2011)
Trong đó: Y là tích lũy tài sản quốc gia theo giá thực tế( tỉ đồng)
X là tiêu dùng cuối cùng quốc gia theo giá thực tế( tỉ đồng)
Z là tổng thu nhập quốc gia theo giá thực tế( tỉ đồng)
Yêu cầu: Hãy phát hiện hiện tượng đa cộng tuyến và tìm biện pháp khắc phục. Với
α = 5%.
1. Lập mô hình hàm hồi quy
Ta có mô hình hàm hồi quy tuyến tính thể hiện sự phụ thuộc của tích lũy tài sản
quốc gia vào tiêu dùng cuối cùng và tổng thu nhập quốc gia:
Mô hình ước lượng của hàm hồi quy:
= + X
i
+ Z
i
Từ bảng số liệu sử dụng phần mềm eviews ta kết quả sau:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 03/24/14 Time: 22:04
Sample: 1 12
Included observations: 12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 15390.94 30957.40 0.497165 0.6310
X 1.035505 0.750666 1.379448 0.2011
Z -0.404423 0.572356 -0.706593 0.4977
R-squared 0.973185 Mean dependent var 408307.8

Adjusted R-squared 0.967227 S.D. dependent var 246478.9
S.E. of regression 44621.06 Akaike info criterion 24.46212
Sum squared resid 1.79E+10 Schwarz criterion 24.58334
Log likelihood -143.7727 Hannan-Quinn criter. 24.41723
F-statistic 163.3196 Durbin-Watson stat 1.004286
Prob(F-statistic) 0.000000
Từ kết quả ước lượng thu được hàm hồi quy mẫu sau:
i
= 15390.94 + 1.035505X
i
– 0.404423Y
i
I. O 
&: Hệ số xác định bội
2
R
cao nhưng t thấp
Với α = 0.05 ta có: = = 2.262
Nhận xét:
Từ bảng kết quả eviews ta có:
R
2
= 0.973185 > 0.8
Thống kê t của hệ số tương ứng với biến X
T = 1.379448 < 2.262
Thống kê t của hệ số tương ứng với biến Z
T = 0.706593 < 2.262
Vậy R
2
cao nhưng t thấp. Suy ra có hiện tượng đa cộng tuyến.

-: Hệ số tương quan giữa các biến giải thích cao
Kết quả từ eviews ta thấy được tương quan giữa các biến giải thích:
X Z
X 1.000000 0.999305
Z 0.999305 1.000000
Ta có: r
12
= 0.999305 > 0.8
 Như vậy càng có cơ sở kết luận hiện tượng đa cộng tuyến trong mô hình trên
4: Hồi quy phụ
Ta hồi quy biến X theo biến Z được kết quả như sau:
Dependent Variable: X
Method: Least Squares
Date: 03/28/14 Time: 22:54
Sample: 1 12
Included observations: 12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -21542.70 11120.44 -1.937217 0.0815
Z 0.761934 0.008990 84.75422 0.0000
R-squared 0.998610 Mean dependent var 801139.3
Adjusted R-squared 0.998471 S.D. dependent var 480684.5
S.E. of regression 18797.19 Akaike info criterion 22.67181
Sum squared resid 3.53E+09 Schwarz criterion 22.75263
Log likelihood -134.0309 Hannan-Quinn criter. 22.64189
F-statistic 7183.278 Durbin-Watson stat 1.116681
Prob(F-statistic) 0.000000
Ta có
0.05
α
=

ta đi kiểm định giả thiết

0
H
: X không có hiện tượng đa cộng tuyến với Z

1
H
: X có hiện tượng đa cộng tuyến với Z
Nhận xét:
Ta thấy giá trị p-value của thống kê F là 0.000000 <
α
=0.05
=> bác bỏ giả thiết
0
H
chấp nhận giả thiết
1
H
Vậy càng có cơ sở khŠng định mô hình trên có hiện tượng đa cộng tuyến
;: : Độ đo Theil
Ta có các hệ số tương quan giữa các biến Y và X,Z như sau:
Y X Z
Y 1.000000 0.985747 0.983624
X 0.985747 1.000000 0.999305
Z 0.983624 0.999305 1.000000
Để tính được độ đo Theil ta phải tính được
2
R
,

2 2
12,3 13,2
à,rr v
. Theo công thức đã biết ở
chương hai ta có

2 2
13,2 12,3
r r
=
= = 0.05257
Ta có: = 0.96752
Trong phần hồi quy bội ta đã biết:
R
2
= r
2
12
+ (1- r
2
12
) r
2
2,13
R
2
= r
2
13
+ (1- r

2
13
) r
2
3,12
Vậy R
2
= 0.96752 + (1 – 0.96752) 0.05257 0.96581
Mặt khác ta có:
m = R
2
- (r
2
12
+ (1- r
2
12
) r
2
2,13
- r
2
12
) - ( r
2
13
+ (1- r
2
13
) r

2
3,12
- r
2
13
)
= R
2
- ((1- r
2
12
) r
2
2,13
+ (1- r
2
13
) r
2
3,12
)
Suy ra: m = 0.96581 – ((1 - ) 0.05257) + (1 - 0.05257)
= 0.96261
Vậy m khác 0 nên chứng tỏ có hiện tượng đa cộng tuyến sảy ra. Và mức độ đa
cộng tuyến là 0.98654
II. K
&P Bỏ biến
Bước 1: Hồi quy Y theo X =>
2 2
1 1

,R R
Bước 2: Hồi quy Y theo Z =>
2 2
2 2
,R R
Bước 3: So sánh
2
R
và
2
R
trong các hồi quy trên
Bước 4: Kết luận.
* Bước 1: Hồi quy Y theo X
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 03/29/14 Time: 09:16
Sample: 2000 2011
Included observations: 12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 3365.264 25203.61 0.133523 0.8964
X 0.505458 0.027279 18.52920 0.0000
R-squared 0.971698 Mean dependent var 408307.8
Adjusted R-squared 0.968868 S.D. dependent var 246478.9
S.E. of regression 43489.57 Akaike info criterion 24.34944
Sum squared resid 1.89E+10 Schwarz criterion 24.43026
Log likelihood -144.0966 F-statistic 343.3314
Durbin-Watson stat 1.148020 Prob(F-statistic) 0.000000
* Bước 2: Hồi quy Y theo Z.
Dependent Variable: Y

Method: Least Squares
Date: 03/29/14 Time: 09:18
Sample: 2000 2011
Included observations: 12
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -6916.624 27563.81 -0.250931 0.8069
Z 0.384564 0.022283 17.25817 0.0000
R-squared 0.967516 Mean dependent var 408307.8
Adjusted R-squared 0.964268 S.D. dependent var 246478.9
S.E. of regression 46591.90 Akaike info criterion 24.48725
Sum squared resid 2.17E+10 Schwarz criterion 24.56807
Log likelihood -144.9235 F-statistic 297.8446
Durbin-Watson stat 1.252724 Prob(F-statistic) 0.000000
* Bước 3 :
Từ kết quả hồi quy ở trên ta có:

2
R
= 0.973185
R
= 0.967227

2
1
R
= 0.971698
2
1
R
= 0.967516

2
2
R
= 0.968868
2
2
R
= 0.964268
* Bước 4:
Ta tiến hành so sánh. Và kết luận trong trường hợp này loại biến Z
-P Thu thập thêm số liệu để tang kích thước mẫu
Ta thu thập thêm một số mẫu để tăng kích thước được bảng số liệu sau:
Y X Z
130771 321853 435319
150033 342607 474855
177983 382137 527055
217434 445221 603688
253686 511221 701906
298543 584793 822432
358629 675916 951456
493300 809862 1108752
589746 1091876 1436955
632326 1206819 1580461
770211 1446901 1898664
827032 1794466 2415204
892837 1811238 2523146
942822 1899678 2600198
992838 1915089 2822899
1023847 1997283 3016754

1092733 2001838 3199767
1123883 2078934 3202984
1200389 2121838 3300484
Từ bảng số liệu, sử dụng phần mềm eview ta được kết quả sau:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 03/29/14 Time: 08:31
Sample: 1 19
Included observations: 19
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 5556.839 20959.22 0.265126 0.7943
X 0.242395 0.112216 2.160078 0.0463
Z 0.189806 0.073213 2.592498 0.0196
R-squared 0.989332 Mean dependent var 640475.9
Adjusted R-squared 0.987999 S.D. dependent var 372159.5
S.E. of regression 40770.30 Akaike info criterion 24.21323
Sum squared resid 2.66E+10 Schwarz criterion 24.36236
Log likelihood -227.0257 Hannan-Quinn criter. 24.23847
F-statistic 741.9164 Durbin-Watson stat 1.096358
Prob(F-statistic) 0.000000
Ta có mô hình hồi quy mới:

i
= 5556.839 + 0.242395X
i
+ 0.189806Z
i
t
1
=0.265126

t
2
= 2.160078
t
3
= 2.592498
R
2
= 0.989332
Mô hình sau khi đã tăng kích thước mẫu có R
2
khá gần một, các tỷ số t cũng khá
cao nên mô hình ước lượng là phù hợp