Tuyển tập đề thi HSG toán lớp 9 cấp thành phố

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: Toán
Ngày thi: 31/03/2014
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 ( 0,5 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
2014
a b c
  
và
1 1 1 1
2014
a b c
   .
Tìm giá trị của biểu thức
2013 2013 2013
1 1 1
.
M
a b c
  
2) Tìm số từ nhiên n để
2
2 6 2

5 12
n n 

là số nguyên tố.
Bài 2 ( 5,0 điểm)
1) Giải phương trình
2
2 2 2 1 2 0
x x x
    

2) Giải hệ phương trình
2 2
4 4 2 2 2
4 5 2
9 5 4 2
x y z xy
x y z z x y

   

    


Bài 3( 2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
0 4;0 4;0 4;
a b c
     
và
6.

a b c
  
Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
.
P a b c ab bc ca
     

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABC, tia AI cắt đường tròn (O) tại M ( điểm M khác điểm A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân.
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm N ( N khác điểm điểm M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng
minh

.
2
BAC IP
IN
 , chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5 (2,0 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn
5 2 1
x y
 

2) Cho các lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia
AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt các điểm
1 2 3 4 5 6
, , , , ,

M M M M M M

( các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh lục giác
1 2 3 4 5 6
M M M M M M
có ít
nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1.

ĐỀ CHÍNH THỨC