Ôn thi vào lớp 10 THPT cực hay

ễn tp luyn thi vo lp 10 THPT
Phần I: đại số
A- Lí thuyết ( Theo đề cơng ôn tập)
B- Bài tập
I-Căn Bậc hai bậc ba
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
323

(căn bậc 3)
b,
157 +
và 15
53112 ++ va
1 và
13

1537
và 2 14 và
15.13
c, 3+
8
và 6+ 1+ và
48
2
62 +
và 3+
5
d,
1415
và
1314

101105
và
97101
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x
A=
x2
B=
x7

C=
124 +x
D=

13
2
+x

E=
14
2
x

F=
12
2
+ xx
G=
542
2
++ xx
H=
105 x

I=
7
5


x
J=
7
5

x
x
K=
2
2
1
xx

M=
4
2
x
N=
3
2


x
x
2
276 +
P=
44
2
+−− xxx
Q=
42
1
2

++ xx
R=
3
1
2
−x
U=
x
x
x 3
3
−++
Bµi 3a, Cho A= 6+2
5
vµ B= 6-2
5
TÝnh A+B ; A-B ; A.B ;
A:B
3b, Cho C=
111036 +
vµ D=
111036 −
TÝnh C+D ; C-D ; C.D ;
C:D
Bµi 4

Thùc hiÖn phÐp tÝnh
A=
423
2

423
2
+
−
−
B=
10067
1
6734
1
341
1
+
+
+
+
+

C=
+
+
−
35
35
35
35
−
+
D= (
3).135415312

−+

E=
448)1008700252(
+−
F=2
48537521240
−−
G=(15
10:)4503200550 −+
H=
3253 ++
.
3253 +−
I=
)154)(610)(154(
−−+
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+

+
Bµi 5:Rót gän c¸c biÓu thøc sau
A=
549 −
-
5
B=
7823 −
-
7

C=
3242
32
++
+
+
3242
32


D=
25353 +

E=
77474 +
F=
62125,6125,6 +++
G=
1247

1
1247
1
+

+
H=
++
154
154

-2
53


I= 4
24057223 ++
J=
223
246 +
Bài 6: Tính A=
2062935
B=
4813526 ++

C=
34710485354 +++
D=
5122935
Bài 7: Rút gọn biểu thức

a, x-4-
42
816 xx +
với x>4 d,
9696
22
++++ aaaa
với
a bất kì
b,
12
12
++
+
xx
xx
với x
0
e,
12
+
aa
+
12

aa
với
21

a

c,


+
ba
ba

ba
ba
+

với a
bab

;0;0
g,
ba
ba
ba
ba





33
với a
bab

;0;0

h,Tìm đ/k xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444
++
xxxx
H
2
=
44
2
+ xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33
=

+

+
+
ba
ba
ab
ba
ba
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
b,
ba
baba
abba
=
+
+ 1
:
2
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
c, (2+



2).(
1a
aa
a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612 +++ xx
-
3612 ++ xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12
2

=
+



++
+
a
a
a
a
a

aa
a
với mọi a>0 ; a

1
f, (
2
)1()
1
1
).(
1
1
aa
a
aa
a
a
aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1

g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x
2
- 4x +1 B=4x
2
+4x+11
C=3x
2
-6x+1 D=2+x-x
2

E=x
2
-2x+y
2
-4y+6 F= x
2

-2xy +3y
2
-2x-10y
+20
H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
176
1
2
+ xx


II. Rỳt g n bi u th c
Bài 10.1: Cho biểu thức A=
824
22
2
+

xx
x
-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A

b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=2)
Bài 10.2: B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x
với -1<x<1
a,Rút gọn B
bTính gía trị của B tại x=4
52
( KQ: B=
x1
= =2-
2
)
Bài 10.3 C=
131
155

+

xx
xx
với x
10;1 > x
a,Rút gọn C KQ; :C=
1
21


x
x
b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi ; x
10;1
>
x
)
Bài 10.4 D=
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+

4
52
2
2
2
1
với mọi x
4;0 x
)
a,Rút gọn D
b,Tìm x để D=2
Bài 10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1
11
2

+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ=
1
2
++ xx
)
b, C/m rằng Đ >0 với mọi đ/k của x để Đ có nghĩa
Bài 10.6 E= (
x
1
-
1
1
x
) : (
)
2
1
1
2

+


+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E
2; Tìm x để E=0
Bài 10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+



+
+

3
32
1
23
32
1115

a,Rút gọn F ( KQ:F=
3

52
+

x
x
)
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (E
MAX
=2/3<=>x=0)
Bài 10.8 G=
1
)1(22
1
2


+
+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G

b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
Bài 10.9 H=
4
12
+

x
xx
a,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x

3 vì
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 10.10 I=
x
x
x
x
xx
x 1
).
1
2
12
2
(
+

++
+
với x>0; x

1
a,Rút gọn I ( KQ : I =
1
2

x
)
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên
Bài 10.11 J =
x
x
x
x
xx
xx

+
+
+
+

+
+
1
2
2

1
2
393
(với mọi x
1;0

x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3


x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
Bài Bài 10.12 K=
x
x
x
x
xx
x

+
+

+
+
+

2
3
3
12
65
92

a,Rót gän K ( KQ:K=
3
1
−
+
x
x

bTÝnh gÝa trÞ nguyªn cña x ®Ó K cã gi¸ trÞ nguyªn ( x=1;16;25;49)
Bµi 10.13 M =
xxx
x
xx
x
−
−
++
+
+
−
+
1

1
1
1
1
2

a,Rót gän M
b,TÝnh gÝa trÞ cña M nÕu x=28-6
3
( M=
1++ xx
x
= =
3328
133
−
−

= )
c,C/m r»ng M <
3
1
(xÐt hiÖu vµ c/m hiÖu <0)
Bµi 10.14 N =1+(
12
).
1
2
1
12

−
−
−
+−
−
−
−+
x
xx
xx
xxxx
x
xx

a,Rót gän N
b, C/m N >
3
2

c,T×m x biÕt N=
61
6
+

Bµi 10.15 P=
)1
3
22
(:)
9

)3(3
33
2
−
−
−
−
+
−
−
+
+ x
x
x
x
x
x
x
x
víi mäi x
9;0 ≠≥ x
)
a,Rót gän P
b,T×m x ®Ó P<-1 (KQ:
1
3
)3(3
−<
+
−

x
x
<=>
0
3
)6(4
<
+
−
x
x
)
c,T×m x ®Î P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 10.16 Q=
1
2
1
2
+
+
−
+−
+
x
xx
xx
xx

a,Rót gän Q
b,Biết x >1so sánh Q và / Q/

c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
III. Hàm số y=a x+b (a

0) hệ ph ơng trình
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-
2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k
2
x+(m+3),và đờng thẳng (d) có
phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau
c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc không? Vì sao?
Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d

2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d
2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)
Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm
số ?
Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết

a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 (d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5
(d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
)
b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)
; y=4x
(2)
; y=
4
1
x

(3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có
phơng
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S


ABO
=?
Bài 11: Cho hàm số y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b
1
. Song song với trục hoành
b
2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-
2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi
Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n là tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ
x=2+

2
và Cắt trục tung tại điểm D có tung độ y=1-
2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c
1
. Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c
2
. Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3

và cắt trục tung tại điểm có tung độ y=-
2
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng
thẳng có phơng trình 2x-5y=1

IV.Giải và biện luận nghiệm của hệ
phơng trình
Bài 14: Cho hệ phơng trình



=+
=

1
2
byax
bayx
Giải hệ khi a=3 ; b=-2
a) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = (
)3;2

b) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm
Bài 15: Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
Giải hệ khi a=
13

a) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
d)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
e)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình

+=+
=
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1
Bài 17:Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y
là các số nguyên
KQ:( Với m
2

hệ có ng duy nhất: x=y=
2
1
+m
; x=y

Z <=>1

m+2 <=>
Bài 18:Cho hệ phơng trình



=+
=+
4
104
myx
mymx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là
các số nguyên dơng
KQ: (m
2
hệ có ng : x=
2
5
;
2
8
+
=
+

m
y

m
m
;
x nguyên dơng<=>x

N<=>
2
8
+

m
m

N<=>
2
10
1
2
10)2(
+
+=
+
++
mm
m

N<=>10

m+2 )
Bài 19:Cho hệ phơng trình

+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y)
mà S=x
2
+y
2
đạt giátrị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình



=
=++
2
12)1(
2
mymx
mmyxm
a)Giải hệ khi
m=2
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y)

mà P=xy đạt giá trị lớn nhất (max P=
4
1
khi m=
2
3
)
Bài 21:Cho hệ phơng trình



=
=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ
khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0
c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y
là các số dơng
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x=
2
12
;
2
4
22
+

=
+
+
m
m
y
m
m
; )
Bài 22: Giải các hệ phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn
phụ)
a)







=


+
=


+
3
45

2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx

c)





=+
=
1222
32423
yx
yx
(đk x;y

2 ) d)





=+
=

+
+
+

5
2
1
12
12
1
yx
y
x
x
y
(đk
0
12
1
<=>>

+

x
y

e)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y
y
x
tơng tự câu c đặt ẩn phụ
t
x
y
=
+

12
1

(t>0)
Khi đó
ty
x 1
1
12
=

+

Bài 23 : Giải các hệ phơng trình sau ( Dành cho lớp A)
a)





=+
=+
xy
yx
31
31
2
2
( Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ



=+

=+
0)3)((
31
2
yxyx
yx
<=>










=+
=+



=
=+
03
31
0
31
2
2

yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ





=+
=
2
4
2
tu
tu

cộng từng vế và
giải đợc u;t
c)



=+
=+
31
1
55
yx
yx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t
2
t-6=0 =>u =
d)



=+
=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt
k
2

-19k+84=0 => k
1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy

e)



=+
=+
10
4
22
yx
yx
(hay x+y=4 và x.y=3
f)




=+
=−−
65
18)1)(1(
22
yx
yx
( tõ (1) => xy-(x+y)=17 ta cã hÖ míi råi ®Æt -
(x+y)=u; xy=t
g)



=+
=++
6
5
22
xyyx
xyyx
t¬ng tù c©u d h)





=+
=+
6

13
5
x
y
y
x
yx

®k x; y
0
≠
Bµi 24:a) cho hÖ ph /t



=+
−=−
25
43
22
yx
mymx
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp
(kq;
∆
=0=>m=-
4
3
)
b) Cho hÖ ph /t






=+
=+
m
x
y
y
x
yx 8
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp (kq:
a=2=>(x;y)=(4;4)
Bµi 25: Cho hÖ ph /t



=+
=+
myx
mxy
2
212
22
T×m m ®Ó hÖ cã 2 nghiÖm ph©n
biÖt .T×m nghiÖm ®ã
( ®a vÒ d¹ng




−=
=−
122
1)(
2
mxy
yx
th× x¶y ra 2 hÖ råi gi¶i )
Bµi 26: Cho hÖ ph /t





++−−=+−
−+=+−+
kkxyxyy
yykyxx
22)1(422
484)42(
22
22
T×m k nguyªn ®Ó
hÖ cã nghiÖm
BiÕn ®æi tõng ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng (a
±
b
±

c)
2
=A , HÖ cã ng <=> A
≥
0
Bài 27: Cho hệ ph /t



=+
=
1
22
yx
myx
Tìm m để hệ có nghiệm duy
nhất . Tìm nghiệm đó m=-
2
; m=
2

V. Sự tơng giao của đồ thị 2 hàm số :
y=ax
2
và Y=a x+b
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2

và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-
2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy
nhất.Xác định toạ độ điểm chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1

x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình :
y=x+m
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm
A(1;1)
Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua
M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau

c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt
Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax
2

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc
b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng
trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và
song song với AB
Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và điểm N(m;0) và I(0;2) với m

0 .Vẽ
(P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với
mọi m

0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam
giác HIK vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB vuông tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d
2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ là x
1
và
x
2
thoả mãn
2
2
2
1
11
xx
+
=11
Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x
2

a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi
qua B(-1;1)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C
thuộc (P)ở câu a và
có tung độ là
16
1

d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình :
y=2x+m
a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm
chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ
x=-1.Tìm điểm còn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp
trung điểm I của AB
Bài 10: Bài thi năm 05-06 và 06-07
VI. Giải Phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 1,5x
2
-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2

=++ xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144 =++ xx
3) x
2
-2(1+
3
)x +2
3
+1=0 8)
15 = xx
( Lập
bảng xét dấu)
4) x
2
(
06)32 =++ x
9)
x
x
x
x
x
x

+
=
+

1
1
11
1
2

5)
2323 =x
10)
xx
x
+
=
1
1
2
1
2
2
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x
4
x
2
-6=0
2)
1

1
1
1
+

+

+
x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=

+
1
1
(đk x


1)
3) (x
2
+2x)
2
-2(x

2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2
-2(x
2
+2x) -28=0 Đặt (x
2
+2x)=t
5) (x
2
-5x)
2
-30(x
2
-5x) = 216
6) (y-x-2)
2
+ (x+2y)
2
=0 a
2
+b
2
= 0 <=>

=
=
0
0
b
a

7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x

0)
8) (x+
05)
1
(5,4)
1
2
=++

x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x

0)
9)
0
2
4
2
1
4
2
222
=
+

+



xx
x
xxx
MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 l-
u ý ĐKXĐ

10) (x+
2
)
2
1
+6x +11=0 Tách 11=
2
6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phơng trình
1)
121
2
= xx
đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc
bình phơng 2 vế
2) x-4=
2x

3)
121 =+ xx
4)
341 =++ xx

5)
xx =++ 11
đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc

bình phơng 2 vế
6) x-1=
1
+
x

7) 3x-4
181 =x

8) x-
1412 =x

9)
2
3
1
1
1
1
=
+



+
x
x
x
x
đặt ẩn phụ ta có pt: t -

t
1
=
2
3
(đk t>0 ;
x>1 hoặc x<-1)
10)
121 =+ xx

11)
24
2
=
xx
12
513416123
22
=+++
yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+ xxx
Nên
216123
2
+ xx
;
3134

2
+
yy
10)
5168143 =++++ xxxx
11)
1252
22
=+ xxxx
đặt ẩn phụ
txx =+ 52
2
(
t
0)
12) 3x
2
+2x=1-x+2
xx
+
2
đặt
xx
+
2
=t (

t
0)
VII. Phơng trình bậc cao (Dành cho lớp A)

Phơng trình a x
3
+bx
2
+cx+d=0
(1)
(a

0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến
đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm
nguyên đó là ớc của hạng tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x
1
;x
2
;x
3
thì
x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1

.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2
+x
1
x
3
+ x
2
.x
3

=c/a
Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x+2=0
a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến
đổi vế trái về dạng tích
b) Giải phơng trình x
3
+7x
2

-56 x+48=0
a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
d) Giải phơng trình 2x
3
+5x
2
+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x
3
+ 4x
2
-29+24 =0 (1) <=> (x-1 )
( x
2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x
4
109x
2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx
+e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là

các hệ số ;a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và
số hạng cuối thì bằng nhau )
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1)
cho x
2
(đk x

0) rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối
thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t
2
-2 ta đợc phơng
trình ẩn t
-giải phơng trình đó ta đợc t = .
- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
Giải phơng trình sau : 10x

4
- 27x
3
- 110x
2
-27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)
chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) ta đợc pt <=>10x
2
-27x 110 -
2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta
đợc PT
10( x
2
+ ) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2

+
2
1
x
=t
2
-2 thay vào (2) ta có
<=> 10t
2
-27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t
1
=-
2
5
; t
2
=
5
26
+ Với t
1
=-
2
5
(x+
)
1
x
=-
2

5
2x
2
+5x+2=0 có nghiệm là x
1
=-
2 ; x
2
=-1/2
)
1
()
1
2
x
x
x
+
+Với ; t
2
=
5
26
(x+
)
1
x
=
5
26

5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ;
x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=








5;
5
1
;2;
2
1
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx
+e =0 (1)
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a

0 e

0) và
2
)(
b
d
a
e
=
;
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của ph-
ơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2

bx +e =0

Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho
x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)
Nhóm hợp lí a (x
2
+
0)()
2
=+++ c
bx
d
xb
ax
c

-Đổi biến đặt x+
bx
d

=t => x
2
+(
2
2
2) t
b
d
bx
d
=+
do
(d/b)
2
=c/a
nên x
2
+ c/ a x
2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t
2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2

+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4
8
(

; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
x=0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x
2
(x

0)

ta đợc
x
2-
-4x -9 +
2
48

xx
+
=0 (x
2

+
)
4
2
x
- 4( x -
x
2
) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x
2
) =t (3) => .( x
2

+
)
4
2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2

-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác
bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b
m
y
xb
m 2
2
22
2
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m
(Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các
tích đó
Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x

2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t
(2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có ph ơng trình At
2
+B t + C =0 (Với
A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc
nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0
(2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0
nghiệm y
1
=-3 ; y

2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn
số ;a, b, c là các hệ số )

cách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a)
và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba +
=> x+a =t+
2
ba
và x+b=t -
2
ba

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4
+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(
2
ba +
)
4
c
=0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải

áp dụng Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t 2)
4
=626
9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3

Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã
cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một
biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng
at
2
+ bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ
giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng
trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5

+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình
về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết
cách giải
Giải (2) ta đợc x
1
=x

2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-
0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau
1) x
3
- 4x
2
- 29x -24 =0 2) 8x
3
- 20x
2
+28x - 10
=0
3) x

4
- 3x
3
+9x
2
-27 x+81=0 4, x
4
-10x
3
+11x
2
-10x+1=0
5, x
4
+5x
3
-14x
2
-20x +16 =0 6, x
4
+4x
3
-10 x
2
-28 x-
15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15)
(x+18) =2x
2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x

2
nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8)
rồi chia 2 vế cho 4x
2

và đặt t=x+7/x (đk x


0)
8) 3x
5
-10x
4
+3x
3
+3x
2
-10x+3=0 9) x
5
+2x
4
+3x
3
+3x
2
+2x+1=0
10) 6x
5
-29x
4

+27x
3
+27x
2
-29x+6=0 11) x
5
+4x
4
+3x
3
+3x
2
-
4x+1=0
12) (x
2
-8x+7)(x
2
-8x+15)=20
13) (x
2
-3 x+1) (x
2
+3x+2) (x
2
-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x
2
-3 x+1) (x
2
-

3x-4) (x
2
-3x-10)=-30
14) 3(x
2
+x) -2(x
2
+x ) -1=0 15) (x
2
-4x+2)
2
+4x
2
-4x-
4=0
VIII. Định lí Vi et - dấu của nghiệm phơng trình a
x
2
+bx+c=0 (a

0)
*Định lí Vi et: Nếu p/t (1) có 2 ng x
1
; x
2
thì S=x
1
+ x
2
=

a
b

và P=x
1
x
2
=
a
c

*Nếu tồn tại 2 số u và v sao cho S= u

+ v = và P= u.v thì u và v là 2 ng
p/t

đk:s
2
-4p>0
*Dấu của nghiệm:
1. Phơng trình (1) có ng/ kép (a

0) ;

=0 2.Phơng trình (1) có 2 ng p/b (a

0);

>0
3. Phơng trình (1) có 2 ng trái dấu a.c<0

4.Phơng trình (1) có 2 ng đối nhau:
(a

0) ; S = x
1
+ x
2
=0
5. Phơng trình (1) có ng duy nhất



=
=
0;0*
0*
a
a
6.Phơng trình (1) có2 ng đều dơng





>
>

0
0
0;0

S
P
a
7.Phơng trình (1) có 2 ng đều âm





>
<

0
0
0;0
S
P
a
GIảI và biện luân PHNG TRiNH BC HAI ( chứa tham
số) Loại toán suy luậN
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình: ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
(1)

X
2
- S X + P=0