Các phương pháp tính tích phân BD toán 12

TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.
2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.
4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN
TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
A. Phương pháp:
Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân
thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm
hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa.
B. Ví dụ:
VD1: Tính tích phân
1
2x x
0
dx
I
e e
=
-
ò
.
Giải :
Biến đổi I về dạng

1 1
x x
x x x x
0 0
[(e 1) e ]dx
dx
I
e (e 1) e (e 1)
+ -
= =
+ +
ò ò
=
1
x x
0
1 1
( )dx
e e 1
-
+
ò
=
1
x x
x x
0
1 e 1 e
( )dx
e e 1

+ -
-
+
ò
=
1
x
x
x
0
e
(e 1 )dx
e 1
-
- +
+
ò
=
x x 1
0
( e x ln e 1 )
-
- - + +
=
VD2 : Tính caùc tích phaân sau:
a/
2
2
3
1

x 2x
I dx;
x
−
=
∫
b/
x
4
4
0
J (3x e )dx.= −
∫
Giaûi:
a/ Ta coù:
2
2
2
1
1
1 2 2
I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2 1.
x x
x
   
= − = + = + − + = −
 ÷
 ÷
  
∫

1
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

b/ Ta có:
4
x
2
4
0
3
J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e.
2
 
= − = − − − = −
 ÷
 
VD3 : Tính tích phân:
1
5
2
0
x
I dx.
x 1
=
+
∫
Giải:
Từ
5 3 2 2

x x (x 1) x(x 1) x.= + − + +
Ta được:
1
1
3 4 2 2
2
0
0
x 1 1 1 1 1
I x x dx x x ln(x 1)] ln2 .
4 2 2 2 4
x 1
   
= − + = − + + = −
 ÷
 
 + 
∫
VD4 : Tính
/ 2
0
sinx
dx.
cosx sinx
π
+
∫
Giải:
Ta có:
sinx cosx sinx (A B)cosx (A B)sinx

A B
cosx sinx cosx sinx cosx sinx
− + + −
 
= + =
 ÷
+ + +
 
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
A B 0
1
A B .
A B 1
2
+ =

⇔ = = −

− =

Vậy:
/ 2
/ 2 / 2
0
0 0
sinx 1 cosx sinx 1 1
dx dx x ln(cosx sinx) .
cosx sinx 2 2(cosx sinx 2 2 4
π
π π

− π
   
= − − = − − + = −
   
+ +
 
 
∫ ∫
C.Bài tập :
Tính:
1)
2
4
2
4
2
sin
tg x
x
π
π
−
∫
dx 2)
3
0
π
∫
( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx
3)

3
6
π
π
∫
tg
2
x dx 4)
4
0
∫
| x-2 | dx
5)
4
2
∫

2
6 9x x− +
dx 6)
3
4−
∫
| x
2
-4 | dx 7)
3
4
4
π

π
∫
cos2 1x +
dx
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
2
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

1) DẠNG 1 : Tính
( )
b
a
I f x dx=
∫
với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b]
A. Phương pháp:
+) Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
(t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t)
+)Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=

⇒
=
=
+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa (
1
, ln x)
x
thì đặt t = lnx.
+, Khi f(x) có chứa
n
u(x)
thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.

B. Ví dụ:
VD1 Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
= = =Þ
ò
.
Vậy

I ln 2=
.
VD2 : Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (t an x 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tan x 1= +
ĐS:
3
I

8
=
.
VD3 : Tính tích phân:
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=
.
3
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

VD4. Tính tích phân
1
0
3 x

I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t t an u= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +

.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
VD5 : : Tính tích phân :
7
3
3
2
0
x dx
I
1 x
=
+
∫
Giải:
Đặt
3

2 3 2
t x 1 t x 1,= + ⇒ = +
khi đó:
2
2
3t dt
3t dt 2xdx dx .
2x
= ⇒ =
Đổi cận:
x= 0 t = 1
x= 7 t 2
⇒


⇒ =


Ta có:
3 3 2
3 4
3
2
x dx x .3t dt
3t(t 1)dt 3(t t)dt.
2xt
1 x
= = − = −
+
Khi đó:

2
2
5 2
4
1
1
t t 141
I 3 (t t)dt 3 .
5 2 10
 
= − = − =
 ÷
 
∫
C.Bài tập :
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
; 2)
2
5
0
cos xdx
π
∫

; 3)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
; 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
.
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
; 6)
4
4
0
1

dx
cos x
π
∫
; 7)
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
; 8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
.
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫

; 10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
; 11)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
; 12).
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin2
x x

dx
x
π
+
+
∫
; 14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
; 15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
.
4

TRN TH NHUNG TRNG CHUYấN LNG TH VINH

16)

+
2
0
2
)sin2(
2sin

dx
x
x
; 17)

3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx
; 18)


4
0

8
)1(

dxxtg
; 19)

+

2
4
2sin1
cossin


dx
x
xx
.

20)

+
+
2
0
cos31
sin2sin

dx
x

xx
; 21)

+
2
0
cos1
cos2sin

dx
x
xx
; 22)

+
2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x
;
23)

+
2
1
11
dx

x
x
; 24)

+
e
dx
x
xx
1
lnln31
; 25)

+

4
0
2
2sin1
sin21

dx
x
x
.
2) DNG 2:
A. Phng phỏp:
( )
b
a

I f x dx=

vi gi thit hm s f(x) liờn tc trờn [a;b]
Cỏch thc hin:
+) t
dttdxtx )()(
'

==
( trong ú
( )t

l hm s c la chn thớch hp: nh ca
( )t

nm trong tp xỏc nh ca f v
'
( )t

liờn tc.)
+) i cn :


=
=

=
=
t
t

ax
bx
+) Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c

[ ]

=

=



dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tip tc tớnh tớch phõn mi)
Chỳ ý:
* Nu f(x) cú cha:
+,
2 2 n
(a x )-
thỡ t
x a . sin t=
vi t
ẻ
;
2 2
- pp
ộ ự

ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
, hoc
x a . cos t=
vi
[ ]
t 0;ẻ p
.
+,
2 2 n
(a x )+
thỡ t
x a . tan t=
vi
t ;
2 2
- pp
ổ ử
ữ
ỗ
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
, hoc
x a . cot t=
vi
( )

t 0;ẻ p
.
+,
( )
n
2 2
x a-
thỡ t
a
x
sin t
=
hoc
a
x
cos t
=
.
+,
a x a x
;
a x a x
+ -
- +
thỡ t
x a cos2t=

+,
(x a)(b x)- -
thỡ t x=a+(b-a)sin

2
t
B. Vớ d
VD1 :Tớnh tớch phõn
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ũ
.
Gii
t
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
p p
ộ ự
= - =ẻ ị
ờ ỳ
ở ỷ
5
TRN TH NHUNG TRNG CHUYấN LNG TH VINH

1
x 0 t 0, x t
2 6

p
= = = =ị ị
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
p p
= =ị
-
ũ ũ
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ũ
.
Vy
I
6
p
=

.
VD2: Tớnh tớch phõn
2
2
0
I 4 x dx= -
ũ
.
Hng dn:
t
x 2 sin t=
S:
I = p
.
VD3:Tớnh tớch phõn
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
2
x tan t, t ; dx (t an x 1)dt
2 2

ổ ử
p p
ữ
ỗ
= - = +ẻ ị
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =ị ị
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 t an t
p p
+ p
= = =ị
+
ũ ũ
.
Vy

I
4
p
=
.
VD4:Tớnh tớch phõn
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ũ ũ
.
t

x 1 t an t+ =
S:
I
12
p
=
.
VD5 : Tớnh tớch phaõn :
=


2
2
2
0
2
x
I dx.
1 x
Giaỷi:
6
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt .Đổi cận: với
x= 0 t = 0
2
x= t
2 4
⇒



π

⇒ =



Lại có:
2 2 2 2
2 2
x dx sin t.costdt sin t.costdt sin t costdt 1
(1 cos2t)dt.
cost cost 2
1 x 1 sin t
= = = = −
− −
Khi đó:
/ 4
/ 4
0
0
1 1 1 1
I (1 cos2t)dt t sin2t .
2 2 2 8 4
π
π
π
 
= − = − = −
 ÷

 
∫
VD6 : Tính tích phân :
2/ 3
2
2
dx
I
x x 1
=
−
∫
Giải:
Đặt
2
1 cost
x , khi đó: dx dt
sint
sin t
= = −
Đổi cận:
x= 1 t =
2
2
x= t
3
3
π

⇒




π

⇒ =



Khi đó:
/ 2 / 2
2
/ 2
/ 3
/ 3 / 3
2
1
costdt
sin t
dt t
1
6
1
sint 1
sin t
π π
π
π
π π
−

π
= = =
−
∫ ∫
VD7 : Tính tích phân :
0
a
a x
I dx, (a 0)
a x
+
= >
−
∫
Giải:
Đặt
x a.cos2t, khi đó: dx 2a.sin2tdt.= = −
Đổi cận:
x= -a t =
2
x=0 t
4
π

⇒


π

⇒ =


Lại có:
a x a a.cos2t
dx ( 2a.sin2tdt) cott ( 2a.sin2tdt)
a x a a.cos2t
+ +
= − = −
− −
2
4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt.= − = − +
7
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Do đó:
/ 2
/ 2
/ 4
/ 4
1
I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a 1
2 4
π
π
π
π
π
   
= − + = − − = −
 ÷  ÷
   

∫
.
VD8 : Tính tích phân :
/ 3
2
/ 6
cosdx
I
sin x 5sinx 6
π
π
=
− +
∫
Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
Đổi cận:
1
x= t =
6 2
3
x= t
3 2
π

⇒



π


⇒ =



Ta có:
2 2
cosdx dt dt
(t 2)(t 3)
sin x 5sinx 6 t 5t 6
= =
− −
− + − +
A B [(A B)t 2A 3B]dt
dt
t 3 t 2 (t 2)(t 3)
+ − −
 
= + =
 ÷
− − − −
 
Từ đó:
A B 0 A 1
2A 3B 1 B 1
+ = =
 
⇔
 
− − = = −

 
Suy ra:
2
cosxdx 1 1
dt.
t 3 t 2
sin x 5sinx 6
 
= −
 ÷
− −
− +
 

Khi đó:
3 / 2
3 / 2
1/ 2
1/ 2
1 1 t 3 3(6 3)
I dt ln ln
t 3 t 2 t 2
5(4 3)
− −
 
= − = =
 ÷
− − −
 
−

∫
C.Bài tập :
Tính các tích phân sau:
1)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
2)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
3)
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−

∫
4)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
5)
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
6)
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
7))
1
5
0

1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
8)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
9)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
10)

1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
11)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
12)
∫
++
−
0
1
2

22xx
dx
13)
∫
++
1
0
311 x
dx
14)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
.
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
8
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

A. Phương pháp:
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:

+,
d(a.x b)
d(a.x b) a.dx dx (a 0)
a
+
+ = =Û ¹
.
+,
x
x x
x
d(ae b)
d(ae b) ae .dx dx
a.e
+
+ = =Û
.
+,
d(sinx)
d(sin x) cos x.dx dx
cos x
= =Û
;
d(cos x)
d(cos x) sin x.dx dx
sin x
= - =Û
-
.
+,

dx
d(ln x) .
x
=

dx 1 d(a.x b) 1
ln(a.x b)
a.x b a a.x b a
+
= = +
+ +
.
+,
2 2
2 2
x.dx
d( x a )
x a
+ =
+
.
B. Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau:
1)
1
0
dx
2007.x 2008+
ò
; 2)
4

2
0
sin x.cos xdx;
p
ò
3)
e
x
2x
1
e .dx
4 3e-
ò
; 4)
4
6
cot x.dx
p
p
ò
.
C. Bài tập Tính các tích phân sau:
1)
1
2
3
0
2
1
x

x+
∫
; 2)
1
2
3
0
( )
2
x
x−
∫
dx; 3)
1
2
3
0
2
1
x
x+
∫
dx ; 4)
2
1
0
x
xe dx
∫
; 5)

3
1
2
1
x
x e
−
−
∫
dx .
6)
1
2 ln
e
x
x
+
∫
dx ; 7)
2
1 ln
e
e
dx
x x+
∫
; 8)
3
3
0

sin
cos
x
x
π
∫
dx ; 9)
3
cos
0
sin
x
x e
π
∫
dx ; 10)
1
x
0
dx
2e 3+
ò
.

IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
A. Phương pháp:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫

−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
+) Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu

=
=
⇒
=
=
+) Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Chú ý:
9
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

+)Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=
không quá phức tạp.
+)Hơn nữa, tích phân
b

a
vdu
ò
phải tính được.
+)Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx
ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
ò
thì đặt
u ln x=
.
iii/ Nếu gặp
b
x
a
e .sin axdx
a
ò
,

b
x
a
e .cos axdx
a
ò
thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
x
u e
a
=
.
B. Ví dụ:
VD1:Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=

ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ
ò ò
.
VD2Tính tích phân
e
1
I x ln xdx=

ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv xdx
x
v
2
ì
ï
=
ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï

ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
+
= - =Þ
ò ò
.
VD3Tính tích phân
2
x
0
I e sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
x x
u sin x
du cos xdx
dv e dx v e
=

=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î
î
2 2
x x x
2
2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
10
TRN TH NHUNG TRNG CHUYấN LNG TH VINH

t
x

x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ỡ
ỡ
ù
ù
ù ù
ị
ớ ớ
=
ù ù
=
ù
ùợ
ợ
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
p p
p
= = + = - +ị
ũ ũ

2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
= - - + =ị ị
.
VD4 : Tớnh tớch phaõn:
2
2
1
ln(1 x)
I dx.
x
+
=

Giaỷi:
ẹaởt:
2
1
u ln(1 x)
du dx
1 x
dx
1
dv

v
x
x

= +
=



+


=

=



Khi ủoự:
2
2 2
1
1 1
1 1 1 1 1
I ln(x 1) dx ln3 ln2 dx
x x(x 1) 2 x 1 x

= + + = + + +
ữ
+ +

2
1
1 3
ln3 ln2 (ln | x | ln(x 1)) ln3 3ln2.
2 2
= + + + = +
VD5 : Tớnh tớch phaõn:
1
2 2x
0
(x x)e dx+

Giaỷi:
1
2 2x
0
(x x)e dx+

. ẹaởt
2
2x
u x x
dv e dx

= +


=

( )
2x
du 2x 1 dx
1
v e
2

= +


=


I =
1
1
2x 2 2x 2
1
0
0
1 1
e (x x) (2x 1)e d x e I
2 2
+ + =

I
1

=
1
2x
0
(2x 1)e dx+

, ẹaởt
2x
u 2x 1
dv e dx
= +



=



2x
du 2x 1dx
1
v e
2
= +



=

I
1
=
1 1
1
2x 2x 2 2x
0
0 0
1 1 1
e (2x 1) e dx (3e 1) e
2 2 2
+ =


=
( )
2 2 2
1 1
3e 1 (e 1) e
2 2
=
. Vaọy I =
2
2 2
1 e
e e
2 2
=
11
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

VD6 : Tính tích phân:
3
0
5 x
1
x .e dx
−
−
∫
Giải:
I =
3
0
5 x
1
x .e dx
−
−
∫
. Đặt t = –x
3
⇒ dt = –3x
2
dx ,
° x = 0 ⇒ t = 0 , x = –1 ⇒ t = 1
⇒ I =
0 1
t t
1

1 0
1 1 1
( t).e dt t.e d t I
3 3 3
 
− − = − = −
 
 
∫ ∫
. Với I
1
=
1
t
0
t e dt
∫
.
° Đặt
t
u t
dv e dt
=



=


⇒

t
du dt
v e
=



=


⇒ I
1
=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e dt e e 1− = − =
∫
. Vậy I =
1
1 1
I
3 3
− = −
VD7 : Tính tích phân:
/ 2
2
0

I (x 1)sinxdx.
π
= +
∫
Giải:
Đặt:
2
du 2xdx
u (x 1)
v cosx
dv sinxdx

=

= +
⇒
 
= −
=


Khi đó:
/ 2 / 2
/ 2
2
0
0 0
I (x 1)cosx 2 xcosxdx 1 2 xcosxdx
π π
π

= − + + = +
∫ ∫
(1)
Xét tích phân
/ 2
0
J xcosxdx.
π
=
∫
Đặt:
u x du dx
dv cosxdx v sinx
= =
 
⇒
 
= =
 
Khi đó:
/ 2
/ 2 / 2
0 0
0
J xsinx sinxdx cosx 1
2 2
π
π π
π π
= − = + = −

∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
I 1 2 1 1.
2
π
 
= + − = π −
 ÷
 
VD8 : Tính tích phân:
1
x
0
xe dx
∫
Giải:
1
x
0
xe dx
∫
. Đặt t =
x
⇒ t
2
= x ⇒ 2tdt = dx
12
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

° x = 1 ⇒ t = 1 , x = 0 ⇒ t = 0
⇒ I =
1 1
2 t 3 t
1
0 0
t e 2tdt 2 t e dt 2I= =
∫ ∫
. Đặt
3
t
u t
dv e dt

=


=


⇒
2
t
du 3t dt
v e

=


=



⇒ I
1
=
1
1
t 3 t 2
2
0
0
e .t 3 e .t dt e 3I− = −
∫
. Với I
2
=
1
t 2
0
e .t dt
∫
.
Đặt
2
t
u t
dv e dt

=



=


⇒
t
du 2tdt
v e
=



=


⇒ I
2
=
1
1
t 2 t
3
0
0
e .t 2 e tdt e 2I
1
− = −
∫
. với I
3

=
1
t
0
e t dt
∫
.
Đặt
t
u t
dv e dt
=



=


⇒
t
du dt
v e
=



=


⇒ I

3
=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e dt e e e (e 1) 1− = − = − − =
∫
Vậy I = 2I
1
= 2(e – 3I
2
) = 2e – 6I
2
= 2e – 6(e – 2I
3
) = 12I
3
– 4e = 12 – 4e
VD 9 : Tính tích phân:
2x 2
0
I e sin xdx.
π
=
∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2x 2 2x

0 0
1
I e sin xdx e (1 cos2x)dx
2
π π
= = −
∫ ∫
(1)
• Xét tích phân:
2
2x 2x
1
0
0
1 e 1
I e dx e
2 2 2
π
π
π
= = = −
∫
(2)
• Xét tích phân:
2x
2
0
I e cos2xdx
π
=

∫
Đặt:
2x
2x
du 2sin2xdx
u cos2x
1
v e
dv e dx
2
= −

=


⇒
 
=
=



Khi đó:
2
2x 2x 2x
2
0
0 0
1 e 1
I e cos2x e sin2xdx e sin2xdx

2 2 2
π
π π
π
= + = − +
∫ ∫
(3)
• Xét tích phân:
2x
2, 1
0
I e sin2xdx
π
=
∫
13
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Đặt:
2x
2x
du 2cos2xdx
u sin2x
1
v e
dv e dx
2
=

=



⇒
 
=
=



Khi đó:
2
2x 2x
2, 1 2
0
0
I
1
I e sin e cos2xdx I .
2
π
π
= − = −
∫
1 442 4 43
(4)
Thay (4) vào (3), ta được:
2 2
2 2 2
e 1 e 1
I I I .

2 2 4 4
π π
= − − ⇔ = −
(5)
Thay (2), (5) vào (1), ta được:
2 2
2
1 e 1 e 1 1
I [ ( )] (e 1).
2 2 2 4 4 8
π π
π
= − − − = −
⇒ I
1
=
1 1
1
t t t
0
0 0
e .t e dt e e 1− = − =
∫
. Vậy I = 2
C. Bài tập
Tính tích phân
1)
3
2
0

x sinx
dx
cos x
π
+
∫
2)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
3)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
4)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
5)

1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
6)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
7))
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
8)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫

9))
1
2
0
xtg xdx
∫
10)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
A Phương pháp:
-Dạng 1:Nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
- Dạng 2:Nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=

∫ ∫
.
- Dạng 3:Nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì
+
0
( )
( ) với R và a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈
+
∫ ∫
- Dạng 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì

b b
a a
a b
x.f(x)dx . f(x).dx
2
+
=
ò ò
B. Ví dụ

14
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

VD1: Tính tích phân
Giải: nhận xét hs
−
=
+
1 x
f(x) cosx.ln( )
1 x
thỏa:
* Liên tục trên [-1/2;1/2]
* f(x) +f(-x) = = 0
Theo tc 1 ta được I=0
VD2 :Tính tích phân
I=
2
2
2
cos x.ln(x x 1)dx
p
- p
+ +
ò
VD3
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =
2 2. cos 2x-
.
Tính tích phân

3
2
3
2
I f(x).dx
p
- p
=
ò
VD4:
Tính tích phân
a)
2
0
I x. sin x. cos x.dx
p
=
ò
;
2
2
2
0
1
b)J ( t an (sin x)).dx
cos (cos x)
p
= -
ò
.

VD5:
Tính các tích phân
a)
2
2
0
I ln(sin x 1 sin x)dx;
p
= + +
ò

b)
2008
2007
0
J sin x.dx
p
=
ò
.
VD6:
Tính các tích phân sau:
a)
1
4
1
2 1
x
x
dx

−
+
∫
b)
1
2
1
1
1 2
x
x
dx
−
−
+
∫
c)
2
sin
3 1
x
x
dx
π
π
−
+
∫
PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
Chú ý:
2 2 2
2n 1 2 n 2 n
sin x 1 cos x 1 t .
(sin x) (sin x) .sin x (1 t ) .sin x
+
= - = -
= = -
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
15
−
−
=
+
∫
1/ 2
1/ 2
1 x
I cos x.ln( )dx

1 x
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Giải
Đặt
t cos x dt sin xdx= = -Þ
x 0 t 1, x t 0
2
p
= = = =Þ Þ
0
2
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
p
= - = - -Þ
ò ò
1
1
3 5
2 4
0
0
t t 2
(t t )dt
3 5 15
æ ö
÷
ç

= - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
2
I
15
=
.
2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
Chú ý:
2 2 2
2n 1 2 n 2 n
cos x sin x 1 t .
(cos x) (cos x) .cosx (1 t ) .cosx
+
= = -
= = -
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx

p
=
ò
.
Giải
Đặt
t sin x dt cos xdx= =Þ
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
p p
= = -Þ
ò ò
1
1
3 5
2 2
0
0
2t t 8
(1 t ) dt t
3 5 15
æ ö
÷
ç

= - = - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
8
I
15
=
.
3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
Chú ý:
2 2
1 cos 2x 1 cos2x 1
cos x ;sin x ;sin x. cos x sin 2x
2 2 2
+ -
= = =
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=

ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò

3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân
2
0
dx
I

cos x sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Giải
16
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Đặt
( )
2
2
x 1 x 2dt
t t g dt tg 1 dx dx
2 2 2
t 1
= = + =Þ Þ
+
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
1
2 2
0
2 2
1 2dt
I .

1 t 2t 1 t
1
1 t 1 t
=Þ
- +
+ +
+ +
ò
1
1
0
0
dt
ln t 1 ln 2
t 1
= = + =
+
ò
.
Vậy
I ln 2=
.
4. Dạng liên kết
Ví dụ 1. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=

+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p
p
= - = -Þ
- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò

( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
( )
( )
( )
2
0
0
t
d
t
2 4

tg
t
2 2 2 4
cos
2 4
p
p
p
-
p p p
= = - = p
p
-
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2007

2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - = -Þ
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t

2 2
p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra

I
4
p
=
.
Tổng quát:
17
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 3 . Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx

sin x 3 cos x
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.
Giải
+,
6 6
2 2
0 0
sin x 3 cos x
I 3J dx (sin x 3 cos x)dx
sin x 3 cos x
p p
-
- = = -
+
ò ò

( )
6
0
cos x 3 sin x 1 3
p
= - - = -
(1).
+,
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + =Þ
x 0 t , x t

3 6 2
p p p
= = = =Þ Þ
2 2
2
3 3
1 dt 1 sin tdt
I J
2 sin t 2
sin t
p p
p p
+ = =Þ
ò ò
( )
2 2
2
3 3
d(cos t)
1 1 1 1
d(cos t)
2 4 cos t 1 cos t 1
cos t 1
p p
p p
= = -
- +
-
ò ò

2
3
1 cos t 1 1
ln ln 3
4 cos t 1 4
p
p
-
= =
+
(2).
Từ (1) và (2)
3 1 3
I 3J 1 3
I ln 3
16 4
1
1 1 3
I J ln 3
J ln 3
4
16 4
ì
-
ï
ì
- = -
ï
ï
= +

ï
ï
ï
ï
Þ Û
í í
ï ï
-
+ =
ï ï
= -
ï ï
î
ï
î
.
Vậy
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Ví dụ 4 . Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x

+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tgt dx (1 t g t)dt= = +Þ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
( )
4 4
2
2
0 0
ln(1 t gt)
I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt
1 t g t
p p
+
= + = +Þ
+
ò ò
.
Đặt
t u dt du
4

p
= - = -Þ
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =Þ Þ
( )
0
4
0
4
I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du
4
p
p
p
é ù
= + = - + -Þ
ê ú
ë û
ò ò
18
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

4 4
0 0
1 tgu 2
ln 1 du ln du
1 t gu 1 t gu
p p

-
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
+ +
ò ò
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 t gu du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
Vậy
I ln 2
8
p
=
.
Ví dụ 5 . Tính tích phân
4
x

4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -Þ
x t , x t
4 4 4 4
p p p p
= - = = = -Þ Þ
4 4
t
t t
4 4
cos( t)
2007 cos t
I dt dt
2007 1 1 2007
p p
-
-
p p

-
-
= - =Þ
+ +
ò ò
( )
4 4
t
t t
4 4
(1 2007 ) 1
1
cos t dt 1 cos t dt
1 2007 2007 1
p p
p p
- -
+ -
= = -
+ +
ò ò
4 4 4
0
4 4
1 2
cos t dt I I cos tdt cos t dt
2 2
p p p
p p
- -

= - = = =Þ
ò ò ò
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0>a
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - aa
thì
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 6 . Cho hàm số f(x) liên tục trên
¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cos x- + =
.

Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ò
,
x t dx dt= - = -Þ
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -Þ Þ
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

p p
p p
- -
= - = = + = - +Þ Þ
ò ò
19
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò
.
Vậy
2
I
3
=
.
Vậy
I
2
p
=
.

Chú ý:
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7 . Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
2
t x x t dx 2t dt= = =Þ Þ
2
x 0 t 0, x t
4 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
2
2
0
0
I 2 t cos tdt 2 t sin t cos t 2
p
p
= = + = -Þ p
ò

.
Vậy
I 2= -p
.
Câu 8 : : Tính tích phân :
1
2008
1
I x sinxdx
−
=
∫
Giải:
Viết lại I về dưới dạng:
0 1
2008 2008
1 0
I x sinxdx x sinxdx.
−
= +
∫ ∫
(1)
Xét tích phân
0
2008
1
J x sinxdx.
−
=
∫

Đặt
x t dx dt= − ⇒ = −
khi đó:
2
2
3t dt
3t dt 2xdx dx .
2x
= ⇒ =
Đổi cận:
{
x= -1 t = 1
x=0 t 0
⇒
⇒ =
Khi đó:
0 1
2008 2008
1 0
I ( t) sin( t)dt x sinxdx.= − − − = −
∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
Câu 9 : : Tính tích phân :
/ 2
4
4 4
0
cos x
I dx.

cos x sin x
π
=
+
∫
20
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −

Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =


Khi đó:
4
0 / 2 / 2
4 4
4 4 4 4
4 4
/ 2 0 0
cos ( t)( dt)
sin tdt sin x
2
I dx.
cos t sin t cos x sin x
cos ( t) sin ( t)
2 2
π π
π
π
− −
= = =
π π
+ +
− + −
∫ ∫ ∫
Do đó:
/ 2 / 2
4 4
4 4
0 0
cos x sin x
2I dx dx I .

2 4
cos x sin x
π π
+ π π
= = = ⇒ =
+
∫ ∫
Câu1 0 : : Tính tích phân:
1/ 2
1/ 2
1 x
I cosx.ln dx.
1 x
−
−
 
=
 ÷
+
 
∫
Giải:
0 1/ 2
1/ 2 0
1 x 1 x
I cosx.ln dx cosx.ln dx
1 x 1 x
−
− −
   

= +
 ÷  ÷
+ +
   
∫ ∫
. (1)
Xét tính chất
0
1/ 2
1 x
J cosx.ln dx
1 x
−
−
 
=
 ÷
+
 
∫
Đặt
x t dx dt= − ⇒ = −
Đổi cận:
1 1
x= - t =
2 2
x=0 t 0


⇒



⇒ =

Khi đó:
0 1/ 2 1/ 2
1/ 2 0 0
1 t 1 t 1 x
I cos( t).ln dt cost.ln dt cosx.ln dx
1 t 1 t 1 x
+ − −
     
= − − = − = −
 ÷
 ÷  ÷
− + +
 
   
∫ ∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
Câu1 1 : : Tính tích phân:
1
4
x
1
x dx
I
2 1
−

=
+
∫
Giải:
21
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Biến đổi I về dạng:
0 1
4 4
x x
1 0
x dx x dx
I
2 1 2 1
−
= +
+ +
∫ ∫
(1)
Xét tích phân
0
4
x
1
x dx
J
2 1
−
=

+
∫
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt
Đổi cận:
{
x= -1 t = 1
x=0 t 0
⇒
⇒ =
. Khi đó:
0 1 1
4 4 t 4 x
t t x
1 0 0
( t) dt t .2 .dt x .2 .dx
J
2 1 2 1 2 1
−
−
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1 1 1 1
4 x 4 4 x
4
x x x
0 0 0 0
x .2 .dx x dx x (2 1)dx 1

I x dx .
5
2 1 2 1 2 1
+
= + = = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 12 : Tính tích phân:
/ 2
n
n n
0
cos xdx
I
cos x sin x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2

π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
n
0 / 2 / 2
n n
n n n n
n n
/ 2 0 0
cos t ( dt)
sin tdt sin x
2
I dx.
cos t sin t cos x sin x
cos t sin t
2 2
π π
π
π
 
− −
 ÷
 

= = =
π π
    + +
− + −
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
Do đó:
/ 2 /2
n n
n n
0 0
cos x sin x
2I dx dx I .
2 4
cos x sin x
π π
+ π π
= = = ⇒ =
+
∫ ∫
Câu1 3 : : Tính tích phân:
2
0
xsinxdx
I .
4 cos x
π
=
−

∫
Giải:
Biến đổi I về dạng:
2 2
0 0 0
xsinxdx xsinxdx
I xf(sinx)dx.
4 (1 sin x) 3 sin x
π π π
= = =
− − +
∫ ∫ ∫
Đặt
x t dx dt= π− ⇒ = −
22
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

Đổi cận:
{
x= t = 0
x=0 t
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0
2 2 2 2
0 0 0
( t)sin( t)dt ( t)sintdt sintdt tsintdt
I
4 cos ( t) 4 cos t 4 cos t 4 cos t

π π π
π
π − π− π− π
= − = = −
− π − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
0 0 0
d(cost) d(cost) d(cost)
I 2I
4 cos t 4 cos t cos t 4
π π π
= −π − ⇔ = −π = π
− − −
∫ ∫ ∫
2
0
0
d(cost) 1 cost 2 ln9
I . ln .
2 2 4 cost 2 8
cos t 4
π
π
π π − π
⇔ = = =
+
−
∫
Câu1 4 : : Tính tích phân:

2
3
0
I x.cos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt
x 2 t dx dt= π − ⇒ = −
Đổi cận:
{
x= 2 t = 0
x=0 t 2
π ⇒
⇒ = π
Khi đó:
0 2
3 3
2 0
I (2 t).cos (2 t)( dt) (2 t).cos tdt
π
π
= π− π− − = π−
∫ ∫
2 2 2
3 3
0 0 0
2 cos tdt tcos tdt (cos3t 3cost)dt I
2

π π π
π
= π − = + −
∫ ∫ ∫
2
0
1
2I sin3t 3sint 0 I 0.
2 3
π
π
 
⇔ = + = ⇔ =
 ÷
 
Câu1 5 : Tính tích phân:
/ 2
0
1 sinx
I ln dx.
1 cosx
π
+
 
=
 ÷
+
 
∫
Giải:

Đặt
t x dx dt
2
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
2
x= t 0
2
π

⇒


π

⇒ =

Khi đó:
0 / 2
/ 2 0 0
1 sin t
1 cost 1 sint
2
I ln ( dt) ln dt ln dt
1 sint 1 cost
1 cos t
2
π π

π
 π
 
+ −
 ÷
 ÷
+ +
   
 
= − = = −
 ÷
 ÷  ÷
π
+ +
 
   
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
23
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH

/ 2
0
1 sinx
ln dx I 2I 0 I 0.

1 cosx
π
+
 
= − = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
+
 
∫
Câu1 6 : : Tính tích phân:
/ 4
0
I ln(1 tgx)dx.
π
= +
∫
Giải:
Đặt
t x dx dt
4
π
= − ⇒ = −
Đổi cận:
x= 0 t =
4
x= t 0
4
π

⇒



π

⇒ =

Khi đó:
0 / 4 / 4
/ 4 0 0
1 tgt 2
I ln[1 tg( t)dt ln(1 )dt ln dt
4 1 tgt 1 tgt
π π
π
π −
= − + − = + =
+ +
∫ ∫ ∫
/ 4 / 4 / 4
/ 4
0
0 0 0
[ln2 ln(1 tgt)]dt ln2 dt ln(1 tgt)dt ln2.t I
π π π
π
= − + = − + = −
∫ ∫ ∫
ln2 ln2
2I I .
4 8

π π
⇔ = ⇔ =
II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1 tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
+) Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
24
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH

Vậy
59
I
2
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2

0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
p
= - -
ò
.
Giải
2 2
2
0 0
I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx
p p
= - + = -
ò ò
.
Bảng xét dấu
x
0

6
p

2
p

2 sin x 1-

-

0

+

( ) ( )
6 2
0
6
I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2
6
p p
p
p
= - - + - = - -
ò ò
.
Vậy
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.

Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 1. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +
25