Biến đổi biểu thức chứa căn

Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

1
ÔN TẬP THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI
BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN
[HSGS - Vòng 2 - 2006]
Chứng minh rằng:
33
84 84
11
99
  
là một số nguyên.
Giải:
Đặt
33
84 84
11
99
A    
, lập phương hai vế ta được:
3
3
3 3 3 3 3 3
84 84 84 84 84 84 84 84
1 1 1 1 3. 1 . 1 . 1 1
9 9 9 9 9 9 9 9
A
   
   
             

   
   


2
2
33
3
84 84 1 1
2 3. 1 . 2 3. . 1 2 3. . 2 3. . 2
9 81 27 3
A A A A A


            




 
 
3 3 2
2 2 0 1 2 0A A A A A A A           


1A
(Vì:
2
2
1 7 7

20
2 4 4
A A A

      


A
)
Vậy:
33
84 84
1 1 1
99
A     
là một số nguyên.
[SƯU TẦM - 22714.0]
Rút gọn biểu thức:
10 2 17 4 9 4 5A   
.
Giải:
   
2
10 2 17 4 9 4 5 10 2 17 4 2 5 10 2 17 4 2 5A            


   
2
10 2 17 8 4 5 10 2 9 4 5 10 2 2 5 10 2 5 2            

 
2
10 2 5 4 6 2 5 1 5 5 1        

Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

2
Vậy:
51A 
.
[TP.HCM - Chung - 2010-2011]
Rút gọn biểu thức:
22
53
5 2 3 3 5 2 3 3 5
22
B
   
         
   
   
   

Giải:
Tính





22
2 5 4 2 3 6 2 5 5 4 2 3 6 2 5 3B          


       
22
2 2 2 2
5 3 1 5 1 5 3 1 5 1 3
   
         
   
   


   
22
5 3 1 5 1 5 3 1 5 1 3         


   
22
5 3 5 5.3 5 20    

Suy ra:
20
10
2
B 

Vậy:

10B 
.
[TP.HCM - Chuyên - 2010-2011]
Rút gọn biểu thức:
7 5 7 5
3 2 2
7 2 11
A
  
  


Giải:
Tách
A M N
. Với
7 5 7 5
7 2 11
M
  


và
3 2 2N 
.
+) Tính
 
2
3 2 2 2 1 2 1N      

+) Tính
7 5 7 5
7 2 11
M
  



Cách 1: Tính
2
M
:
2
2
7 5 7 5 7 5 7 5 2. 7 5. 7 5
7 2 11
7 2 11
M

        







Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

3

14 2 49 5 14 2 44 14 4 11
2
7 2 11 7 2 11 7 2 11
   
   
  

Vì
7 5 7 5
0
7 2 11
M
  


và
2
2M 
. Nên
2M 
.
Cách 2: Trích lại từ một bài tham khảo:
Nhận xét rằng
7 5. 7 5 2 11  
giống với biểu thức trong căn dưới mẫu số. Vì thế ra
làm như sau:
Đặt






75u 

75v 






22
14uv

. 2 11uv

0, 0uv

 
 
 
2 2 2 2 2
2
2
2
22
2
uv
u v u v u v

M
uv
u v u v uv
uv
uv

  
     

  



Suy ra:
 
2 2 1 2 2 1 1A M N        

Vậy:
1.A

[CSP - Chung - 2010]
Rút gọn biểu thức:
 
3
42
4
2 7 6 2
4 1 4
3 1 29 78
.:

2 1 6 6 3 12 36
x x x
x x x
Ax
x x x x x x

  

  
  


     



Giải:
Tập xác định của A:
 
26; 6; 2; 1;1;2x    

 
3
42
4
2 7 6 2
4 1 4
3 1 29 78
.:
2 1 6 6 3 12 36

x x x
x x x
Ax
x x x x x x

  

  
  


     




 
 
 
 
  
  
  
  
2
6
2
6
41
3 26 3 6 2

3 1 3 4
. : .
2 1 3 6 2 2 6 3 26
61
xx
x x x x
xx
x x x x x x
xx


   



   

     






 
  
  
3 6 2
26 3 6

2 6 3 26 2 6
xx
xx
x x x x



   

Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

4
[CSP - Chuyên - 2010]
Cho
,ab
là các số dương khác nhau thỏa mãn
22
11a b b a    
.
Chứng minh:
22
1ab
.
Giải:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1a b b a a a b b a a b b              

    
2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

0 1 0a a b b a b a b a b a b             
.
Vì
ab
nên
2 2 2 2 2 2
0 1 0 1.a b a b a b        

Vậy
22
1ab
.
[Hải Phòng - Chuyên - 2010-2011]
Cho biểu thức:
22
2 1 1 2010

31
2 1 2 1
11
33
M
x
xx







   



   

   


Tìm x để biểu thức có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M và tìm giá trị lớn nhất của M.
Giải:
Điều kiện để biểu thức có nghĩa:
0x 
.
22
2 1 1 2010
.
31
2 1 2 1
11
33
M
x
xx







   



   

   



22
2 3 3 2010 1 2010 2010

3 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4
x
x x x x x x
x x x x


   

     
   


Ta có:
2
2
2010

0 1 1 2010
1
x x x M
xx
       

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0x 
.
Vậy: Giá trị lớn nhất của
2010M 
khi và chỉ khi
0x 
.
Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

5
[Quảng Trị - Chuyên - 2010]
Cho biểu thức:
 
33
33
2
22

2 2 2 2
22
ab
a a b

Pa
a ab b b ab
ab




  



  




1. Tìm điều kiện của
a
và
b
để biểu thức
P
xác định. Rút gọn biểu thức
P
.
2. Biết
3
1
2
a 

và
13
24
b 
. Tính giá trị của
P
(không sửa dụng máy tính).
Giải:
1. ĐKXĐ:
0, 0, 2 .a b a b  

Ta có:
      
33
33
2 2 2 2 2 2 .a b a b a b a ab b      

Suy ra:
 
 
 
  
33
22
2
22
2 2 2
22
a b a a b
ab

a
a ab b
a b a ab b
ab
  



  



  
2 2 1
2
2 2 2
a ab b
ab
a b a b b



  
.
Từ đó ta có:
 
2
2
12

2 2 2
ab
ab
P
a b b b





2. Với
3
1
2
a 
và
13
24
b 
, ta có:
1 3 3 1
. 1 1 .
2 2 2 8
ab
  
   
  
  
  
Suy ra:

1
2
4
b
a

.
Do đó:
2
2
1 4 1 2 1 1 3.
2
2
a b a
P a a
b
b

        

Vậy:
13P 
.
BÀI TẬP
[SƯU TẦM - 227.2]
Cho biểu thức:
   
2
3
1 1 2

1
2 1 2 1
a
P
a
aa

  


.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

6
[SƯU TẦM - 227.3]
Cho x, y là hai số khác nhau thoải mãn:
22
x y y x  
.
Tính giá trị biểu thức:
22
1
x y xy
P
xy




.

[SƯU TẦM - 227.4]
Tính giá trị của biểu thức:
xy
Q
xy



, biết
22
2x y xy
và
0; 0x x y  
.

[SƯU TẦM - 227.5]
Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
8 16
1
a a a a
P
aa
    



.
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a thỏa mãn
8a 
để P nguyên.

[SƯU TẦM - 227.6]
Chứng minh giá trị của biểu thức
2 5 1 10
3 2 4 3 5 6
x x x
P
x x x x x x

  
     

không phụ thuộc vào biến số x.

[SƯU TẦM - 227.7]
Chứng minh giá trị của biểu thức
36
4
2 3. 7 4 3
9 4 5. 2 5
x
Px
x
  


  

không phụ thuộc vào biến số x.



Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

7
[SƯU TẦM - 227.8]
Chứng minh đẳng thức:
33
11
22
1
33
1 1 1 1
22


   
.

[SƯU TẦM - 227.9]
Cho biểu thức:
21
2 2 2 1
x x x
P
xy y x x xy y x


  
    
.
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết
22
2 4 2 4 0x y x xy    
.

[SƯU TẦM - 237.1]
Cho


6 2 5 6 2 5 : 20x    
. Hãy tính giá trị biểu thức của
 
2000
57
1P x x  
.

[SƯU TẦM - 237.2]
Cho
3
10 6 3
.
6 2 5 5
x




Tính
 
1996
3
41P x x  
.

[SƯU TẦM - 237.3]
Cho




22
3 3 3x x y y    
. Hãy tính E với
E x y
.

[SƯU TẦM - 237.4]
Rút gọn biểu thức:
36
2 3 4 2. 44 16 6.A   


Trần Thị Thu Ngân - Ngan Ltt www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP

8

[SƯU TẦM - 237.5]
Cho biểu thức:
 
 
3 2 2 2
3 2 2 2
3 4 . 1 4
()
3 4 1 4
x x x x
Px
x x x x
    

    
với
1.x 

1. Rút gọn P(x).
2. Giải phương trình P(x) = 1.

[DVKT - 1]
Rút gọn biểu thức:
2
2 4 4 4
1
::
2 2 2 2
x y x y y x x y y
x

A
y x x xy y x y xy x x y


      





       



.

[DVKT - 2]
Cho biểu thức:
        
1 1 1 1
a b ab
P
a b b a b a a b

     
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm các cặp số nguyên
 
;ab

để P = 5.

[DVKT - 3]
Cho
0; 0ab
. Chứng minh rằng:
a)
 
2
1 1 1 1 1 1
.
ab
a b a b
ab
    



b)
 
2
ab ab
a b a b
ab
ab
    


.
Chúc các em ôn thi thật hiệu quả để đạt kết quả cao trong các kỳ thi!