Số phức tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
85


§1. SỐ PHỨC
Số tiết : 3LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Khái niệm số phức :
• Tập hợp số phức :
ℂ

• Số phức (dạng ñại số) : z = a + bi (a, b
∈
R, i ñơn vị ảo, i
2
= −1) ; a là phần thực, b là phần
ảo của z.
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0.
• z là số ảo
⇔
phần thực của z bằng 0.
• Hai số phức bằng nhau :
a + bi = c + di
⇔

a c
b d


=

=

(a, b, c, d
∈
R)
2. Biểu diễn hình học số phức :
Số phức z = a + bi ñược biểu diễn bởi ñiểm M(a ; b) hay bởi
vecto
u

= (a ; b) trong mp tọa ñộ Oxy (mặt phẳng phức).
3. Phép cộng và phép trừ số phức :
• (a + bi)
±
(c + di) = (a
±
c) + (b
±
d)i.
• Số ñối của z = a + bi là −z = −a – bi .
• Tính chất :
o Kết hợp : (z + z’) + z” = z + (z’ + z”) với mọi z, z’, z”
∈
ℂ
.
o Giao hoán : z + z’ = z’ + z với mọi z, z’
∈
ℂ

.
o Cộng với 0 : z + 0 = 0 + z = z với mọi z
∈
ℂ
.
• z biểu diễn bởi
u

, z’ biểu diễn bởi vecto
'
u

thì : z
±
z’ biểu diễn bởi
u


±

'
u

.
4. Phép nhân số phức :
• (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
k là số thực, z biểu diễn bởi vecto
u

thì kz biểu diễn bởi k

u

.
• Tính chất :
o Giao hoán : zz’ = z’z với mọi z, z’
∈
ℂ
.
o Kết hợp : (zz’)z” = z(z’z”) với mọi z, z’, z”
∈
ℂ
.
o Nhân với 1 : 1.z = z.1 = z với mọi z
∈
ℂ
.
o Phân phối : z(z’ + z”) = zz’ + zz” với mọi z, z’, z”
∈
ℂ
.
5. Số phức liên hợp và môñun của số phức :
• Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
z
= a – bi. Như vậy :
z
a bi a bi
= + = −

o
; ' ' ; ' . '

= + = + =
z z z z z z zz z z

o z là số thực
⇔
z =
z
; z là số ảo
⇔
z = −
z
.
• Môñun của số phức z = a + bi là số thực không âm
2 2
.
z a b z z OM
= + = =


o
0, ; 0 0
z z z z
≥ ∀ ∈ = ⇔ =
ℂ

o
' . ' , ' '
zz z z z z z z
= + ≤ +
với mọi z, z’

∈
ℂ
.
6. Phép chia cho số phức khác 0 :
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
86

• Số phức nghịch ñảo của z (z ≠ 0) là
1
2
1
z z
z
−
=

• Thương của z’ chia cho z (z ≠ 0) :
1
2
' '. '.
'.
.
z z z z z
z z
z
z z
z
−
= = =

• Với z ≠ 0,
'
w ' w
z
z z
z
= ⇔ =
;
'
' ' '
,
z
z z z
z z z
z
 
= =
 
 

B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 3.
b) Số phức z = −I có phần thực bằng 0, phần ảo bằng −1, ñó là số ảo.
Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:
a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.
b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.
Giải:
a) Vecto
OM


biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto
'
OM

biểu
diễn số phức z’ = 2 + i
b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức
bởi vecto
OP

.
z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi
vecto
OQ

.

Ví dụ 3: Tính : (2 – i)(1 + 2i) = (2 + 2) + (4 – 1)i = 4 + 3i.
(2 + i)(2 – i) = (4 + 1) + (−2 + 2)i = 5.
(2 + i)(1 + 2i) = (2 – 2) + (4 + 1)i = 5i.
(bi)
2
= b
2
.i
2
= −b
2
(b ∈R).

i
3
= i
2
.i = −i, i
4
= 1, i
5
= i.
(1 + i)
3
= 1 + 3i + 3i
2
+ i
3
= −2 + 2i.
Ví dụ 4: Phân tích z
2
+ 4 thành nhân tử.
Giải:
z
2
+ 4 = z
2
− 4i
2
= (z – 2i)(z + 2i). Tông quát nếu a là số thực thì : z
2
+ a
2

= (z + ai)(z – ai).
Ví dụ 5: Tính :
2 2
3 (3 )(1 ) 2 4
1 2
1 (1 )(1 )
1 1
i i i i
i
i i i
− − − −
= = = −
+ + −
+

( )
2
2
2
2 2 ( 2 2 )( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 4 2 1 2 2
6 3
2 2 ( 2 2 )( 2 2 )
2 2
i i i i i i
i i i
+ + + + − + − +
= = = =
− − +
+

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i.
Giải: Ta có : (1 + 2i)z = 3z – i ⇔ (−2 + 2i)z = −i
⇔ z =
(2 2 ) 2 2 1 1
2 2 2 2 (2 2 )(2 2 ) 8 4 4
i i i i i
i
i i i i
− + − + −
= = = = +
− + − − +

C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
1. Tự làm.
2. Tự làm.
3. Xác ñịnh các số phức biểu diễn bởi các ñỉnh của một lục giác ñều có tâm là gốc tọa ñộ O trong
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
87

mặt phẳng phức, biết rằng một ñỉnh biểu diễn số i.
Giải:
Gọi D là ñiểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i.
Dễ thấy ñiểm E có tọa ñộ
3 1
os ;sin ;
6 6 2 2
c
 
π π

 
=
 
 
 
 
nên E biểu diễn
số phức
3 1
2 2
i
+
; C ñối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số
phức
3 1
2 2
i
− +
; F biểu diễn số phức
3 1
2 2
i
−
; B biểu diễn số
phức
3 1
2 2
i
− −
.

4. Thực hiện phép tính :
2 2
1 2 3 2 3
2 3 13
2 3
i i
i
+ +
= =
−
+
;
1 3
1 1 3
2 2
1 3
2 2
1 3
4 4
2 2
i
i
i
+
= = +
+
−

3 2
(3 2 )( ) 2 3

i
i i i
i
−
= − − = − −
;
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13
4 16 1 17
i i i i
i
− − + −
= =
− +

5. Cho z =
1 3
2 2
i
− +
. Hãy tính :
2 3 2
1
; ; ; ( ) ; 1
z z z z z
z
+ +
.
Giải:
2
1 3

1 1 3
2 2
1 3
2 2
.
4 4
i
z z
i
z
z z
z
− −
= = = = − −
+
; z
2
=
1 3 1
2 2
i z
z
− − = =

3 2
( ) .( ) 1
z z z
= =
; 1 + z + z
2

= 0.
6. Chứng minh rằng :
a) Phần thực của số phức z bằng
1
( )
2
z z
+
, phần ảo của số phức z bằng
1
( )
2
z z
i
−
.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z = −
z
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' '
z z z z
+ = +
,
' . '
zz z z
=
và nếu z ≠ 0 thì
' '
z z

z
z
 
=
 
 
.
Giải:
a) Gọi số phức z = a + bi (a là phần thực, b là phần ảo) ⇒
z
= a – bi.
⇒ z +
z
= 2a ⇒ a =
1
( )
2
z z
+

z -
z
= 2bi ⇒ b =
1
( )
2
z z
i
−

b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0
⇔
z +
z
= 0 ⇔ z = −
z
.
c) Gọi số phức z = a + bi và z’ = c + di .Khi ñó
z
= a – bi và
'
z
= c – di.
⇒
z
+
'
z
= (a + c) - (b + d)i, mà z + z’ = (a + c) + (b + d)i⇒
'
z z
+
= (a + c) - (b + d)i =
z
+
'
z
.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp

88

Tương tự cho các ñẳng thức còn lại.
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có :
i
4m
= 1 ; i
4m+1
= i ; i
4m+2
= −1 ; i
4m+3
= −i.
Giải:
i
4m
= (i
4
)
m
= (−1)
2m
= 1
m
= 1 ; i
4m+1
= i
4m
.i = i
i

4m+2
= i
4m+1
.i = i.i = −1
;
i
4m+3
= i
4m+2
.i = −i.
8. Chứng minh rằng :
a) Nếu vecto
u

của mp phức biểu diễn số phức z thì ñộ dài của vecto
u

là
u z
=

, và từ ñó nếu các
ñiểm A
1
, A
2
theo thứ tự biểu diễn các số phức z
1
, z
2

thì
1 2 2 1
A A z z
= −

.
b) Với mọi số phức z, z’, ta có
. ' . '
z z z z
=
và khi z ≠ 0 thì
'
'
z
z
z z
=
.
c) Với mọi số phức z, z’, ta có
' '
z z z z
+ ≤ +
.
Giải:
a) Ta có : z = a + bi ⇒
2 2
z a b
= +
, và
u


biểu diễn số phức z thì
u

nên ñộ dài vecto
u

là
2 2
a b
+
, do ñó
u z
=

.
Nếu A
1
, A
2
theo thứ tự biểu diễn z
1
, z
2
thì vecto
1 2 2 1
A A OA OA
= −
  
biểu diễn z

2
– z
1
nên
1 2 2 1
A A z z
= −

(ñpcm).
b) Ta cần chứng minh :
2 2 2
. ' . '
z z z z
=
và với z ≠ 0 thì :
2 2 2
'
' '. 1 1
'. ' .
z
z z z
z z z z
z z
z z z
= = = =

c) Gọi z = a + bi, z’ = c + di ⇒ z + z’ = (a + c) + (b + d)I
⇒
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

' 2( ) 2 ( )( )
z z a b c d ac bd a b c d a b c d
+ = + + + + + ≤ + + + + + +

=
(
)
( )
2
2
2 2 2 2
'
a b c d z z
+ + + = +

⇒
' '
z z z z
+ ≤ +

9. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng ñiều kiện sau:
a)

z – i

= 1 b)
1
z i
z i
−

=
+
c)
3 4
z z i
= − +

Giải: Gọi z = a + bi
a) ⇒ z - i = a + bi - i = 1 ⇔ a + (b – 1)i = 1 ⇔ a
2
+ (b – 1)
2
= 1, Vậy tập hợp các ñiểm
biểu diễn số phức z là ñường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1.
b)
2 2 2 2
( 1)
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0
( 1)
z i a b i
a b i a b i a b a b b
z i a b i
− + −
= = ⇔ + − = + + ⇔ + − = + + ⇔ =
+ + +

Vậy z là số thực.
c) Ta có :
3 4
z z i

= − +
⇔ a + bi = a – bi – 3 + 4i ⇔a + bi = (a – 3) + (4 – b)i
⇔ a
2
+ b
2
= (a – 3)
2
+ (4 – b)
2
⇔ 6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là
một ñường thẳng.

Ti liu Ging dy Toỏn 12 nõng cao Giỏo viờn: Phan Cụng Tr
Trng THPT Thanh Bỡnh 2 Thanh Bỡnh ng Thỏp
89

LUYN TP
10. Chng minh rng vi mi s phc z 1, ta cú :
1 + z + z
2
+ . . . + z
9
=
10
1
1
z
z

Gii:
Do (1 + z + z
2
+ . . . + z
9
)(z 1) = z + z
2
+ z
3
+. . . .+z
10
(1 + z + z
2
+ . . . + z
9
) = z
10
1 nờn khi z
1 ta chia hai v cho z 1 thỡ ủc ủng thc cn chng minh.
11. Hi mi s sau ủõy l s thc hay s o (z l s phc tựy ý cho trc sao cho biu thc xỏc
ủnh) ?

2 2
2 2
3 3
( )
( ) ; ;
( ) 1 .

z z z z
z z
z z z z

+
+ +

Gii: Gi z = a + bi
z
= a bi.

2 2 2
( ) ( ) 2 .
z z z z z z
+ = +
l s thc. Vỡ z +
z
l s thc v z.
z
l s thc.
z -
z
l s o v z
3
+ (
z
)
3
= (z +
z

)[(z +
z
)
2
3z.
z
) l s thc nờn
3 3
( )
z z
z z

+
l s o.
z
2
(
z
)
2
= (z +
z
)(z -
z
) l s o v 1 + z.
z
l s thc nờn
2 2
( )
1 .

z z
z z

+
l s o.
12. Xỏc ủnh tp hp cỏc ủim trong mp phc biu din cỏc s phc z tha món tng ủiu kin sau:
a) z
2
l s thc õm b) z
2
l s o
c) z
2
= (
z
)
2
d)
1
z i

l s o.
Gii:
a) z
2
l s thc õm z l s o. Vy tp hp cỏc ủim biu din s phc z nm trờn trc o (Oy),
tr ủim O
b) Gi z = a + bi z
2
= a

2
b
2
+ 2abi l s o a
2
b
2
= 0 b = a. Vy tp hp cỏc ủim biu
din s phc z nm trờn hai ủng phõn giỏc ca cỏc gc ta ủ.
c) z
2
= (
z
)
2
(z +
z
)(z
z
) = 0





z + z = 0 ( )
z - z = 0 ( )
truùc thửùc
truùc aỷo
. Vy tp hp cỏc ủim l cỏc trc ta ủ.

d)
1
z i

l s o z i l s o x + (y 1)i l s o x = 0 v y 1. Vy tp hp cỏc ủim
biu din nm trờn trc Oy (tr ủim cú tung ủ bng 1).
13. Tỡm nghim phc ca cỏc phng trỡnh sau :
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)
z
- 4 = 0
d) (iz 1)(z + 3i)(
z
- 2 + 3i) = 0 e) z
2
+ 4 = 0.
Gii:
a) z =
2
1 2
i
i
i

= +
b) z =
1 1 3
1 3 10 10
i
i

= +
+

c)
z
=
z =
4 8 4 8 4
2 5 5 5 5
i i
i
= +

d) z = i, z = 3i, z = 2 + 3i
e) z = 2i.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
90

14. a) Cho số phức z = x + yi (x, y
∈
R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức
z i
z i
+
−
.
b) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ñiều kiện
z i
z i

+
−
là số
thực dương.
Giải:
a)
2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) [ ( 1) ].[ ( 1) ] 1 2
( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
+ + + + + − − + −
= = = +
− + −
+ − + − + −
z i x y i x y i x y i x y x
i
z i x y i
x y x y x y

Vậy phần thực là
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
và phần ảo là

2 2
2
( 1)
x
x y+ −

b)
z i
z i
+
−
là số thực dương ⇔
2 2
2
( 1)
x
x y+ −
= 0 và
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
+ −
+ −
> 0 ⇔
2 2
0
0

1 1
1 0
x
x
y hoaëc y
x y

=

=

⇔
 
<− >
+ − >




Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn z nằm trên trục Oy bỏ ra ñoạn thẳng IJ (I biểu diễn số i, J biểu diễn
số −i).
15. a) Trong mp phức, cho 3 ñiểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z
1
,
z
2
, z
3
. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ?
b) Xét 3 ñiểm A, B, C của mp phức theo thư tự biểu diễn 3 số phức phân biệt z

1
, z
2
, z
3
thỏa mãn :
z
1
 = z
2
 = z
3
. Chứng minh rằng A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi z
1
+ z
2
+ z
3

= 0.
Giải:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có :
1
( )
3
OG OA OB OC
= + +
   

Suy ra , G biểu diễn số phức

1 2 3
(z + z + z )
1
3
.
b) Ba ñiểm A, B , C (hay 3 vecto
, ,
OA OB OC
  
) biểu diễn 3 số phức z
1
, z
2
, z
3
thỏa mãn z
1
 = z
2

= z
3
 ⇔ OA = OB = OC (theo 8.a)) tức là ñiểm O cách ñều 3 ñiểm A, B, C hay 3 ñiểm ñó nằm
trên ñường tròn tâm O (gốc tọa ñộ).
A, B, C là 3 ñỉnh của tam giác ñều khi và chỉ khi trọng tâm G trùng với tâm ñường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC hay G ≡ O ⇔ z
1
+ z
2
+ z

3
= 0 (theo a)).
16. ðố vui. Trong mp phức cho các ñiểm : O (gốc tọa ñộ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z
không thực, A’ biểu diễn số phức z’ ≠ 0 và B’ biểu diễn số phức z.z’. Hai tam giác OAB, OA’B’ có
phải là hai tam giác ñồng dạng không ?.
Giải:
Theo gt ta có: OA = 1; OA’ = z’ ; OB = z ; OB’ = z.z’ ; AB = z − 1 ; A’B’ = z.z’ −z’.
Và :
z' z.z' z.z'- z'
OA' OB' A'B'
= = z' , = = z' , = = z'
OA 1 OB AB
z z -1

Do ñó hai tam giác OAB, OA’B’ ñồng dạng với tỉ số ñồng dạng là z’.






Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
91

§2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Số tiết : 2LT + 1BT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Căn bậc hai của số phức :
• z là một căn bậc hai của số phức w ⇔ z

2
= w.
• z = x + yi (x, y∈R) là căn bậc hai của w = a + bi (a, b∈R)
⇔
2 2
2
x y a
xy b

− =


=


.
• Số 0 có ñúng một căn bậc hai là 0.
• Số phức khác 0 có ñúng hai căn bậc hai là 2 số ñối nhau.
• Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là
a
±
.
• Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là
.
a i
± −
.
2. Phương trình bậc hai :
Az
2

+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước A ≠ 0)
• Tính ∆ = B
2
– 4AC
• ∆ ≠ 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
(
2
B
A
δ
δ
− ±
là một căn bậc hai của ∆)
• ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép z
1
= z
2
=
2
B
A
−
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của :
a) −1 b) −a
2
(a là số thực khác 0) c) −5 + 12i d) i
Giải:
a) −1 là số thực âm nên có hai căn bậc hai là

i
±
.
b) −a
2
là số thực âm nên có hai căn bậc hai là
ai
±
.
c) ðặt w = −5 + 12i. Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w
⇔

2 2
2
5
2
2 12
6
x
x y
x
xy
y
x


=




− = −
 
= −

⇔
 
=



=



Vậy có hai căn bậc hai của −5 + 12i là : 2 + 3i và −2 – 3i.
d) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w = i
⇔

2 2
2
0
2
2 1
1
2
x
x y
xy
y
x


= ±


− =
 
⇔
 
=



=



Vậy có hai căn bậc hai của i là :
2
(1 )
2
i
± +
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) z
2
– z + 1 = 0 b) z
2
+ (−2 + i)z – 2i = 0
Giải:

a) Ta có :
∆
= 1 – 4 = −3 là số thực âm nên một căn bậc hai của
∆
là :
3
i
.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
92

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt z
1
=
1 3
2
i
+
và z
2
=
1 3
2
i
−

b) Ta có :
∆
= (i – 2)

2
– 4(−2i) = 3 – 4i + 8i = 3 + 4i = (2 + i)
2
( hay ta ñi tìm một căn bậc 2 của
∆
).
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt : z
1
=
2
2-i - 2 -i
z = = i
2
2 2
2,
2
i i− + +
=
-
.
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
17. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :
−i ; 4i ; −4 ; 1 +
4 3
i
Giải:
Hai căn bậc hai của −i là :
1 1 1 1
,
2 2 2 2

i i
− + −
.
Hai căn bậc hai của 4i là :
2 2 , 2 2
i i
+ − −
.
Hai căn bậc hai của 1 +
4 3
i là :
2 3 , 2 3
i i
+ − −
.
18. Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì

z

=
w

Giải:
z là một căn bậc hai của số phức w
⇔
z
2
= w ⇒

z

2

=

z

2
=

w

⇒

z

=
2
z = w
.
19. Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau :
a) z
2
= z + 1 b) z
2
+ 2z + 5 = 0 c) z
2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
Giải:
a) z =
1 5

2 2
±
b) z = −1
±
2i c) z = 2i và z = −1 + i/
20. a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn ñúng cho phương trình
bậc hai với hệ số phức không ? Vì sao ?
b) Tìm hai số phức , biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).
c) Có phải mọi phương trình bậc hai z
2
+ Bz + C = 0 (B, C là 2 số phức ) nhận hai nghiệm là hai số
phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực ? Vì sao ?ðiều ngược lại có ñúng
không ?
Giải:
a) Từ công thức nghiệm của phương trình bậc hai
(
2
B
A
δ
δ
− ±
2
= B
2
– 4AC) chứng tỏ z
1
+ z
2
= −B/A

và z
1
.z
2
= C/A ⇒ công thức vẫn còn ñúng.
b) Hai số phức cần tìm là nghiệm phương trình : z
2
– (4 – i)z + 5(1 – i) = 0. Giải ra ta ñược hai
nghiệm là : 3 + i và 1 – 2i.
c) Nếu phương trình z
2
+ Bz + C = 0 có 2 nghiệm z
1
, z
2
là 2 số phức liên hợp thì z
2
=
1
z
.
Theo công thức Vi-ét, B = −(z
1
+ z
2
) = −(z
1
+
1
z

) là số thực và C = z
1
.z
2
= z
1
.
1
z
là số thực.
ðiều ngược lại không ñúng vì nếu B, C thực thì khi
∆
= B
2
– 4C > 0 hai nghiệm là 2 số thực phân
biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau, khi
∆

≤
0 thì phương trình mới có 2 nghiệm là 2 số
phức liên hợp.
21. a) Giải phương trình sau : (z
2
+ i)(z
2
– 2iz – 1) = 0
b) Tìm số phức B ñể phương trình bậc hai z
2
+ Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Giải:

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
93

a) Phương trình
⇔
z
2
+ i = 0 hoặc z
2
– 2iz – 1 = 0. Vậy phương trình ñã cho có 3 nghiệm z
1
= i, z
2
=
3
z =
1 1 1 1
,
2 2 2 2
i i
− + −

b) Ta có : B = −(z
1
+ z
2
), z
1
.z

2
= 3i (z
1
, z
2
là 2 nghiệm phương trình : z
2
+ Bz + 3i = 0, mà theo gt ta
ñược : z
1
2
+ z
2
2
= 8
⇔
(z
1
+ z
2
)
2
– 2z
1
.z
2
= 8
⇔
b
2

– 6i = 8
⇔
b
2
= (8 + 6i)
⇔
b =
±
(3 + i).
22. ðố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là
1
−
và tính :
1
−
.
1
−
như sau :
a) Theo ñịnh nghĩa căn bậc hai của −1 thì
1
−
.
1
−
= −1.
b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích
hai số ñó) thì
1
−

.
1
−
=
( 1)( 1) 1 1
− − = =
, từ ñó học sinh ñó suy ra −1 = 1. Hãy tìm ñiều sai
trong lập luận trên.
Giải:
a) Lập luận a) ñúng.
b) Lập luận b) sai. Vì
1
−
.
1
−
chỉ là một căn bậc hai của (−1)(−1) = 1 (theo H1 trang 194). Lưu ý
có hai căn bậc hai của 1 là 1 và −1, các kí hiệu
1
−
.
1
−
và
1
chưa xác ñịnh.

LUYỆN TẬP
23. Tìm nghiệm phức của phương trình sau :
1

z + = k
z
trong các trường hợp sau :
a) k = 1 b) k =
2
c) k = 2i
Giải:
a) k = 1 thì z =
1 3
2
i
±
b) z =
2
(1 )
2
i
±
c) z =
(1 2)
i
±
.
24. Giải các phương trình sau trên
ℂ
và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương
trình trong mp phức.
a) z
3
+ 1 = 0 b) z

4
– 1 = 0 c) z
4
+ 4 = 0 d) 8z
4
+ 8z
3
= z + 1
Giải:
a) z
3
+ 1 = 0
⇔
(z + 1)(z
2
– z + 1) = 0 có 3 nghiệm z
1
= −1, z
2
=
3
1 3
z = - i
2 2
1 3
,
2 2
i+
(hình 1)
b) z

4
– 1 = (z
2
+ 1)(z
2
– 1) = 0 có nghiệm z
1
= i, z
2
= −i, z
3
= 1, z
4
= −1. (hình 2)
c) z
4
+ 4 = (z
2
+ 2i)(z
2
– 2i) = 0 có nghiệm z
1
= 1 – i, z
2
= −1 + i, z
3
= 1 + i, z
4
= −1 – i.(hình 3)
d) 8z

4
+ 8z
3
= z + 1
⇔
(z + 1)(8z
3
– 1) = 0
⇔
(z + 1)(2z – 1)(4z
2
+ 2z + 1) = 0 có nghiệm z
1
= −1,
z
2
= ½, z
3
=
4
1 3
z = - - i
4 4
1 3
,
4 4
i− +
.(hình 4)

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
94

25. a) Tìm các số thực b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z
2
+ bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một
nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c ñể phương trình (với ẩn z) : z
3
+ az
2
+ bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm
nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.
Giải:
a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)
2
+ b(1 + i) + c = 0
⇔
b + c + (2 + b)i = 0
⇔
b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2
b) Với 1 + i là nghiệm ta ñược : (1 + i)
3
+ a(1 + i)
2
+ b(1 + i) + c = 0
⇔
(b + c – 2) + (2 + 2a + b)i =
0

⇔
b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2).
Với 2 là nghiệm ta ñược : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6
(2) ⇒ a = −4.
Vậy a = c = −4, b = 6.
26. a) Dùng công thức cộng trong lượng giác ñể chứng minh rằng với mọi số thực

ϕ
, ta có :
(cos
ϕ

+ isin
ϕ
)
2
= cos2
ϕ
+
isin2
ϕ

Từ ñó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2
ϕ
+
isin2
ϕ
. Hãy so sánh cách giải này với cách giải
trong bài học ở §2.
b) Tìm các căn bậc hai của

2
(1 )
2
i
−
bằng 2 cách nói ở câu a).
Giải:
a) (cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
2
= cos
2
ϕ
− sin
2
ϕ
+ 2sin
ϕ
.cos
ϕ
.i = cos2
ϕ +
isin2
ϕ
.
Các căn bậc hai của cos2
ϕ +

isin2
ϕ
là :
±
(cos
ϕ
+ isin
ϕ
).
Còn theo cách giải trong bài học, ta cần giải hệ phương trình :
2 2
os2
2 sin 2
x y c
xy
ϕ
ϕ

− =


=



Giải ra ta tìm ñược hai căn bậc hai là :
±
(cos
ϕ
+ isin

ϕ
).
b)
2
(1 ) os isin os isin
2 4 4 4 4
i c c
   
π π π π
− = − = − + −
   
   
thì theo câu a),
2
(1 )
2
i
−
có hai căn bậc hai là
1
os isin os isin 2 2 2 2
8 8 8 8 2
c c i
 
     
π π π π
 
± − + − = ± − = ± + − −
   
     

 
     
 
(dùng ct hạ bậc)
Còn theo cách trong bài học, ta cần giải hệ phương trình :
2 2
2
2
2
2
2
x y
xy

− =




= −



Giải ra ta ñược các nghiệm :
2 2 2 2 2 2 2 2
; , ;
2 2 2 2
   
+ − − − + −
   

   
   
.







Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
95

§3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
Số tiết : 1
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Dạng lượng giác của số phức :
a) Acgumen của số phức z ≠ 0:
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là ñiểm biểu diễn số z. Số ño (radian) của mỗi góc lượng giác tia
ñầu Ox, tia cuối OM ñược gọi là một acgumen của z. Nếu
ϕ
là một acgumen của z thì mọi acgumen
của z có dạng
ϕ
+ k2
π
(k
∈
Z).

b) Dạng lượng giác của số phức :
Dạng z = r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b
∈
R) (z ≠ 0)

⇔

2 2
os
sin
r a b
a
c
r
b
r
ϕ
ϕ


= +


=




=


(
ϕ
là acgumen của z,
ϕ
= (Ox, OM).
2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z = r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
), z’ = r’(cos
ϕ
’ + isin
ϕ
’) thì:
z.z’ = rr’[cos(
ϕ
+
ϕ
’) + isin(
ϕ
+
ϕ
’)]
z
z'

os( ') isin( ')
'
r
c
r
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= − + −
 
.
3. Công thức Moa-vrơ :
Với n là số nguyên, n
≥
1 thì :
( os isin ) (cos isin )
n
n
r c r n n
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 


Khi r = 1, ta ñược :
( os isin ) (cos isin )
n
c n n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +

4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Các căn bậc hai của số phức z = r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
) (r > 0) là :
os isin
2 2
r c
ϕ ϕ
 
+
 
 
và
os isin os isin
2 2 2 2
r c r c
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
     
− + = + π + + π
 
     
     
 
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Tìm acgumen của : một số thực dương tùy ý, số thực âm tùy ý, 3i, −2i và 1 + i.

Giải:
Số thực dương tùy ý có một acgumen là 0. Số thưc âm tùy ý có một acgumen là
π
.
Số 3i có một acgumen là
π
/2, số −2i có một acgumen là −
π
/2, số 1 + i có một acgumen là
π
/4.
Ví dụ 2: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức :
z =
1
3
i
i
+
+

Giải:
Ta tìm dạng lượng giác của 1 + i , gọi r là môñun và
ϕ
là acgumen. Khi ñó :
r =
2
, cos
ϕ
= 1/
2

= sin
ϕ
⇒
ϕ
=
π
/4.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
96

Do ñó dạng lượng giác của 1 + i là :
2 os isin
4 4
c
 
π π
+
 
 

Tương tự, dạng lượng giác của
3
i
+
là :
2 os isin
6 6
c
 

π π
+
 
 
.
⇒
1 2 2
os isin os isin
2 4 6 4 6 2 12 12
3
i
c c
i
 
     
+ π π π π π π
= − + − = +
 
     
+
     
 
.
Ví dụ 3: Tính :
a) (1 + i)
5
b) (1 +
3
i)
9

Giải:
a) (1 + i)
5
=
5
5
5 5 2 2
2 os isin ( 2) os isin 4 2 4(1 )
4 4 4 4 2 2
c c i i
 
 
   
π π π π
+ = + = − − = − +
 
 
   
 
   
 
 
.
b) Ta tìm dạng lượng giác của
1 3
i
+
.
Ta có :

1 3 2
1
os
2
3
sin
2
r
c
ϕ
ϕ


= + =


=



=


suy ra r = 2 và
ϕ
=
π
/3
Dạng lượng giác của
1 3

i
+
là : 2(cos
π
/3 + isin
π
/3)
C. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA :
27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức:
z
; −z ; 1/
z
; kz (k
∈
R
*
) trong mỗi trường hợp sau :
a) z = r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
) (r > 0)
b) z =
1 3
i
+

Giải:
a)
z

= r(cos
ϕ
− isin
ϕ
) = r(cos(−
ϕ
) + isin(−
ϕ
))
−z = − r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
) = r[cos(
ϕ
+
π
) + isin(
ϕ
+
π
)]
1 1 1 1
( os isin ) [ os isin ]
( - )
c c
r cos isin r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = + = +

z

kz = k. r(cos
ϕ
+ isin
ϕ
) khi k > 0.
kz = − k.r[cos(
ϕ
+
π
) + isin(
ϕ
+
π
)] khi k < 0.
b) z =
1 3
i
+
= 2(cos
π
/3 + isin
π
/3). Khi ñó :
z
= 2(cos
π
/3 − isin
π

/3) = 2(cos(−
π
/3) + isin(−
π
/3))
−z = − 2(cos
π
/3 + isin
π
3) = 2[cos(4
π
/3) + isin(4
π
/3)]
1 1 1 1
( os isin ) [ os isin ]
2 3 3 2 3 3
2( - )
3 3
c c
cos isin
π π π π
= = + = +
π π
z

kz = k. 2(cos
π
/3 + isin
π

/3) khi k > 0.
kz = − 2k[cos(4
π
/3) + isin(4
π
/3)] khi k < 0.

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
97

28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a)
1 3
1 3 ; 1 ; (1 3)(1 ) ;
1
i
i i i i
i
−
− + − +
+
b)
2 ( 3 )
i i
−

c)
1
2 2

i
+
d) z = sin
ϕ
+ icos
ϕ
(
ϕ∈
R).
Giải:
a)
1 3
i
−
= 2
os isin 2 os isin
3 3 3 3
c c
 
     
π π π π
− = − + −
 
     
     
 

1 + i =
2 os isin
4 4

c
 
π π
+
 
 
;
(1 3)(1 ) 2 2 os isin
12 12
i i c
 
−π −π
− + = +
 
 

(1 3 7 7
2 os isin
1 12 12
i
c
i
 
− − π − π
= +
 
+
 

b)

2 ( 3 )
i i
−
= 2(
1 3
i
+
) = 4(cos
π
/3 + isin
π
/3). (hoặc làm như câu a))
c)
1 1 2
os isin
2 2 4 4 4
2 2 os isin
4 4
c
i
c
 
−π −π
= = +
 
+
 
π π
 
+

 
 

d) z = sin
ϕ
+ icos
ϕ
= cos(/2 −
ϕ
) + isin(
π
/2 −
ϕ
).
29. Dùng công thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)
19
và công thức Moa-vro ñể tính :

0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

C C C C C
− + − + −

Giải:
Ta có : (1 + i)
19
=
0 2 2 4 4 16 16 18 18 1 3 3 19 19
19 19 19 19 19 19 19 19

( ) ( )
C C i C i C i C i C i C i C i
+ + + + + + + + +

=
0 2 4 16 18 1 3 5 17 19
19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
( ).
C C C C C C C C C C i
− + − + − + − + − + −

⇒ phần thực là
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

C C C C C
− + − + −

Theo Moa-vro, ta có : (1 + i)
19
=
19
19
19 19
2 os isin ( 2) os isin
4 4 4 4
c c
 
   
π π π π

+ = +
 
   
   
 

=
19 9 9
2 2
( 2) 2 2 .
2 2
i i
 
− + = − +
 
 
 

⇒ phần thực là : −2
9
. Vậy :
0 2 4 16 18
19 19 19 19 19

C C C C C
− + − + −
= −2
9
= −512.
Cách khác: (1 + i)

2
= 2i ⇒ (1 + i)
19
= (2i)
9
(1 + i) = 2
9
.i(1 + i) = 2
9
(−1 + i), từ ñó suy ra số cần tìm.
30. Gọi M, M’ là các ñiểm trong mp phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i ;
z’ =
(3 3) (1 3 3)
i
− + +
.
a) Tính z’/z
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số ño của góc lượng giác
(OM, OM’). Tính số ño ñó.
Giải:
a) z’/z =
1 3
i
+

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
98

b) Ta có : sñ(OM, OM’) = sñ(Ox,OM’) – sñ(Ox, OM) =

ϕ
’ -
ϕ
= acgumen
z'
z
(sai khác k2
π
), trong
ñó
ϕ
và
ϕ
’ theo thứ tự là acgumen của z và z’. Theo a) z’/z =
1 3
i
+
có
acgumen là
2
3
k
π
+ π
(k
∈
Z) nên góc lượng giác (OM, OM’) có số ño là
2
3
k

π
+ π
.


31. Cho các số phức w =
2
(1 )
2
i
+
và
ε
=
1
( 1 3)
2
i− +
.
a) Chứng minh rằng z
o
=
os isin
12 12
c
π π
+
, z
1
= z

o
.
ε
, z
2
= z
o
.
ε
2
là các nghiệm của phương trình:
z
3
– w = 0.
b) Biểu diễn hình học các số phức z
o
, z
1
, z
2
.
Giải:
a) Ta có : w = cos
π
/4 + isin
π
/4,
ε
= cos2
π

/3 + isin2
π
/3 và phương trình z
3
– w = 0
⇔
z
3
= w (*)
ta cần thế các nghiệm ñó vào (*).
z
o
3
=
3
os isin os isin w
12 12 4 4
c c
 
π π π π
+ = + =
 
 

z
1
3
= (z
o
.

ε
)
3
= z
o
3
.
ε
3
= w.1 = w
z
2
3
= (z
o
.
ε
2
)
3
= z
o
3
.
ε
6
= w
b) Hình bên

LUYỆN TẬP

32. Sử dụng công thức Moa-vro ñể tính sin4
ϕ
và cos4
ϕ
theo các lũy thừa của sin
ϕ
và cos
ϕ
.
Giải:
cos4
ϕ
+ isin4
ϕ
= (cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
4
= cos
4
ϕ
+ 4cos
3
ϕ
.(isin
ϕ
) + 6cos
2

ϕ
(i
2
sin
2
ϕ
) + 4cos
ϕ
.(isin
ϕ
)
3
+
i
4
sin
4
ϕ
= cos
4
ϕ
− 6cos
2
ϕ
sin
2
ϕ
+ sin
4
ϕ

+ (4cos
3
ϕ
.sin
ϕ
− 4cos
ϕ
.sin
3
ϕ
).i
Từ ñó : cos4
ϕ
= cos
4
ϕ
− 6cos
2
ϕ
sin
2
ϕ
+ sin
4
ϕ
và sin4
ϕ
= 4cos
3
ϕ

.sin
ϕ
− 4cos
ϕ
.sin
3
ϕ
.
33. Tính :

21
2004
6
1 5 3 3
( 3 1) ; ;
1
1 2 3
i
i
i
 
 
+
−
 
 
 
+
−
 

 

Giải:
6
6 6 6
( 3 1) 2 os isin 2 [ os( ) isin( )] 2
6 6
c c
 
 
   
π π
− = − + − = −π + −π = −
 
 
   
 
   
 
 
.
2004
2004 2004
1002 1002
1 1 1 200 200 1 1
os isin ( os isin )
1 2 4 4
2 2
2
i

c c
i
 
     
+ π π
= = + = π + π = −
 
     
+
     
 

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
99

21
21 21 21
5 3 3 42 42
( 1 3) 2 os isin 2
3 3
1 2 3
i
i c
i
 
 
+ π π
= − + = + =
 

 
 
−
 
 

34. Cho số phức w =
1
(1 3)
2
i− +
. Tìm các số nguyên dương n ñể w
n
là số thực. Hỏi có chăng một
số nguyên dương m ñể w
m
là số ảo ?
Giải:
Ta có : w =
1 4 4
(1 3) os isin
2 3 3
i c
π π
− + = +
⇒ w
n
=
4 4
os isin

3 3
n n
c
π π
+
(n guyên dương). Số này là
số thực khi và chỉ khi
4
sin 0
3
nπ
=

⇔
4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương
của 3.
Số w
m
(m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi
4
os 0
3
m
c
π
=
, tức là khi và chỉ khi có số nguyên k
ñể
4 1
3 2

m
k
= +

⇔
8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2. Vậy không có
số nguyên dương m ñể w
m
là số ảo.
35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trương hợp sau :
a)

z

= 3 và một acgumen của iz là 5
π
/4.
b)

z

= 1/3 và một acgumen của
z
1
i
+
là −3
π
/4.
Giải:

a) Ta có

z

= 3, một acgumen của iz là 5
π
/4 ⇒ acgumen(z) = acgumen
iz
i
=
5 3
4 2 4
π π π
− =

Vậy z = 3
3 3
os isin
4 4
c
 
π π
+
 
 
. và dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là :
3 3
3 os isin
8 8
c

 
π π
+
 
 
và
3 3
3 os isin 3 os isin
8 8 8 8
c c
   
π π 11π 11π
− + = +
   
   

b) Gọi
ϕ
là một acgumen của z ⇒ −
ϕ
là một acgumen của
z
. Và do acgumen của 1 + i là
π
/4 nên
acgumen của
z
1
i
+

là −
ϕ
−
π
/4 , theo gt ta ñược :
3
4 4 2
ϕ ϕ
π π π
− − = − + κ2π ⇔ =
+ l2
π
(k,l
∈
Z).
Suy ra z =
1
os isin
3 2 2
c
 
π π
+
 
 
. Từ ñó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là :
3
os isin
3 4 4
c

 
π π
+
 
 
và
3
os isin
3 4 4
c
 
5π 5π
+
 
 
.
36. Viết dạng lượng giác của các số phức sau :
a)
1 tan
5
i
π
−
b)
5
tan
8
i
π
+

c) 1 - cos
ϕ
- isin
ϕ
(
ϕ∈
R,
ϕ
≠ k2
π
, k
∈
Z).
Giải:
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
100

a)
1 1
1 tan os isin os isin
5 5 5 5 5
os os
5 5
i c c
c c
 
     
π π π π π
− = − = − + −

 
     
π π
     
 

b)
5 1 5 5 1 5 5 1 7 7
tan sin cos sin cos os isin
5 5 3
8 8 8 8 8 8 8
os os os
8 8 8
i i i c
c c c
     
π π π − π π π π
+ = + = − − = +
 
   
π π π
     

(vì cos5
π
/8 < 0)
c) 1 - cos
ϕ
- isin
ϕ

=
2
2sin 2 sin os 2sin sin cos
2 2 2 2 2 2
i c i
ϕ
 
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− = −
 
 
.
Khi sin
ϕ
/2 > 0 thì 1 - cos
ϕ
- isin
ϕ
=
2sin os sin
2 2 2 2 2
c i
 
   
ϕ ϕ π ϕ π
− + −
 
   
   
 

Khi sin
ϕ
/2 < 0 thì 1 - cos
ϕ
- isin
ϕ
= −
2sin os sin
2 2 2 2 2
c i
 
   
ϕ ϕ π ϕ π
+ + +
 
   
   
 

Khi sin
ϕ
/2 = 0 thì 1 - cos
ϕ
- isin
ϕ
= 0 = 0(cos
α
+ isin
α

) (
α

∈
R, tùy ý).


ÔN TẬP CHƯƠNG IV

37. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau :
a) (2 – 3i)
2
b)
3 2 1
1 3 2
i i
i i
+ −
+
− −
c) (x + iy)
2
– 2(x + iy) + 5 (x, y
∈
R). Với x, y
nào thì số phức ñó là số thực ?
Giải:
a) phần thực −46, phần ảo −9 b) phần thực 23/26, phần ảo 63/26
c) phần thực x
2

– y
2
– 2x + 5, phần ảo 2y(x – 1). Số phức ñó là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng
0
⇔
y = 0 hoặc x = 1.
38. Chứng minh rằng nếu

z

=

w

= 1 thì số :
z+w
1+zw
là số thực (giả sử 1 + zw ≠ 0).
Giải:

z

=

w

= 1 thì
1 1
z= , w =
z w

nên :
 
 
 
1 1
+
z+w z+w z+w
z w
= = =
1 1
1+zw 1+zw
1+zw
1+ .
z w
⇒ ñpcm
39. Giải các phương trình sau trên
ℂ
:
a) (z + 3 – i)
2
– 6(z + 3 – i) + 13 = 0 b)
2
iz + 3 iz + 3
-3 -3 = 0
z -2 i z - 2 i
 
 
 

c) (z

2
+ 1)
2
+ (z + 3)
2
= 0
Giải:
a) ðặt w = z + 3 – i. Nghiệm phương trình là z = 3i và z = −i.
b) ðặt w =
iz+3
z-2i
. Nghiệm phương trình là z =
1 5
2
i
− +
và z =
4 35
17
i
+

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
101

c) (z
2
+ 1)
2

+ (z + 3)
2
= (z + 1)
2
– [i(z + 3)]
2
= (z
2
+ 1 + i(z + 3))(z
2
+ 1 – i(z + 3)) = 0 . Nghiệm
phương trình là z = 1 – 2i, z = −1 + i, z = 1 + 2i, z = −1 −i.
40. Xét các số phức : z
1
=
6 2 ,i−
1
2 3
2
z
z = -2-2i , z =
z

a) Viết z
1
, z
2
, z
3
dưới dạng lượng giác.

b) Từ câu a), hãy tính
7
cos
12
π
và
7
sin
12
π

Giải:
a) z
1
=
2 2 os isin
6 6
c
 
   
π π
− + −
 
   
   
 
; z
2
=
2 2 os isin

4 4
c
 
   
3π 3π
− + −
 
   
   
 

z
3
= z
1
/z
2
=
7 7
os isin
12 12
c
π π
+

b)
1
2
z
z

6 2 ( 6 2)( 2 2 ) 6 2 6 2
2 2 8 4 4
i i i
i
i
− − − + − + +
= = = +
− −

Từ ñó theo a) ta ñược :
7 6 2
cos
12 4
π − +
=
và
7 6 2
sin
12 4
π +
=
.
41. Cho z =
( 6 2) ( 6 2)
i+ + −

a) Viết z
2
dưới dạng ñại số và dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a), hãy suy ra dạng lượng giác của z.

Giải:
a) z
2
=
8 3 8 16 os isin
6 6
i c
 
π π
+ = +
 
 

b) Vì phần thực và phần ảo của z ñều dương nên z =
4 os isin
12 12
c
 
π π
+
 
 

42. a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng tana = ½,
tanb = 1/3 với a, b
∈
(0 ;
π
/2) thì a + b =
π

/4.
b) a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 5 + i và 8 + i, hãy chứng minh rằng tana =
½, tanb = 1/5, tanc = 1/8 với a, b, c
∈
(0 ;
π
/2) thì a + b + c =
π
/4.
Giải:
a) Biểu diễn hình học 2 + i, 3 + i theo thứ tự bởi M, N trong mp phức. Ta có : tan(Ox, OM) = ½ =
tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb. Do a, b
∈
(0 ;
π
/2), còn M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất nên
suy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 3 + i bằng b.
Mặt khác, (2 + i)(3 + i) = 5(1 + i) có một acgumen bằng
π
/4, mà acgumen của tích các số phức bằng
tổng các acgumen của các số phức ñó (sai khác k2
π
, k
∈
Z), nên từ a, b
∈
(0 ;
π
/2)
⇒

a + b =
π
/4.
b) Biểu diễn hình học 2 + i, 5 + I, 8 + i theo thứ tự bởi M, N, P trong mp phức. Ta có : tan(Ox, OM)
= ½ = tana ; tan(Ox, ON) = 1/3 = tanb ; tan(Ox, OP) = 1/8 = tanc. Do a, b, c
∈
(0 ;
π
/2), còn M, N, P
nằm trong góc phần tư thứ nhất nên suy ra một acgumen của 2 + i bằng a, một acgumen của 5 + i
bằng b, một acgumen của 8 + i bằng c.
Mặt khác, (2 + i)(3 + i)(8 + i) = 65(1 + i) có một acgumen bằng
π
/4, mà acgumen của tích các số
phức bằng tổng các acgumen của các số phức ñó (sai khác k2
π
, k
∈
Z), nên từ a, b, c
∈
(0 ;
π
/2)
Suy ra : a + b + c =
π
/4.

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
102

ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
43. (C) ; 44. (A) ; 45. (A) ; 46. (B) ; 47. (B) ; 48. (A) ; 49. (B) ; 50. (C) ; 51. (A) ; 52. (B) ; 53. (B) ;
54. (B). Chú ý : −sin
ϕ
− icos
ϕ
= −i(cos
ϕ
- isin
ϕ
) = −i[cos(−
ϕ
) + isin(−
ϕ
)].

ÔN TẬP CUỐI NĂM
1. a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e
x
– x – 1 ñồng biến trên nửa khoảng [0 ; +
∞
).
b) Từ ñó, suy ra e
x
> x + 1 với mọi x > 0.
Giải:
a) Vì f(x) liên tục trên R và f’(x) = e
x
– 1 > 0 với mọi x > 0.

b) Do f(x) ñồng biến trên [0 ; +
∞
) nên với mọi x > 0, ta có f(x) = e
x
– x – 1 > f(0) = 0
⇒
e
x
> x + 1
với mọi x > 0.
2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số f(x) = 2x
3
– 3x
2
– 12x – 10.
b) Chứng minh rằng phương trình 2x
3
– 3x
2
– 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.
c) Gọi nghiệm thực duy nhất của phương trình là
α
. Chứng minh rằng 3,5 <
α
< 3,6.
Giải:
a) Ta có : f’(x) = 6(x
2
– x – 2). Ta có BBT:
x −

∞
−1 2 +
∞

f’(x) + 0 − 0 +
f(x) −3 +
∞

−
∞
−30
b) Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) < 0 với mọi x < 2
⇒
f(x) = 0 không có nghiệm với x < 2. Trên
nửa khoảng [2 ; +
∞
) hàm số liên tục, ñồng biến và f(2).f(4) = (−30).22 < 0 nên phương trình có một
nghiệm duy nhất.
c) f(3,5),f(3,6) < 0.
3. Gọi (C) là ñồ thị hàm số y = lnx và (D) là một tiếp tuyến bất kì của (C). Chứng minh rằng trên
khoảng (0 ; +
∞
), (C) nằm ở phía dưới của ñường thẳng (D).
Giải:
Gọi x
o
là hoành ñộ tiếp ñiểm
⇒
y
o

= lnx
o
. Phương trình tiếp tuyến là (D) : y =
1
( ) ln
o o
o
x x x
x
− +

ðể (C) nằm ở phía dưới (D) thì
1
( ) ln
o o
o
x x x
x
− +
− lnx
≥
0,
∀
x
∈
(0 ; +
∞
)

⇔

1 ln 0
o o
x x
x x
− − ≥

Ta xét hàm số g(t) = t – lnt (t > 0).
4. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in ñược 3600 bản in trong một giờ. Chi phí ñể vận hành một
máy trong mỗi lần in là 50 nghìn ñồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn
ñồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in ñể ñược lãi nhiều nhất ?
Giải:
Nếu sử dụng n máy in (n nguyên, 1
≤
n
≤
8) thì tổng chi phí (= chi phí vận hành + chi phí cho n máy
chạy) ñể in 50.000 tờ quảng cáo là :
f(n) =
50000
(6 10)10 50
3600
n n
n
+ +
(nghìn ñồng)
Lãi nhiều nhất nếu chi phí ít nhất.Do ñó cần tìm GTNN của f(n) trên [1 ; 8],
∀
n
∈

R
*
.
Kết quả n = 5.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
103

5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) =
2
1
6
x x
− + +
trên ñoạn [0 ; 1].
Giải:
GTLN là :
1
6
, GTNN là : 2/5.
6. a) Cho P(x) =
4
4 2
x
x
+
và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1. Hãy tính P(a) + P(b).
b) Hãy so sánh A =
3
18

và B =
6
6
1
log 2 log 5
2
1
6
−
 
 
 

Giải:
a) P(a) + P(b) =
4 4 2.4 2(4 4 ) 8 2(4 4 )
1
4 2 4 2 4 2(4 4 ) 4 8 2(4 4 )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+
+
+ + + +
+ = = =
+ + + + + + +
(với a + b = 1)
b) Ta có : B =
( )
6
6

6
6 6
1
log 2 log 5
5
2
log
log 5 log 2
3
2
1 5
6 6 2,5 18
6 2
−
−
 
= = = = <
 
 

⇒
A > B
7. a) Chứng minh rằng nếu a và b là 2 số dương thỏa mãn a
2
+ b
2
= 7ab thì
7 7 7
1
log (log log )

3 2
a b
a b
+
= +
.
b) Biết a và b là 2 số dương, a ≠ 1 sao cho log
a
b =
3
. Hãy tính
3
3
log
a b
a
b
.
Giải:
a)
7 7 7
1
log (log log )
3 2
a b
a b
+
= +

⇔

2
7 7 7 7 7 7
9
log (log log ) log (log log )
3 9
a b ab
a b a b
   
+
= + ⇔ = +
   
   
(ñpcm)
b)
1
3
3
3
2
3
3
3
1 3
log .
log
3
2(2 9 3) 31 20 3
3 2
log

1
3
log 3 6(2 3)
1 log
1
2
2
a
a
a b
a
a
a
a b
a
b
a b
b
b
−
 
 
−
 
− −
 
= = = = =
+
+
+

8. a) Tìm ñạo hàm của các hàm số y = cosx.e
2tanx
và y = log
2
(sinx).
b) Chứng minh rằng hàm số y = e
4x
+ 2e
−x
thỏa mãn hệ thức : y
(3)
– 13y’ – 12y = 0.
Giải:
a) y’ =
2 tan
2
sinx
cos
x
e
x
 
−
 
 
và y’ = cotx/ln2
b) Tự giải.
9. a) Vẽ ñồ thị của các hàm số y = 2
x

, y =
( 2)
x
và y =
( 3)
x
trên cùng một mp tọa ñộ. Hãy nêu
nhận xét về vị trí tương ñối của 3 ñồ thị ñó.
b) Vẽ ñồ thị hàm số y = log
3
x. Từ ñó hãy suy ra ñồ thị của hàm số y = 2 + log
3
x và ñồ thị của hàm
số y = log
3
(x + 2).
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
104

Giải:
Tự giải
10. Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
a)
2 2
sin os
81 81 30
x c x
+ =
b)

2
2 1 1
2 2
log log 3log 5 2
x x
 
− + =
 
 
 

c)
2
log 1 log log 2
4 6 2.3 0
x x x+ +
− − =
d)
9 3
2 .8 2 2
1 1 1
log log (9 )
2 2
x y
y
x
−

=



+ =



Giải:
a) x =
6
k
π
± + π
và y =
3
k
π
± + π
b) x = 1/16 và x = 2
c) x = 10
−2
d) x = 2 và y = 1/16
11. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau :
a) y =log [1 – log(x
2
– 5x + 16)] b) y =
2
0,5
2
1
log ( 6)
2

x x
x x
− + + +
+

Giải:
a) 0 < x
2
– 5x + 16 và log(x
2
– 5x + 16) < 1. KQ : D = (2 ; 3)
b) D =
1 21 1 21
2; ;3
2 2
   
− +
− ∪
 
 
 
 
   

12. Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau :
a) y = x
3
(1 + x
4
)

3
b) y = cosx.sin2x c) y =
2
os
x
c x

Giải:
a)
4 4
(1 )
16
x
C
+
+
b)
3cos os3
6
x c x
C
− −
+
c)
ln cos tan
x x x C
+ +
(từng phần)
13. Tìm hàm số f, biết rằng f’(x) =
2

8sin
12
x
 
π
+
 
 
và f(0) = 8.
Giải:
f(x) là nguyên hàm của hàm số
2
8sin
12
x
 
π
+
 
 
thỏa f(0) = 8
⇒
f(x) =
4 2sin 2 9
6
x x
 
π
− + +
 

 

14. Tính các tích phân sau :
a)
1
2
0
1
dx
x
+
∫
b)
1
2
0
1
dx
x x
+ +
∫
c)
1
2
0
.
x
x e dx
∫

Giải:
a)
π
/4 b)
1 1
2 2
0 0
4
1 (2 1) 3
3 3
dx dx
x x x
π
= =
+ + + +
∫ ∫
c) e – 2.
15. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
a) y + x
2
= 0 và y + 3x
2
= 2 b) y
2
– 4x = 4 và 4x – y = 16.
Giải:
a) 8/3 b) 243/8

Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp

105

16. a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi ñồ thị của hàm số y = e
x
, trục hoành và các ñt x = 0 và x
= 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ñược khi quay A quanh trục hoành.
b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x
2
+ 1 và ñt y = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo ñược khi quay B quanh trục tung.
Giải:
a) V =
2
( 1)
2
e
π −
b) V =
π
/2
17. Cho các số phức z
1
= 1 +I, z
2
= 1 – 2i. Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức : z
1
2
; z
1
z

2
;
2z
1
– z
2
; z
1
2
z
và
2
1
z
z
.
Giải:
z
1
2
= 2i ; z
1
z
2
= 3 – i ; 2z
1
– z
2
= 1 + 4i
z

1
2
z
= −1 + 3i ;
3
2 2
i
= −
2
1
z
z

18. Tính :
a)
2 2
( 3 ) ( 3 )
i i
+ − −
b)
2 2
( 3 ) ( 3 )
i i
+ + −

c)
3 3
( 3 ) ( 3 )
i i
+ − −

d)
2
2
( 3 )
( 3 )
i
i
+
−

Giải:
a)
4 3.
i
b) 4 c) 16i d)
1 3.
2
i
− +

19. a) Xác ñịnh phần thực của số phức
z+1
z-1
, biết rằng

z

= 1 và z ≠ 1.
b) Chứng minh rằng nếu
z+1

z-1
là số ảo thì

z

= 1.
Giải:
a) Muốn tìm phần thực của số phức nào ñó ta cần tính tổng của nó và số phức liên hợp của nó.
KQ : 0 ,
⇒

z+1
z-1
là số ảo.
b)
z+1
z-1
là số ảo thì
z+1
z-1
= −
z+1
z-1
, nhân chéo ta ñược : z
1
z
− 1 = 0
⇔



z

= 1.
20. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trên mp phức biểu diễn các số phức :
(1 3) 2
i
+ +
z
trong ñó

z - 1


≤
2.
Giải:
ðặt z’ =
(1 3) 2
i
+ +
z

⇒
z =
z'-2
1+i 3
.

z - 1


≤
2
⇔

1 ' 2 (1 3 1 3 ' 2 (1 3 4
i i i
− ≤ 2 ⇔ − − + ≤ + ⇔ − − + ≤
z'-2
z z
1+i 3
, vậy tập hợp
các ñiểm M là tập hợp các ñiểm thuộc hình tròn (kể cả biên) có tâm A biểu diễn số
3 3
i
+
, có bán
kính bằng 4.
Tài liệu Giảng dạy Toán 12 nâng cao Giáo viên: Phan Công Trứ
Trường THPT Thanh Bình 2 – Thanh Bình – ðồng Tháp
106

21. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức : −8 + 6i ; 3 + 4i và
1 2 2.
i
−

Giải:
Hai căn bậc hai của −8 + 6i là :
±

(1 + 3i).
Hai căn bậc hai của 3 + 4i là :
±
(2 + i).
Hai căn bậc hai của
1 2 2.
i
−
là :
±
(
2
−i)
22. Giải các phương trình sau trên C:
a) z
2
– 3z + 3 + I = 0 b) z
2
– (cos
ϕ
+ isin
ϕ
)z + isin
ϕ
.cos
ϕ
= 0, trong ñó
ϕ
là số
thực cho trước.

Giải:
a) Hai nghiệm là : z = 1 + i và z = 2 – i
b) Hai nghiệm là z = cos
ϕ
và z = isin
ϕ
.
23. Tính : a)
6
4
1 3
i
i
 
 
+
 
b)
(
)
( )
5
11
3
1 3
i
i
+
−
.

Giải:
a)
6
6
4 4
3 2 os isin 2 64
6 6
1 3 1 3
i i
i c
i i
 
 
π π
= + = + ⇒ = − = −
 
 
+ +
 
 
.
b)
( )
( )
5
5
11 6
11
2 os isin
3

6 6
1 5 11 5 11
os isin
6 3 6 3 64
11 11 2
1 3
2 os isin
3 3
c
i
i
c
i
c
 
5π 5π
+
 
+
 
   
π π π π
 
= = + + + =
 
   
 
− π − π
   
 

−
+
 
 
.


ðÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

24.(A) ; 25.(C) ; 26.(B) ; 27.(B) ; 28.(C) ; 29.(D) ; 30.(C) ; 31.(B) ; 32.(B) ; 33.(A) ; 34.(D) ; 35.(C)
; 36.(A) ; 37.(C) ; 38.(B).