Tài liệu bồi dưỡng toán 10

D
A
B
C
O
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
I - LÝ THUYẾT ÔN TẬP TOÁN 10
I. HÌNH HỌC :
1. Vectơ :
Quy tắc 3 điểm :
→
AB
+
→
BC
=
→
AC
Quy tắc hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD, ta có :
→
AB
+
→
AD
=
→
AC
Quy tắc phép trừ :
→
AB
=

→
CB
–
→
CA

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 khi và chỉ khi :
→
MA
= k
→
MB
Điểm I là trung điểm AM khi và chỉ khi :
→
IA
+
→
IB
=
→
0
.
Khi đó với mọi điểm O ta có :
→
OA
+
→
OB

= 2
→
OI
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi :
→
GA
+
→
GB
+
→
GC
=
→
0
Khi đó với mọi điểm O ta có : 3
→
OG
=
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
Tich vô hướng của 2 vectơ :
+
→

a
.
→
b
= |
→
a
|.|
→
b
|.cos(
→
a
.
→
b
) Công thức tính tích vô hướng 2
vectơ.
+ cos(
→
a
.
→
b
) =
||||
.
→→
→→
ba

ba
. Ghi nhớ : cos(
→
a
.
→
b
) = tích vô
hướng chia tích độ dài.
2. Hệ trục toạ độ Đecác vuông góc :
Ta giả sử : A (x
A
; y
A
), B (x
B
; y
B
),C (x
C
; y
C
),
→
a
= (a
1
; a
2
),

→
b
= (b
1
; b
2
)
+ M(x ; y)
⇔
→
OM
= x
→
i
- y
→
j
Ghi nhớ : Hoành độ x luôn đi với
vectơ đơn vị
→
i
+
→
a
= (a
1
; a
2
)
⇔

→
a
= a
1
→
i
- a
2
→
j
Tung độ y luôn đi
với vectơ đơn vị
→
j
+
→
AB
=( x
B
–x
A
; y
B
–y
A
). G hi nhớ : Lấy ngọn trừ gốc.
+ AB =
22
)()(

BABB
yyxx −+−
công thức tính độ dài đoạn
thẳng
+
→
a
+
→
b
= (a
1
+ b
1
; a
2
+ b
2
)
+
→
a
–
→
b
= (a
1
– b
1
; a

2
– b
2
)
+ k
→
a
= (ka
1
; ka
2
)
1
c
a
b
h
m
M
H
A
B
C
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
+ |
→
a
| =
2
2

2
1
aa +
công thức tính độ dài vectơ
+
→
a
.
→
b
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
biểu thưc toạ độ của tích vô
hướng
+
→
a
⊥
→
b
⇔
→
a
.

→
b
= 0 Điều kiện 2 vectơ vuông góc
+ Tam giác ABC vuông tại O
⇔
→
AB
.
→
AC
= 0 Điều kiện
∆
ABC
vuông
Điểm chia đoạn thẳng :
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 thì : M (
k
kxx
BA
−
−
1
;
k
kyy
BA
−
−

1
)
Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi : A (
2
BA
xx +
;
2
BA
yy +
) Ghi nhớ : trung
bình cộng.
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi : G (
3
CBA
xxx ++
;
3
CBA
yyy ++
)
3. Tỉ số lượng giác :
sinx
2
+ cosx
2
= 1 1+tg
2
x =
x

2
cos
1
, (cosx
≠
0)
1+cotg
2
x =
x
2
sin
1
, (sinx
≠
0) tgx =
x
x
cos
sin
, (cosx
≠
0)
cotgx =
x
x
sin
cos
, (sinx
≠

0) tgx.cotgx = 1, (sinx
≠
0 và cosx
≠
0)
Liên hệ giữa 2 góc phụ, bù nhau : sin(180
0
-x) = sinx cos(180
0
-x) = –
cosx
sin(90
0
-x) = cosx cos(90
0
-x) = sinx
Dấu các tỉ số lượng giác :
+ sinx
≥
0, với mọi x.
+ cosx, tgx, cotgx luông cùng dấu. Nó dương nếu góc x nhọn và âm nếu
góc x tù.
4. Hệ thức lượng trong tam giác :
Định lý hàm số cosin :
+ a
2
= b
2
+ c
2

– 2bc.cosA cosA =
bc
acb
2
222
−+
+ b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac.cosB cosB =
ac
bca
2
222
−+
+ c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab.cosC cosC =
ab
cba
2
222
−+

Định lý hàm số sin :
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
Công thức tính diện tích tam giác :
2
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
S
ABC∆
=
2
1
ah
h
=
2
1
bh
b
=
2
1
ch

c
S
ABC∆
=
2
1
ab.sinC =
2
1
ac.sinB
=
2
1
bc.sinA
S
ABC∆
=
R
abc
4
S
ABC∆
= pr S
ABC∆
=
))()(( cpbpapp −−−
Công thức đường trung tuyến :
m
2
a

=
4
22
222
acb −+
m
2
b
=
4
22
222
bca −+
m
2
c
=
4
22
222
cba −+

II. ĐẠI SỐ :
1. Hàm số : y = f(x)
- Tập xác định : là tập các gí trị x làm cho biểu thức f(x) có nghĩa.
+ Nếu f(x) có mẫu thì mẫu khác 0.
+ Nếu f(x) có căn bậc hai (tổng quát bậc chẵn) thì biểu thức trong căn
không âm.
- Tính đơn điệu : Cho f(x) xác định trên D. (a;b)
⊂

D, hàm số f(x) được gọi là :
+ đồng biến trên (a;b) nếu :
∀
x
1
,x
2
∈
(a;b) ta có : x
1
> x
2
⇒
f(x
1
) > f(x
2
)
hay
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
> 0
+ đồng biến trên (a;b) nếu :
∀
x

1
,x
2
∈
(a;b) ta có : x
1
> x
2
⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
hay
12
12
)()(
xx
xfxf
−
−
< 0
- Tính chẵn, lẻ : Cho f(x) xác định trên D :
+ f(x) chẵn trên D nếu :



=−
∈−⇒∈∀

)()( xfxf
DxDx
+ f(x) lẻ trên D nếu :



−=−
∈−⇒∈∀
)()( xfxf
DxDx
+ Chú ý :
Hàm đa thức chỉ có bậc chẵn là hàm số chẵn :
VD : các hàm số sau đây là chẵn :
y = x
2
+ 1 y = ax
2
+ b y = x
4
+ x
2
+ 1
y = x
4
– x
2
y = –3x
8
+ x
4

– 5
Hàm đa thức chỉ có bậc lẻ và không có hệ số tự do là hàm số lẻ :
VD : các hàm số sau đây là hàm số lẻ :
y = x
3
+ x y = –2x
7
–2 x
5
+x
Hàm đa thức bậc lẻ và có hệ số tự do, hàm đa thức có cả bậc chẵn
và lẻ là hàm số không chẵn, không lẻ :
VD : Các hàm số sau không chẵn, không lẻ :
y = x
3
+ x + 1 y = –2x
7
–2 x
5
+x – 2
y = –2x
7
–2 x
5
+ x
2
y = x
2
+ x + 1
- Hàm số bậc nhất : y = ax + b, (a

≠
0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên R
3
4
2
5
-
∞
+
∞
Ñoàng bieán
Nghòch bieán
-
b
2a
a < 0
O
-2
-4
5
-
∞
+
∞
Ñoàng bieán
Nghòch bieán
-
b
2a

a > 0
O
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
+ a < 0 : hàm số nghịch biến trên R
+ Đồ thị là đường thẳng.
+ Cho d
1
: y = ax + b
d
2
: y = a’x + b’
* Nếu a
≠
a’ thì d
1
cắt d
2
* Nếu



≠
=
'
'
bb
aa
thì d
1
// d

2
* Nếu



=
=
'
'
bb
aa
thì d
1
≡
d
2
- Hàm số bậc hai : y = ax
2
+ bx + c, (a
≠
0)
+ a > 0 : hàm số đồng biến trên (–
∞
;
a
b
2
−
), nghịch biến trên (
a

b
2
−
;+
∞
).
+ a < 0 : hàm số đồng biến trên (
a
b
2
−
;+
∞
), nghịch biến trên (–
∞
;
a
b
2
−
).
+ Đồ thị là parabol có trục đối xứng x =
a
b
2
−
. Đỉnh I(
a
b
2

−
;
a4
∆
−
).
a > 0 đồ thị lõm. a < 0 đồ thị lồi
+ Điều kiện để đường thẳng (d) : y = a’x + b’ tiếp xúc parabol (P) : y = ax
2
+ bx + c là phương trình hoành độ giao điểm : a’x + b’= ax
2
+ bx + c có nghiệm số
kép. (tức biệt thức
∆
= 0).
2. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phươnh trình :
- Phương trình : ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a
≠
0, pt có nghiệm duy nhất x =
a
b
−
+ a = 0 và b = 0, pt có nghiệm với mọi x thuộc R
+ a = 0 và b
≠
0, pt vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận, trong trường hợp a = 0 ta phải thế giá
trị tham số m tìm được vào để biết b = 0 hay b

≠
0.
- Hệ phương trình :



=+
=+
''' cybxa
cbyax
4
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
+ tính : D =
'' ba
ba
= ab’ – a’b D
x
=
'' bc
bc
= cb’ – c’b D
y
=
'' ca
ca
= ac’
– a’c
+ D
≠
0, hệ có nghiệm duy nhất : (x

0
; y
0
), với x
0
=
D
D
x
, y
0
=
D
D
y
+ D = D
x
= D
y
= 0, hệ có vô số nghiệm. Khi đó 2 pt trong hệ tỉ lệ nhau.
+ D = 0 mà D
x
hoặc D
y
khác 0 thì hệ vô nghiệm.
Chú ý : Khi giải và biện luận theo tham số m, trong trường hợp D =
0 ta phải thế giá trị m tìm được vào D
x
, D
y

để xem nó bằng 0 hay khác
không.
- Bất phương trình ax + b = 0
+ TXD : D = R
+ a > 0, bpt có nghiệm : x >
a
b
−
hay tập nghiệm T = (
a
b
−
; +
∞
).
+ a < 0, bpt có nghiệm : x <
a
b
−
hay tập nghiệm T = (–
∞
;
a
b
−
).
+ a = 0 và b > 0 : bpt có nghiệm với mọi x thuộc R hay tập nghiệm T = R
+ a = 0 và b
≤
0 : bpt vô nghiệm.

Chú ý : trong trường hợp a = 0, ta phải thế giá trị m tìm được vào
bất phương trình.
- Hệ bất phương trình : Nghiệm của hệ bpt là nghiệm chung của các phương
trình trong hệ.
+ Hệ bpt 1 ẩn : là hệ gồm 2 hay nhiều bất pt 1 ẩn. Ta giải từng bpt trong
hệ được các tập nghiệm tương ứng T
1
,T
2
, . . Nghiệm của hệ là giao của các tập nghiệm
: T
1
,T
2
, . .
+ Hệ bpt bậc nhất 2 ẩn :



>+
>+
''' cybxa
cbyax
. Biểu diễn miền nghiệm của từng
bpt trong hệ, miền nghiệm chung của các bpt đó là (miền không bị gạch) là miền
nghiệm của hệ bpt.
II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
y
A. ĐƯỜNG THẲNG

n
→
∆
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : M
1. Phương trình đường thẳng : M
0
(x
0
, y
0
)
0Ax By C
+ + =
(1),
2 2
0A B+ ≠
o x
Đường thẳng cho bởi (1) có vectơ pháp tuyến
( , )n A B=
r
; vectơ chỉ phương
( , )u B A= −
r
( hoặc
( , )u B A= −
r
).
5
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M

0
(x
0
, y
0
) và có vectơ pháp tuyến
( , )n A B=
r
:
( ) ( )
0 0
0A x x B y y
− + − =
• Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có vectơ chỉ
phương
( , )u a b=
r
:
0
0
,
x x at
t R
y y bt

= +

∈

= +


• Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có vectơ chỉ
phương
( , )u a b=
r
:
0 0
x x y y
a b
− −
=
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có hệ số góc k cho trước :

( )
0 0
y k x x y
= − +
• Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
( , )
A A
A x y
và
( , )
B B
B x y
:
A B A
A B A
x x x x
y y y y
− −
=
− −
• Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn : phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm
( ,0)A a
và
(0, )B b
:
1
x y
a b
+ =

• Cho chùm đường thẳng xác định bởi hai đường thẳng
1 1 1 1
( ) : 0d A x B y C+ + =
và
2 2 2 2
( ) : 0d A x B y C+ + =
. Khi đó mọi đường thẳng của chùm có phương trình :
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
0A x B y C A x B y C
α β
+ + + + + =
với
2 2
0
α β
+ ≠
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng :
1 1 1 1
: 0A x B y C∆ + + =
2 2 2 2
: 0A x B y C∆ + + =
• Ta có :
 ∆
1
cắt ∆
2

1 1

2 2
0
A B
D
A B
⇔ = ≠
hay :
1 2 2 1
0A B A B− ≠
 ∆
1
// ∆
2

0D
⇔ =
,
1 1
2 2
0
x
B C
D
B C
= ≠
hoặc
1 1
2 2
0
y

C A
D
C A
= ≠
 ∆
1
≡ ∆
2

0
x y
D D D⇔ = = =
• Nếu
2 2 2
0A B C ≠
thì :
 ∆
1
cắt ∆
2
1 1
2 2
A B
A B
⇔ ≠
 ∆
1
// ∆
2
1 1 1

2 2 2
A B C
A B C
⇔ = ≠
6
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
 ∆
1
≡ ∆
2
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
⇔ = =
3. Khoảng cách từ một đểm đến một đường thẳng :
• Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
và điểm M
0
(x
0
, y
0
).
Khoảng cách từ M
0
đến ∆ là :
( )
0 0

0
2 2
,
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
• Góc giữa hai đường thẳng :
Góc ϕ giữa hai đường thẳng
1 1 1 1
: 0A x B y C∆ + + =
và
2 2 2 2
: 0A x B y C∆ + + =
được tính
bởi :
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
A A B B
A B A B
ϕ
+
=
+ +
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài1: Tìm PTTQ, PTTS, PTCT của đường thẳng (d):
1) (d) đi qua A(2;1) và nhận
v

= (-5;2) làm véc tơ chỉ phương.
2) (d) đi qua A(-2;3) và nhận
n

= (3;-2) làm pvt.
3) (d) đi qua A(1;4) và song song với đường thẳng (d
1
): 2x – 3y + 5 = 0
4) (d) đi qua A(-3;1) và vuông góc với đường thẳng (d
1
): 4x – 2y –1 = 0
5) (d) đi qua A(2;1) và B(-3;2).
6) (d) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x = 3, trục Oy tạiđiểm có tung độ y = –2.
7) (d) đi qua A(5;2) và có hệsố góc k = –3.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1; 4); B(3; – 1); C(6; 2)
a) Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC.
b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 3: Cho hai điểm P(4; 0); Q(0; –2)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và song song với đường
thẳng PQ.
b) Viết phương trình đường trung trực của đoạn PQ.
7
Phương Pháp:
+ Sử dụng các cách viết phương trình đường thẳng đã nêu trong lý
thuyết.

+ Khi đường thẳng cần tìm đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã
biết, nên sử dụng phương trình của chùn đường thẳng.
+
+
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Bài 4: Cho phương trình d: x – y = 0 và điểm M(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Bài 5: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC, CA là: AB : 2x – 3y – 1 = 0;
BC : x + 3y + 7 = 0; CA : 5x – 2y + 1 = 0. viết phương trình của đường cao kẻ từ B, và
đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Biết cạnh AB : 2x – 3y + 5 = 0 ; cạnh AC : 2x + 7y – 5 = 0;
cạnh BC có trung điểm là M(4; 1).
a. Xác định tọa độ các điểm A, B, C.
b. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB.
Bài 7: Tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 3x – y + 4 = 0, đường cao qua đỉnh A
và B lần lượt có phương trình : 5x + 2y – 8 = 0 ; 4x – y + 5 = 0. Viết phương trình các
cạnh AC, BC và đường cao qua đỉnh C.
Bài 8: a) Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 9 = 0. Tìm PTTS và PTCT của đường thẳng d.
b) Cho đường thẳng
1 3
:
2 2
x t
d
y t
= − +


= −


. Tìm PTCT và PTTQ của đường thẳng d.
VẤN ĐỀ 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng :
a) x + 3y – 1 = 0 và 5x – y + 7 = 0
b) 2x – y + 17 = 0 và –3x + 6y – 12 = 0
c)
1 2
3 5
x t
y t
= −


= +

và
1 2
2
x t
y t
= − +


= − +

d) 4x – 10y + 1 = 0và
1 2
3 2

x t
y t
= −


= − −

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm
P(1;–2) và Q(3; 2).
8
Ph ng Pháp:ươ
+ V n d ng các công th c đã nêu trong lý thuy t.ậ ụ ứ ế
+ Góc ϕ gi a hai đ ng th ng ữ ườ ẳ và đ c tính b i : ượ ở
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Bài 3: Trên đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0, tìm điểm M cách đều hai điểm A(0; 4) và
B(4; –9)
Bài 4:
B. ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phương Trình Đường Tròn:
a. Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
(x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
(1)
b. Nếu a
2

+ b
2
– c > 0 thì phương trình: x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (2) là
phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính
2 2
R a b c= + −
2. Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn:
a. Cho đường tròn (C) và điểm M(x
o
; y
o
)∈(C), với I(a; b) là tâm của (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M :
Dạng 1: (x
o
– a)(x – a) + (y
o
– b)(y – b) = R
2
Dạng 2: x
o
x + y
o
y – a(x
o
+ x) – b(y

o
+ y) + c = 0
Dạng 3:(TQ) (x
o
– a)(x – x
o
) + (y
o
– b)(y – y
o
) = 0
b. Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R và đường thẳng
∆: Ax + By + C = 0. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I; ∆) = R.
hay
2 2
Aa Bb C
R
A B
+ +
=
+
.
III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải các phương trình sau:
a.
0128
2
=++ xx

b.

016,25,1
2
=+−− xx
c.
0212)21(
2
=−−+− xx

∗ Cách giải và biện luận phương trình : a
0
2
=++ cbxx
• a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình : bx + c = 0
• a ≠ 0 : Tính ∆ =
acb 4
2
−

♦Khi ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
♦Khi ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép
−==
21
xx
a
b
2
♦Khi ∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt

a
b

x
a
b
x
2
;
2
21
∆+−
=
∆−−
=
Áp dụng : Giải và biện các phương trình sau:
1.
0)1(
2
=+−+ mxmx
( a =1 , b = 1− m , c = − m)
9
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Ta có : ∆ =
acb 4
2
−
= (1 − m)
2
− 4(− m)
= 1+ m
2
− 2m + 4m

= (m+1)
2
• ∆ = 0 ⇔ (m+1)
2
= 0 ⇔ m = −1 : pt có nghiệm kép

1
2
1
21
−=
−
==
m
xx
• ∆ > 0 ⇔ (m+1)
2
≠ 0
⇔ m ≠ −1 : pt có 2 nghiệm phân biệt

mxx =−=
21
;1
2. (m-3)
062
2
=−+− mmxx
( a = m − 3 , b = − 2m , c = m − 6 )
• m −3 = 0 ⇔ m = 3 : pt trở thành : −6x − 3 = 0
⇔ x = −

2
1

• m −3 ≠0 ⇔ m ≠ 3 : Ta có ∆
'
= (b
'
)
2
− ac
= (− m)
2
− (m − 3)( m − 6)
= m
2
− (m
2
− 6m −3m − 18)
= 9m − 18
♦ ∆
'
< 0 ⇔ 9m − 18 < 0 ⇔ m < 2 : phương trình vô nghiệm
♦ ∆
'
= 0 ⇔ 9m − 18 = 0 ⇔ m = 2 : phương trình có nghiệm
kép

2
3
21

−=
−
==
m
m
xx
♦∆
'
> 0 ⇔ 9m − 18 > 0 ⇔ m > 2 : phương trình có 2
nghiệm phân biệt
3
189
;
3
18- 9m
21
−
−+
=
−
−
=
m
mm
x
m
m
x
Bài tập. Giải và biện các phương trình sau:
a

0)32(
22
=++− mxmx
b.
0)1(2
22
=+−− mxmx
c. (m − 2)
05)1(2
2
=−++− mxmx
d. (m − 1)
01)2(
2
=−−− xmx
e. (4m + 1)
034
2
=−+− mmxx
*Tim một nghiệm biết nghiệm kia:
Ta dùng công thức
12
x
a
b
x −−=
hay
1
2
ax

c
x =
Áp dụng : Cho phương trình :
01)3(2
2
=−++− mxmx
Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia
Giải
Do phương trình có một nghiệm bằng 3 ta có :
10
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
4
013)3()3(2
2
=⇔
=−++−
m
mm
Ta có
2
1
3.2
1
1
2
=
−
==
m
ax

c
x

Bài tập : Cho phương trình :
03)1(2
22
=−+−− mmxmx
Định m để phương trình có một nghiệm bằng 0 , tính nghiệm kia
( Có hai giá trị m = 0 ⇒x = 0 ,x = −2
m = 3 ⇒ x = 0 ,x = 4)
Bài tập : Với mỗi phương trình sau , biết một nghiệm ,tìm k và tính nghiệm còn
lại
a.
015
2
=+− kxx
, biết một nghiệm là 5
b.
05
2
=+− kxx
, biết một nghiệm là -3
c.
0715
2
=+− xkx
, biết một nghiệm là 7
Bài tập : Cho phương trình
02)1(2)1(
2

=−+−−+ mxmxm
a. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia
b. Xđ m để phương trình có hai nghiệm
c. Xđ m để phương trình có hai nghiệm
21
, xx
thỏa 4(
21
xx +
) = 7
21
xx
Bài tập: Cho phương trình
012)1(
2
=+−+− mxxm
a. Chứng tỏ với ∀ m ≠ 1 phương trình luôn có hai nghiệm
b. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
c. Xđ m để phương trình có hai nghiệm
21
, xx
thỏa mãn điều kiện
21
4xx −=
Bài tập : Cho phương trình
01472
2
=+++ mxx
a. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
b. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng 3 nghiệm kia

d. Chứng tỏ với ∀ m ≠ 1 phương trình luôn có hai nghiệm
e. Xđ m để phương trình có một nghiệm bằng -3 và tính nghiệm kia
*Tim hai số biết tổng và tích của chúng :
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u .v =P thì u và v là nghiệm của
phương trình :
0
2
=+− PSxx
Áp dụng : 1.Tim hai số biết tổng 5 và tích là -24
2. Một sợi dây dài 40cm , hãy khoanh lại một hcn có diện tích bằng 100
2
cm

Ứng dụng :1. Hãy xác định các hệ số a , b , c ,
a
c
a
b
,−
của các phương trình sau
:
a.
016,25,1
2
=+−− xx
b.
0212)21(
2
=−−+− xx
c.

0)32(
22
=++− mxmx
d.
0)1(2
22
=+−− mxmx
e. (m − 2)
05)1(2
2
=−++− mxmx
f (m − 1)
01)2(
2
=−−− xmx
11
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
g.(4m + 1)
034
2
=−+− mmxx

h.
014
2
=−+− mxx

2. Tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Sử dụng định lí Viet :
a

c
xx
a
b
xx =−=+
2121
.;
Các kết quả thường dùng :

c
b
P
S
xx
xx
xx
−==
+
=+
21
21
21
.
11
(điều kiện c
0
≠
)

a

c
a
b
xxxxxx 2)(2)(
2
21
2
21
2
2
1
2
−−=−+=+
)(3)()(3)(
3
2121
3
21
2
3
1
3
a
b
a
c
a
b
xxxxxxxx −−−=+−+=+
Bài tập . 1 .Cho phương trình : (m+1)x

02)1(2
2
=−+−− mxm
Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x
21
, x
thỏa 4(
21
xx +
) = 7
21
xx
2. phương trình : mx
02)31(
2
=−+−+ mxm
Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt x
21
, x
thỏa
03
22
2
2
2
1
=++
x
x
x

x
ĐS m = 1 , m =
13
1
3. Xác định m để pt :
0)1(2
22
=+−− mxmx

có hai nghiệm thỏa mãn :
14
2
2
1
2
=+ xx
4. Xác định m để pt
014
2
=−+− mxx

có hai nghiệm thỏa mãn :
40
2
3
1
3
=+ xx

Hệ thức độc lập theo tham số giưa hai nghiệm :

Là khử tham số giữa tổng và tích hai nghiệm :







=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Baì tập : Cho phương trình :
043)1(2
22
=+−+−− mmxmx
Xđ m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và tìm hệ thức lien hệ giữa

21
, xx
độc lập đối với m.
*Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: a
0

2
=++ cbxx
Giả sử
21
xx <
1.



<
>∆
0.
0
ca
⇔ pt có 2 nghiệm pb
21
, xx
2. P < 0
21
0 xx <<
(phương trình có hai nghiệm trái dấu)
12
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
3.



>
>∆
0a.c

0
⇔ pt có 2 nghiệm cùng dấu
4.







>
>
>∆
≠
0S
0P
0
0a
⇔ 0 <
21
xx <
( phương trình có hai nghiệm dương phân biệt )
5.








<
>
>∆
≠
0
0P
0
0
S
a
⇔
21
xx <
< 0 (phương trình có hai nghiệm âm phân biệt )
Bài tập : 1.Cho phương trình :
03)2(2
2
=−+−− mxmmx
Tìm các giá trị của m để :
a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Giải
a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi :
P < 0 ⇔
0
3
<
−
m
m

⇔ 0 < m < 3
b. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt :








>
>
>∆
≠
0S
0P
0
0
'
m
⇔










>
>
−
>−−−
≠
0
m
2)-2(m
0
3
0)3()2(
0
2
m
m
mmm
m
⇔









+∞∈∪−∞∈
+∞∈∪−∞∈

>+−
≠
);2()0;(
);3()0;(
04
0
mm
mm
m
m

⇔ m ∈ (-∞ ; 0) ∪( 3 ; 4)
2.Cho phương trình :
01)2(2)1(
2
=−+++− mxmxm
Tìm các giá trị của m để :
a.Phương trình có một nghiệm (m = 1 hoặc m =
2
1
−
)
b.Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ( m
2
1
.1 −>≠ mvà
)
3. Cho phương trình :
0)1(2)1(
2

=++−− mxmxm
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm là −1 ? nghiệm −3 ?
b. Giải và biện phương trình
c. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
13
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
ĐS: a. m = −
17
3
;
4
1
=m

b. Làm tương tự bài tập giải và biện luận
c. 0 < m < 1
d.





=+
>∆
≠
0
0'
1
21

xx
m

* Phương trình trùng phương : Là phương trình bậc bốn dạng
)0(0
24
≠=++ acbxax
Cách giải : Đặt y = x
2
( điều kiện y
0
≥
)

Ta được :
0
2
=++ cbyay
Áp dụng : Giải phương trình :
1.
045
24
=+− xx
2.
02526
24
=+− xx
( 1,
)5,5,1 −−
3.

)76(23)76(
222
xxxx −=−−

Đặt t =
xx 76
2
−
4.
4)13)(23(
22
=++−+ xxxx
Đặt t =
23
2
−+ xx
Giải hệ phương trình bậc hai :
Dạng 1: Hệ gồm một phưong trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất rút x theo y hoặc y theo x rồi thay
vào phưong bậc hai để được phương trình bậc hai một ẩn
Ví dụ :





=+
=−++
)2(2052
)1(014611102

22
yx
yxyx
Từ (2) ⇒ x = −
10
2
5
+y
thay vào (1) ta được
2(−
014611yy 10)y
2
5
(10)10
2
5
22
=−++−++y
⇔ −
054
2
3
2
=+y

⇔



=⇒−=

−=⇒=
256
56
xy
xy
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm



−=
=



=
−=
6
25
6
5
y
x
và
y
x

14
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Bài tập : a.






+=
=+−−+−
1
0112732
22
xy
yxyxyx
c.



=−
=−
24
132
2
xyx
yx
b.





=−
=+−−−+

32
01436
22
yx
yxyxyx
d.



=−
=+
49)(
8443
2
yx
yx
Đs : hệ vô nghiệm
e.



=+−
=−
0²32²
023
yxyx
yx
f.




=++
=++
2
4²²
xyyx
yxyx
g.



−=+
=+−
2
13²²
yx
yxyx
h.



=+
=+
4)²(
4²²
yx
yx
i.




=+
=+
42
84
22
yx
yx
j.



=−
=+
49)²(
8443
yx
yx

Dạng 2 : Hệ phương trình đối xứng đối với x và y
Là hệ có đặc điểm là mỗi phương trình trong hệ không thay đổi khi ta thay
x bởi y và thay y bởi x
Cách giải : Chuyển hệ về dạng tổng x + y và tích x.y
Ta tính S = x + y và P = x.y rồi giải phương trình
x
0
2
=++ PSx

Ví dụ : Giải hệ phương trình :






=+
=
)2(28
)1(4.
22
yx
yx

Hệ phương trình đã cho
⇔




=−+
=
282)(
4.
2
xyyx
yx


⇔




+=+
=
6
4.
yx
yx
• Với



=+
=
6 y x
4.yx
thì x ,y là nghiệm của phương trình : u
046
2
=+− u

giải ra được :





−=
+=






+=
−=
53
53
53
53
y
x
và
y
x

• Với



=+
=
6- y x
4.yx
thì x ,y là nghiệm của phương trình : u
046
2
=++ u

15
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
giải ra được :





−−=
+−=





+−=
−−=
53
53
53
53
y
x
và
y
x
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau







=+
=−+−



=+
=+
012
0)(9)(8
.2
61
1
.1
33
33
xy
yxyx
yx
yx
3.





=+
+=+

4)(
)1(2
2
22
yx
ayx
4.



=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx

Dạng 3 : Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất biền
thành phương trình
thứ hai và ngược lại
Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình tronh hệ
Ví dụ : Giải hệ phương trình :





=−
=−

)2(2
)1(2
2
2
xyy
yxx

Lấy (2) – (1) ta được :
)()(2)(
22
yxyxyx −−=−−−
⇔ (x − y)(x + y −1) = 0
⇔



=−+
=−
01
0
yx
yx
Ta được hai hệ phươnh trình :




=−
=−+




=−
=−
yxx
yx
và
yxx
yx
2
01
.2
2
0
.1
22
Đs:



=
=



=
=
3
3
0

0
y
x
và
y
x







−
=
+
=







+
=
−
=
2
51

2
51
2
51
2
51
y
x
và
y
x
Dạng : Hệ phương trình đẳng cap bậc hai có dạng :






=++
=++
''3''
22
22
dycxybxa
dcybxyax
Cách giải : Cho y = 0 thay vào hệ phương trình để giải theo x
Với y ≠ 0 , đặt x = ky ta được phương trình bậc hai theo k
16
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Thí dụ : Giải hệ phương trình :






=++
=++
)2(82
)1(1532
22
22
yxyx
yxyx
• Khi y = 0 hệ trở thành





=
=
8
152
2
2
x
x
Do đó hệ vô nghiệm

• Khi y ≠ 0 ,đặt x = ky hệ trở thành :






=++
=++
⇔





=++
=++
)4(8)2(
)3(15)132(
82.
15.32
22
22
222
222
ykk
ykk
yykyyk
yykyyk
Vì y ≠ 0 lấy phương trình (3) chia (4) ta được :

0229
2
=−+ kk




−=
=
⇔
11
2
k
k
∗Với k = 2 thay vào (4) ta được :




−=
=
⇔
=⇔
=++
1
1
1
8)222(
2

22
y
y
y
y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :




−=
−=



=
=
1
2
1
2
y
x
và
y
x

∗ Với k = -11 thay vào (4) ta được :

[ ]






−=
=
⇔
=⇔
=+−−
14
1
14
1
14
1
8211)11(
2
22
y
y
y
y

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
17
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10








−=
=







=
−=
14
1
14
11
14
1
14
11
y
x
và
y

x

Vậy nghiệm của hệ phương trình có 4 nghiệm
Bài tập : Giải hệ phương trình :







=++
=++
1732
1123
22
22
yxyx
yxyx
Dạng 4 : Hệ phương trình đưa được về hệ phươnh trình đối xứng
Cách giải : Đổi biến đặt t = -x ( hoặc t = -y)
Hệ phương trình trở thành hệ đối xứng
Ví dụ : Giải hệ phương trình :




=−−−
=++−−+
0122

0377322
22
xyyx
yxxyyx
• Đổi biến t = -y ta được hệ phương trình :

(*)
01)(2
03)(73)(2
0122
0377322
22
22



=−++
=++−++
⇔



=−++
=+−−++
xttx
txxttx
xttx
txxttx

Hệ (*)trở thành hệ đối xứng dạng 2

Hệ đã cho ⇔



=−++
=++−−+
01)(2
03)(7)(2
2
xttx
txxttx

Đặt S = x + t , P = x.t ta được hệ phương trình:



=−+
=+−−
012
0372
2
PS
SPS
suy ra phương trình: 2S
025
2
=+− S







=
=
⇔
2
1
2
S
S

•Khi S = 2 thì P = −3 . Lúc đó x và t là nghiệm của phươnh
trình
032
2
=−− XX




=
−=
⇔
3
1
X
X
Hệ (∗) có 2 nghiệm :




=
−=
3
1
t
x
và



−=
=
1
3
t
x
18
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Do đó hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm :



−=
−=
3
1
y
x

và



=
=
1
3
y
x
• Khi S =
2
1
thì P = 0 , ta có :





=
=+
0.
2
1
tx
tx
Hệ (∗) có 2 nghiệm






=
=
2
1
0
t
x
và





=
=
0
2
1
t
x
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm






−=

=
2
1
0
y
x
và





=
=
0
2
1
y
x

Tóm lại hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
(-1;-3), (3;1), (0;-
2
1
), (
2
1
;0)
Bài tập : 1.




=−−−
=++−++
0322
015
22
xyyx
yxxyyx

2.





=−−+
=−−++−+
028433
01033322
22
22
xyyx
yxxyyx

IV - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng 1 : Xét dấu tam thức bậc hai :
f(x) =
)0(0
2

≠=++ acbxax
Phương pháp : • Tính
acb 4
2
−=∆

• Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai .
Áp dụng : Xét dấu các tam thức bậc hai :
1. f(x) = 2
25
2
+− xx

Ta có : ∆ = 25 – 16 = 9

2
2
1
21
== xvàx
Bảng xét dấu :a = 2 >0
x −
∞

2
1
2 +
∞
19
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10

f(x) + 0 − 0 +

2. g(x) = 4
912
2
+− xx

Ta có : ∆’ = 36 – 36 = 0
a = 2 > 0
Vậy h(x) >0 ,
x
∀

2
3
≠

3. h(x) = 2
2
2
+− xx

Ta có : ∆ = 1 – 16 < 0
a = 2 > 0
Vậy h(x) >0 ,
x
∀
Giải các bất phương trình :
0
2

>++ cbxax
hoặc
0
2
<++ cbxax
với a ≠ 0
• Xét dấu các tam thức ở vế trái
• Chọn giá trị của x thích hợp căn cứ vào chiều của bất
phương trình
Ví dụ : 1.Giải bất phương trình sau :

0132
2
>+− xx

Giải
Ta có : ∆ = 9 –8 = 1, tam thức
132
2
+− xx
có hai nghiệm
1
2
1
21
== xvàx

Bảng xét dấu :a = 2 > 0
x − ∞
2

1
1 + ∞
f(x) + 0 − 0 +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (− ∞;
2
1
) ∪ ( 1; + ∞)
2. Giải bất phương trình sau :

01182
2
<++ xx
Giải
Ta có : ∆ =16 –22 = –6 < 0
a = 2 > 0
Do đó
xxx ∀>++ ,01182
2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : T = ∅
3. Giải bất phương trình sau
09124
2
≤+− xx
Giải
Ta có : ∆ =36 – 36 = 0
a = 4 > 0
Do đó
2
3

,09124
2
≠∀>+− xxx

20
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : T =






2
3

Bài tập: Xét dấu các tam thức bậc hai :
a. –
2
2
+− xx
d.
)2)(3(
2
−+− xxx
b. 2
xx 3
2
−
e.

x
x
1
−
c. 4
2
x−
f.
1
14
2
2
−
++
x
xx
Giải bất phương trình sau :
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1.
0126
2
<−+ xx
4.
0232
2
>−− xx
2.
04113
2
<+−− xx

5.
0234
2
≥−+− xx
3.
0973
2
>−+− xx
6.
0232
2
>−− xx
Dạng : Tìm điều kiện để tamthức không đổi dấu :
• f(x) =



>
<∆
⇔∀>++
0
0
,0
2
a
xcbxax
• f(x) =




<
<∆
⇔∀<++
0
0
,0
2
a
xcbxax
Ví dụ : 1 .Xác định m để tam thức sau
xmxmx ∀>++−+ ,05)1(2
2
Ta có :
xmxmx ∀>++−+ ,05)1(2
2
⇔



>
<∆
0
0'
a
⇔



>
<+−−

01
0)5()1(
2
mm
⇔



>
<−−+−
01
0512
2
mmm
⇔ −1< m < 4
Vậy m ∈ (− 1; 4)

2. Xác định m để tam thức sau :
f(x) =
xmxmmx ∀<−++− ,05)1(4
2
Giải
• m = 0 : f(x) = −4x − 5 , không luôn dương ∀x • m ≠ 0 :
Ta có:
xmxmmx ∀<−++− ,05)1(4
2
⇔




<
<∆
0
0'
a

21
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
⇔



<
<−−+
0
0)5()1(4
2
m
mmm
⇔



>
<−−+−
01
0512
2
mmm
⇔

3
1
4 −<<− m

Vậy m ∈ (− 4;
3
1
−
)
Bài tập : 1. Xác định m để tam thức sau âm
x∀
:
a.
1)3(4
2
++−+− mxmx

b.
5)4(3
2
−++−− mxmx
c.
4)1()2(
2
+++− xmxm
d.
1)12(2)1(
2
−−−−− mxmxm
2. Xác định m để tam thức sau dương

x∀
:
a.
32)2(4
2
−++− mxmx
b.
3)3(5
2
−−−+ mxmx
c.
4)3()2(
2
++++− mxmxm
Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình :
0
2
=++ cbxax
sau đây có nghiệm :
• a = 0 : giải phương trình : bx + c = 0
• a ≠ 0 : ta có ∆ =
acb 4
2
−

• Cho ∆
0≥
để giải tìm giá trị của m
Ví dụ : 1. Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm :

012)2(2)4(
2
=++−++ mxmxm

Giải
• a = 0 ⇔ m + 4 = 0 ⇔ m = −4: ta được : 2(−4 − 2)x +2.(−4)
⇔ − 12.x − 7 = 0
• a
0≠
⇔ m + 4
0≠
⇔ m ≠ −4 : ta có ∆’ =
)12)(4()2(
2
++−− mmm

= =
)13(13
2
+−=−− mmmm

Để phương trình có nghiệm ∆’ −13 ≥ 0 ⇔
0)13( ≥+− mm

Ta có :
130
21
−== mvàm

∗ Bảng xét dấu : m = −1

m − ∞ −13 0 + ∞

)13( +− mm
− 0 + 0 −
22
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Phương trình có nghiệm khi m ≠ −4 , −13 ≤ m ≤ 0
Vậy phương trình có nghiệm khi : −13 ≤ m ≤ 0
2. Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm :

02)4()5(
22
=++−+ xmxm
giải
Có a =
mm ∀>+ ,05
2

2487
408168
)5(2.4)4(:
2
22
22
−+−=∆
−−++=
+−+=∆
mm
mmm
mmTacó

Xét dấu ∆
2487
2
−+−= mm

0152: <−=∆
m
cóTa


V - VẬN DỤNG MỘT TÍNH CHẤT CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bằng phương pháp cộng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau
Bài toán Cho hệ phương trình




=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
(*)
Với x,y là các ẩn số ,
222111
;;;;; cbacba
là các tham số
Nếu
0

1221
≠−= babaD
thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất








−
−
==
−
−
==
1221
1221
1221
1221
baba
caca
D
D
y
baba
bcbc
D
D

x
y
x
(**)
Như vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**)
Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể
áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán. Sau đây là một số thí dụ
Thí dụ 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn





+
=−
=+
1
2
2
1
2
3
m
m
myx
ymx
(1)
Chứng minh rằng
1
22

=+ yx
Lời giải
Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số.
Khi đó x và y đều biểu thị được theo m
23
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10
Thật vậy
do
0121.1)2.(
2
1221
≠−−=−−=− mmmbaba
nên áp dụng công thức (**)ta có











+
−
=
−−
−
+

=
+
=
−−
+
−−
=
1
1
12
1.1
1
2
.
1
2
12
1.
1
2
)2.(1
2
2
2
2
3
22
2
3
m

m
m
m
m
m
y
m
m
m
m
m
m
x
Suy ra
1
)1(
12
)
1
1
()
1
2
(
12
24
2
2
2
2

2
22
=
+
++
=
+
−
+
+
=+
m
mm
m
m
m
m
yx
Thí dụ 2
Cho x,y,z là các số thực thoả mãn



=+++
=++
232
1
yxyzxz
yxxz
(1)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z)
Lời giải
Ta giảm số biến của biểu thức P bằng cách
biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số được




=+++
=++
2)3()12(
1)2(
yzxz
yzzx
Có
01)1(22)2)(12()3(
22
1221
≠−+−=−−−=++−+=− zzzzzzzbaba
Nên áp dụng công thức (**) ta có








++
=

−−−
+−
=
++
+
=
−−−
+−+
=
22
1
22
1).12(2.
22
1
22
)2(2)3.(1
22
22
zzxz
zz
y
zz
z
zz
zz
x
Suy ra
22
2

)1)1((
)1(
)1(
++
+
=+=
z
z
zxyP
Do có
0)1)1((
22
≥−+z
⇔
222
)1)1((
4
1
)1( ++≤+ zz
mà
0)1(
2
≥+z
nên
4
1
)1)1((
)1(
0
22

2
≤
++
+
=≤
z
z
P
GTNN của P là 0 khi và chỉ khi
)1;1;0();;( −=zyx
GTLN của P là
4
1
khi và chi khi (x;y;z)
)}2;
2
1
;
2
1
();0;
2
1
;
2
1
{( −
−
∈
Thí dụ 3 Cho x,y là các số thực thoả mãn

24
Tài liệu Bồi dưỡng Toán 10

9)14()173(
22
≤+++++ yxyx
Chứng minh rằng

5
16
5
14
≤+≤
−
yx
Lời giải
Do
173 ++ yx
và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết
ta coi 2 biểu thức lần lượt là a,b thì x,y đều biểu thị được
theo a và b
Thật vậy
Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b
Ta có hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau



−=+
−=+
14

173
byx
ayx
(1)
Có
057.14.3 ≠=−
nên áp dụng công thức (**) thì
hệ pt (1) có nghiệm








−−
=
+−
=
5
23
5
374
ab
y
ba
x
Khi đó ta có

9
22
≤+ ba

5
143 +−
=+
ba
yx
Mặt khác
2
)(0 npmq −≤

⇔
))(()(
22222
qpnmnqmp ++≤+
⇔
))((
2222
qpnmnqmp ++≤+
áp dụng BĐT trên ta có
159.25))()4(3(43
2222
=≤+−+≤− baba
⇔
154715
≤−≤−
ab
Suy ra

5
16
5
115
5
143
5
515
5
14
=
+
≤
+−
=+≤
+−
=
− ba
yx
Thí dụ 4 giải hệ phương trình





+−=
+
+−+++
=+−+++
2129

115
52212
1)52(4)12(
33
yx
x
yxyx
yxyx
Lời giải
Ta thấy
12 ++ yx
và
52 +− yx
là các biểu thức bậc nhất đối
với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt

012 ≥=++ ayx
,
052 ≥=+− byx
khi này x, y đều biểu diễn được theo a và b
25