N
A
A'
H
O
( )
( ')
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH
Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình
hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng. Và
một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các
bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và
khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:
Bài 1:∆∆′′∆∆′′∈∆′∈
∆ !"#∆′$%&&'∆∆′()*+
+′,-+&.γ-∆∠++′-α∠+′′-β/0123αβγ
Gii :
450⊥∆′′⊥∆′∈
⇒′⊂
4′&&%+′&&+,
+′′⊥⇒+′+&&′,
⇒+′+,′067
,-+&+′′⊥′,
.+,-8/
′
9
-′+
9
:+
9
-′,
9
;+,
9
:,
9
;+,
9
-′,
9
:,
9
⇒′⊥,
4<=>?@)γ-∠+,/A !+′+B
+′+
9
-′
9
;,
9
-+′
9
;+
9
:9+′+Cα
+′-β8
,-γ8
+′-
C
x
β
S
A
B
C
F
E
I
+-
C
x
γ
⇒8
9
9
β;
9
γ-8
9
9 9
D D C
9
C C C C
α
β γ β γ
+ −
÷
⇔
9
β;
9
γ-9;
9
β;
9
γE
C
9
C C
α
β γ
⇔Cα-CβC
Bài 2:">3FG+HIJ?H∆GKAIGLCM-
9FGG-9FNOFP⊥FQ⊥G+RB
F⊥PQJ
S
S
D
SCI EB
SCA AB
+ =
Gii :
4/F
9
-G
9
:FG
9
-SF
9
:FG
9
F
9
-
9
:F
9
-SFG
9
:F
9
⇒F-FG⇒-G
4FP-
SC SA
AC
FQ-
SC SB
AB
⇒FP-FQ
/TU@>=>C@ABPQ&&GF⊥FGVPQ⊥F
4/B
9
9
9
SC
EF CE SC
AC
AB CA AC AC
= = =
+WXBG-
9
F>∆FGU
-
9
9
⇒PQ-
9 9
9
9
9
SC SC
AC AC
=
Y*B
D
9
SA
AC
=
⇒∠F-
Z
π
⇒
Z
C C
9 Z [ 9
CS
AC
π π π
= − = =
÷
F-
9 9
AC SA−
-
ZSA
-
[
9
AB
<BPQ-
9 Z [
9 9 9
AB
-
Z
S
AB
⇒
Z
S
EF
AB
=
D
B C
A D
S
M
N
4FK-
D
[
9
[
[
9
AB
SI
SC
AB
= =
F-
Z
Z
Z
SA SA
SC
SA
= =
⇒
S
S
D
S
SCI
SCA
=
9
4/TD9C@AB
S
S
D Z
D
S S
SCI EB
SCA AB
+ = + =
Bài 3:/AG<0*Y?@+,∈G<.
+-8,-@/AV⊥G<?@F/08@IB
F+F,-
S
π
JF+F+,-
9
π
Gii :
+⊥F,⊥F⇒∠+,-F+F,
F-F+∩F,
.IF+F,-
S
π
0B
C+,-
9 9 9
9
9 9
AM AN MN
AM AN
+ −
=
⇔
9 9 9 9
9 a a x a a y+ − + −
-
9
;:8
9
;
9
;:@
9
:8
9
;@
9
⇔9\
9
;:8
9
]\
9
;:@
9
]-\S
9
:98;@]
9
⇔
S
;
9
\9
9
:98;@;8
9
;@
9
];
9
;8
9
:98
9
;@
9
:9@-9\9
9
:8;@]
9
⇔
S
;9
S
:9
Z
8;@;
S
;
9
8
9
;@
9
;S
9
8@:9
Z
8;@;8
9
@
9
:98@8;@-^
S
:^
Z
8;@
;9
9
8
9
;@
9
;S
9
8@
⇔8
9
@
9
;S
Z
8;@-98@8;@;S
S
JLCMF+⊥F+,
<_,+′⊥F++′∈F+/B
`
`
NM SM
NM SAM
SM SAM SMN
⊥
⇒ ⊥
= ∩
⇒,+′⊥F
+WXBF⊥G<⇒F⊥,+
<B+≡+′
⇒+,⊥F+
D C
A B
S
E
H
I
K
⇒+,⊥+
57@IF+⊥F+,0 LB+
9
;+,
9
-,
9
⇔
9
;:8
9
;8
9
;@
9
-
9
;:@
9
⇔98
9
-98:9@
⇔8
9
-8:@
Bài 4:0 FG<F⊥G<F-
9
G<0*
<G-9<-<-
/aFGGF
J/aFGF<
Gii :
4b G<
;c-&G
⇒c<0∆cGXU
⇒∠G-
9
π
@⊥G
• /TL@d>=>)BFG-
[
• G--
9
F<-
Z
⇒F-9
⇒F
9
;G
9
-FG
9
⇒F⊥G
• <BFG-∠F-
S
π
;N-&FG
K-&F
SC CB
CB SAC
AC CB
⊥
⇒ ⊥
⊥
⇒K⊥GK⊥F⇒
K⊥FG
⇒K⊥FG⇒FG⊥KN
N⊥FG
⇒NK⊥FG⇒FG-∠NK
<=?@BK-
N-
99 9 Z
Z
[
a a
a
a
=
9 Z
Z
[
SI KI SI BC a a
KI a
SB BC SB
a
= ⇒ = = =
⇒K
9
;NK
9
-
9
;
9
Z
a
-
9
S
Z
a
-N
9
⇒∆NK*K
⇒CNK-
Z
9
9 Z
Z
AI a
AK
a
= =
⇒∠NK-
Z
π
4/A F<>_!2#F'F<*P
⇒
SC CE
SCB SCD
SC CB
⊥
⇒
⊥
-∠PG
;FPF<-F
9
⇒FP-
9
S
Z
a
a
-
S Z
Z
a
⇒<P-
Z
Z
⇒P
9
-<PFP-
9
S Z Z S
Z Z Z
a a a=
;
9 9 9
e
9 9
[ C
9 Z
Z
BD a
SD SB BD
SB a ESB
SD SB
SD a
=
+ −
= ⇒ = =
=
⇒GP
9
-FP
9
;FG
9
:9FPFGCPFG
-
D[
Z
9
;[
9
:9
9
9 9 S Z 9
[
Z Z Z
a a a=
⇒CPG-
9 9 9
9
CE CB EB
CE CB
+ −
-
9 9 9
S 9
9
[
Z Z
Z
9 Z
9 9
Z
a a a
a a
+ −
=
⇒∠PG-AC
[
Z
Bài 5:∆FGf0G<*gA9 !
#+AI<
/0>F+
J !2GHIJ?W0AVF<bXhXAh
#?Ih>36G<Jdd>36
0 0
Gii :
D C
BA
S
O
E
P
Q
P'
Q'
M
iAIG
⇒Fi⊥G
+
FG∩G<-G
⇒Fi⊥G<
⇒Fi⊥GG⊥G
⇒G⊥FG
PAIG
⇒P-+-FP-
e
9
a
+-P-
9
a
⇒+P0J0
⇒+&&P
⇒∠+F-∠PF
⇒C+F-
9 9 9
9
AE SA SE
AE SA
+ −
-
9
e
e
e
9
9
a
a a
=
⇒C+F-
9 e
e
<=?@Fi-
Z
9
a
/B5
F+
-
D
Z
FiF
+
-
D
[
Fi<+-
D Z
[ 9 9
a a
a
-
Z
Z
9S
a
+WXB
( ) ( )
D
C
[
S AMC
V SA MC MC SA d SA MC=
5
F+
-
D
[
F+C+F>F+
⇔
Z
Z
9S
a
-
D e 9 e
[ 9 e
a
a d SA MC
⇔>F+-
Z
S
a
J
;/d>360 0
<_%&&<%∈F
⇒%&&G
<=?@%Gd>3#0 FG<
;/A !FG>_%%′&&Fi
⇒%%′⊥G<
<_′⊥G<′∈G<
⇒′%′G-%G&G<
;/Bi<-F<&G<
⇒′∈i<%′∈i
;.F-8j≤8≤F<-
9a
9
SP x
SD
a
=
⇒
`
`
9
SP x OP
PD P D
a x
= =
−
⇒
`
9
OP SP x
OD SD
a
= =
⇒i′-
9
9
S
9
x a
a
a
+
` `
9
OP OQ x
OD OA
a
= =
⇒
9
`
S
x
OQ =
& &
` `& &
` ` &
PQ AD
P Q AD
P Q ch PQ ABCD
⇒
=
⇒′%′⊥G⇒′%′-
9 9
e 9
^ ^ 9
x x x
− =
⇒F
k%kG
-
D
9
%′G′%′;G-
D
9
9 9
9 S 9
a x x
a
+ +
÷ ÷
÷ ÷
-
9
D 9
S 9
x
a
+
÷
÷
;
9
SP PQ x
SD AD
a
= =
⇒%-
9
9
x
;
D D
D
` 9
D
9 9
QQ AQ SA AQ SQ x a x
SH SA AQ AQ
a x a
− −
−
+ −
= = = = + =
÷ ÷
÷
−
⇒%%′-
9
[
S
a x−
<%%′⊥%′G
⇒%G-
( )
9
9
9 9
9 Z
` ` 9
9 S ^
a x
Q B QQ a x
+ = + + −
÷
÷
-
9 9
9 9
9 Z Z 9 Z
S S ^ S S ^
a ax x
a ax x+ + + − +
-
9
9
9
9 9
a x
a x− +
⇒F
%G
-
9
9
D 9 9
9 9 9 9
a x x
a x a
− + +
÷
÷
⇒CG<-
9 9 9
9
9
D D 9
9
9 9
9 9 9
9 9
x
a
a x
a x a a x x
a x
+
+
=
− +
− +
.l8-
9 9
9
9 9
a x
a a x x
+
− +
∀8∈\m
9
]
bl′8-
( )
9
9 9 9 9
[ Z 9
9 9 9 9
a xa
a ax x a a x x
−
− + − +
nj∀8∈\m
9
]
57@8l8-9l8-D
Bài 6:0 XFGfX@Xf*
α
6JV
X@
ϕ
6JV
/01236
α
ϕ
GiiB
;KAIG
FK G FK G
K G FK FGG
⊥ ⊥
⇒ ⇒
⊥ ∠ = ∠ = α
;<_Go
⊥
F
o F
∈
/>=>C@AB
o F
⊥
F@AB
Go F
Go FGF
⊥
∠ = ∠ = ϕ
;Go
⊥
F
Ko F
GoK FKFG
Go F
9
⇒ ⊥
ϕ
⇒ ∠ = ∠ =
⊥
<Go-oKAIGV
Go
GoK
9
∠
∠ =
;c-
F G
⇒
cU
GV
9
D D Z D Z Z D
FcK cK
9 9 9 9 9 9 Z ^
F
FK
= = α = α = α
∆
;
9 9 9
9 9 9 9
D D GK D D S
GoF Fc c
9 9 C GoK 9 D9 Z D9
9C SC
9 9
F
FG
α +
= = + = α + =
ϕ ϕ
∆
;
FK G K F FK
⊥ ⇒ =
C FGFK C GoK C
9
F F F F
FK FG FG FG
ϕ
⇒ = ∠ = =
∆ ∆ ∆ ∆
9 9 9
S
C
^ D9 9
SC
9
α + ϕ
⇒ α =
ϕ
9
9 9
S
Z 9
α + ϕ
⇔ α =
9 9 9 9
9
S
Z S
9
Z D
9
ϕ
⇔ α = α + ⇔ α =
ϕ
−
Bài 7B0 "XfX@0G<*
Fc- !2G<# !F<
/ap3IaW1>3)Jq
ϕ
#
ϕ
6
JVX@
GiiB
;+,( )AI<G
F, <
F,+ FGG<
+, <
⊥
⇒ ⇒ ∠ = ∠ = ϕ
⊥
;<_<P
⊥
F
H
A B
D C
S
M
N
E
/B
G< Fc
G< Fc
c G<
⊥
⇒ ⊥
⊥
G< F
G<P F G<P F< @ G<P
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ≡
;5-5
FG<
5
D
-5
PG<
5
9
($*
bB
D D
FG<
5 5
D P
5 95 9 F
= =
/B
9 9 9 9 9
9 9
D D
F F, , ,c , D C D
9 9C
C F,+ C
= + = + = + = ϕ +
ϕ
ϕ
G<P
⊥
F
GP F
⇒ ⊥
9
9
9
9 9 9
9
9
D D
GPF F,G GPF F,G
FG
9 9
D
F,G
9 C
GP
F
D
D C
D
9 C
C
P G GP
D C
D C
F
= = ⇔ =
ϕ
⇒ = = =
+ ϕ
+
ϕ
ϕ
⇒ = − = − =
+ ϕ
+ ϕ
∆
F@AB
9
9
D
9
9
9
D D
D 9
C
D C
5
D C
5 9
D C
D C
9C
5 5
C
5 5 5
ϕ
+ ϕ
ϕ
= =
+ ϕ
+ ϕ
ϕ
⇒ = ϕ =
−
Bài 8B"067G<#G-G-J/AV
!# !G<*AIiG?@IF
CFi-J/AVG?@G+-8AV<?@<,-@
+ G, <
∈ ∈
/012368@JCB
( ) ( )
( ) ( )
D
Fi+ F+,
J Fi, F+,
⊥
⊥
9AIF+%AIi,/0fW3I
%->F+i,
LB
DLCMB
( ) ( )
Fi+ F+,
⊥
<_,+k
⊥
F++k
∈
F+
/B
( ) ( )
,+ ` F+
,+ ` Fi,
F+ Fi, F+,
⊥
⇒ ⊥
= ∩
,+` Fi
⇒ ⊥
+WXBFi
( )
G< Fi ,+
⊥ ⇒ ⊥
<B+
≡
+k
( )
+, Fi+ +, i+
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
57@I
( ) ( )
Fi, F+,
⊥
0 L
9 9 9
OM MN ON+ =
D
/G+-8
⇒
+-J:8
<,-@
⇒
<,-:@
( ) ( )
9 9 9
9 9 9
9 9
9
9
9 9
9 9 9 9 9 9 9
9
S
9 9 S 9 9
S S
BN b a y
AN b y
MN b x a y
a
OM x
BN N AB b a y y a
ON
⇒ = + −
= +
= − + −
= +
+ − + − + −
⇒ = =
57@rDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9
9
9 9
S 9 9
S S
9 9
b a y y a a
x b x a y
bx ay x a
+ − + −
= + + − + −
⇔ + = +
57@fW3IFi+F+,B
9 9
9 9bx ay x a+ = +
J7 7AVfW3IFi,
⊥
F+,i,
⊥
+,
NB
9 9 9
9@ 9J 9J8 Z@
+ + = +
9%->F+i,
% F+
% i,
⊥
⇔
⊥
D
/B
( )
( )
9
9 9 9
9
9
9
9 9 9
9 9 9 9 9
9
9 9 9 9 9 9
9
9 9 9
9 9
SJ 9 @ 9@
i,
i%
S D[
SJ 9 @ 9@
F% i% Fi J
D[
F+ Fi i+ J 8
S
J 8
S
i F
S
+ − + −
= =
+ − + −
= + = +
= + = + +
+ +
⇒ = =
/TDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9 9
9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9
% F% F i i%
F% i% F i 9i
SJ 9 @ 9@ SJ 9 @ 9@
S J S8
J
D[ D[ ^
9 J 9J 9@ 8 9@
= − = −
⇒ + = + =
+ − + − + − + −
+ +
⇒ + + =
⇔ + + = +
57@fW3I%WLX6i,F+B
9 9 9 9 9
9 J 9J 9@ 8 9@+ + = +
GsB0 FG<#X@G<0*F-
[
9
!2#F'X*FFGF<()*kGk<k
/a6k<k<
LB
;
P `<` < `P F= ∩ ⇒ ⊥
<_<N
⊥
F
( )
N F∈
<N & &`P
`<`< `P< <N < <N
⇒
⇒ ∠ = ∠ = ∠ = ∠
F <
< F< < F<
< <
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
+
`P F
⊥
VC@AB
F<V
t>*#
P`V
`P `
F< <
⇒ =
D
k
⊥
F
9 9 9
9 9
9 9
9 9 DS
`
F u
Z
F
9
9
⇒ = = = =
+
+
/TDBkP-
9 9
9 9
9 DS Z
F<` ` F < 9 Ze
u 9
< < u
+
+
= = =
9 9 9 9
^ 9j
P ` `P 9
u u
< D <N N
> <N & &P`
P 9 P` `
Ze
<N
u
DS
N
u
⇒ = + = + =
⇒ = = =
=
⇒
=
CF-
9 9 u
F u
DS
9
= =
9 9 9
9 9
9
N N 9NCF
9 DS 9 u
9 9 9
u u u
^
u
9 DS
N
u
⇒ = + −
= + −
=
⇒ =
;C<N
9 9 9
9 9 9
e ^
< <N N 9 Ze
u u
9<<N Ze
Ze
9
u
+ −
+ −
= = =
9 Ze
<N AC
Ze
⇒ ∠ =
Bài 10:0 FG<#G<0*
G< [j∠ =
iIG<JdFi
⊥
G<
Fi-
Z
S
bXhaWLX6FG<
J/a6FGF<
LB
%i>_!>
⊥
<'<G()*Ko
;<_Kc
⊥
Fo
c Fo
∈
Fi G<
G FKo
Ko G
⊥
⇒ ⊥
⊥
Kc G⇒ ⊥
Kc FG Kc FG⇒ ⊥ ⇒ ⊥
<&&G
Kc <
⇒ ⊥
57@Kc-><FG
<=?@iK-io-
Z
S
<_Q0diAVFo>=>C@A)BiQ-
Z
^
F@ABKc-9iQ-
Z
S
J%F>_!>&&<&&G>-
( ) ( )
F< FG∩
( )
FK < FK >
FKo < > > & &< & &G
Fo < Fo >
KFo F<FG
⊥ ⊥
⊥ ⇒ ⇒
⊥ ⊥
⇒ ∠ = ∠
/>=>)B
Ko-9iK-
Z
9
9 9 9 9
s Z Z
FK Fo Fi iK
D[ D[ 9
= = + = + =
FKo⇒V
f
KFo [j⇒ ∠ =
57@6F<FG
KFo [j∠ =
,78BvJX@IaH>WLX6*<FG
$ICB
;
G< [j∠ = ⇒
G<V
f*
9
Z
F
S
G<
⇒ =
∆
Fi
G<⊥
F@AB5
FG<
-
9 Z
G<
D D Z Z Z
FiF
Z Z S S D[
= =
V
D
;+WXB
5
FG<
-
D
FG<><FGC <FG
[
∠
/AB
FG-
9 9 9 9
s D DZ
iG Fi
D[ S S
+ = + =
F-
9 9 9 9
s Z 9D
i Fi
D[ S S
+ = + =
<&&G
⇒
<FG GFG FG∠ = ∠ = ∠
9 9 9
9 9 9
DZ 9D
FG G F DZ
D[ D[
CFG
9FGG DZ
DZ
9
S
9 Zs
CFG
DZ
+ −
+ −
= = =
⇒ =
F@AB5
FG<
-
9
Z
>FG<
D9
9
;/TD9C@A)B><FG-
Z
S
GXWWp8@26 *Wd"wJLp$x
"H'6Wd"yC_*A3JdzJI"
Bài 11:0 FGX@X*G-G-9
<_Fc#G*cC
[
c Fc
Z Z
= =
Ko()AI
GF
β
!2Go
# !FcK
/a6
β
G
LB
;<=?@-
Z
G [j∠ =
NAIc
F@ABN
D Z N Z
GN GN Zj
Z Z G Z
= = ⇒ = = ⇒ ∠ =
D
;,AIFK{ >|h}+rrCXKF
JIG,+B
GK + ,F D +F
D D D
9
G +F ,K +
+F
9
+
= ⇒ − =
⇒ = −
/I+o{ >|ha+rrCXFJI/+
oB
/ + oF +F
D 9 D D
/ +F oK +
/ D
9
/
= ⇒ − − =
⇒ =
<BAI/
F@AB
∆
G/U*/
/G G [j⇒ ∠ = ∠ =
9
/TD9B
GN /G⇒ ⊥
Z
;+WX?@c0dFAVG>c0
dFAVG
+oN()AI~Fc
,VN0doAVG
⇒
oN /G⊥
S
;/TZS)BoGN
⊥
/G
oGN G⇒ ∠ = ∠ β
/>=>a)B
[ 9 Z [
oN GN Go
[ Z 9
= = ⇒ =
⇒
CoGN-
GN 9 9
Go Z
=
Bài 12B0 GGkk#X@GGkk067Gd
kGGk~#G>_
kGGk
LB
/A !GGkkWO!2GkCC#kG'
G*<
/TGWOGN
⊥
<
N <∈
/TGWOGc
⊥
GkN
c G`N∈
/TcWO!CC#kG'Gk*o
/ToWO!CC#Gc'kG*K
/B
< GN
< G`GN
Gc G`
Gc G`<
< GG`
Gc <G`
Gc G`N
⊥
⇒ ⊥
⊥
⇒ ⊥ ⇒
⊥
⊥
⊥
+<Gk&&kGVGc
⊥
kG
+WXKo&&GcV
Gc G`
Gc `G
⊥
⊥
57@Ko(>_
Bài 13B0 FG<X@G<M0|Xf*
F-<_G<Fm8Xh
UAVX*FG</aH>*
LB
%WO!CC#G<'G<()*NP
NOGc
⊥
FN
( )
c FN∈
/TcWO!CC#G<'F*oT
oWO!CC#Gc'G<*K
;<G<M0|Xf*VG<
⊥
G
NP G
NP FN NP Gc
NP F
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
;
Gc FN
Gc FNP
Ko FNP Ko NP Ko G< > G< & &NP
Gc NP
Ko & & Gc
⊥
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
;
Ko FNP Ko F
⊥ ⇒ ⊥
57@KoFG<
<=?@B
9 9
Z Z DZ
NG N N NF F N
9 9 9 9
= = = = + =
Y*"XFGcHd <NcNF-NGN
NGN Z DZ
Nc
NF 9[
⇒ = =
57@
Z DZ
Nc Z
9[
NF DZ
DZ
9
= =
F@AB
o Z
F DZ
=
>co&&N.Io)8XhAVF
/*B
Dj Dj e Z
DZ DZ DZ
SH HJ
HJ KC
SK KC
= = ⇒ = =
50GK-coV
e Z
e
DZ
< DZ
Z
BI
B
a
= =
.IK)8XhAVG<
;/B
D DZ
Ko
DZ
DZ
BH BK a
BH
SA SK
= = ⇒ = =
Gc&&Koco&&GK
⇒
coKG0J0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
G/D&0 FG<X@0 FG
⊥
G<
XFGf/a6X !CB
&FGF<m
J&F<FGm
&FcF<K#cK()AIGG
G/9&">3G< FGFG#F
G
α
=∠°=∠= ASBBSCaSA Se9
bXh
α
I
F FG*#[j
j
G/Z&/A !0G<*
Z
[9a
AC =
/AV!
#*Ii0
?@IFCFi-"Ag FG#
F<
G/S&/A 0UG<G-9<-G-<-
/AV!#*AI+G?@FBF+-
&/aJXWa(*d 0 FG<
J&/a6F+# F<
G/e&GXq-G-J/AV!
#G*?@IFCF-+,()
AIX*FG/0Xx?+,W@z
G/[&0 FG<X@0GJgD9j
j
-J
G-*F#X@6 FG !X@
[j
j
/aB
&.0
J&NLXTd FG
G/u&0 FGX@X*-8G-9
F-A#xw9Ko()A
IFGbXh8rIKo
FGN•@aWLXTdFG
G/^&XfG*/AV!#
G?@IFCF-J
&/aWLXTdFGrJ
J&c€!2A_UcXFG#
FG"AgWF>HAV0c€I1h
NHỮNG BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN TRONG HÌNH
CHÓP
Bài 1:0 FG<X@0J0+AIF !
2+CC#G<PQ()I#X*FGF</0pC1
>3aXF+P#XFGpC1>3aXF+Q#XF<
Gii:
Q
N
c
i
K
+
P
<
G
F
E/pC1>3aXF+P#XFGB
;cN()0d+VFG
;
D
D
9
D
9
9
MH SE
MH SE SM SI SI
CK SB SC SO SO
CK SB
S
SME
S
SBC
= = = =
;{ >|ha+rrCXFi#JHIK+B
Z
9
Fi
FK
Z
Ki
KF
DD
9
D
Ki
KF
D
+F
+
i
Ki
KF
=⇒=⇒=−⇔=
D 9 D
9 Z Z
S
SME
S
SBC
⇒ = =
E /w_
D
Z
S
SMF
S
SDC
=
Bài 2:0 FGI+gAXGX!2+()
C C F FG F ' X FG F FG * k Gk k " Ag
D
F
`+
FG
`+G
F
`+
=++
Gii:
E,I+GF@AFk,
!<~H@d F+
#FG
E/"B
`MA
SA
S
MBC
S
ABC
=
/77@B
D
`
9
D
9
MK BC
MK NM MA
AH NA SA
AH BC
S
MBC
S
ABC
= = = =
E/w_B
` `
MB MC
SB SC
S
S
MAC
MAB
S S
ABC ABC
= =
` ` `
D
MA MB MC
SA SB SC
S S S
S
MBC MAC ABC
MBA
S S S S
ABC ABC ABC ABC
⇒ + + = =+ + =
Bài 3:0 FG<X@G<0#X-SG<-9
y'*i.0 Fi-<_ !2#
F'FGFF<()*Gkk<kbXhId>3Gkk<kXf
Gii:
.I Gkk<kad>3(>_(kH*!F
W
FA
∠
LF@ A
i•Fi
/77@di-Fi0
SAC∆
*F
SC ≡`
$dinFi0B
+
`
c
N
,
G
F
C
C’
S
B’
D’
B
H
B
1
A
O
D
j
j
sjF
D^jiFiFFF9
iFiFiFF
>∠⇒
=∠+∠+∠>∠⇒
∠>∠∠>∠
A
A
O
,‚
ASC
∠
~AX#Wd7AV
/Ti•Fi@9•
/A G<TWO
!CC#G<!@'GW>*G
D
D
α
∈B
D
SBCmpB ∈
cIVkGkG
D
f
H@d
α
FGVy!
9 9
9 9
S
9 S ` ` S `
S
ah
ah AC SC AC a h AC
a h
S
SAC
= = + ⇒ =
+
=
50-9iG
D
&&iGVG
D
-9iG-9
,dGkk<kf0
Z9Z
9
Z
9`Zj``
DD
j
aABABACBEC ===⇒=∠
F@AB
SOah
ha
h
ha
ah
a ==⇔
+
=⇔
+
= Z9
S
9
Z
S
S
Z9
9999
<
F
∆
fkAIF
<=>WIA*d
Z9ah =
0d>3Gkk<kXf
Gii:
50F
XUF-F
VkH*
FWpW
FA∠
NB
9
9
99
9
99999
a
h
a
haSCSAAC >⇔
+<⇔+<
507@W
9
a
h >
0
α
'F*kHIH*F
Bài 4:0 "XfFG<*X@<_
α
2#F'FGFF<()*Gkk<k
LLfW30IkHIH*FƒN
J •@aIa0 FGkk<k
8L@AA) XGkk<kXfƒ
99
9
9
``9
ha
ah
SC
ACSH
ACSCACACSHS
SAC
+
==⇔==
/
AHE∆
„
Fc∆
0
AHE∆
„
PF`∆
ESC`∆
„
Fc∆
V
h
ah
SESEhh
a
HESHHCAH
HC
HE
SH
AH
9
9
9
999
−
=⇔−=⇔=⇔=
<
9
9
9
9
9
``&&``
``
9
9999
h
aha
h
ah
h
a
SH
SEBD
DBBDDB
SH
SE
BD
DB −
=
−
==⇔=
<3ad>3B
9
D
```
9
D
== DBACS
td
99
9
9
ha
ah
+
9
9
9
99
h
aha −
99
9
99
999
hah
aha
+
−
=
cw6
99
9
9
S
9
``
99
999
99
999
9999
ah
ah
ha
haa
hACSASC
+
−
=
+
−+=−=
F@ A
9 9 9 9
9 9
D 9
`
Z [ 9
` ` `
td
a h a
SC S
h h a
V
S AB C D
+
= =
+
J50G<CC#
α
V
α
' G<r@d2&&G<
@d'G*G
D
'<
*<
D
cIVkGkG
D
!
C
S
C’
B’
B
H
A
D’
E
D