TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH HOÀN CHỈNH

Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Phần bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Phủ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Môđun có độ đài hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Vành nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8 Vành nguyên thuỷ và vành nửa nguyên thuỷ . . . . . . . . . . . . 7
8.1 Vành nguyên thuỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.2 Vành nửa nguyên thuỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9 Vành nửa hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh 9
1 T- luỹ linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Định lý Bass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Một vài nhận xét về vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i
1
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Đề tài:
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH
HOÀN CHỈNH
Giáo viên hướng dẫn:
TS. Phan Văn Thiện
Học viên thực hiện: Phan Ngọc Chiêu An
Lớp: Cao học Toán K17 (2008-2010)
Chuyên ngành: Giải tích.
Huế-02/2009

✎ Phan Ngọc Chiêu An
2
LỜI MỞ ĐẦU
Trong tiểu luận này, tôi trình bày khái niệm, một số bổ đề về T-luỹ linh và
định lý Bass.
Nội dung của tiểu luận được chia làm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, tôi trình bày các định nghĩa và định lý của môđun tự do,
môđun xạ ảnh, phủ xạ ảnh, môđun có độ dài hữu hạn, vành nửa đơn, vành nửa
hoàn chỉnh để làm cơ sở cho việc trình bày các khái niệm và chứng minh các
định lý ở chương sau.
Chương 2: Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh.
Chương này tôi dành cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận: khái niệm,
một số bổ đề về T-luỹ linh và định lý Bass
Tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Phan Văn Thiện. Tác
giả xin chân thành cảm ơn Thầy đã nhiệt tình giảng dạy và hướng dẫn để tác giả
hoàn thành tiểu luận này.
Do kiến thức của bản thân còn hạn chế nên nội dung tiểu luận có thể còn
nhiều thiếu sót. Tác giả mong muốn được sự đóng góp, phê bình của Thầy và bạn
đọc.
Huế tháng 02 năm 2009.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
✧✧✧
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về môđun tự do, môđun xạ ảnh,
môđun có độ dài hữu hạn, vành nửa đơn, vành nguyên thuỷ, vành nửa nguyên
thuỷ, để thuận tiện cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận ở chương 2.
1 MÔĐUN TỰ DO
1.1 Định nghĩa

Giả sử A là R-môđun, U là tập con của A. Ta nói U là cơ sở của A nếu U là hệ
sinh và độc lập tuyến tính trong A. Khi đó A được gọi là R-môđun tự do với cơ
sở U. Ta cũng nói U là tập sinh tự do của A.
1.2 Mệnh đề
R-môđun A là tự do với cơ sở U khi và chỉ khi mỗi phần tử của A được viết một
cách duy nhất dưới dạng:
a = a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ + a
m
r
m
, a
i
∈ U, r
i
∈ R
1.3 Mệnh đề
Các điều sau tương đương:
1. A là R-môđun tự do
2. A = ⊕A
i
, A
i

 R, i ∈ I, với tập chỉ số I nào đó.
3
2. Phần bù 4
2 PHẦN BÙ
2.1 Định nghĩa
Giả sử A là môđun con của môđun M
R
1. Môđun con A
∗
của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu:
i. A + A
∗
= M
ii. A
∗
là môđun con tối tiểu có tính chất A + A
∗
= M
2. Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay ∩- bù) nếu
i. A ∩ A

= 0
ii. A’ là môđun con tối đại có tính chất A ∩ A

= 0
2.2 Mệnh đề
Giả sử A, B là hai môđun con của M. Khi đó M = A ⊕ B khi và chỉ khi B đồng
thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của A trong M.
2.3 Mệnh đề
Giả sử A, B là hai môđun con của M sao cho A ∩ B = 0. Khi đó đối với A tồn

tại ∩- bù A

sao cho B ⊂ A

và do đó với A

tồn tại ∩- bù A

sao cho A ⊂ A

3 MÔĐUN XẠ ẢNH
3.1 Định nghĩa
Môđun M
R
được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và mỗi toàn
cấu g : A → B của những môđun trên R, tồn tại đồng cấu h : M → A sao cho
g · h = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
M
f

h
~~
A
g
//
B
//
0
3.2 Mệnh đề
Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh.

3.3 Định lí
Nếu P = ⊕P
i
thì P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi P
i
là môđun xạ ảnh, với
∀i ∈ I.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
4. Phủ xạ ảnh 5
4 PHỦ XẠ ẢNH
4.1 Định nghĩa
1. Toàn cấu ϕ : A → C được gọi là đối cốt yếu nếu Kerϕ là môđun con đối cốt
yếu trong A
2. Cho môđun A
R
. Toàn cấu ρ : P → A gọi là phủ xạ ảnh của A nếu P là môđun
xạ ảnh và ρ là toàn cấu đối cốt yếu.
Khi ρ : P → A là phủ xạ ảnh ta cũng thường gọi P là phủ xạ ảnh của A và kí
hiệu P = P (A)
4.2 Mệnh đề
Giả sử ρ : P → A là phủ xạ ảnh và ρ

: P

→ A là toàn cấu, P

là xạ ảnh. Khi
đó tồn tại toàn cấu chẻ ra ϕ : P

→ P sao cho biểu đồ sau giao hoán:

P

ϕ
~~
}
}
}
}
}
}
}
p


A
A
A
A
A
A
A
P
p
//
A
ρ

= ρϕ
5 VÀNH ARTIN
5.1 Định nghĩa

1. Ta nói dây chuyền (hay chuỗi) các môđun con của M
R
A
i−1
⊂ A
i
⊂ A
i+1
⊂
là ổn định (hay dừng) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các A
i
khác nhau.
2. R-môđun phải M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun
con của nó đều có phần tử tối tiểu.
3. Vành R được gọi là Artin phải nếu môđun R
R
là Artin
5.2 Định lí
Giả sử A là môđun con của môđun M. Các điều sau là tương đương:
✎ Phan Ngọc Chiêu An
6. Môđun có độ đài hữu hạn 6
1. M Artin
2. A và M/A Artin
3. Mọi chuỗi giảm A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ những môđun con của M đều dừng.

5.3 Hệ quả
Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì nó lại là Artin.
5.4 Hệ quả
Nếu vành R là Artin phải và M là R-môđun hữu hạn sinh thì M là Artin.
6 MÔĐUN CÓ ĐỘ ĐÀI HỮU HẠN
6.1 Định nghĩa
Môđun có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của
chuỗi hợp thành được gọi là độ dài của môđun.
6.2 Mệnh đề
Giả sử M
R
là môđun có độ dài hữu hạn và ϕ là một tự đồng cấu của nó. Khi đó:
1. Tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho với mọi n > n
0
M = Im(ϕ
n
) ⊕ Ker(ϕ
n
)
2. ϕ là tự đẳng cấu ⇔ ϕ toàn cấu ⇔ ϕ đơn cấu.
7 VÀNH NỬA ĐƠN
7.1 Định nghĩa
Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu R
R
(hay
R
R) là môđun nửa đơn.
Chú ý: Đối với vành Artin có sự phân biệt bên trái, bên phải nhưng điều đó

không xảy ra đối với vành nửa đơn.
7.2 Mệnh đề
Nếu R là một vành Artin bên trái hoặc vành Artin bên phải thì R/Rad(R) là
một vành nửa đơn.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
8. Vành nguyên thuỷ và vành nửa nguyên thuỷ 7
7.3 Định lí
Đối với vành R các mệnh đề sau tương đương:
1. R là vành nửa đơn
2. Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nửa đơn;
3. Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun xạ ảnh;
4. Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nội xạ;
5. Mỗi R-môđun phải (trái) đơn đều là môđun xạ ảnh.
7.4 Định lí (Wedderburn-Artin)
R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R là tích trực tiếp của một số hữu hạn những
vành đơn và nửa đơn.
8 VÀNH NGUYÊN THUỶ VÀ VÀNH NỬA NGUYÊN THUỶ
8.1 VÀNH NGUYÊN THUỶ
8.1.1 Định nghĩa
1. Iđêan D của vành R được gọi là một iđêan nguyên thuỷ bên phải của R nếu tồn
tại một iđêan phải tối đại C của R sao cho D là iđêan lớn nhất chứa trong C.
2. Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ bên phải nếu 0 là iđêan nguyên thuỷ bên
phải của nó.
8.1.2 Định lí
Với mọi vành R, Rad(R) là giao của các iđêan nguyên thuỷ bên phải của R.
8.2 VÀNH NỬA NGUYÊN THUỶ
8.2.1 Định nghĩa
Vành R được gọi là vành nửa nguyên thuỷ (bên phải) nếu Rad(R) = 0
8.2.2 Hệ quả
Với mọi vành R, vành thương R/Rad(R) là vành nửa nguyên thuỷ.

8.2.3 Định lí
R là vành nửa nguyên thuỷ khi và chỉ khi R đẳng cấu với một tích trực tiếp con
của một họ những vành nguyên thuỷ.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
9. Vành nửa hoàn chỉnh 8
9 VÀNH NỬA HOÀN CHỈNH
9.1 Định nghĩa
Cho I là một iđêan của vành R và g + I là một luỹ đẳng của R/I. Ta nói luỹ
đẳng này có thể nâng được (đến e) môđulô I nếu tồn tại một luỹ đẳng e thuộc
R sao cho g + I = e + I. Ta nói rằng các luỹ đẳng nâng môđulô I trong trường
hợp mọi luỹ đẳng trong R/I có thể nâng được đến một luỹ đẳng trong R.
9.2 Định lí
Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:
i. Vành R thoả R/J nửa đơn và các luỹ đẳng nâng môđulô J.
ii. R có một hệ luỹ đẳng trực giao hoàn toàn e
1
, e
2
, , e
n
sao cho với mỗi e
i
Re
i
là các vành địa phương.
iii. Mọi R-môđun trái (phải) đơn đều có phủ xạ ảnh
iv. Mọi R-môđun trái (phải) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh.
9.3 Định nghĩa
Vành R thoả một trong những điều kiện tương đương trong định lí 9.2 được gọi
là vành nửa hoàn chỉnh

9.4 Định lí
Cho R là vành nửa hoàn chỉnh với tập cơ sở các luỹ đẳng nguyên thuỷ e
1
, e
2
, e
m
của R. Lúc đó, nếu P
R
là một môđun xạ ảnh thì tồn tại các tập A
1
, A
2
, , A
m
sao cho:
P = e
(A
1
)
1
R ⊕ ⊕ e
(A
m
)
m
R
.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
Chương 2

Một số tính chất cơ bản về vành
hoàn chỉnh
✧✧✧
Chương này trình bày các định nghĩa và bổ đề của T- luỹ linh và định lý Bass.
1 T- LUỸ LINH
Tính chất cơ bản của vành hoàn chỉnh phụ thuộc vào sự tổng quát hoá của khái
niệm luỹ linh. Chúng ta gặp vấn đề này khi học về những thay đổi của cơ sở
trong một môđun tự do.
1.1 Bổ đề [28.1]
Cho a
1
, a
2
, là một dãy thuộc vành R và F là R- môđun trái tự do với cơ sở tự
do x
1
, x
2
,
Giả sử y
n
= x
n
−a
n
x
n+1
(n ∈ N) và G là môđun con của F được sinh bởi y
1
, y

2
,
Khi đó:
(1) G tự do với cơ sở tự do y
1
, y
2
,
(2) G = F nếu và chỉ nếu với mỗi k ∈ N, ∃n ≥ k sao cho a
k
a
n
= 0
Chứng minh
+ Chứng minh (1)
Giả sử n ≥ k và r
k
, , r
n
∈ R
Giả sử r
k
y
k
+ + r
n
y
n
= 0
⇔ r

k
(x
k
− a
k
x
k+1
) + + r
n
(x
n
− a
n
x
n+1
) = 0
9
1. T- luỹ linh 10
⇔ r
k
x
k
+ (r
k+1
− r
k
a
k
)x
k+1

+ + (r
n
− r
n−1
a
n−1
)x
n
− r
n
a
n
x
n+1
= 0
Vì {x
1
, , x
n
, } là cơ sở của F ⇒ r
k
= r
k+1
− r
k
a
k
= = r
n
a

n
= 0
⇒ r
k
= r
k+1
= = r
n
= 0
Suy ra {y
k
, , y
n
} độc lập tuyến tính
Vậy {y
1
, , y
n
, } là cơ sở của G.
+ Chứng minh (2)

⇒

Nếu G = F
Khi đó với mỗi k ta có: x
k
∈ G ⇒ x
k
= r
1

y
1
+ + r
n
y
n
⇒ x
k
= r
1
(x
1
− a
1
x
2
) + r
2
(x
2
− a
2
x
3
) + + r
k−1
(x
k−1
− a
k−1

x
k
) + r
k
(x
k
−
a
k
x
k+1
) + + r
n−1
(x
n−1
− a
n−1
x
n
) + r
n
(x
n
− a
n
x
n+1
)
⇔ r
1

x
1
+ (r
2
− r
1
a
1
)x
2
+ + (r
k
− r
k−1
a
k−1
− 1)x
k
+ (r
k+1
− r
k
a
k
)x
k+1
+ +
(r
n
− r

n−1
a
n−1
)x
n
− r
n
a
n
x
n+1
= 0
⇒


























r
1
= r
2
− r
1
a
1
= r
k−1
− r
k−2
a
k−2
= 0
r
k
− r
k−1
a
k−1
− 1 = 0

r
k+1
− r
k
a
k
= 0
.
.
.
r
n
− r
n−1
a
n−1
= 0
r
n
a
n
= 0
⇒
































r
1
= r
2
= = r
k−1

= 0
r
k
= 1
r
k+1
= a
k
r
k+2
= a
k
a
k+1
.
.
.
r
n
= a
k
a
k+1
a
n−1
r
n
a
n
= 0

⇒ a
k
a
k+1
a
n−1
a
n
= 0

⇐

Với n ≥ k ta có:
x
k
= x
k
− a
k
x
k+1
+ a
k
(x
k+1
− a
k+1
x
k+2
) + a

k
a
k+1
(x
k+2
− a
k+2
x
k+3
) + +
a
k
a
n−1
(x
n
− a
n
x
n+1
) + a
k
a
k+1
a
n
x
n+1
hay x
k

= y
k
+ a
k
y
k+1
+ a
k
a
k+1
y
k+2
+ + (a
k
a
n−1
)y
n
+ (a
k
a
n
)x
n+1
Vì a
k
a
n
= 0 nên x
k

= y
k
+ a
k
y
k+1
+ a
k
a
k+1
y
k+2
+ + (a
k
a
n−1
)y
n
✎ Phan Ngọc Chiêu An
1. T- luỹ linh 11
Suy ra x
k
∈ G với mỗi k.
Do đó G = F .
1.2 Bổ đề [28.2]
Với giả thiết của bổ đề [28.1], nếu G là một hạng trực tiếp của F thì dây chuyền
giảm các iđêan phải chính phải dừng
a
1
R ≥ a

1
a
2
R ≥
Chứng minh
Ta có phép đẳng cấu f : F → G, x
n
→ y
n
Phép nhúng i : G → F chẻ ra và phép chiếu p
G
: F = G ⊕ H → G
Đặt g = f
−1
p
K
Khi đó g ∈ End(
R
F ) và g(y
n
) = x
n
Với mỗi m ∈ N, ta có: g(x
m
) = Σc
mk
x
k
như một tổ hợp tuyến tính của x
1

, x
2
,
Khi đó:
x
n
= g(y
n
) = g(x
n
− a
n
x
n+1
) =

k
(c
nk
− a
n
c
n+1k
)x
k
, ∀k
c
1n
= 0, ∀n ≥ k
Vì vậy với ∀n ≥ k ta có:

−a
1
a
n
c
n+1n
= a
1
a
n−1
(1 − c
nn
) = a
1
a
n−1
− a
1
a
n−1
c
nn
= a
1
a
n−1
−
a
1
a

n−1
c
n−1n
= . . . = a
1
a
n−1
− a
1
c
1n
= a
1
a
n−1
Do vậy với ∀n ≥ k, a
1
, a
n−1
∈ a
1
a
n
R ⇒ a
1
a
2
a
n−1
R ≤ a

1
a
2
a
n
R
Vậy a
1
a
2
a
n−1
R = a
1
a
2
a
n
R, ∀n ≥ k.
1.3 T- luỹ linh
Định nghĩa.
+ Tập con I của R được gọi là T- luỹ linh trái nếu mọi dãy a
1
, a
2
, trong I tồn
tại một số n sao cho a
1
a
n

= 0
+ Tập con I của R được gọi là T- luỹ linh phải nếu mọi dãy a
1
, a
2
, trong I tồn
tại một số n sao cho a
n
a
1
= 0
Ngược lại nếu I là T- luỹ linh trái hoặc T- luỹ linh phải, I luỹ linh vì a, a, là
dãy thuộc I bất cứ khi nào a ∈ I
Nhận xét
✎ Phan Ngọc Chiêu An
1. T- luỹ linh 12
1. Với mỗi iđêan I là T- luỹ linh trái không suy ra I là T- luỹ linh phải. Vì vậy
trong trường hợp tổng quát, iđêan luỹ linh không cần phải là T- luỹ linh trái
(hay T- luỹ linh phải).
2. y
1
, y
2
, là cơ sở của F ( trong Bổ đề [28.1])⇔ mỗi k dãy a
k
, a
k+1
, là T- luỹ
linh trái. Điều quan trọng của khái niệm T- luỹ linh là có thực sự phụ thuộc
vào J = J(R) của vành.

1.4 Bổ đề [28.3]
Cho J là iđêan trái của R. Các mệnh đề sau tương đương:
i. J là T luỹ linh trái
ii. JM = M với mỗi M là R- môđun trái khác không
iii. JM  M
iv. JF  F với mỗi môđun tự do đếm được F = R
(N)
Chứng minh
+

i ⇒ ii

Giả sử JM = M = 0
Đặt S = {(a
1
, , a
n
) | a
i
∈ J, i = 1, n, a
1
, , a
n
∈ J\l
R
(M)}
Do JM = M = 0. Suy ra ∃r ∈ J và x ∈ M : rx = 0 ⇒ r ∈ l
R
(M) với
l

R
(M) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ M}
Hay J  l
R
(M).Vì vậy cách xây dựng tập S như trên là hợp lí.
Vì vậy với (a
1
, , a
n
) ∈ S ta có a
1
a
n
∈ J \ l
R
(M)
Suy ra a
1
a
n
M = 0 và a
1
a
n
M = a
1
a
n
JM
Suy ra ∃a

n+1
∈ J sao cho a
1
a
n
a
n+1
∈ l
R
(M)
⇒ a
1
a
n
a
n+1
= 0. Như vậy (a
1
, , a
n+1
) ∈ S. Bằng quy nạp ta xây dựng được
dãy a
1
, , a
n
, mà a
1
a
2
a

n
= 0, ∀n = 1, 2 Điều này mâu thuẫn với (i).
+

ii ⇒ iii

Với giả thiết (ii), giả sử M là R- môđun trái và K < M, K là môđun
con thực sự. Khi đó từ (ii) ta có: J(M/K) = M/K
Nhưng (JM + K)/K = J(M/K)
Do JM + K = M ⇒ JM  M.
+

iii ⇒ iv

Rõ
+

iv ⇒ i

Cho F
∼
=
R
(N)
có cơ sở tự do x
1
, x
2
,
Cho a

1
, a
2
, là dãy thuộc J và G =
∞

i=1
R(x
i
− a
i
x
i+1
)
✎ Phan Ngọc Chiêu An
2. Định lý Bass 13
Khi đó G + JF = F .
Theo giả thiết (iv) ta suy ra G = F
Vì vậy theo (28.1) ta có a
1
a
n
= 0, ∀n.
2 ĐỊNH LÝ BASS
Một vành hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) nếu với mỗi môđun trái (phải) của
nó có một phủ xạ ảnh. Theo [27.6] thì vành hoàn chỉnh trái và vành hoàn chỉnh
phải đều là vành nửa hoàn chỉnh. Tuy nhiên vành hoàn chỉnh phải không cần
hoàn chỉnh trái. Người đi tiên phong về vành hoàn chỉnh là H.Bass.
2.1 Định lý Bass [28.4]
Cho R là vành với Rad J = J(R). Các điều sau là tương đương.

1. R hoàn chỉnh trái
2. R/J nửa đơn và J là T- luỹ linh trái
3. R/J nửa đơn và mọi R- môđun trái khác không có 1 môđun con cực đại.
4. Mọi R- môđun trái phẳng là xạ ảnh
5. R thoả mãn điều kiện tối tiểu của iđêan phải chính
6. R không chứa một tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao và mọi R- môđun phải
không chứa một môđun con cực tiểu.
Chứng minh
+

(1) ⇒ (3)

Giả sử R là vành hoàn chỉnh trái.
Khi đó R/J nửa đơn theo [27.6]
Hơn nữa, nếu
R
M = 0 thì có một môđun P xạ ảnh với môđun con K  P sao
cho M
∼
=
P/K khi P xạ ảnh, P có môđun con cực đại L và K  P ⇒ K ⊆ L
Do đó L/K là môđun con cực đại trong P/K
∼
=
M
+

(3) ⇒ (2)

Từ J linh tử hoá mọi môđun đơn.

Nếu C cố định thì JM = M khi
R
M = 0 ⇒ đpcm.
+

(2) ⇒ (1)

Với giả thiết (2). Khi đó R là vành nửa hoàn chỉnh (theo [27.1]).
Giả sử M là R- môđun trái khác 0 ⇒ M/JM nửa đơn.
Khi đó tồn tại 1 tập có chỉ số (e
α
)
α∈A
của luỹ đẳng nguyên thuỷ thuộc R với
⊕
A
Re
α
/Je
α
∼
=
M/JM
✎ Phan Ngọc Chiêu An
2. Định lý Bass 14
Giả sử P = ⊕
A
Re
α
Vì J là T- luỹ linh trái và theo [28.3] ta có : JP  P và JM  M

Do đó M là phủ xạ ảnh theo [27.5]
P
p


p
{{
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
M
f
//
M/JM
//
0
+

(1) ⇒ (4)

Theo giả thiết (1), giả sử
R
U phẳng và f : P → U là phủ xạ ảnh.

Khi đó K = Kerf  P . Vi vậy theo [9.13] và [17.10] suy ra K ≤ JP
Khi
R
P và
R
U đều phẳng, các ánh xạ:
µ
1
: J ⊗
R
P → JP
µ
2
: J ⊗
R
U → JU
với µ
1
(j ⊗ p) = jp và µ
2
(j ⊗ u) = ju là các đẳng cấu.
Dễ dàng kiểm tra biểu đồ sau giao hoán:
JP JU
J ⊗ K
P
J ⊗
R
U
✲
f/JP

✲
K⊗i
K
✻
µ
1
✲
J⊗f
✻
µ
2
với i
k
: K → P là ánh xạ bao hàm.
Do vậy hàng dưới là khớp và µ
1
, µ
2
đẳng cấu.
Ta có K = Kerf = Ker(f/JP) = µ
1
(Ker(J ⊗ f)) = µ
1
(Im(K ⊗ i
k
)) = JK
Do đó JK = K nhưng khi đó (1) ⇔ (2), K = 0 theo [28.3] và U
∼
=
P là xạ

ảnh.
+

(4) ⇒ (5)

Rõ ràng mỗi dây chuyền giảm của các iđêan phải chính có dạng:
a
1
R ≥ a
1
a
2
R ≥ , ∀a
1
, a
2
, là phần tử của R
Giả sử G và F là các môđun thoả bổ đề [28.1]
Khi đó theo bổ đề [28.2] ta cần chứng minh F/G phẳng.
Theo [28.1], y
1
, , y
n
, x
n+1
, x
n+2
, là cơ sở tự do của F.
Với mỗi môđun con G
n

=
n

i=1
Ry
i
là hạng tử trực tiếp của F và mỗi môđun
thương F/G tự do.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
2. Định lý Bass 15
Suy ra F/G phẳng
Với G là hợp của G
n
và giao của hệ trái-phải.
G ∩ IF = (∪
N
G
n
) ∩ IF = ∪
N
(G
n
∩ IF ) = ∪
N
IG
n
= IG
+

(5) ⇒ (6)


Với giả thiết (5).Khi đó R không chứa một tập vô hạn các luỹ
đẳng trực giao vì nếu e
1
, e
2
, luỹ đẳng trực giao khác không. Khi đó:
(1 − e
1
)R > (1 − e
1
− e
2
)R >
Giả sử 0 = x ∈ M và xR không chứa môđun con đơn.
Khi đó, xR không đơn, có a
1
∈ R với xR > xa
1
R > 0 sao cho xa
1
R không
chứa môđun con đơn.
Do vậy trong quá trình quy nạp, ta có thể có được 1 dãy a
1
, a
2
, ∈ R sao cho
xa
1

R > xa
1
a
2
R >
Bởi vậy a
1
R > a
1
a
2
R > trái với (6).
a
1
a
n
= 0, ∀n
Khi đó tồn tại một iđêan phải I  R
R
cực đại với a
1
a
n
∈ I(n = 1, 2, )
Bây giờ R/I là R-môđun phải khác không, theo (6) thì tồn tại iđêan phải K
với I < K  R
R
và K/I đơn.
Theo tính chất cực đại, ∃n sao cho a
1

a
n
∈ K.
Khi đó a
1
a
n
a
n+1
∈ K/I
Vì vậy do K/I đơn, ∃r ∈ R sao cho (a
1
a
n
)(1 − a
n+1
r) ∈ I
Nhưng a
n+1
∈ J, vì vậy 1 − a
n+1
r khả nghịch.
Điều này mâu thuẫn với a
1
a
n
∈ I
Do đó J là T-luỹ linh trái.
Trong trường hợp đặc biệt, J là 0 thì luỹ đẳng nâng lên thành môđun J. Với giả
thiết R không chứa tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao, ta có R có một hệ trực

giao e
1
, , e
n
của luỹ đẳng nguyên thuỷ. Do luỹ đẳng nâng lên thành môđun
J, do đó phải là môđun nguyên thuỷ J. Theo (6), mỗi (e
i
R + J)/J chứa một
iđêan tối tiểu của R/J. Vì vậy iđêan phải tối tiểu của vành R với rad 0 là hạng
tử trực tiếp và (e
i
R + J)/J phải đơn.
Do đó R/J nửa đơn.
2.2 Chú ý
Từ [28.3] và chứng minh (6) ⇒ (2) của [28.4] ta thấy rằng với một vành R
✎ Phan Ngọc Chiêu An
3. Một vài nhận xét về vành Artin 16
1. Nếu mọi R-môđun trái có một môđun con cực đại thì J(R) là T-luỹ linh trái.
2. Nếu mọi R-môđun phải có một môđun con tối tiểu thì J(R) là T-luỹ linh trái.
Với Z-môđun Z
p
∞
và Z chỉ ra chiều ngược lại của (1) và (2) là sai.
3. Nếu R là vành hoàn chỉnh trái với J = J(R) thì với mọi môđun
R
M và N
R
RadM = JM 
R
M và SocN = l

N
(J)  N
N
2.3 Hệ quả [28.6]
Nếu R là vành hoàn chỉnh trái thì vành các tự đồng cấu của mọi R- môđun trái
hữu hạn sinh xạ ảnh là hoàn chỉnh trái. Đặc biệt với vành Morita bất kì tương
đương với R là hoàn chỉnh trái.
2.4 Hệ quả [28.7]
Nếu R hoàn chỉnh thì mỗi vành thương của R cũng hoàn chỉnh.
Chứng minh
Giả sử R hoàn chỉnh trái. Từ R/J(R) nửa đơn, nếu I là iđêan của R thì theo bài
tập [9.9] J(R/I) = (J(R) + I)/I là T-luỹ linh trái.
3 MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ VÀNH ARTIN
Lớp vành hoàn chỉnh có một điều đặc biệt quan trọng. Vành R là nửa nguyên
thuỷ trong trường hợp R/J nửa đơn và J luỹ linh. Vành nửa nguyên thuỷ là một
lớp của vành chứa vành Artin trái và phải. Tuy nhiên, vành R của ma trận số
thực tam giác trên 2 x 2 với đường chéo là các giá trị hữu tỷ.
R =

Q R
0 Q

là vành nửa nguyên thuỷ không là Artin trái cũng không Artin phải.
3.1 Hệ quả [28.8]
Mọi vành nửa nguyên thuỷ, do đó mọi vành Artin trái hoặc phải đều hoàn chỉnh.
Xem lại [18.13] ta thấy tổng trực tiếp của R- môđun trái nội xạ là nội xạ nếu và
chỉ nếu R là vành Noether trái. Vành Artin phải là hoàn chỉnh trái và dính phải.
3.2 Hệ quả [28.9]
✎ Phan Ngọc Chiêu An
3. Một vài nhận xét về vành Artin 17

Nếu R là vành Artin phải thì với mỗi tích trực tiếp của R- môđun trái xạ ảnh là
xạ ảnh.
Chú ý
Mọi tích trực tiếp của R- môđun trái xạ ảnh là xạ ảnh nếu và chỉ nếu R là vành
hoàn chỉnh trái và dính phải.
3.3 Bổ đề [28.10]
Giả sử e
1
, e
2
, , e
n
là một hệ luỹ đẳng trực giao hoàn toàn của R và I là iđêan
của R. Khi đó I là T- luỹ linh trái nếu và chỉ nếu mỗi e
i
Ie
i
là T-luỹ linh trái.
Chứng minh
+

⇒

Rõ
+

⇐

Giả sử I không là T-luỹ linh trái.
Khi đó ta có dãy a

1
, , a
n
∈ I sao cho a
1
a
2
a
n
= 0(n = 1, 2, )
Cho S là tập các dãy hữu hạn x
1
, , x
m
∈ {e
1
, , e
n
} sao cho
x
1
a
1
.x
2
a
2
x
m
a

m
a
m+1
a
m+k
= 0, k = 1, 2,
Khi đó 1 = e
1
+ + e
n
⇒ S = 0 và với mọi dãy x
1
, , x
n
∈ S có 1 dãy mở rộng thực sự x
1
, , x
n
, x
n+1
∈
S
Do đó tồn tại 1 dãy vô hạn x
1
, , x
n
∈ {e
1
, , e
n

}.
Giả sử ∃e
i
: x
k
= e
i
, với mọi k vô hạn. Khi đó e
i
Ie
i
không là T-luỹ linh trái.
Giả sử S là tập các dãy x
1
, , x
m
∈ {e
1
, , e
n
} sao cho
x
1
Ix
2
I x
m
I
k
= 0, ∀k = 1, 2,

3.4 Mệnh đề [28.11]
Cho e
1
, , e
n
là hệ luỹ đẳng trực giao hoàn toàn của vành R.
R hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) (nửa nguyên thuỷ) ⇔ e
i
Re
i
hoàn chỉnh trái
(hoàn chỉnh phải) (nửa nguyên thuỷ).
✎ Phan Ngọc Chiêu An
3. Một vài nhận xét về vành Artin 18
KẾT LUẬN
Nội dung tiểu luận này trình bày về khái niệm T-luỹ linh cùng với một số bổ
đề, hệ quả của nó. Đồng thời một định lý quan trọng được nhắc đến là định lý
Bass. Đó là những tính chất rất cơ bản của vành hoàn chỉnh và đây sẽ là những
kiến thức cơ sở giúp chúng ta tìm hiểu sâu hơn về vành hoàn chỉnh.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của Thầy và bạn đọc.
Huế tháng 02 năm 2009.
✎ Phan Ngọc Chiêu An
Tài liệu tham khảo
[1] Frank W.Anderson and Kent R.Fuller, Rings and Categories of Modules
[2] Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết, Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXB
Giáo Dục,(2001).
[3] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận Cơ sở lý thuyết môđun và vành,
NXB Giáo Dục (2001).
[4] Ngô Thúc Lanh, Đại số (sách sau đại học), NXB Giáo Dục (1985).
19