Hệ thống kiến thức và bài tập toán 9 tài liệu ôn thi vào lớp 10

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 1




Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba
I Cn Bc hai:
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A
có nghĩa khi A 0
2. So sỏnh cỏc cn bõc hai:
Vi a 0 v b0 ta cú: a > b
ab

3. Phộp khai phng:
*
2
0
0
A KhiA
AA
A KhiA

*
BAAB .
( với A 0 và B 0 )
*
B
A

B
A
( với A 0 và B > 0 )
4. Các công thức biến đổi căn thức:
a. a biu thc ra ngoi , vo trong du cn:
*
2
( 0)A B A B B

*
BABA
2
( với A 0 và B 0 )

BABA
2
( với A < 0 và B 0 )
b. Trc cn thc mu:
*
B
AB
B
A
( với AB 0 và B 0 )
*
B
BA
B
A
( với B > 0 )

*
2
)(
BA
BAC
BA
C
( Với A 0 và A B
2
)
*
BA
BAC
BA
C )(
( với A 0, B 0 và A B )
II Cn Bc ba:
*
3
3
AA

* So sỏnh: a > b
33
33
ab

Phần I:Đại số

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10

TRNG THCS QUNG ễNG 2
Chuyên đề ii: Hàm số và đồ thị CủA HàM Số
I . Hàm số bậc nhất: y = ax + b (a 0)
1. Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R
và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
2. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) : là một đ-ờng thẳng
a) Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
B-ớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đ-ợc điểm A(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đ-ợc điểm B(-b/a; 0) thuộc trục hoành Ox.
(có thể cho x=1 thì y=a+b)
B-ớc 2. Vẽ đ-ờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đ-ợc đồ thị hàm số y = ax + b
b) Chú ý:
Nếu b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax + b trở thành đ-ờng thẳng y = ax ( đi qua gốc tọa
độ)
3.

Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng
Cho hai đ-ờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d ): y = ax + b (a 0). Khi đó:
Hai đ-ờng song song khi:
'
'
aa
bb

Hai đ-ờng cắt nhau khi:
'aa

Hai đ-ờng trùng nhau khi:

'
'
aa
bb

4.

Hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax + b (a 0)
a) Góc tạo bởi đ-ờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Nếu a > 0 thì góc đó là góc nhọn.
- Nếu a < 0 thì góc đó là góc tù.
b) Hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax + b
- Trong ph-ơng trình đ-ờng thẳng: y = ax + b, a đ-ợc gọi là hệ số góc, b đ-ợc
gọi là tung độ gốc.
II - Hàm số y = ax
2
(a 0)
1)

Tính chất: Hàm số y = ax
2
(a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R
và:
* Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
* Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 3
2)

Đồ thị của hàm số y = ax

2
(a 0)
* Đồ thị hàm số y = ax
2
(a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy
làm trục đối xứng:
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ
thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía d-ời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ
thị
* Cách vẽ đồ thị:
- Lập bảng giá trị:
x
-1
-2
0
1

2
y = ax
2

?
?
0
?
?
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và biểu diễn các điểm vừa tìm đ-ợc ở bảng trên
- Vẽ đ-ờng cong Parabol đi qua các điểm vừa biểu diễn
3) Quan hệ giữa Parabol y = ax

2
(a 0) và đ-ờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và đ-ờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
* Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ ph-ơng trình
2
y ax
y mx n

*Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của ph-ơng trình
ax
2
- mx n = 0 (1)
*Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của ph-ơng trình (1)
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt.


Chuyên đề III :
PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH BC NHT

I - Phng trỡnh bc nht mt n
- Phng trỡnh bc nht mt n l pt cú dng: ax + b = 0 (a 0)
- Nghim duy nht l
b
x
a

II - H phng trỡnh bc nht hai n
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 4
1) Khỏi nim:
Hệ ph-ơng trình bc nht hai n cú dng
''' cybxa
cbyax

2) Cỏch gii:
a. Phng phỏp th:
- Bc 1: T mt pt ca h ó cho ( coi nh l pt th nht), ta biu din mt n theo
n kia ri th vo pt th hai c mt pt mi (ch cũn mt n).
- Bc 2: Gii pt mi, ta tỡm c giỏ tr ca mt n.
- Bc 3: Thay giỏ tr ca n va tỡm c vo pt th hai tỡm n cũn li.
- Bc 4: Kt lun.
b. Phng phỏp cng:
- Bc 1: Nhõn hai v ca mi pt vi mt s thớch hp (nu cn) sao cho cỏc h s
ca mt n no ú ca hai pt i nhau (hoc bng nhau).
- Bc 2: Cng v theo v ca hai pt (hoc tr), ta c pt mi ch cú mt n, sau ú
gii v tỡm c giỏ tr ca n ú.
- Bc 3: Thay giỏ tr ca n va tỡm c vo mt pt bt k ca h ó cho tỡm n
cũn li.
- Bc 4: Kt lun.


Chuyên đề iv: ph-ơng trình bậc hai một ẩn

I NH NGHA:
Phng trỡnh bc hai mt n cú dng: ax

2
+bx+c = 0 (a 0)
II CễNG THC NGHIM:

Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
= b
2
- 4ac
- Nếu > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm
phân biệt:

a
b
x
2
1
;
a
b
x
2
2

- Nếu = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép :
a
b
xx
2
21

' = b'
2
- ac với b = 2b'
- Nếu ' > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm
phân biệt:

a
b
x
''
1
;
a
b
x
''
2

- Nếu ' = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép:
a
b
xx
'
21

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 9 – ÔN THI VÀO LỚP 10
TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 5
- NÕu < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm

- NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm

III – HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG:
1) Hệ thức vi – ét:
NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) th×:

12
12
.
b
xx
a
c
xx
a

2) Công thức nhẩm nghiệm: Của pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x
1
= 1; x
2
=

a
c

* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c

3) Ứng dụng:
Tìm hai số biết tổng là S và tích là P: Ta giải phương trình:
x
2
– Sx + P = 0 (*)
Hai nghiệm của pt (*) là hai số cần tìm.
- Lưu ý: x
1
và x
2
tồn tại khi S
2
– 4P 0
IV – MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN TỔNG QUÁT VỀ NGHIỆM:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0

3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S
< 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và
S > 0
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 6

Chuyên đề v:
Giải bài toán bằng cách
lập ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình
Bớc 1

: Lập hệ ph-ơng trình (ph-ơng trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông th-ờng ẩn là đại l-ợng mà bài toán yêu
cầu tìm).
2) Biểu thị các đại l-ợng ch-a biết theo ẩn và các đại l-ợng đã biết.
3) Lập hệ ph-ơng trình (ph-ơng trình) biểu thị mối quan hệ giữa các l-ợng.
Bớc 2

: Giải hệ ph-ơng trình, (ph-ơng trình)
Bớc 3

: Kết luận bài toán.





A H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG

1. nh lý Py ta go:

ABC
vuụng ti A
2 2 2
AB AC BC

2. Hệ thức l-ợng trong tam giác vuông.

- Cnh gúc vuụng v hỡnh chiu trờn cnh huyn:
b
2
= ab' c
2
= ac'
- Cỏc h thc v ng cao:
+ h
2
= b'c'
+ ah = bc
+
222

111
cbh


3. Tỉ số l-ợng giác của góc nhọn.

AB AC
sin ; cos
BC BC



AB AC
tg ; cotg
AC AB

Phần II: HìNH HọC

A
B
C
H
a
b
c
h
c
b
A
B

C


H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 7

* Mt s tớnh cht:
a) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tg

sin cos
b) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cotg
cos sin



22
22
11
c) sin cos 1; tg .cotg 1; 1 cotg ; 1 tg
sin cos






4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

b = a.sinB = a.cosC
b = c.tgB = c.cotgC

c = a.sinC = a.cosB
c = b.tgC = b.cotg B


II. Đ-ờng tròn.

1. Quan hệ giữa đ-ờng kính và dây cung:
+ Đ-ờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đ-ờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy.
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
3. Liên hệ giữa cung và dây:
A
B
C
a
b
c
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 8
Trong một đ-ờng tròn hay trong hai đ-ờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

4. Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn:

Vị trí t-ơng đối
Số điểm chung
Hệ thức liên hệ
giữa d và R
- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn cắt nhau




2

d < R
- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn tiếp xúc nhau




1

d = R
- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn không giao nhau





0

d > R

5. Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn:

Vị trí t-ơng đối
Số điểm
chung
Hệ thức liên hệ giữa
d và R
- Hai đ-ờng tròn cắt nhau




2

R - r < OO' < R + r
- Hai đ-ờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài


+ Tiếp xúc trong



1

OO' = R + r

OO' = R - r
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 9
- Hai đ-ờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau



+ (O) đựng (O')


+ (O) và (O') đồng tâm








0

OO' > R + r



OO' < R - r

OO' = 0

6. Tiếp tuyến của đ-ờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn chỉ có một điểm chung.
+ Khoảng cách từ tâm của đ-ờng tròn đến đ-ờng thẳng bằng bán kính.
+ Đ-ờng thẳng đi qua một điểm của đ-ờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đ-ờng tròn: là đ-ờng thẳng tiếp xúc với cả hai
đ-ờng tròn đó:
Tiếp tuyến chung ngoài
Tiếp tuyến chung trong








7. Góc với đ-ờng tròn:

Loại góc

Hình vẽ
Công thức tính số đo
B
O
A
M
d'
d
O'
O
d'
d
O'
O
HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 9 – ÔN THI VÀO LỚP 10
TRƢỜNG THCS QUẢNG ĐÔNG 10
1. Gãc ë t©m




AOB sd AB


2. Gãc néi tiÕp

1
2
AMB sd AB

3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp
tuyÕn vµ d©y cung.





1
2
xBA sd AB

4. Gãc cã ®Ønh ë bªn
trong ®-êng trßn



1
()
2
AMB sd AB sdCD

B
A
O
M
B

A
O
x
B
A
O
M
D
C
B
A
O
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 11
5. Góc có đỉnh ở bên
ngoài đ-ờng tròn




1
()
2
AMB sd AB sdCD

Chú ý: Trong một đ-ờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90

0
có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn là góc vuông và ng-ợc lại góc vuông nội tiếp thì
chắn nửa đ-ờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì
bằng nhau.


8. Tứ giác nội tiếp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
( hoặc có góc ngoài tại một đỉnh bằng
góc trong của đỉnh đối diện)
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại d-ới hai
góc bằng nhau (th-ờng là bằng 90
0
)

9. Độ dài đ-ờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đ-ờng tròn bán kính R: C = 2 R = d
- Độ dài cung tròn n
0
bán kính R :
180
Rn
l
=

360
C.n

10. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R
2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n
0
:
2
360 2
q
R n lR
S

- Quan hệ giữa S và C: C
2
= 4. .S
11. Các loại đ-ờng tròn
Đ-ờng tròn ngoại tiếp
tam giác
Đ-ờng tròn nội tiếp
tam giác
Đ-ờng tròn bàng tiếp
tam giác
O
B
A
D

C
M
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 12

Tâm đ-ờng tròn là giao
của ba đ-ờng trung trực
của tam giác

Tâm đ-ờng tròn là giao của
ba đ-ờng phân giác trong
của tam giác
Tâm của đ-ờng tròn bàng
tiếp trong góc A là giao
điểm của hai đ-ờng phân
giác các góc ngoài tại B
hoặc C hoặc là giao điểm
của đ-ờng phân giác góc
A và đ-ờng phân giác
ngoài tại B (hoặc C)

III. Các loại hình không gian.

1. Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: S
xq
= 2 rh
- Diện tích toàn phần: S
tp
= 2 rh + 2 r

2

- Thể tích hình trụ: V = Sh = r
2
h


2. Hình nón:
- Diện tích xung quanh: S
xq
= rl
- Diện tích toàn phần: S
tp
= rl + r
2

- Thể tích hình trụ: V =
2
1
r
3
h


3. Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = (r
1
+ r
2
)l

- Thể tích: V =
22
1 2 1 2
1
()
3
h r r r r


4. Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4 R
2
= d
2
- Thể tích hình cầu: V =
3
4
3
R




O
C
B
A
O
C
B

A
F
E
J
B
C
A

r: bán kính
Trong đó
h: chiều cao

r: bán kính
Trong đó l: đ-ờng sinh
h: chiều cao

r
1
: bán kính dáy lớn
r
2
: bán kính đáy nhỏ
Trong đó l: đ-ờng sinh
h: chiều cao

R: bán kính
Trong đó
d: đ-ờng kính
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 13

Dạng 1: rút gọn và tính giá trị biểu thức
1. Một số l-u ý khi giải:
- Nếu các phân thức có thể rút gọn đ-ợc thì nên rút gọn tr-ớc khi thực hiện các phép tính
khác
- Tr-ớc khi thực hiện các phép tính phải nêu điều kiện xác định, kể cả khi bài toán không
yêu cầu
- Thứ tự -u tiên thực hiện các phép tính:
Phép tính trong ngoặc đ-ợc thực hiện tr-ớc
Nhân chia tr-ớc, cộng trừ sau
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho biểu thức P =
1x
x 1 x x

a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H-ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = 3 2
2
.
Bài 2 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
x
x
x
xx

a) Rút gọn biểu thức sau A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1

c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A
= A.
H-ớng dẫn :
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 14
a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.
Bài 3 : Cho biểu thức: N =
a a a a
11
a 1 a 1

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.

H-ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 4. Rút gọn
a).A1=
a
a
aa
1
1
+
a
a
1
1
KQ: 1+
a

b). A2=
ba
b
baab
ba
bbaa 2
:
; KQ: 1.
Bài 5 : Cho A =
1 1 1
:

1 2 1
x
x x x x x
với x > 0 , x 1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
1x
x
)
b.So sánh A với 1

Dạng 2: viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng

Bài 1: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đ-ờng thẳng ( ) : y = 2x 1/5.
b) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đ-ờng thẳng ( ): y = 2x 3;
( ): y = 7 3x tại một điểm.
c) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
Bài 2: Gọi (d) là đ-ờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đ-ờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đ-ờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đ-ờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3 : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
H-ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đ-ợc m =

4
3
.
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 15
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m =
2
1

Bài 4 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H-ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đ-ợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0
;y

0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3 (x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0
2
1
0
0
y
x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Dạng 3: giải hệ ph-ơng trình
Bài 1 : Giải hệ ph-ơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
b)
x 4y 6
4x 3y 5

c)
2x y 3
5 y 4x
d)
x y 1
x y 5

e)
2x 4 0
4x 2y 3
f)
25
2
x x y
31
1,7
x x y


Dạng 4: ph-ơng trình bậc hai
Bài 1:
Cho ph-ơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải ph-ơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m

3. Tìm m để
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của ph-ơng trình (1) nói trong
phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 ph-ơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1
= 1 , x
2
= - 9
2. Có
/
= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5
= m
2
+ 2.m.

2
1
+
4
1
+
4
19
= (m +
2
1
)
2
+
4
19
> 0 với mọi m
Vậy ph-ơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

3. Vì ph-ơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x

2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2

+
4
19
]
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 16
=>
21
xx
= 2
4
19
)
2
1
(
2
m

4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0 m = -
2
1

Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1


Bài 2 : Cho ph-ơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải ph-ơng trình khi m = -
2
9

2) Chứng minh rằng ph-ơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào ph-ơng trình đã cho và thu gọn ta đ-ợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
ph-ơng trình có hai nghiệm x

1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó ph-ơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó ph-ơng trình đã cho là ph-ơng trình bậc hai có biệt
số :
= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2
4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
m
m
=
1
42
42
m
m
x

2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2
512
m
m
m
m
m
m

Tóm lại ph-ơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này
gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 tr-ờng hợp
Tr-ờng hợp 1 : 3x
1
= x
2
3 =
2
3
m
m
giải ra ta đ-ợc m = -
2
9

(đã giải ở câu 1)
Tr-ờng hợp 2: x
1
= 3x
2
1= 3.
2
3
m
m
m + 2 = 3m 9 m =
2
11
(thoả mãn điều kiện
m - 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào ph-ơng trình đã cho ta đ-ợc ph-ơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 ph-ơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2

=
15
5

=
3
1
(thoả mãn đầu bài)

Bài 3: Cho ph-ơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của ph-ơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x =
4
3

+ Nếu m 0 .Lập biệt số
/
= (m 2)
2
m(m-3)
= m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/
< 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10

TRNG THCS QUNG ễNG 17
/
= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/
m
m
a
b

/
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
m
mm 42
; x
2
=
m
mm 42

Vậy : m > 4 : ph-ơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : ph-ơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1

0 m < 4 : ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42
; x
2
=
m
mm 42

m = 0 : Ph-ơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3

2. (1) có nghiệm trái dấu
a
c
< 0
m
m 3
< 0

0
03
0
03
m
m
m
m

0
3
0
3
m
m
m
m

Tr-ờng hợp
0
3
m
m
không thoả mãn

Tr-ờng hợp
0
3
m

m
0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm

/
0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào ph-ơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -
4
9

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/
0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đ-ợc m = -
4
9
.Sau đó
thay m = -
4
9
vào ph-ơng trình (1) :
-
4
9
x
2

2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0 -9x
2
+34x 21 = 0
có
/
= 289 189 = 100 > 0 =>
9
7
3
2
1
x
x

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 18
Vậy với m = -
4
9
thì ph-ơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9

vào ph-ơng trình đã cho rồi giải ph-ơng trình để tìm đ-ợc x
2
=
9
7
(Nh-
phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9
34
4
9
)2
4
9
(2
)2(2
m
m

x
2

=
9
34
- x
1
=
9
34
- 3 =
9
7


Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3

m
m
=> x
2
=
9
21
: x
1
=
9
21
: 3 =
9
7

Bài 4: Cho ph-ơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để ph-ơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để ph-ơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2

2
= 10
Giải.
1.Ph-ơng trình (1) có nghiệm kép
/
= 0 k
2
(2 5k) = 0

k
2
+ 5k 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335
; k
2
=
2
335

Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335
hoặc k
2

=
2
335
thì ph-ơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để ph-ơng trình (1) có nghiệm:
/
0 k
2
+ 5k 2 0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x

2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ thức Vi ét: x
1
+ x
2
= -
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10 2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -

2
7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần l-ợt k
1
, k
2
vào
/
= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/
= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -
2
7
=>
/
=
8
29
4
87049
2

2
35
4
49
không thoả mãn
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 19
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/
0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10 ta tìm đ-ợc k
1
= 1 ; k
2
= -
2
7
(cách tìm nh- trên)
Thay lần l-ợt k
1
, k
2

vào ph-ơng trình (1)
+ Với k
1
= 1 : (1) => x
2
+ 2x 3 = 0 có x
1
= 1 , x
2
= 3
+ Với k
2
= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Ph-ơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài 5 : Cho ph-ơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình).
Bài 6 : Cho ph-ơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2

2
(1 x
1
2
) = -8.
Bài 7 : Cho ph-ơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải ph-ơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Baứi 8 : Cho ph-ơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải ph-ơng trình (1).
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph-ơng trình (1). Tính B = x
1
3

+ x
2
3
.
Bài 9 : Cho ph-ơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để ph-ơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để ph-ơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3
0.
Bài 10 : Cho ph-ơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải ph-ơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để ph-ơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Dạng 5: giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

Bài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô

.
Bài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đ-ợc 2/3 quãng đ-ờng với
vận tốc đó, vì đ-ờng khó đi nên ng-ời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đ-ờng
còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đ-ờng AB.
Bài 2 : Hai vòi n-ớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy cùng một thời gian
nh- nhau thì l-ợng n-ớc của vòi II bằng 2/3 l-ơng n-ớc của vòi I chảy đ-ợc. Hỏi mỗi vòi chảy
riêng thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy
với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì
đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 20
Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc
của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai
2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đ-ợc
tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đ-ợc và số cây các bạn nữ trồng đ-ợc là bằng
nhau ; mỗi bạn nam trồng đ-ợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh
nữ của tổ.
Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở
B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc
lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Bài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m
2
. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m
thì ta đ-ợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của
hình chữ nhật ban đầu.
Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ
A một bè nứa trôi với vận tốc dòng n-ớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi
tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.

Bài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B tr-ớc xe thứ hai 12 phút. Tính
vận tốc mỗi xe.
Bài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh- nhau.

Bài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy n-ớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy n-ớc, bình thứ 2 chỉ đ-ợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình
thứ 2 đầy n-ớc thì bình thứ 3 chỉ đ-ợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình

Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ng-ời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ng-ời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km

Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ng-ợc từ B trở về A. Thời gian đi
xuôi ít hơn thời gian đi ng-ợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi,
vận tốc dòng n-ớc là 3km/h.

Bài 13 : Một ng-ời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ng-ời đi xe máy cũng từ
A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ-ợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Bài 15 : Hai ng-ời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ng-ời thứ nhất làm 3 giờ
và ng-ời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đ-ợc 25% công việc. Hỏi mỗi ng-ời làm một mình công việc
đó trong mấy giời thì xong?.

Bài 16 : Hai vật chuyển động trên một đ-ờng tròn có đ-ờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ
cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ng-ợc chiều nhau
thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp
nhua. Tính vận tốc của mỗi vật.

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 21
Bài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đ-ợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 v-ợt 15%.tổ 2
v-ợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất đ-ợc bao nhiêu sản phẩm

Bài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì còn thừa 01 h/s. Nếu
bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao
nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s.
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất
300 chi tiết máy trong một ngày. Nh-ng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đ-ợc 100 chi tiết, nên đã
sản xuất thêm đ-ợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch tr-ớc 1 ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.

Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ng-ợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận
tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng n-ớc yên lặng

Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên
mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy
nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B tr-ớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô
tô biết quãng đ-ờng AB dài 240km

Bài 23: Nếu mở cả hai vòi n-ớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi
thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đ-ợc một số cây trong sân tr-ờng.
Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đ-ợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau.
Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đ-ợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của
tổ một.
Hỏi mỗi tổ trồng đ-ợc bao nhiêu cây?

Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ng-ợc chiều và
gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và
vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.


Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà n-ớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã
bán cho nhà n-ớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà n-ớc nhiều hơn hai lần
số thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn
dạng 6. sự t-ơng giao
giữa đ-ờng thẳng và parabol
Bài 1.
cho parabol y= 2x
2
. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đ-ờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai ph-ơng pháp đồ thị
và đại số).

f. cho đ-ờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+ (p) không cắt (d).
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 22
+ (p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+ (p) cắt (d).
Bài 2.
cho hàm số (p): y=x
2
và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d
1
vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đ-ờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt C,
D sao cho CD=2.
Bài 3.
Cho (P): y=x
2
và hai đ-ờng thẳng a,b có ph-ơng trình lần l-ợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đ-ờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đ-ờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đ-ợc hãy:
+ Chứng minh các đ-ờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao
điểm của (a) và (d).

Bài 4.
cho hàm số
2
1
yx
2
(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt
A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài 5
a. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x
2
tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x
2
(P) và B(3;0), tìm ph-ơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi
qua B.
c. cho (P) y=x
2
. lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x
2
. lập ph-ơng trình d song song với đ-ờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P).
e. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x
2
tại
điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x

2
tại điểm có tung
độ bằng 9.

ôn tập hình học 9

I. các dạng Bài tập th-ờng gặp:
Dạng 1: Bài toán chứng minh:
- Chứng minh tứ giác nội tiếp
- Chứng minh một đ-ờng thẳng là tiếp tuyến của đ-ờng tròn
- Chứng minh hệ thức hình học
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau, đồng dạng
- Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đ-ờng thẳng vuông góc,
hai đ-ờng thẳng song song
- Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều
- Chứng minh một tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
Dạng 2: Tính toán các yếu tố hình học: Độ dài, diện tích, chu vi của các hình

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 23
II. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đ-ờng cao AH. Đ-ờng tròn đ-ờng kính AH cắt các cạnh AB,
AC lần l-ợt tại E và F.
a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.
c. Đ-ờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
d. CMR: Nếu S
ABC
= 2. S

AEHF
thì tam giác ABC vuông cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đ-ờng phân giác của góc  cắt (O) tại M.
Nối OM cắt BC tại I.
1. Chứng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC.
3. Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC.
4. Đ-ờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?
6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.
7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh
MBOE
2
1
.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12. Từ B vẽ đ-ờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
13. Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14. Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15. Chứng minh góc ABF = góc AON.
16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính BC cắt AB, AC theo thứ
tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
1. Chứng minh AI vuông góc với BC.
2. Chứng minh góc IDE = góc IAE.

3. Chứng minh : AE . EC = BE . EI.
4. Cho góc BAC = 60
0
. Chứng minh tam giác DOE đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đ-ờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D , AO
kéo dài cắt (O) tại E.
a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của
BC.
c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm.

Bài 5: Trên nửa đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN,
NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. CMR:
a. Tứ giác AMNB là hình thang cân.
b. PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c. ON là tiếp tuyến của đ-ờng tròn đ-ơnngf kính PH.

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây
MC, MD lần l-ợt cắt AB tại E và F. CMR:
a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b. ME . MC = MF . MD.
H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 24
c. Tứ giác CEFD nội tiếp.
d. Khi
AB = R 3
thì tam giác OAM đều.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đ-ờng cao AH. Vẽ đ-ờng tròn tâm I đ-ờng
kính BH cắt AB tại E, đ-ờng tròn tâm K đ-ờng kính CH cắt AC tại F.

a. Tứ giác AEHF là hình gì?
b. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c. Chứng minh AE . AB = AF . AC.
d. Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I).
e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đ-ờng thẳng vuông góc
với CD tại H, đ-ờng thẳng BH cắt CA tại E.
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp.
b. Tính góc AHE.
c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.
e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đ-ờng nào?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn đ-ờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao
điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a. EF AC
b. DA . DF = DC . DE
c. Tứ giác BDFE nội tiếp.

Bài 10: Cho đ-ờng tròn tâm O đ-ờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A
nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đ-ờng tròn (O) tại C cắt OK tại I.
a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O).
b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By
cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho góc MON =
90
0
. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng :

a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO).
b. MO là tia phân giác của góc AMN.
c. MN là tiếp tuyến của đ-ờng tròn đ-ờng kính AB.
d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi.

Bài 12: Cho (O;R) và (O; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đ-ờng
tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đ-ờng tròn tại A cắt BC tại M.
a. Chứng minh A, B, C thuộc đ-ờng tròn tâm M.
b. Đ-ờng thẳng OO có vị trí t-ơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đ-ờng tròn đi qua ba điểm O, O , M.
d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đ-ờng tròn đi qua ba điểm O, O, M.

Bài 13: Cho (O) và (O )tiếp xúcngoài tại A. Đ-ờng thẳng Ô cắt (O) và (O ) theo thứ tự tạu B và C
( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đ-ờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O)) . M
là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
a. Góc DME là góc vuông.
b. MA là tiếp tuyến chung của hai đ-ờng tròn.
c. MD . MB = ME . MC.

H THNG KIN THC TON 9 ễN THI VO LP 10
TRNG THCS QUNG ễNG 25
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đ-ờng cao BD, CE , M là trung điểm của
BC.
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.
d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 60
0
thì tam giác DME là tam giác đều.

Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE. Gọi
H là trung điểm của DE.
a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.
c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh : AB
2
= AI . AH.
d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.

Bài 16: Cho (O), đ-ờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt
phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N.
a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.
b. Tứ giác MNDC nội tiếp.
c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động.

Bài 17: Xét nửa đ-ờng tròn (O), đ-ờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ-ờng tròn.
kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đ-ờng tròn tại D, các tia AD
và BC cắt nhau tại E.
a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B.
b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK AB.
c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi.

Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đ-ờng tròn (O ; R).
Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T.
a. Chứng minh rằng OT // AB.
b. Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R.
d. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R.
Bài 19: Hai đ-ờngtròn (O) và (O) có bán kính R và R ( R > R) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi
AC và BC là hai đ-ờng kính đi qua C của (O) và (O ). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB

tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đ-ờng thẳng DC với (O) là F.
a. Tứ giác AEBD là hình gì?
b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.
d. DB cắt (O) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.
e. Chứng minh
DEMF
2
1
và MF là tiếp tuyến của (O).
Bài 20: Cho đ-ờng tròn tâm O, đ-ờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đ-ờng tròn
tâm O đ-ờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC
cắt (O) tại I.
a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.
c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.
d.Xác định và giải thích vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng MI với (O ).

Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đ-ờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN
của đ-ờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.