một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Chương 3
Một số quy luật phân phối xác suất
thông dụng
1. Quy luật phân phối nhị thức
2. Quy luật phân phối Poisson
3. Quy luật phân phối siêu bội
4. Quy luật phân phối đều
5. Quy luật phân phối mũ
6. Quy luật phân phối chuẩn
7. Một số quy luật phân phối khác
§1 Quy luật phân phối nhị thức – B(n; p)




1. Định nghĩa
Biễn ngẫu nhiên  được gọi là có phân phối nhị thức
với các tham số  và  nếu:
 




 


Kí hiệu:  (B – Binomial).

2. Các tham số đặc trưng

Nếu  thì:
+)  ,
+)  
+)  

.

Nhận xét: Nếu gọi  “số lần xuất hiện biến cố A”
trong  phép thử Becnulli mà   trong mỗi
phép thử thì.
Ví dụ 1: Trong một hòm có chứa 7 linh kiện loại 1 và 3
linh kiện loại 2. Lấy có hoàn lại ra 5 sản phẩm và gọi X
là số linh kiện loại 1 được lấy ra.
a) Nêu quy luật phân phối xác suất của X.
b) Tính P(X < 3).
c) Tính P(X = 4) trong trường hợp lấy không hoàn lại.



Ví dụ 2: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác
nhau. Việc bán được hàng ở mỗi nơi là độc lập nhau với
xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0,3.
a) Tìm xác suất người đó bán được hàng trong 1 ngày.
b) Mỗi năm người đó đi bán hàng 300 ngày, tìm số
ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong năm.
§2 Quy luật phân phối Poa-sông – P()

1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên  có thể nhận các giá trị 
được gọi là có phân phối Poa-sông (Poisson) với
tham số  nếu:
 





 

Kí hiệu: 
2. Các tham số đặc trưng
Nếu  thì:
+)  
+)  
+) 



Bài toán dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X là số lần
xuất hiện biến cố A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong
khoảng thời gian 



 thoả mãn:
+) Số lần xuất hiện A trong khoảng thời gian 





không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện A trong các
khoảng thời gian kế tiếp.
+) “Cường độ” xuất hiện A là không thay đổi, nghĩa là
số lần A xuất hiện trung bình trong khoảng thời gian




 tỉ lệ với độ dài khoảng đó.

Chứng minh được với 

 

), hằng số 
được gọi là cường độ xuất hiện của A.
Ví dụ 1: Ở một tổng đài Bưu điện, các cú điện thoại
gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc
độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm xác suất:
a) Có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút.
b) Không có cú điện thoại nào trong khoảng thời
gian 30 giây.
c) Có ít nhất 1 cú điện thoại trong khoảng thời gian
10 giây.
Đ/s: a)  b)  c) 
4. Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối Poisson
Phân bố Poisson là giới hạn của phân bố nhị thức với

các tham số  và . Tức là:




















Trong trường hợp số phép thử  lớn (, xác
suất  nhỏ (sao cho ) và tích 
không đổi, các xác suất của phân phối nhị thức có thể
tính xấp xỉ như sau:
 





  










Đồ thị minh họa các phân phối P(3,5) và B(35; 0,1)
§3 Quy luật phân phối siêu bội – H(N, M, n)



1. Định nghĩa
Một hộp có N quả cầu, trong đó có M quả đỏ và K
quả xanh (N = M + K). Lấy ngẫu nhiên  quả cầu.
Gọi X = “số quả cầu đỏ lấy được”
Tập giá trị của X là:  .
Ta có:
 











Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X có thể nhận giá trị trong
tập   với các xác
suất được cho bởi công thức (1) được gọi là có phân
phối siêu bội (siêu hình học) với các tham số N, M và n.
Kí hiệu:  (H – Hypergeometric)

2. Các tham số đặc trưng
Nếu biến ngẫu nhiên X ~ H(N, M, n) thì:
 

với




 
 
 
với

 
Ví dụ: Trong 60 cây vàng có 3 cây không đạt tiêu chuẩn.
Từ đó rút ngẫu nhiên đồng thời 10 cây để kiểm tra. Tìm
trung bình số cây không đạt tiêu chuẩn trong 10 cây này.
Giải.
Gọi X = “số cây không đạt tiêu chuẩn trong 10 cây
đã rút ra”  X  H(60, 3, 10)

Trung bình số cây không đạt tiêu chuẩn là:
E(X) = 


= 


= 0,5

3. Xấp xỉ quy luật phân phối siêu bội bởi quy luật
nhị thức
• Giả sử X ~ H(N, M, n), nếu  khá lớn và  rất
nhỏ so với  thì
 















 





công thức xấp xỉ trên khá tốt khi .
• Khi N khá lớn so với n. Việc lấy ra n phần tử từ
tổng thể N phần tử theo phương thức có hoàn lại
hay không hoàn lại được coi là như nhau.
§4 Quy luật phân phối đều – U(a; b)



1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối
đều nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
 







Kí hiệu: X ~ U(a; b) (U – Uniform)
2. Các tham số đặc trưng
Nếu biến ngẫu nhiên X ~ U(a; b) thì:
 
 



 
 



Nhận xét: Trong một số lý thuyết kết luận thống kê
người ta thường xuất phát từ quy tắc sau đây: Nếu ta
không biết gì về giá trị của tham số cần ước lượng thì
mỗi giá trị có thể có của tham số đó là đồng khả năng.
Điều đó dẫn đến việc quan niệm tham số cần ước
lượng như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật
phân phối đều.
Ví dụ: Khi thâm nhập vào một thị trường mới,
doanh nghiệp không thể khẳng định được một
cách chắc chắn doanh số hàng tháng có thể đạt
được sẽ là bao nhiêu mà chỉ dự kiến được rằng
doanh số tối thiểu sẽ là 20 triệu đồng/tháng và tối
đa là 40 triệu đồng/tháng.
Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh
số tối thiểu là 35 triệu đồng/tháng.


§5 Quy luật phân phối mũ – E(λ)



1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối
mũ (lũy thừa) với tham số λ (λ > 0) nếu hàm mật độ
xác suất của nó có dạng:

 






Kí hiệu: X ~ E(λ) (E – Exponential)

Hàm phân bố xác suất

 

 
 



Hàm mật độ xác suất
 

 




2. Các tham số đặc trưng
Nếu biến ngẫu nhiên X ~ E(λ) thì:
 















Phân bố mũ có thể được dùng làm mô hình xác suất
cho những biến ngẫu nhiên kiểu “khoảng cách giữa
hai lần xuất hiện”, ví dụ như: khoảng cách giữa hai
cú điện thoại gọi đến, khoảng cách giữa hai gen đột
biến kế tiếp tên một giải DNA, v.v.
Ví dụ: Tuổi thọ X (tính bằng năm) của một mạch điện
tử trong máy tính là biến ngẫu nhiên có phân phối
mũ, trung bình 6,25 năm. Thời gian bảo hành của
mạch điện tử là 5 năm.
Tính tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thế.


§6 Quy luật phân phối chuẩn – N(μ; σ
2
)

1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn
với các tham số μ và σ
2
(σ > 0) nếu hàm mật độ xác
suất của nó có dạng:
 

 







Kí hiệu: X ~ N(μ; σ
2
) (N – Normal).