Bài tập ma trận, định thức, vecto có lời giải

Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
9.1 Ch ng minh r ng: Đ nh th c s b ng không n u:ứ ằ ị ứ ẽ ằ ế
a/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) gi ng nhau. ị ứ ộ ố
b/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) t l v i nhau.ị ứ ộ ỷ ệ ớ
c/ Trong đ nh th c có m t dòng (hay m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòngị ứ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ
(hay các c t) còn l i c a đ nh th c.ộ ạ ủ ị ứ
9.2 Ch ng minh r ng: Trong m t đ nh th c, t ng các tích c a các ph n t c a m tứ ằ ộ ị ứ ổ ủ ầ ử ủ ộ
dòng (ho c m t c t) v i ph n bù đ i s c a các ph n t t ng ng c a m t dòngặ ộ ộ ớ ầ ạ ố ủ ầ ử ươ ứ ủ ộ
(ho c c t) khác đ u b ng 0.ặ ộ ề ằ
9.3 Gi s ả ử
nnij
)a(A
×
=
,
n21
A,,A,A 
là các c t c a A. Ch ng minh r ng:ộ ủ ứ ằ
0Adet ≠
⇔ h véc t ệ ơ
{ }
n21
A,,A,A 
là h véc t đ c l p tuy n tính.ệ ơ ộ ậ ế
9.4 Ch ng minh r ng: các phép bi n đ i s c p th c hi n trên m t ma tr n khôngứ ằ ế ổ ơ ấ ự ệ ộ ậ
là thay đ i h ng c a ma tr n đó.ổ ạ ủ ậ
9.5 Cho
( )
nm
ij
aA

×
=
, B là ma tr n vuông không suy bi n c p m. Ch ng minh r ngậ ế ấ ứ ằ
( )
rankAA.Brank =
.
Còn n u ế
( )
nm
ij
aA
×
=
, B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ
( )
rankAB.Arank =
. Còn
n u ế
( )
nn
ij
aA
×
=
, B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ
( ) ( )
rankAA.BrankB.Arank ==
.
9.6 N u A và B là các ma tr n vuông c p n có ế ậ ấ
A.BB.A =

thì:
a/
222
BB.A2A)BA( ++=+
; b/
22
BA)BA)(BA( −=−+
;
c/
32233
BB.A3B.A3A)BA( +++=+
9.7 Ch ng minh r ng: N u ma tr n vuông A có ứ ằ ế ậ
Ο=
2
A
thì các ma tr nậ
EAvµEA −+
là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế
9.8 Đ nh th c c p n s thay đ i th nào n u: ị ứ ấ ẽ ổ ế ế
a/ Đ i d u t t c các ph n t c a nó.ổ ấ ấ ả ầ ử ủ
b/ Vi t các c t (hay các dòng c a nó) theo th t ng c l i.ế ộ ủ ứ ự ượ ạ
9.9 Cho A là ma tr n vuông c p n và n u ậ ấ ế
)kAdet(Adet =
. Hãy tính k.
9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế
2Adet =
thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả
không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố
9.16 Cho các ma tr n ậ









−
=








−
=








−
−=
82

94
07
C;
41
20
54
B;
32
13
21
A

Hãy tính a/
B2A3 −
; b/
C2B4A5 −−

9.17 Cho






−
=









−
−=
52
13
B;
31
47
25
A
Tìm
C
AA −
và
C
BB−
.
9.18 Cho








−=









−=
21
12
34
B;
13
15
31
A
. Tìm X bi t a/ ế
;BX3A2 =−
b/
Ο=− X
3
2
A3
;
9.19 Tính: a/ A
4
v i ớ







=
00
10
A
; b/ B
3
v i ớ






−
=
acosasin
asinacos
B

1
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
9.20 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ







=
dc
ba
X
tho mãn ph ng trình:ả ươ
Ο=−++− E)bcad(X)da(X
2
, trong đó






=
10
01
E
;






=Ο
00
00

9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ
EBAAB =−
, trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B. ậ ơ ị ấ ớ
9.22 Cho
E3X4X)X(fTÝnh.
32
01
X
2
+−=






=
, trong đó






=
10
01
E
.
9.23 Cho

EX5X3X)X(fvµ
43
12
B;
32
21
A
23
+−+=






=






−
=
. Tính f(AB).
9.24 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ









=
300
010
001
X
là nghi m c a đa th cệ ủ ứ
E9X9XX)X(f
23
+−−=
.
9.25 Tìm (f(A))
2
n u ế








−
−=
301
210
021

A
và
EX)X(f +=
.
Gi i các ph ng trình sauả ươ :
9.26
0
3x4
x32
det =






+
−
; 9.27






−
=









23/31
13/2
det
x31
21x
132
det
.
9.28
0
003x
0x48
2x126
det =








−
−
−−

.
9.29 Cho a
1
, a
2
, …, a
n–1
là các h ng s tuỳ ý cho tr c, khác nhau và khác 0. Gi iằ ố ướ ả
ph ng trình:ươ

0
a aaa

a aaa
a aaa
x xxx
det
n3
1n
2
1n1n
n
2
3
2
2
22
n
1
3

1
2
11
n32
=














−−−
9.30 Tính các đ nh th c sau: a/ ị ứ
222
222
222
222
222
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1

)3()2()1(1
D
+η+η+ηη
+γ+γ+γγ
+δ+δ+δδ
+β+β+ββ
+α+α+αα
=
b/
a x x x
D x b x x
x x c x
+
= +
+
2
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
9.31 Gi i ph ng trình: ả ươ
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
−
=
−
− −
S d ng tính các ch t c a đ nh th c, tính các đ nh th c t bài 32 đ n bài 36ử ụ ấ ủ ị ứ ị ứ ừ ế :
9.32

22721272
22731273
D =
9.33 a/
556275363
222
654373461
D =
; b/
0x xx1
x0 xx1

xx 0x1
xx x01
11 110
D
n
=
9.34 a/
5412
3844
1291
2673
D =
; b/
x0 00a
1x 00a

00 x0a
00 1xa

00 01a
D
n
1n
2
1
0
1n
−
−
−
=
−
+
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6
D
4 6 8 10
2 3 7 8
=
;
9.36 a/
n nnnn

n 4444
n 4333
n 4322
n 4321
D

n
=
; b/
5
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
D
2 2 3 2 2
2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
=
;
c/
n 2222

2 4222
2 2322
2 2222
2 2221
D
n
=
.
9.37 Cho ma tr n A c p ậ ấ
1010×
có d ng: ạ
10
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0

A
0 0 0 0 1
10 0 0 0 0
−
 
 
 
=
 
 
 
 
, các ph n tầ ử
3
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
d ng ạ
9,1k1a;10a
1k,k
10
1,10
=∀==
+
−
; E là ma tr n đ n v c p 10. Ch ng minh r ng:ậ ơ ị ấ ứ ằ
1010
10)EAdet(
−−
−λ=λ−
.
9.38 a/ Dùng công th c khai tri n đ nh th c, tính các đ nh th c sau:ứ ể ị ứ ị ứ

a/
00320
00351
00120
22300
11213
D
−
−
=
; b/
210000
1090000
861600
151200
305043
200021
D
−
=
9.39 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n ậ ị ả ủ ậ








−=

231
121
315
A
9.40 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n: ậ ị ả ủ ậ
a/










−−−
=
4331
1241
2152
0121
A
; b/













=
10000
11000
11100
11110
11111
B
; c/








−−
−
=
221
142
213
C
;

9.41 Gi i ph ng trình ma tr n: a/ ả ươ ậ
BAX =
V i ớ








−
−
=








−
=
01
22
63
B;
231
121

312
A

b/
CBAX =+
v i ớ








=








−
−
−−
=









−
−=
211
113
362
C;
930
433
1549
B;
102
111
213
A
.
c/
BAX =
v i ớ















=
1 000

1 100
1 110
1 111
A
;














−

−
=
1 000

2n 100
1n 210
n 321
B
9.42 V i giá tr nào c a ớ ị ủ λ thì các ma tr n sau có ma tr n ngh ch đ o:ậ ậ ị ả
a/
1 2 2
A 3 0
2 1 1
−
 
= λ
 
 
 
; b/
2 0
A 2 1
0 1
λ
 
= λ
 
 
λ
 

; c/








λ
λ−
−−
=
31
13
451
A
; d/








−λ
λ
λ
=

23
12
12
A
.
9.43 Dùng ph ng pháp đ nh th c bao quanh, tìm h ng c a ma tr n:ươ ị ứ ạ ủ ậ
a/
1 2 3 4
1 3 0 1
A
2 4 1 8
1 7 6 9
0 10 1 10
 
−
 
=
 
 
 
 
;
1 1 2 3 1
0 2 1 2 2
0 0 3 3 3
B
0 0 0 4 0
1 3 6 12 2
1 3 3 5 1
−

 
 
−
 
=
 
 
−
 
 

9.44 Dùng các phép bi n đ i s c p, tìm h ng c a ma tr n:ế ổ ơ ấ ạ ủ ậ
4
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
1 2 1 1 1
2 1 1 2 4
A
1 3 2 1 1
3 3 2 3 1
− − −
 
−
 
=
−
 
 
− −
 
;

1 4 5 3 1
1 2 1 1 0
B
3 1 2 2 1
0 3 3 3 3
2 1 1 3 2
− −
 
− −
 
=
−
 
 
− −
 
− −
 
9.45 Ch ng minh r ng m t ma tr n có h ng b ng r bao gi cũng vi t đ c thànhứ ằ ộ ậ ạ ằ ờ ế ượ
t ng c a r ma tr n có h ng b ng 1.ổ ủ ậ ạ ằ
9.46 Cho hai ma tr n cùng c p A và B, ch ng minh r ngậ ấ ứ ằ
rank(A B) rankA rankB+ ≤ +
.
9.47 Xét s ph thu c tuy n tính c a h véc tự ụ ộ ế ủ ệ ơ
a/
{ }
1 2 3 4
A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3,5)= − − = − = − = −
b/
{ }

1 2 3 4
B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3,1)= − − = − = − = −
9.48 a/ Cho h véc t ệ ơ
{ }
1 2 3
A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5)= = = − λ =
.
Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
.
b/ Cho h véc tệ ơ
{ }
1 2 3
A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, )= − − = = − = λ
Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
.
c/ Cho h véc t ệ ơ
{ }
1 2 3
A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1); C (2,1,3)= − = = =
.
Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ị ủ ể ơ ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A

.
d/ Cho h véc tệ ơ
{ }
1 2 3
A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)= − = − − = − − = −
Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ị ủ ể ơ ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
.
9.49 Tìm h ng và m t c s c a h véc t sau, bi u di n các véc t còn l i theo c s đó:ạ ộ ơ ở ủ ệ ơ ể ễ ơ ạ ơ ở
a/
{ }
1 2 3 4
A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1, 1)= − = − = = −
b/
{
1 2 3 4
A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A (3,4,4,1,2);= = = =
}
5
A (3,1,3,2,1)=
9.50 Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,A
là h m véc t n chi u đ c l p tuy n tính. N u m i vécệ ơ ề ộ ậ ế ế ỗ
t c a h ơ ủ ệ đ u b sung thêm thành ph n th ề ổ ầ ứ
n 1+
thì h m ệ véc t ơ

n 1+
chi u m i làề ớ
đ c l p tuy n tính hay ộ ậ ế ph thu c tuy n tính? ụ ộ ế
9.51 Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,A
là h m véc t n chi u ph thu c tuy n tính. N u m i vécệ ơ ề ụ ộ ế ế ỗ
t c a h đ u b t đi thành ph n th n thì h m véc t ơ ủ ệ ề ớ ầ ứ ệ ơ
n 1+
chi u m i là đ c l p tuy nề ớ ộ ậ ế
tính hay ph thu c tuy n tính?ụ ộ ế
Gi iả
9.2:  Ch ng minhứ :
n
kj ij
j 1
a A
=
∑
chính là công th c khai tri n theo dòng i c a đ nh th c:ứ ể ủ ị ứ
.
5
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
11 12 1n
21 22 2n
k1 k2 kn
k1 k2 kn
n1 n2 nn
a a . . . a

a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
(*1)
dòng i
dòng k
trong đó
2
≥n
. Mà đ nh th c (*1) có hai dòng gi ng nhau nên đ nh th c b ng không ị ứ ố ị ứ ằ ⇒
n
kj ij
j 1
a A 0
=
=
∑

9.3  Đi u ki n c n: Cho ề ệ ầ
( )
nn
ij
aA
×
=
có

0
≠Adet
, ta c n ch ng minh h véc t dòngầ ứ ệ ơ
(ho c ặ c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính. Gi s ng c l i h véc t dòng (ho c c t)ộ ủ ậ ộ ậ ế ả ử ượ ạ ệ ơ ặ ộ
c a maủ tr n là ph thu c tuy n tínhậ ụ ộ ế , theo h qu 9.3.5 thì ệ ả
0Adet =
, mâu thu n v i giẫ ớ ả
thi t. Mâu thu n đó ch ng t ế ẫ ứ ỏ h véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính.ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế
– Đi u ki n đ : Gi s h n véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính, theoề ệ ủ ả ử ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế
đ nh nghĩa c a h ng c a h véc t thì ị ủ ạ ủ ệ ơ
( )
nA, ,A,Arank
n21
=
, theo đ nh lý 9.5.1 thìị
nrankA=
, theo đ nh nghĩa h ng c a ma tr n thì ị ạ ủ ậ
0
≠Adet
. □
9.5  Do B là ma tr n không suy bi n nên t n t i ậ ế ồ ạ
1
B
−
. Xét ma tr n ghép ậ
( )
1
BA
−
,

nhân vào bên trái c a ma tr n này v i B, ta đ c ủ ậ ớ ượ
( ) ( )
( )
EA.BB.BA.BBA.B
11
==
−−
. Đó
chính là phép kh toàn ph n th c hi n trên ma tr n ử ầ ự ệ ậ
1
B
−
⇒ nó là các phép bi n đ i sế ổ ơ
c p th c hi n trên ma tr n A đ đ c B.A ấ ự ệ ậ ể ượ ⇒
( )
rankAA.Brank =
.
Đ ch ng minh ể ứ
( )
rankAB.Arank =
, ta l y chuy n v ấ ể ị
B
′
,
( )
mn
ji
1
aAvµ)B(
×

−
=
′′
. Xét ma
tr n ghép ậ
( )
)B(A
1
′′
−
, nhân vào bên trái c a ma tr n này v i ủ ậ ớ
B
′
, ta đ cượ
( ) ( ) ( )
E)AB()B.(BAB)B(A.B
11
′
=
′′′′
=
′′′
−−
(vì
E)B.B()B.(B
11
=
′
=
′′

−−
). Nh v y t ma tr n A,ư ậ ừ ậ
nh các phép chuy n v và các phép bi n đ i s c p, ta đã thu đ c ma tr n A.B ờ ể ị ế ổ ơ ấ ượ ậ ⇒
( )
rankAB.Arank =
□
9.7  Ta có
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
det A E A E det A E det A E+ − = + ⋅ −
(*1)
Vì
AE EA=
nên
( ) ( )
[ ]
( )
2 2
det A E A E det A E+ − = −
, do
2
A = Ο
nên
( ) ( )
2 2 2 n
det A E det E ( 1) 0− = − = − ≠

⇒
( )
det A E 0+ ≠
và
( )
det A E 0− ≠
⇒ các ma
tr n ậ
A E+
và
A E−
là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế
9.8 a/ Vi c đ i d u t t c các ph n t c a đ nh th c c p n đ ng nghĩa v i vi c đ iệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ ị ứ ấ ồ ớ ệ ổ
d u t t c n dòng c a đ nh th c. Ta đã bi t vi c đ i d u các ph n t trên m t dòngấ ấ ả ủ ị ứ ế ệ ổ ấ ầ ử ộ
c a đ nh th c làm cho đ nh th c đ i d u. Vì v y vi c đ i d u t t c các ph n t c aủ ị ứ ị ứ ổ ấ ậ ệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ
đ nh th c c p n làm cho đ nh th c đ c nhân v i ị ứ ấ ị ứ ượ ớ
n
( 1)−
.
b/ Đ i v i đ nh th c c p ch n (ố ớ ị ứ ấ ẵ
n 2k=
) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ
theo th t ng c l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ứ ự ượ ạ ồ ớ ệ ổ ỗ ặ
2k

cho nhau; dòng 2 và dòng
2k 1−
cho nhau; … dòng k và dòng
k 1+
. Ta cũng đã bi t:ế

khi đ i ch 2 dòng nào đó cho nhau thì đ nh th c đ i d u. Do đó khi vi t các dòngổ ỗ ị ứ ổ ấ ế
c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ
2k
theo th t ng c l i, đ nh th c đ c nhân v i ứ ự ượ ạ ị ứ ượ ớ
k
( 1)−
. Ch ngẳ
6
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 2 thì đ nh th c đ i d u, còn v i đ nh th cạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ ớ ị ứ
c p 4 thì đ nh th c không đ i d u.ấ ị ứ ổ ấ
Đ i v i đ nh th c c p l (ố ớ ị ứ ấ ẻ
n 2k 1= +
) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ
theo th t ng c l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ứ ự ượ ạ ồ ớ ệ ổ ỗ ặ
2k 1+

cho nhau; dòng 2 và dòng
2k
cho nhau; … dòng k và dòng
k 2+
. Do đó khi vi t cácế
dòng c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ
2k 1+
theo th t ng c l i, đ nh th c cũng đ c nhân v iứ ự ượ ạ ị ứ ượ ớ
k
( 1)−
. Ch ng h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 3 thì đ nh th c đ i d u, cònẳ ạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ
v i đ nh th c c p 5 thì đ nh th c không đ i d u.ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ
Nh v y khi vi t các dòng (hay các c t) c a đ nh th c theo th t ng c l i thì cácư ậ ế ộ ủ ị ứ ứ ự ượ ạ

đ nh th c c p ị ứ ấ
4k
và
4k 1+
không thay đ i, các đ nh th c c p ổ ị ứ ấ
4k 1 vµ 4k 2− −
sẽ
đ i d u (k nguyên d ng).ổ ấ ươ
9.9 Vì
n
det(kA) k detA=
nên
n
k detA detA=
. N u ế
detA 0=
thì
det(kA) detA=

đúng v i m i k. Còn n u ớ ọ ế
detA 0≠
thì
n
k 1=
⇒
k 1=
n u n l ; ế ẻ
k 1= ±
n u n ch n.ế ẵ
9.10 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế

1
AA
−
=
thì
,3,2,1,0nAA;EA
1n2n2
=∀==
+
 T gi thi t ừ ả ế
1
AA
−
=
⇒
2 1
A A A E
−
= =
⇒
2n n
A E E= =

n∀
nguyên d ng ươ ⇒
2n 1
A A
+
=

n∀
nguyên d ng. ươ □
9.11 Ch ng minh r ng: N u A, B là các ma tr n vuông cùng c p tho mãnứ ằ ế ậ ấ ả
BAAB =
và
0Adet ≠
thì
11
BABA
−−
=
.

1 1 1 1 1 1
A B A BAA A ABA BA
− − − − − −
= = =
. □
9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế
2Adet =
thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả
không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố
 Do
detA 2 0= ≠
⇒ t n t i ma tr n ngh ch đ o ồ ạ ậ ị ả
1
A
−
⇒
1

A.A E
−
=
⇒
1 1
(detA).(detA ) det(A.A ) detE 1
− −
= = =
vì
2Adet =
⇒
1
1
detA
2
−
=
⇒
1
A
−
không thể
toàn các s nguyên. ố
9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ
EBAAB =−
, trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B. ậ ơ ị ấ ớ
T s t n t i c a các ma tr n AB và BA kéo theo A và B là các ma tr n vuông cùngừ ự ồ ạ ủ ậ ậ
c p.ấ
Gi s ả ử
( ) ( ) ( ) ( )

ij ij ij ij
n n n n n n n n
A a ; B b ; AB c ; BA d
× × × ×
= = = =
. G i ọ
AB BA
V
−
là t ngổ
các ph n t trên đ ng chéo chính c a ma tr n ầ ử ườ ủ ậ
AB BA−
⇒
n
AB BA ii ii
1
V (c d )
−
= − =
∑
n n n
ik ki ik ki
i 1 k 1 k 1
a b b a
= = =
 
= − =
 
 
∑ ∑ ∑

n n n n
ik ki ki ik
i 1 k 1 k 1 i
a b a b 0
= = =
− =
∑∑ ∑∑
. Trong khi đó t ng các ph nổ ầ
t trên đ ng chéo chính c a ma tr n đ n v E là ử ườ ủ ậ ơ ị
E
V n=
. V y không t n t i các maậ ồ ạ
tr n vuông cùng c p A và B sao cho ậ ấ
EBAAB =−
.
7
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
9.29 Ph ng trình ươ
2 3 n
2 3 n
1 1 1 1
2 3 n
2 2 2 2
2 3 n
n 1 n 1 n 1 n 1
x x x . . . x
a a a . . . a
det 0
a a a . . . a
. . . . . . . . . . . . . . .

a a a . . . a
− − − −
 
 
 
=
 
 
 
 
(v i đi u ki n aớ ề ệ
1
, a
2
, …, a
n–1
là các h ng s khác nhau và khác 0) là ph ng trình b c n nên nó có t i đa là nằ ố ươ ậ ố
nghi m. D dàng th y ệ ễ ấ
1 2 1 3 2 n n 1
x 0, x a , x a , , x a
−
= = = =
là n nghi m khác nhau c aệ ủ
ph ng trình, vì v y nó ch có các nghi m y mà thôiươ ậ ỉ ệ ấ
□
9.30 a/
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2 2 2
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
D
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
α α + α + α +
β β + β + β +
= =
δ δ + δ + δ +
γ γ + γ + γ +
η η+ η+ η +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(2)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
α α + α + α + α +
β β + β + β + β +
=
δ δ + δ + δ + δ +
γ γ + γ + γ + γ +
η η + η + η + η +

1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43
=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
α α α + α +
β β β + β +
δ δ δ + δ +
γ γ γ + γ +
η η η + η+
1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
vì đ nh th c (2)ị ứ
có đ c t đ nh th c (3) b ng cách c ng vào c t 3 m t t h p tuy n tính c a 2 c tượ ừ ị ứ ằ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ ộ
đ u.ầ
⇒
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(5)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)

1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
D 0
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
α α α + α + α α α + α + α +
β β β + β + β β β + β + β +
= = =
δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ +
γ γ γ + γ + γ γ γ + γ + γ +
η η η+ η+ η η η + η + η +
1 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 43
Vì đ nhị
th c (5) có c t 4 b ng t h p tuy n tính c a 3 c t đ u.ứ ộ ằ ổ ợ ế ủ ộ ầ
b/ N u ế
abcx 0≠
:
a x x x
D x b x x
x x c x
+
= +
+
1 x x 1 x x
a 0 b x x x 1 b x x
0 x c x 1 x c x
= + + + =
+ +
2
1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x

ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 1 1 x
0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x
= + + +
+ + + +
. Vì đ nh th c cu iị ứ ố
cùng có hai c t gi ng nhau nên nó b ng 0. Đ nh th c đ u tiên là đ nh th c c a maộ ố ằ ị ứ ầ ị ứ ủ
tr n tam giác nên ậ
1 0 x
ab 0 1 x ab(c x) abc abx
0 0 c x
= + = +
+
. L i tách hai đ nh th c gi aạ ị ứ ữ
theo c t cu i, m i đ nh th c thành hai đ nh th c, ta đ c: ộ ố ỗ ị ứ ị ứ ượ
8
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
2 2
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc1 1 0 x b1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
= + + + + +
, đây l i th yở ạ ấ
1 1 1
0 1 1 0
0 1 1
=
;
1 0 1
1 1 1 0
1 0 1

=
(có hai c t gi ng nhau); ộ ố
1 1 0
0 1 0 1
0 1 1
=
;
1 0 0
1 1 0 1
1 0 1
=
⇒
D abc abx acx xbc= + + +
N u ch ng h n ế ẳ ạ
a 0=
thì
1 0 x
D xb 1 1 x bcx
1 0 c x
= =
+
.
N u ế
x 0=
thì
a 0 0
D 0 b 0 abc
0 0 c
= =
. (Đáp s trong sách saiố )

9.31 Ph ng trình: ươ
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
−
=
−
− −
là ph ng trình b c ươ ậ
n 1−

nên nó có không quá
n 1−
nghi m khác nhau. Nh ng d th y ph ng trình có ệ ư ễ ấ ươ
n 1−

nghi m khác nhau là ệ
1 2 n 1
x 0; x 1; ; x n 2
−
= = = −
⇒ ph ng trình ch có cácươ ỉ
nghi m đó mà thôiệ (Đáp s trong sách bài t p thi u nghi m – không đi m)ố ậ ế ệ ể
□
9.33 a/
556275363
222

654373461
D =
98 98 98
2 2 2 0
363 275 556
= =
(Đ nh th c có hai dòng t l v iị ứ ỷ ệ ớ
nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ằ
9.33 b/ 
n
0 1 1 1 1
1 0 x . x x
1 x 0 x x
D
. . . . . . .
1 x x . . . 0 x
1 x x . . . x 0
=
L y dòng 1 nhân v i –x đ c ng vào cácấ ớ ể ộ
dòng t th hai tr đi, ta đ c:ừ ứ ở ượ
.
n
0 1 1 1 1
1 x 0 0 0
1 0 x . 0 0
D
. . . . .
1 0 0 x 0
1 0 0 0 x
−

−
=
−
−
Khai tri n đ nh th c theo dòng n, ta đ c:ể ị ứ ượ
n 1
n
1 1 1 1 0 1 1 1
x 0 0 0 1 x 0 . . . 0
D ( 1) . x.
0 x 0 0 1 0 x . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 x 0 1 0 0 x
+
− −
= − −
− −
− −
(*1)
Khai tri n đ nh th nh t theo c t ể ị ứ ấ ộ
n 1−
(là đ nh th c c p ị ứ ấ
n 1−
), ta đ cượ
9
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
n 2
1 1 1 1
x 0 0 0
D x

0 x 0 0
. . . . . .
0 0 . . . x 0
−
−
′
= =
−
−
;
Đ nh th c th hai ị ứ ứ
0 1 1 1
1 x 0 0
1 0 x . 0
. . . . .
1 0 0 x
−
−
−
chính là
n 1
D
−
. Thay vào (*1), ta đ c công th c:ượ ứ
n 1 n 2
n n 1
D ( 1) x x.D n
− −
−
= − − ∀

nguyên d ng (*2)ươ
Ta có
3
0 1 1
D 1 x 0 2x
1 0 x
= − =
−
⇒
3 2 2
4
D ( 1) .x x.2x 3x= − − = −
⇒ Ta ch ng minhứ
đ c:ượ
n 1 n 2
n
D ( 1) .(n 1)x n
− −
= − − ∀
nguyên d ng (*3) hi n nhiên công th c đãươ ể ứ
đúng v i ớ
n 3=
. Gi s (*3) đã đúng v i n, ta ch ng minh (*3) cũng đúng v i ả ử ớ ứ ớ
n 1+
.
Theo (*2) thì
n n 1
n 1 n
D ( 1) x x.D
−

+
= − −
theo (*3) thì
n n 1 n 1 n 2
n 1
D ( 1) x x.( 1) (n 1).x
− − −
+
= − − − − =
n n 1
( 1) x (1 n 1)
−
− + − =
n n 1
( 1) .n.x
−
−
, t c là (*3)ứ
cũng đúng v i ớ
n 1+
□
9.34 a/  Đ nh th c có c t m t và c t 4 t l v i nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ộ ộ ộ ỷ ệ ớ ị ứ ằ
9.34 b/ 
x0 00a
1x 00a

00 x0a
00 1xa
00 01a
D

n
1n
2
1
0
1n
−
−
−
=
−
+
khai tri n theo dòng ể
n 1+
, ta đ c:ượ
0
1
n 2 n 2 n
n 1 n n n
2
n 1
a 1 0 0
1 0 . . . 0 0
a x 1 . 0
x 1 . 0 0
D ( 1) .a . x. ( 1) .a .( 1) x.D
0 x 0 0 a 0 x 0
. . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 x 1

a 0 0 . . . x
+ +
+
−
−
−
−
−
= − + = − − +
−
=
n n
a x.D+
n∀
nguyên d ng (*1).ươ
Ta có:
0
2
1 0 2 0 1 3 1 0 1 2
2
a 1 0
D a ; D a x a ; D a x 1 a x a x a
a 0 x
−
= = + = − = + +
⇒ d đoán:ự
n
n n 1 n i
n 1 0 1 n 1 n i
i 0

D a x a x a x a ax n
− −
+ −
=
= + + + + = ∀
∑
L
nguyên d ng (*2). Hi n nhiênươ ể
(*2) đã đúng v i ớ
n 2=
. Gi s (*2) đã đúng v i n nguyên d ng tuỳ ý, theo (*1) thìả ử ớ ươ
n 2 n 1 n 1
D a x.D
+ + +
= +
, theo (*2) thì
n
n i
n 2 n 1 i
i 0
D a x. a x
−
+ +
=
= +
∑
=
10
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
n 1 n 2

0 1 n 1 n n 1
a x a x a x a x a
+
− +
= + + + + +L
=
n 1
n 1 i
i
i 0
a x
+
+ −
=
∑
, t c là (*2) đúng v i ứ ớ
n n 1
′
= +

□
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6
D 0
4 6 8 10
2 3 7 8
= =
, (dòng 3 và dòng 1 t l v i nhau). ỷ ệ ớ
9.36 a/ * Cách 1:

n nnnn

n 4444
n 4333
n 4322
n 4321
D
n
=
L y dòng 1 tr dòng 2, ta đ c:ấ ừ ượ
n
1 0 0 0 . . . 0
2 2 3 4 . . . n
3 3 3 4 . . . n
D
4 4 4 4 . . . n
. . . . . . . .
n n n n . . . n
−
=
, l y dòng 2 tr dòng 3, ta đ c ti p:ấ ừ ượ ế
n
1 0 0 0 . . . 0
1 1 0 0 . . . 0
3 3 3 4 . . . n
D
4 4 4 4 . . . n
. . . . . . . .
n n n n . . . n
−

− −
=
. C nh v y, b c k thì l y dòng k tr dòng ứ ư ậ ở ướ ấ ừ
k 1+
, sau
b c th ướ ứ
n 1−
ta đ c:ượ
n
1 0 0 . . . 0 0
1 1 0 . . . 0 0
1 1 1 . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . 1 0
n n n . . . n n
−
− −
− − −
=
− − − −
=
n 1
( 1) n
−
−
.
11
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
Cách 2:

n
1 2 3 . . . n 1 n
2 2 3 . . . n 1 n
3 3 3 . . . n 1 n
D
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 1 n 1 n 1 . . . n 1 n
n n n . . . n 1 n
−
−
−
=
− − − −
−
L y dòng các dòng t dòng 2 tr điấ ừ ở
tr dòng 1, ta đ c ừ ượ
n
1 2 3 . . . n 1 n
1 0 0 . . . 0 0
2 1 0 . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 2 n 3 n 4 . . . 0 0
n 1 n 2 n 3 . . . 1 0
−
=
− − −
− − −
khai tri n theo c t n, taể ộ
đ c: ượ

n 1 n 1
n
1 0 0 . . . 0
2 1 0 . . . 0
D ( 1) n ( 1) n
. . . . . . . . . . . . . . . .
n 2 n 3 n 4 . . . 0
n 1 n 2 n 3 . . . 1
+ +
= − ⋅ ⋅ = −
− − −
− − −
9.36  c/ Tính:
n2 222
21n 222

22 322
22 22)2(
22 221
D
n
−
=
l y dòng 2 nhân v i ấ ớ
2
1
−
r i c ng vàoồ ộ
dòng 1; l yấ dòng 2 nhân v i –1 r i c ng vào các dòng t dòng 3 tr xu ng, ta đ cớ ồ ộ ừ ở ố ượ
2n0 000

03n 000

00 100
22 222
11 110
D
n
−
−
=
. Khai tri n theo c t 1, ta đ c ti p:ể ộ ượ ế
2n0 000
03n 000

00 200
00 010
11 111
.2D
n
−
−
−=
=
)!2n.(2D
n
−−=
□
Theo đó thì ph n b bài 9.36 chính là ầ
5
D 2.(5 2)! 12= − − = −

.
9.37 T ng quát, ta tính đ nh th c c p n mà các ph n t có d ngổ ị ứ ấ ầ ử ạ
ii i,i 1 n1
a 0 i 1,n; a 0 i 1,n 1; a 0
+
≠ ∀ = ≠ ∀ = − ≠
, còn l i đ u b ng 0:ạ ề ằ
11 12
22 23
33
n 1,n 1 n 1,n
n1 nn
a a 0 0 0
0 a a 0 0
0 0 a . . . 0 0
D
. . . . . . . . . . .
0 0 0 a a
a 0 0 . . . 0 a
− − −
 
 
 
=
 
 
 
 
, khai tri n đ nh th c theo c t 1, ta đ c:ể ị ứ ộ ượ
12

Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
22 23 12
33 22 23
n 1
33
11 n1
n 1,n 1 n 1,n
n 1,n 1 n 1,n
nn
a a . . . 0 0 a 0 . . . 0 0
0 a . 0 0 a a . . . 0 0
. . . . . . . 0 a . 0 0
D a ( 1) a
0 0 a a
. . . . . . .
0 0 a a
0 0 0 a
+
− − −
− − −
   
   
   
= + − =
   
   
   
n 1
11 22 nn 12 23 n 1,n n1
a a a ( 1) a a a a

+
−
= + −L L
.
9.40 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n: ậ ị ả ủ ậ
c/












=
10000
11000
11100
11110
11111
B
⇒
1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
B

0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
−
−
 
−
 
=
−
 
 
−
 
 
T ng quát: ổ
1
1 1 1 . . . 1 1 1 1 0 . . . 0 0
0 1 1 . . . 1 1 0 1 1 . . . 0 0
0 0 1 . . . 1 1 0 0 1 . . . 0 0
B B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1
−
−
   
−
   
   

= ⇒ =
   
   
−
   
   
T đây suy ra bài 9.41.c: ừ
BX C=
v i ớ
1 2 3 . . . n 1 n
0 1 2 . . . n 2 n 1
0 0 1 . . . n 3 n 2
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 2
0 0 0 . . . 0 1
−
 
− −
 
− −
 
=
 
 
 
 
⇒
1
X B C

−
=
=
1 1 0 . . . 0 0 1 2 3 . . . n 1 n
0 1 1 . . . 0 0 0 1 2 . . . n 2 n 1
0 0 1 . . . 0 0 0 0 1 . . . n 3 n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 2
0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 1
− −
   
− − −
   
− −
   
×
   
   
−
   
   
=
=
1 1 1 . . . 1 1
0 1 1 . . . 1 1
0 0 1 . . . 1 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 1
 

 
 
 
 
 
 
=B.
Nh v y ta có đ ng th c ư ậ ẳ ứ
2
B C=
9.42 a/ Ma tr n ậ
1 2 2
A 3 0
2 1 1
−
 
= λ
 
 
 
có ma tr n ngh ch đ o ậ ị ả ⇔
detA 0 4 9 0≠ ⇔ λ − ≠
⇔
9
4
λ ≠
.
b/
2 0
A 2 1

0 1
λ
 
= λ
 
 
λ
 
⇒
3
detA 5 0 0; 5= λ − λ ≠ ⇔ λ ≠ λ ≠ ±
13
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
c/








λ
λ−
−−
=
31
13
451
A

⇒
2
detA 17 38 0 2; 19= −λ − λ + ≠ ⇔ λ ≠ λ ≠ −
;
d/








−λ
λ
λ
=
23
12
12
A
⇒
3
1 21
detA 6 5 0 1;
2
±
= −λ + λ + ≠ ⇔ λ ≠ − λ ≠
9.45 Nh n xét: “Ta d th y m t ma tr n (khác ậ ễ ấ ộ ậ ma tr n khôngậ ) mà t t c các c tấ ả ộ
c a nó t l v i nhau (t c là ch khác nhau b i m t h ng s nhân) đ u có h ng là 1”ủ ỷ ệ ớ ứ ỉ ở ộ ằ ố ề ạ

Gi s ả ử
1 2 n
A (A ,A , ,A )= 
là ma tr n mà ậ
j
A
là c t th j c a ma tr n A (ộ ứ ủ ậ
j 1,n=
).
Do
{ }
1 2 n
rankA rank A ,A , ,A r= =
⇒ t n t i h r véc t đ c l p tuy n tính c c đ iồ ạ ệ ơ ộ ậ ế ự ạ
c a h véc t ủ ệ ơ
{ }
1 2 n
A ,A , ,A
(
r n≤
). Không m t tính t ng quát, có th gi thi t hấ ổ ể ả ế ệ
đó là r véc t đ u tiên: ơ ầ
{ }
1 2 r
A ,A , ,A
⇒
r
k jk j
j 1
A z A k r 1,n

=
= ∀ = +
∑
⇒
r r r
1 2 r j,r 1 j j,r 2 j j,n j
j 1 j 1 j 1
A A ,A , ,A , z A , z A , z A
+ +
= = =
 
= =
 
 
∑ ∑ ∑
 
{
1 1,r 1 1 1,r 2 1 1n 1
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn1
A , , , , z A , z A , ,z A
+ +
 
 
= Ο Ο +
 
 
 

1 4 2 4 3
1 2 3 1 2 3
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 3

{
2 2,r 1 2 2,r 2 2 2n 2
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn 2
,A , , , , z A , z A , ,z A
+ +
 
 
+ Ο Ο Ο + +
 
 
  L
1 44 2 4 43
1 2 3 14 2 43
1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43
{
r r,r 1 r r,r 2 r rn r
cét n
r cét ®Çu
cét r+1 cét r+2
ma trËn r
, , , ,A , z A , z A , ,z A
+ +
 

 
+ Ο Ο Ο
 
 
 
1 44 2 4 43
1 2 3 1 2 3
1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 43
. Theo nh n xét: m i ma tr n trong sậ ỗ ậ ố
t ng c a r ma tr n trên đ u có h ng là 1, đó là đi u ph i ch ng minh.ổ ủ ậ ề ạ ề ả ứ
9.46 Gi s ả ử
1 2 n
A ,A , ,A
là các c t ma tr n A; ộ ậ
1 2 n
B ,B , ,B
là các c t c a maộ ủ
tr n B. Gi s ậ ả ử
{ }
1 2 n
rankA r rank A ,A , ,A r= ⇒ =
⇒ t n t i h con r véc t đ cồ ạ ệ ơ ộ
l p tuy n tính c c đ i c a h ậ ế ự ạ ủ ệ
{ }
1 2 n
A ,A , ,A
. Không làm m t tính t ng quát, cóấ ổ
th gi thi t r véc t đó là h r véc t đ u tiên c a h : ể ả ế ơ ệ ơ ầ ủ ệ
{ }
1 2 r

A ,A , ,A (r n)≤
⇒
r
k jk j
j 1
A z A k 1,n
=
= ∀ =
∑
. Cũng v y, ậ
rankB s=
⇒
{ }
1 2 n
rank B ,B , ,B s=
⇒ có h sệ
véc t đ c l p tuy n tính c c đ i c a ơ ộ ậ ế ự ạ ủ
{ }
1 2 n
B ,B , ,B
là
{ }
1 2 s
B ,B , ,B (s n)≤
⇒
s
k jk j
j 1
B z B k 1,n
=

= ∀ =
∑
⇒
k k
A B+
bi u di n tuy n tính đ c qua h véc tể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
1 2 r 1 2 s
A ,A , ,A ,B ,B , ,B 

k 1,n∀ =
⇒
{ }
1 2 n 1 2 n
rank A ,A , ,A ,B ,B , ,B ≤ 
14
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
r s rankA rankB≤ + = +
⇒
rank(A B) rankA rankB+ ≤ +
.
9.47 Ta bi t r ng: “N u h ng c a m t h véc t b ng s véc t c a h thì h véc t đóế ằ ế ạ ủ ộ ệ ơ ằ ố ơ ủ ệ ệ ơ
là h véc t đ c l p tuy n tính; còn n u h ng c a m t h véc t ít h n s véc t c a hệ ơ ộ ậ ế ế ạ ủ ộ ệ ơ ơ ố ơ ủ ệ
thì h véc t đó là h véc t ph thu c tuy n tính”. Vì v y ta ch c n tínhệ ơ ệ ơ ụ ộ ế ậ ỉ ầ
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A
.
b/ G i A là ma tr n t o b i h véc t ọ ậ ạ ở ệ ơ
{ }

1 2 3 4
A ,A ,A ,A
, do h ng c a m t ma tr nạ ủ ộ ậ
b ng h ng c a h véc t dòng hay h véc t c t c a ma tr n đó nên ta tính h ng c aằ ạ ủ ệ ơ ệ ơ ộ ủ ậ ạ ủ
ma tr n:ậ
1 2 3 4 1
1 1 1 3 1
A
3 5 7 5 3
2 3 4 1 4
− − −
 
−
 
=
− −
 
 
− −
 
(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3
1 1 1 3 1
0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2
A
3 5 7 5 3 0 1 2 7 6
0 0 0 0 (4)
2 3 4 1 4 0 1 2 7 6 0 0 0 0 4
− − − − − − −
     
−

− −
     
= → → →
− − −
     
     
− − −
     

1 0 1 10 0
1 0 1 10 3
0 1 2 7 0
0 1 2 7 2
B
0 0 0 0 1
0 0 0 0 (4)
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
−
−
 
 
−
−
 
 
→ → =
 
 
 

 
 
 
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A rankA rankB 3⇒ = = =
, h ng c a h véc t ạ ủ ệ ơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
ít
h n s véc t c a hơ ố ơ ủ ệ ⇒ h véc t ệ ơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
là h véc t ph thu c tuy n tính.ệ ơ ụ ộ ế
Cách gi i nh trong sách bài t p không đ c coi là cách gi i m u m c, vì có ph iả ư ậ ượ ả ẫ ự ả
ai cũng th y đ c dòng Aấ ượ
3
b ng t ng các dòng Aằ ổ
1
và A
4
đâu. Ch ng h n, ch c n s aẳ ạ ỉ ầ ử
41
a 1=
là ta đ c h 4 véc t m i, làm sao th y đ c cái gì h véc t này:ượ ệ ơ ớ ấ ượ ở ệ ơ
(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3
1 1 1 3 1
0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2

C F
3 5 7 5 3 0 1 2 7 6
0 0 0 0 (4)
1 3 4 1 4 0 1 1 3 5 0 0 1 10 7
− − − − − − −
     
−
− −
     
= → → =
− − −
     
     
− − − −
     
Xét đ nh th c c p 4 x p theo tr t t : c t 1, c t 2, c t 3, c t 5; dòng 1, dòng 2, dòng 4,ị ứ ấ ế ậ ự ộ ộ ộ ộ
dòng 3:
1 0 1 3
0 1 2 2
D 4 0
0 0 1 7
0 0 0 4
−
−
= = − ≠
−
(đ nh th c c a ma tr n tam giác b ng tích cácị ứ ủ ậ ằ
ph n t trên đ ng chéo chính) ầ ử ườ
{ }
1 2 3 4

rank A ,A ,A ,A rankC rankF 4⇒ = = =
, h ngạ
c a h véc t ủ ệ ơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
b ng s véc t c a h ằ ố ơ ủ ệ ⇒ h véc t ệ ơ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
là
h véc t đ c l p tuy n tínhệ ơ ộ ậ ế .
9.48 a/ Véc t X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ơ ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
⇔ t n t iồ ạ
các s th c thì ố ự
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X=
. Nh ng ư
{ }
1 2 3
rank A ,A ,A ,X =
2 3 1 1
rank 3 7 6 3 3
5 8 5
 
= − =

 
 
λ
 
vì có đ nh th c c p 3: ị ứ ấ
2 3 1
3 7 3 11 0
5 8 5
= ≠
⇒
15
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ
{ }
1 2 3
2 3 1
rank A ,A ,A rank 3 7 6 3
5 8
 
= − =
 
 
λ
 
⇒
2 3 1
3 7 6 0 5 5 0 1
5 8
− ≠ ⇔ λ − ≠ ⇔ λ ≠
λ
.

Ng c l i, n u ượ ạ ế
1λ ≠
thì h véc t ệ ơ
{ }
321
A,A,A
là h véc t đ c l p tuy n tính c cệ ơ ộ ậ ế ự
đ i c a h véc t ạ ủ ệ ơ
{ }
1 2 3
A ,A ,A ,X
⇒ véc t X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc tơ ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
.
b/ Xét ma tr n A mà các c t c a nó là ậ ộ ủ
1 2 3
A ,A ,A ,X
và bi n đ i:ế ổ
1 1 0 1 16/5 11/5
6 (1) 4 6 1 4
7 3 18
8 5 0 0 0 0
25 0 30
A
3 2 10
5 3 1 0 6/5 1/5
(15) 0 18
2 7 3 40 0 31

7 0 0 17 15
− − − −
 
   
 
   
= → → →
 
   
   
 
−
λ λ − − λ −
   
 
16 53
0 1 0
85
0 0 0 0
6 73
1 0 0
85
15
0 0 1
17
λ −
 
 
 
→

λ −
 
 
− λ
 
 
⇒
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A ,A ,A rank A ,A ,A ,X 3= = ∀λ
⇒ h vécệ
t ơ
{ }
321
A,A,A
là h véc t đ c l p tuy n tính c c đ i c a h véc t ệ ơ ộ ậ ế ự ạ ủ ệ ơ
{ }
1 2 3
A ,A ,A ,X

v i m i ớ ọ λ ⇒ véc t X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ơ ể ễ ế ượ ệ ơ
{ }
321
A,A,A
v i m iớ ọ
λ.
9.49 a/ Xét ma tr n A mà các c t c a nó là ậ ộ ủ
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
và bi n đ i:ế ổ

1 0 3 1
(1) 1 3 3 1 1 3 3
2 5 6 8
0 1 0 2
0 (7) 0 14
A
1 5 3 9 0 6 0 12
0 0 0 0
3 4 9 5 0 7 0 14
0 0 0 0
 
   
− −
 
   
= → →
− − − −
 
   
   
 
− − − −
   
 
⇒
{ }
1 2 3 4
rank A ,A ,A ,A 2=
và h 2 véc t ệ ơ
{ }

1 2
A ,A
là m t c s c a h ộ ơ ở ủ ệ
{ }
1 2 3 4
A ,A ,A ,A
.
3 1 4 1 2
A 3A ; A A 2A= = +
.
b/ Xét ma tr n X mà các c t c a nó là ậ ộ ủ
1 2 3 4
X ,X ,X ,X
và bi n đ i:ế ổ
1 2 4 1
(1) 2 4 1 1 0 18 17
3 1 3 5
0 7 15 8
0 0 64 64
X
0 3 1 2
0 3 1 2
0 0 22 22
1 2 1 2
0 0 3 3
0 0 ( 3) 3
2 5 1 6 0 1 7 8
0 ( 1) 7 8
 
   

−
 
   
= → → →
− −
− −
− − 
   
−
 
− −
   
− −
   
 
− − − − −
−
   
 
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
−
 
 
→
 
 

 
−
 
⇒
{ }
1 2 3 4
rank X ,X ,X ,X rankX 3= =
và h véc t ệ ơ
{ }
1 2 3
X ,X ,X
là
m t c s c a h véc t ộ ơ ở ủ ệ ơ
{ }
1 2 3 4
X ,X ,X ,X
, đ ng th i ồ ờ
4 1 2 3
X X X X= − − +
.
9.50 Xét ma tr n c p ậ ấ
m n×
t o b i h véc t ạ ở ệ ơ
{ }
1 2 m
A ,A , ,A
, do h này là hệ ệ
đ c l p tuy n tính nên nó có h ng là m ộ ậ ế ạ ⇒ ma tr n t ng ng có h ng là m nên nó cóậ ươ ứ ạ
16
Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ

ít nh t m t đ nh th c c p m khác 0. Khi m i véc t c a h đ u b sung thêm thànhấ ộ ị ứ ấ ỗ ơ ủ ệ ề ổ
ph n th ầ ứ
n 1+
thì ma tr n t ng ng tăng thêm c t th ậ ươ ứ ộ ứ
n 1+
, nó v n có ít nh t đ nhẫ ấ ị
th c c p m khác 0, đ nh th c này v n chính là đ nh th c trên. Vì v y ma tr n m i v nứ ấ ị ứ ẫ ị ứ ậ ậ ớ ẫ
có h ng là m ạ ⇒ h m véc t m i v n có h ng là m ệ ơ ớ ẫ ạ ⇒ h véc t m i v n đ c l p tuy nệ ơ ớ ẫ ộ ậ ế
tính.
9.51 Cách 1: Cho
{ }
1 2 m
A ,A , ,A
là h m véc t n chi u ph thu c tuy n tính. N uệ ơ ề ụ ộ ế ế
m i véc t c a h đ u b t đi thành ph n th n thì h m véc t ỗ ơ ủ ệ ề ớ ầ ứ ệ ơ
n 1−
chi u m i là phề ớ ụ
thu c tuy n tính. Vì n u h m i là đ c l p tuy n tính thì theo bài 9.50, h cũ là đ c l pộ ế ế ệ ớ ộ ậ ế ệ ộ ậ
tuy n tính, mâu thu n v i gi thi t. Mâu thu n đó ch ng t h m i là ph thu c tuy nế ẫ ớ ả ế ẫ ứ ỏ ệ ớ ụ ộ ế
tính.
Cách 2: H ệ
{ }
1 2 m
A ,A , ,A
ph thu c tuy n tính ụ ộ ế ⇒
{ }
1 2 m
rank A ,A , ,A m<
⇒
ma tr n t ng ng có h ng nh h n m ậ ươ ứ ạ ỏ ơ ⇒ c p c a đ nh th c con c p cao nh t trongấ ủ ị ứ ấ ấ

s các đ nh th c con khác không v n nh h n m. Khi m i véc t c a h đ u b b t điố ị ứ ẫ ỏ ơ ỗ ơ ủ ệ ề ị ớ
thành ph n th n thì ma tr n t ng ng m t đi c t th n ầ ứ ậ ươ ứ ấ ộ ứ ⇒ c p c a đ nh th c con c pấ ủ ị ứ ấ
cao nh t trong s các đ nh th c con khác không không th tăng lên đ c. Vì v y maấ ố ị ứ ể ượ ậ
tr n m i v n có ậ ớ ẫ h ng nh h n m ạ ỏ ơ ⇒ h m véc t m i v n có h ng th p h n m ệ ơ ớ ẫ ạ ấ ơ ⇒ hệ
véc t m i v n ph thu c tuy n tính.ơ ớ ẫ ụ ộ ế
17