Giới hạn hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 17 trang )
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 1
GIỚI HẠN HÀM SỐ
I – Kiến thức sơ bộ :
Chú thích :
Định nghĩa :
(
)
x a
limF x A
→
=
⇔
(
)
( )
(
)
0, 0, x , x a F x A
∀ε > ∃δ > ∀ ∈ ℜ − < δ ⇒ − < ε
(
)
x
lim F x A
→+∞
=
⇔
( ) ( )
(
)
0, M 0, x , x M F x A
∀ε > ∃ > ∀ ∈ ℜ > ⇒ − < ε
(
)
x
lim F x A
→−∞
=
⇔
( ) ( )
(
)
0, M 0, x , x M F x A
∀ε > ∃ < ∀ ∈ ℜ < ⇒ − < ε
Khái ni
ệ
m “d
ầ
n v
ề
” : Ta nói x d
ầ
n v
ề
a , ký hi
ệ
u
x a
→
, ngh
ĩ
a là
1
0 x a
n
< − <
,
n
∈
»
, n
đủ
l
ớ
n.
Vấn đề :
Tính
(
)
x a
limF x
→
?
a có giá trị hữu hạn hoặc
∞
.
1 - Giới hạ n xác định :
Khi
(
)
F a
xác
đị
nh
nghĩa là hữu hạn hoặc vô cùng lớn (
∞
)
(
)
(
)
x a
limF x F a
→
=
Vô cùng bé – Vô cùng l
ớ
n :
Vô cùng bé :
x 0
0 limx
→
=
→
x 0
x 0
x 0
x 0
0 limx
0 limx
+
→
>
−
→
<
=
=
Vô cùng l
ớ
n :
x
lim x
→∞
∞ =
→
x
x 0
x
x 0
lim x
lim x
→∞
>
→∞
<
+∞ =
−∞ =
•
1
0
= ∞
,
1
0
1 1
0
= =
∞
•
(
)
(
)
+∞ + +∞ = +∞
,
(
)
(
)
(
)
(
)
−∞ + −∞ = − +∞ + +∞ = −∞
•
(
)
ln
+∞ = +∞
,
( ) ( )
1
1
ln0 ln ln ln
−
= = +∞ = − +∞ = −∞
+∞
•
e
+∞
= +∞
,
1 1
e 0
e
−∞
+∞
= = =
+∞
•
(
)
sin
±∞
,
(
)
cos
±∞
không xác định
nghĩa là vô định
Chú ý : ta không nên nhầm lẫn 2 khái niệm vô cùng và vô định.
2 – Giới hạn vô định
: Khi
(
)
F a
có dạng
0
0
,
∞
∞
,
∞
−
∞
,
∞
.0
,
∞
1
,
0
0
,
( )
0
+∞
.
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 2
2.1 - Dạng 1 :
( )
( )
lim
→x a
f x
g x
0
0
Dùng k
ỹ
thu
ậ
t
thêm bớt
,
khử căn
để
bi
ế
n
đổ
i f(x), g(x) sao cho xu
ấ
t hi
ệ
n
(
)
−
x a
làm nhân t
ử
chung r
ồ
i kh
ử
vô
đị
nh.
N
ế
u f(x) , g(x) có ch
ứ
a hàm
lượng giác
,
lnx
ho
ặ
c
e
x
thì ta bi
ế
n
đổ
i
để
đư
a v
ề
1 trong 3 gi
ớ
i h
ạ
n c
ơ
b
ả
n sau:
0
sin
1
lim
→
=
x
x
x
0
ln( 1)
1
lim
→
+
=
x
x
x
0
1
1
lim
→
−
=
x
x
e
x
2.2 – Dạng 2 :
( )
( )
lim
→∞x
f x
g x
∞
∞
Nguyên t
ắ
c chung : rút g
ọ
n t
ử
, m
ẫ
u cho ph
ầ
n t
ử
ch
ứ
a x ti
ế
n ra
∞
nhanh nhất
Nếu f(x), g(x) là hàm đa thức hoặc căn thức, ta đặt x bậc cao nhất làm nhân tử chung rồi rút gọn.
Chú ý xử lý dấu của x nếu f(x), g(x) có chứa căn thức bậc chẵn.
2.3 - Quy tắc l’Hospitale :
Đối với những giới hạn dạng
∞
∞
hoặc
0
0
, ta có một quy tắc để khứ vô định như sau :
/
/
( ) ( )
( )
( )
lim lim
→ →
=
x a x a
f x f x
g x
g x
( a có thể là hữu hạn hay
∞
)
2.4 – Dạng 3 :
(
)
( ) ( )
lim
→∞
−
x
f x g x
(
)
∞ − ∞
Trong đa số bài toán dạng này thì f(x), g(x) có chứa căn thức. Nếu f(x), g(x) chứa căn thức khác
loại thì ta phải tiến hành thêm bớt để chia làm 2 giới hạn.
Ta khử căn thức bằng cách đồng thời nhân và chia biểu thức liên hợp rồi áp dụng các hằng đẳng
thức
(
)
(
)
2 2
A B A B A B
− = − +
(khử căn bậc 2)
(
)
(
)
3 3 2 3
A B A B A AB B
− = − + +
(khử căn bậc 3)
Bài toán đưa về dạng 2 và được xử lý như trên.
2.5 – Dạng 4 :
(
)
(
)
.
lim
→x a
f x g x
(
)
0.
∞
( a có thể là hữu hạn hay
∞
)
Bi
ế
n
đổ
i
( )
( ). ( )
1
( )
f x
f x g x
g x
=
r
ồ
i
đư
a v
ề
d
ạ
ng
0
0
ho
ặ
c
∞
∞
r
ồ
i xem
2.1 , 2.2 , 2.3
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 3
2.6 – Dạng 5,6,7 :
( )
(
)
lim
→
g x
x a
f x
(
)
1
∞
,
(
)
0
0
,
( )
(
)
0
+∞
( a có thể là hữu hạn hay
∞
)
B1 : Bi
ế
n
đổ
i
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
ln
ln .ln
1
= = =
g x
f x
g x
f x g x f x
g x
f x
e e e
.
Lúc này
:
( )
( )
ln ( )
1
( )
lim
lim
→
→
=
x a
f x
g x
g x
x a
f x
e
trong đó
( )
( )
ln
1
lim
→
x a
f x
g x
dạng
0
0
hoặc
∞
∞
.
B2 : Xem 2.1 , 2.2 , 2.3.
II – Ví dụ :
* Vô định
0
0
:
2
x 5
x 4 3
L
x 25
lim
→
+ −
=
−
0
0
Gi
ả
i :
Cách 1
:
khử vô định biến đổi đại số
L =
2
x 5
x 4 3
x 25
lim
→
+ −
−
=
(
)
(
)
( )( )
( )
x 5
x 4 3 x 4 3
x 5 x 5 x 4 3
lim
→
+ − + +
− + + +
=
( )( )
( )
x 5
x 5
x 5 x 5 x 4 3
lim
→
−
− + + +
=
( )
( )
x 5
1
x 5 x 4 3
lim
→
+ + +
=
( )
( )
1
5 5 5 4 3
+ + +
=
1
60
Cách 2
:
quy tắc L’hospital
L =
2
x 5
x 4 3
x 25
lim
→
+ −
−
=
/
/
2
x 5
x 4 3
x 25
lim
→
+ −
−
=
x 5
1
4x x 4
lim
→
+
=
1
4.5 5 4
+
=
1
60
2
x 3
x 6 2x 2 5
L
x 9
lim
→
+ + − −
=
−
0
0
Gi
ả
i :
Cách 1
:
khử vô định bằng biến đổi đại số
L =
2
x 3
x 6 2x 2 5
x 9
lim
→
+ + − −
−
=
( )( )
x 3
x 6 3 2x 2 2
x 3 x 3
lim
→
+ − + − −
− +
cơ sở phân tích
3 3 6
= +
;
2 2.2 2
= −
=
( )( )
x 3
x 6 9 2x 2 4
x 6 3 2x 2 2
x 3 x 3
lim
→
+ − − −
+
+ + − +
− +
thêm bớt biểu thức liên hợp
VD2
VD1
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 4
=
( )( )
x 3
x 3 x 3
2.
x 6 3 2x 2 2
x 3 x 3
lim
→
− −
+
+ + − +
− +
=
x 3
1 2
x 6 3 2x 2 2
x 3
lim
→
+
+ + − +
+
=
1 2
3 6 3 2.3 2 2
3 3
+
+ + − +
+
=
1
9
.
Cách 2
:
quy tắc L’hospital
Dành cho
độ
c gi
ả
.
( )
( )
2
2x
x 0
sin 3x
L
ln 5x 1 . e 1
lim
→
=
+ −
0
0
Gi
ả
i :
L =
( )
( )
2
2x
x 0
sin 3x
ln 5x 1 . e 1
lim
→
+ −
=
( )
2
2
2x
x 0
sin3x
.9x
3x
ln 5x 1
e 1
.5x. .2x
5x 2x
lim
→
+
−
thêm bớt để xuất hiện giới hạn cơ bản
=
( )
2
2x
x 0
sin3x
9
3x
7
ln 5x 1
e 1
.
5x 2x
lim
→
+
−
=
( )
2
x 0
2x
x 0 x 0
sin3x
3x
9
7
ln 5x 1
e 1
.
5x 2x
lim
lim lim
→
→ →
+
−
=
( )
2
1
9
.
7 1.1
=
9
7
3
x
3
tg x 3tgx
L
cos x
6
lim
π
→
−
=
π
+
0
0
Gi
ả
i :
Cách 1
:
biến đổi đưa về giới hạn cơ bản
Đặ
t
t x
3
π
= −
, suy ra
x t 0
3
π
→ ⇔ →
. Ta có :
L =
3
x
3
tg x 3tgx
cos x
6
lim
π
→
−
π
+
=
( )( )
x
3
tgx tgx 3 tgx 3
cos x
6
lim
π
→
+ −
π
+
=
( ) ( )
x
3
tgx tgx 3 sinx 3cosx
.
cosx
cos x
6
lim
π
→
+ −
π
+
=
( ) ( )
x x
3 3
tgx tgx 3 sinx 3cosx
.
cosx
cos x
6
lim lim
π π
→ →
+ −
π
+
vì
(
)
x
3
tgx tgx 3
cos x
lim
π
→
+
xác định
=
( )
(
)
x
3
sinx 3cosx
2 3 3 3 .
cos x
6
lim
π
→
−
+
π
+
=
t 0
sin t 3cos t
3 3
12.
cos t
2
lim
→
π π
+ − +
−
π
+
do cách đặt
VD3
VD4
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 5
=
t 0
1 3
sin t cos t
2 3 2 3
24.
sint
lim
→
π π
+ − +
−
=
t 0
sin t cos cos t sin
3 3 3 3
24.
sint
lim
→
π π π π
+ − +
−
=
t 0
sint
24.
sint
lim
→
−
=
24
−
Cách 2
:
quy tắc L’hospital
L =
3
x
3
tg x 3tgx
cos x
6
lim
π
→
−
π
+
=
/
3
/
x
3
tg x 3tgx
cos x
6
lim
π
→
−
π
+
=
( )
2
2
x
3
1
3tg x 3
cos x
sin x
6
lim
π
→
−
−
π
+
=
(
)
3.3 3 .4
1
−
− =
24
−
.
2
sin x
x 0
e cos2x
L
xarcsin2x
lim
→
−
=
0
0
0
e cos0 1
= =
;
arcsin 0 0
=
Bình luận
:
Nếu dùng quy tắc L’hospital thì
L =
2
sin x
x 0
e cos2x
xarcsin2x
lim
→
−
=
[ ]
2
/
sin x
x
/
x 0
x
e cos2x
xarcsin2x
lim
→
−
=
( )
2
sin x
x 0
2
1
e .2sinx.cosx . sin2x .2
2 cos2x
1
arcsin2x x.
1 x
lim
→
− −
+
−
=
2
sin x 2
2
x 0
e .sin2x cos2x sin2x 1 x
cos2x
1 x arcsin2x x
lim
→
+ −
− +
=
2
sin x 2
2
x 0 x 0
e .sin2x cos2x sin2x 1 x
.
cos2x
1 x arcsin2x x
lim lim
→ →
+ −
− +
tách được vì
2
x 0
1 x
cos2x
lim
→
−
xác định
=
2
sin x
2
x 0
e .sin2x cos2x sin2x 1
.
1
1 x arcsin2x x
lim
→
+
− +
=
2
sin x
2
x 0
e .sin 2x cos2x sin 2x
1 x arcsin 2x x
lim
→
+
− +
=
2
/
sin x
x
/
2
x 0
x
e .sin 2x cos2x sin 2x
1 x arcsin2x x
lim
→
+
− +
???!!!
Gi
ả
i:
Dùng k
ỹ
thu
ậ
t thêm b
ớ
t
để
đư
a v
ề
các gi
ớ
i h
ạ
n c
ơ
b
ả
n
L =
2
sin x
x 0
e cos2x
xarcsin2x
lim
→
−
=
2
sin x
x 0
e 1 1 cos2x
xarcsin2x
lim
→
− + −
số 1 từ đâu ?? ,
sin0
1 e cos0
= =
=
2
sin x
x 0
e 1 1 cos2x
xarcsin2x xarcsin2x
lim
→
− −
+
=
2
1
sin x
x 0
C
e 1
xarcsin2x
lim
→
−
+
2
x 0
C
1 cos2x
xarcsin2x
lim
→
−
tách thành
0
0
+
0
0
VD5
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 6
C
1
=
2
sin x
x 0
e 1
xarcsin2x
lim
→
−
0
0
=
2
sin x 2
2
x 0
e 1 sin x
.
xarcsin2x
sin x
lim
→
−
=
2
sin x 2
2
x 0 x 0
e 1 sin x
.
xarcsin2x
sin x
lim lim
→ →
−
tách được vì gh cơ bản
2
sin x
2
x 0
e 1
1
sin x
lim
→
−
=
xác định
=
2
x 0
sin x
1.
xarcsin2x
lim
→
=
2
x 0
sin x
xarcsin2x
lim
→
tiếp tục thêm bớt , vì vẫn còn dạng vô định
0
0
=
2 2
2
x 0
sin x x
.
xarcsin2x
x
lim
→
=
2
2
x 0 x 0
sin x x
.
arcsin2x
x
lim lim
→ →
2
2
2
2
x 0 x 0 x 0
sin x sin x sin x
1
x x
x
lim lim lim
→ → →
= = =
=
2
x 0 x 0
sinx 2x 1
. .
x arcsin2x 2
lim lim
→ →
=
2
x 0
2x 1
1 . .
arcsin2x 2
lim
→
=
1
2
C
2
=
x 0
1 cos2x
xarcsin2x
lim
→
−
0
0
=
(
)
(
)
( )
x 0
1 cos2x 1 cos2x
x arcsin2x 1 cos2x
lim
→
− +
+
khử căn cho tử
=
( )
x 0
1 cos2x
xarcsin2x 1 cos2x
lim
→
−
+
=
x 0 x 0
1 cos2x 1
.
x arcsin2x
1 cos2x
lim lim
→ →
−
+
tách được vì
x 0
1
1 cos2x
lim
→
+
xác định
=
x 0
1 cos2x 1
.
x arcsin2x 1 1
lim
→
−
+
=
x 0
1 1 cos2x
2 xarcsin2x
lim
→
−
=
2
x 0
1 2sin x
2 x arcsin2x
lim
→
2 2
cos2x 2cos x 1 1 2sin x
= − = −
=
2 2
2
x 0
sin x x
.
xarcsin2x
x
lim
→
=
2 2
2
x 0 x 0
sin x x
xarcsin2x
x
lim lim
→ →
=
2
2
x 0
x
1 .
xarcsin2x
lim
→
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 7
=
x 0
x
arcsin2x
lim
→
=
x 0
2x 1
.
arcsin2x 2
lim
→
=
x 0
1 2x
2 arcsin2x
lim
→
=
1
2
1 2
1 1
C C C 1
2 2
= + = + =
.
*Vô định
∞
∞
:
3
2 3 2
x
9x x 8x x
L
x 1
lim
→+∞
− + +
=
−
∞
∞
Gi
ải :
3
2 3 2
x
9x x 8x x
L
x 1
lim
→+∞
− + +
=
−
=
2 3
3
x
1 1
x 9 x 8
x x
1
x 1
x
lim
→+∞
− + +
−
=
3
x
1 1
x 9 x. 8
x x
1
x 1
x
lim
→+∞
− + +
−
=
3
x
1 1
x 9 8
x x
1
x 1
x
lim
→+∞
− + +
−
=
3
x
1 1
9 8
x x
1
1
x
lim
→+∞
− + +
−
=
3
9 0 8 0
1 0
− + +
−
=
5
.
3
2 3 2
x
9x x 8x x
L
x 1
lim
→∞
− + +
=
−
∞
∞
chú ý sự khác biệt của 2 ví dụ
Gi
ả
i :
3
2 3 2
x
9x x 8x x
L
x 1
lim
→∞
− + +
=
−
=
2 3
3
x
1 1
x 9 x 8
x x
1
x 1
x
lim
→∞
− + +
−
=
3
x
1 1
x 9 x. 8
x x
1
x 1
x
lim
→∞
− + +
−
=
3
x
3
x
1 1
x 9 x. 8
x x
1
x 1
x
1 1
x 9 x. 8
x x
1
x 1
x
lim
lim
→+∞
→−∞
− + +
−
− − + +
−
=
3
x
3
x
1 1
9 . 8
x x
1
1
x
1 1
9 . 8
x x
1
1
x
lim
lim
→+∞
→−∞
− + +
−
− − + +
−
=
5 if x +
1 if x
→ ∞
− → −∞
(
)
( )
2
2
x 0
ln sinmx
L
ln sinx
lim
→
=
∞
∞
x 0
lnx
→
→ +∞
Gi
ả
i :
Dùng quy t
ắ
c l’hospital.
VD7
VD6
VD8
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 8
L =
(
)
( )
2
2
x 0
ln sinmx
ln sinx
lim
→
=
(
)
( )
/
2
x
/
2
x 0
x
ln sinmx
ln sinx
lim
→
=
2
2
2
x 0
2
1
.cosmx .2mx
sinmx
1
.cosx .2x
sinx
lim
→
=
2 2
2 2
x 0
sinx mcosmx
.
sinmx cosx
lim
→
=
2 2
2 2
x 0 x 0
sinx mcosmx
.
sinmx cosx
lim lim
→ →
việc tách làm 2 lim là hợp lệ vì
2
2
x 0
mcosmx
cosx
lim
→
xác định
=
2
2
x 0
sinx m.1
.
1
sinmx
lim
→
=
2
2
x 0
sinx
m.
sinmx
lim
→
=
(
)
( )
/
2
x
/
2
x 0
x
sinx
m.
sinmx
lim
→
=
2
2
x 0
2x cosx
m.
2mx cosmx
lim
→
=
2
2
x 0
m cosx
.
m
cosmx
lim
→
= 1.
*Vô định
(
)
∞ − ∞
:
L =
(
)
2 2
x
x 2x x 2x
lim
→∞
+ − −
(
)
∞ − ∞
Giải :
L =
(
)
2 2
x
x 2x x 2x
lim
→∞
+ − −
=
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
x
x 2x x 2x x 2x x 2x
x 2x x 2x
lim
→∞
+ − − + + −
+ + −
=
2 2
x
4x
x 2x x 2x
lim
→∞
+ + −
=
x
2 2
4x
2 2
x 1 x 1
x x
lim
→∞
+ + −
=
x
4x
2 2
x 1 x 1
x x
lim
→∞
+ + −
=
x
x
4x
2 2
x 1 x 1
x x
4x
2 2
x 1 x 1
x x
lim
lim
→+∞
→−∞
+ + −
− + − −
=
x
x
4
2 2
1 1
x x
4
2 2
1 1
x x
lim
lim
→+∞
→−∞
+ + −
−
+ + −
=
2 if x
2 if x -
→ +∞
− → ∞
L =
(
)
3
2 3
x
4x 2x 8x x
lim
→+∞
+ − −
(
)
∞ − ∞
Giải :
L =
(
)
3
2 3
x
4x 2x 8x x
lim
→+∞
+ − −
=
(
)
3
2 3
x
4x 2x 2x 2x 8x x
lim
→+∞
+ − + − −
tại sao thêm bớt 2x ?
VD10
VD9
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 9
=
(
)
(
)
(
)
( )
( )
2
3 3
3 2 3 3
3
2 2
2 2
3
2 3 3
x
3
2x 8x x 4x 2x. 8x x 8x x
4x 2x 2x 4x 2x 2x
4x 2x 2x
4x 2x. 8x x 8x x
lim
→+∞
− − + − + −
+ − + +
+
+ +
+ − + −
=
( )
2 2 3 3
2 2
3
2 3 3
x
3
4x 2x 4x 8x 8x x
4x 2x 2x
4x 2x. 8x x 8x x
lim
→+∞
+ − − +
+
+ +
+ − + −
=
( )
2 2
3
2 3 3
x
3
2x x
4x 2x 2x
4x 2x. 8x x 8x x
lim
→+∞
+
+ +
+ − + −
=
2
x
3
3
2
2 1 1
.
x
2
1 1
4 2
4 2 8 8
x
x
x
lim
→+∞
+
+ +
+ − + −
=
( )
2
3
3
x
2 1 1
.
x
4 0 2
4 2 8 0 8 0
lim
→+∞
+
+ +
+ − + −
=
( )
2
1 1
.0
2
4 2.2 2
+
+ +
=
1
2
*Vô định
(
)
0.
∞
:
L =
( )
x 1
x
1 x tg
2
lim
→
π
−
(
)
0.
∞
Đặ
t
u 1 x
= −
. Lúc này :
x 1
→
⇔
u 0
→
L =
( )
x 1
x
1 x tg
2
lim
→
π
−
=
(
)
u 0
1 u
u.tg
2
lim
→
π −
=
u 0
u
u.tg
2 2
lim
→
π π
−
=
u 0
u
u.cotg
2
lim
→
π
=
u 0
u
u.cos
2
u
sin
2
lim
→
π
π
=
u 0 u 0
u u
. cos
u
2
sin
2
lim lim
→ →
π
π
u 0
u
cos
2
lim
→
π
xác định
=
u 0
u
.1
u
sin
2
lim
→
π
=
u 0
u
u
sin
2
lim
→
π
dạng vô định
0
0
=
u 0
u
u
2
.
u
u
sin
2
2
lim
→
π
π
π
=
u 0
u
2
2
u
sin
2
lim
→
π
π
π
=
2
π
VD11
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 10
x 1
x 1
x 1 ln x
lim
→
−
−
(
)
∞ − ∞
xem như
1
0
= ∞
L =
x 1
x 1
x 1 ln x
lim
→
−
−
=
( )
x 1
xln x x 1
x 1 ln x
lim
→
− +
−
0
0
(
)
∞ − ∞
→
0
0
=
[ ]
( )
/
x
/
x 1
x
xln x x 1
x 1 ln x
lim
→
− +
−
=
x 1
lnx 1 1
x 1
ln x
x
lim
→
+ −
−
+
=
x 1
xln x
xln x x 1
lim
→
+ −
0
0
=
( )
( )
/
x
/
x 1
x
xln x
xln x x 1
lim
→
+ −
=
x 1
lnx 1
ln x 1 1
lim
→
+
+ +
=
x 1
lnx
ln x 2
lim
→
+
=
1
2
*Vô định
(
)
1
∞
:
x
tg
2
x 1
x
tg
4
lim
π
→
π
(
)
1
∞
Cách 1 :
nên tiến hành theo cách này cho những bài tương tự
L =
x
tg
2
x 1
x
tg
4
lim
π
→
π
=
x
tg
2
x
ln tg
4
x 1
e
lim
π
π
→
ln x
x e
=
=
x x
tg .ln tg
2 4
x 1
e
lim
π π
→
(
)
a
ln x a ln x
=
=
x x
tg .ln tg
lim
2 4
x 1
e
π π
→
=
x 1
x
ln tg
4
lim
x
cotg
2
e
→
π
π
=
/
x
/
x 1
x
x
ln tg
4
lim
x
cotg
2
e
→
π
π
=
2
2
x 1
2
x
sin
4 2
lim
x x
tg cos
4 4
e
→ π
π π
−
π π
=
1
2 2
.1
4
.1.
e
π
π
−
=
1
e
−
=
1
e
.
Cách 2 :
tham khảo
L =
1 x x
.tg tg 1
x
2 4
tg 1
4
x 1
x
1 tg 1
4
lim
π π
−
π
−
→
π
+ −
=
x x
tg tg 1
1
2 4
x
tg 1
4
x 1
x
1 tg 1
4
lim
π π
−
π
−
→
π
+ −
=
x 1
x x
tg tg 1
1
2 4
x
tg 1
4
x 1
lim
x
1 tg 1
4
lim
→
π π
−
π
−
→
π
+ −
x 1
x
x
tg tg 1
2
4
lim
→
π
π
−
(
)
0.
∞
VD12
VD13
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 11
=
x 1
x x
tg tg 1
2 4
lim
e
→
π π
−
giới hạn cơ bản
( )
1
x
x 0
lim 1 x e
→
+ =
=
x 1
x
tg 1
4
x
cotg
2
lim
e
→
π
−
π
x 1
x
tg 1
4
x
cotg
2
lim
→
π
−
π
0
0
=
/
x
/
x 1
x
x
tg 1
4
x
cotg
2
lim
e
→
π
−
π
=
1
2
x
cos
4 4
1
x 1
x
2
sin
2 2
lim
e
π π
→
π π
−
=
2
1
2 2
x
x 1
4
x
sin
2
cos
lim
e
π
→
π
−
=
1
2 1
2
1
.
e
−
=
1
e
−
=
1
e
.
( )
1
2x
x
x 0
e x
lim
→
+
(
)
1
∞
giải giống câu C
L =
( )
1
2x
x
x 0
e x
lim
→
+
=
(
)
1
2x
x
ln e x
x 0
e
lim
+
→
=
2x
1
ln e x
x
x 0
e
lim
+
→
=
2x
x 0
ln e x
x
lim
e
→
+
2x
x 0
ln e x
x
lim
→
+
0
0
=
[ ]
/
2x
x
/
x 0
x
ln e x
x
lim
e
→
+
=
(
)
2x
2x
x 0
1
2e 1
e x
1
lim
e
→
+
+
=
2x
2x
x 0
2e 1
e x
lim
e
→
+
+
=
2.1 1
1 0
e
+
+
=
3
e
.
( )
ln x
x 0
1 x
lim
+
→
+
(
)
1
∞
Giải :
Cách 1 :
L =
( )
ln x
x 0
1 x
lim
+
→
+
=
(
)
ln x.ln 1 x
x 0
e
lim
+
+
→
=
(
)
x 0
ln x.ln 1 x
lim
e
+
→
+
=
(
)
1
x 0
ln x
ln 1 x
lim
e
+
→
+
(
)
1
x 0 ln x
ln 1 x
lim
+
→
+
0
0
=
( )
/
/
1
x 0
ln x
ln 1 x
lim
e
+
→
+
=
1
x 1
1 1
x 0
x 2
ln x
.
lim
e
+
−
+
→
=
2
x ln x
x 1
x 0
lim
e
+
+
→
−
=
(
)
(
)
2
1
x 1
x 0 x 0
. xln x
lim lim
e
+
+ +
→ →
−
(
)
1
x 1
x 0
lim
+
+
→
−
xác định
=
2
1
x 0
x
ln x
lim
e
+
→
−
2
1
x 0
x
ln x
lim
+
→
∞
∞
=
/
2
/
1
x 0
x
ln x
lim
e
+
→
−
=
1
x
1
x 0
2
x
2. .ln x
lim
e
+
→
−
−
=
1
x 0
x
ln x
2.
lim
e
+
→
1
x 0
x
ln x
lim
+
→
∞
∞
=
[ ]
/
/
1
x 0
x
ln x
2.
lim
e
+
→
=
1
x
1
x 0
2
x
2.
lim
e
+
→
−
=
x 0
2. x
lim
e
+
→
−
=
0
e
= 1
VD15
VD14
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 12
Cách 2 :
dùng giới hạn cơ bản
( )
1
x
x 0
1 x e
lim
+
→
+ =
L =
( )
ln x
x 0
1 x
lim
+
→
+
=
( )
1
x
.x ln x
x 0
1 x
lim
+
→
+ =
( )
(
)
1
x 0
x
xln x
x 0
lim
1 x
lim
+
→
+
→
+
=
( )
1
1
x 0
x
x
ln x
x 0
lim
1 x
lim
+
→
+
→
+
=
1
x 0
x
ln x
lim
e
+
→
=
[ ]
/
/
1
x 0
x
ln x
lim
e
+
→
=
x 0
x
lim
e
+
→
−
=
0
e
= 1.
1
2
x
x 0
sin x
x
lim
→
(
)
1
∞
Gi
ả
i :
Cách 1
:
L =
1
2
x
x 0
sin x
x
lim
→
=
2
x 0
sin x
ln
x
x
lim
e
→
=
2
x 0
sin x
sin x
ln 1 1
1
x
x
.
sin x
x
1
x
lim
e
→
− +
−
−
=
3
x 0 x 0
sin x
ln 1 1
sin x x
x
.
sin x
x
1
x
lim lim
e
→ →
− +
−
−
=
3
x 0
sin x x
1.
x
lim
e
→
−
giới hạn cơ bản
0
ln( 1)
1
lim
→
+
=
x
x
x
=
[ ]
/
/
3
x 0
sin x x
x
lim
e
→
−
=
2
x 0
cosx 1
3x
lim
e
→
−
=
[ ]
/
/
2
x 0
cosx 1
3x
lim
e
→
−
=
x 0
1 sin x
.
6 x
lim
e
→
−
=
1
.1
6
e
−
=
1
6
e
−
Cách 2
:
dùng giới hạn cơ bản
( )
1
x
x 0
1 x e
lim
+
→
+ =
L =
1
2
x
x 0
sin x
x
lim
→
=
sin x
1
x
sin x 2
x
x
1
.
1
x 0
sin x
1 1
x
lim
−
−
→
+ −
=
sin x
1
x
2
x
x 0
sin x
x
1
1
x 0
lim
sin x
1 1
x
lim
−
→
−
→
+ −
=
sin x
1
x
2
x
x 0
lim
e
−
→
=
sin x x
3
x
x 0
lim
e
−
→
=
[ ]
/
/
3
x 0
sin x x
x
lim
e
→
−
=
2
x 0
cosx 1
3x
lim
e
→
−
=
[ ]
/
/
2
x 0
cosx 1
3x
lim
e
→
−
=
x 0
1 sin x
.
6 x
lim
e
→
−
=
1
.1
6
e
−
=
1
6
e
−
*Vô định
(
)
0
0
:
( )
tgx
x 0
1 cosx
lim
→
−
(
)
0
0
Giải :
L =
( )
tgx
x 0
1 cosx
lim
→
−
=
(
)
tgx.ln 1 cosx
x 0
elim
−
→
=
(
)
x 0
ln 1 cosx
cotgx
lim
e
→
−
=
( )
[ ]
/
/
x 0
ln 1 cosx
cotgx
lim
e
→
−
=
( )
x 0
2
1
. sinx
1 cosx
1
sin x
lim
e
→
−
−
−
=
3
2
x
x 0
2
sin x
sin
lim
e
→
=
3
3
2
x
x 0
2
2 x
x 4
2
sin x
.x
x
sin
.
lim
e
→
=
3
2
x
x 0
2
x
2
sin x
4x.
x
sin
lim
e
→
=
( )
( )
3
2
4.0. 1
1
e
=
0
e
= 1
VD16
VD17
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 13
*Vô định
(
)
0
∞
:
L =
( )
sin x
x 0
cotgx
lim
→
(
)
0
∞
giải giống cách 1 câu C
L =
( )
sin x
x 0
cotgx
lim
→
=
( )
sin x
ln cotgx
x 0
e
lim
→
=
sin x.ln cot gx
x 0
e
lim
→
=
(
)
x 0
sin x.ln cotgx
lim
e
→
(
)
x 0
sin x.ln cotgx
lim
→
(
)
0.
∞
=
x 0
ln cotgx
1
sin x
lim
e
→
x 0
ln cotgx
1
sin x
lim
→
∞
∞
=
/
x
/
x 0
x
ln cotgx
1
sin x
lim
e
→
=
2
x 0
2
1 1
.
cotgx
sin x
1
.cosx
sin x
lim
e
→
−
−
=
x 0
1
cotgx
cosx
lim
e
→
=
x 0
tgx
cos x
lim
e
→
=
0
1
e
=
0
e
= 1.
*Vô định
(
)
0
0
:
L =
( )
tgx
x 0
sin x
lim
→
(
)
0
0
giải giống cách 1 câu C
L =
( )
tgx
x 0
sin x
lim
→
=
( )
tgx
ln sin
x 0
e
lim
→
=
tgx.ln sin x
x 0
e
lim
→
=
(
)
x 0
tgx.ln sin x
lim
e
→
(
)
x 0
tgx.ln sin x
lim
→
(
)
0.
∞
=
x 0
ln sin x
cotgx
lim
e
→
x 0
ln sin x
cotgx
lim
→
∞
∞
=
[ ]
/
x
/
x 0
x
ln sin x
cot gx
lim
e
→
=
x 0
2
1
.cosx
sin x
1
sin x
lim
e
→
−
=
(
)
x 0
sin x.cos x
lim
e
→
−
=
0.1
e
−
= 1.
*Giới hạn kẹp :
L =
2
x 0
1
x sin
x
sin x
lim
→
L =
x 0
x 1
xsin
sin x x
lim
→
=
x 0 x 0
x 1
xsin
sin x x
lim lim
→ →
=
x 0
1
1. xsin
x
lim
→
=
x 0
1
xsin
x
lim
→
VD20
VD19
VD18
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 14
Bình lu
ậ
n :
x 0
1
xsin
x
lim
→
không thuộ c các dạng vô định thông thường
0
0
∞
∞
(
)
∞ − ∞
(
)
0.
∞
(
)
1
∞
(
)
0
∞
(
)
0
0
, vì
x 0
1
x
→
→ ∞
nhưng
(
)
sin ?
∞ =
. Do đó cách giải của nó cũng không thông thường.
Gi
ả
i :
Ta có :
1 1
0 xsin x sin x
x x
≤ = ≤
,
x 0
∀ ≠
Vì
0 sin u 1
≤ ≤
,
u R
∀ ∈
Do
đ
ó khi
x 0
→
thì
1
xsin 0
x
→
hay
1
xsin 0
x
→
giới hạn kẹp
V
ậ
y : L =
x 0
1
xsin
x
lim
→
= 0.
(
)
(
)
x
sin ln x 1 sin ln x
lim
→+∞
+ −
vô định
(
)
sin
∞
Gi
ả
i :
L =
( )
x
x 1
ln
ln x x 1
x
2cos .sin
2 2
lim
→+∞
+
+
=
( )
x
1
ln 1
ln x x 1
x
2cos .sin
2 2
lim
→+∞
+
+
Nh
ậ
n xét :
•
( )
1 1
ln 1 ln 1
ln x x 1
x x
0 cos .sin sin
2 2 2
+ +
+
≤ ≤
,
x 0
∀ >
.
•
x
1
ln 1
x
sin 0
2
→+∞
+
→
Do
đ
ó :
( )
x
1
ln 1
ln x x 1
x
cos .sin 0
2 2
→+∞
+
+
→
Vậy : L = 0
VD21
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 15
III - Bài tập đề nghị :
Bài 1 :
1.1.
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
1.2.
2
1
4 3
lim
3 2
x
x x
x
→
− +
+ −
1.3.
1
3 1
lim
1
x
x x
x
→−
+ − −
+
1.4.
1
3 8 5
lim
1
x
x x
x
→
+ + + −
−
1.5.
3
2
0
8 4
lim
x
x x
x x
→
+ − +
+
1.6.
2
3
1
3 2
lim
2 8 2
x
x x
x x
→
− +
− − + +
1.7.
2
0
sin 3
lim
sin5x
x
x
x
→
1.8.
2
0
cot 2
lim
sin3x
x
x g x
→
1.9.
0
1 cos
lim
sin3x
x
x
x
→
−
1.10.
2
0
1-cosx+xsin2x
lim
1 1
x
x
→
+ −
1.11
2
sinx-1
lim
cos3x
x
π
→
1.12
( )
1
lim 1 t
2
x
x
x g
π
→
−
1.13
cosx+sin2x+1
lim
cos2x+sinx-1
x
π→
1.14
3 3
1
cos
2
lim
x 2 2
x
x
x x
π
→
− + −
1.15
(
)
0
ln 1+3x
lim
x
x→
1.16
2
1
lnx
lim
x 3 2
x
x
→
− +
1.17
(
)
2
0
ln 2 x +1
lim
xsin3x
x→
−
1.18
(
)
0
ln cosx
lim
xsin3x
x→
1.19
3x
0
e 1
lim
x
x→
−
1.20
x+3 2
1
e 1
lim
x-1
x
−
→
−
1.21
2
3x
0
e 1
lim
xsinx
x→
−
1.22
( )
2
x 1
1
e 1
lim
xtg
x
x
π
−
→
−
1.23
( )
2
x 1
1
sin
2
lim
ln 2
x
x
e
x
π
−
→
−
−
1.24
(
)
1
sin
1
ln 1
lim
x
x
x
e x
e x
π
−
→
+ −
−
Bài 2 :
2.1
2
2
2 1
lim
2 1
x
x x
x x
→∞
− +
+ −
2.2
(
)
(
)
(
)
3
2 2 3 3 4
lim
2
x
x x x
x
→∞
+ + +
−
2.3
xx1x2.12x
xx1xx2x
lim
23 3
3
3
22
x
+−+−
−+++
+∞→
2.4
1
x
cos
x
2
x
4
1x.1xxsinx
lim
2
3 33 3
x
−
+
−++
∞→
2.3
lim
1 1 1
x
x x x
x
→+∞
+ + +
2.4
1
1 1
2 3 4
lim
2 3 4
x x x
x x x
x
+
+ −
→+∞
+ +
+ +
Bài 3
:
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 16
3.1
(
)
x22xx4lim
2
x
−−+
+∞→
3.2
(
)
1xx22xlim
2
x
+−+
−∞→
3.3
(
)
2 2
lim 1 1
x
x x
→∞
+ − −
3.4
(
)
2 2
lim 2 2
x
x x x x
→−∞
+ − −
3.5
(
)
3
3 2
lim
x
x x x
→∞
+ −
3.6
(
)
2
lim 1
x
x x x
→∞
+ −
3.7
(
)
3
3 2 2
lim
x
x x x x
→+∞
+ − −
3.8
0
1 1
lim
sin
x
x x
+
→
−
3.9
1
1
lim
1 ln
→
−
−
x
x
x x
3.10
(
)
(
)
lim ln ln
→+∞
+ −
x
x x a x
Bài 4 :
4.1
3
lim 1
x
x
x
→∞
+
4.2
2
1
lim
1
x
x
x
x
→∞
−
+
4.3
x
x
xx
xx
+−
++
∞→
22
1
lim
2
2
4.4
2
1 1
lim
x
x
x
x
→+∞
+ −
4.5
( )
2
1
0
coslim
x
x
x
→
4.6
( )
x
x
x
cos
1
2
sinlim
π
→
4.7
( )
1
2
1
ln1lim
−
→
+
x
x
x
4.8
( )
x
xx
x
ee
sin
2
0
1lim
−+
−
→
4.9
( )
xsin
2
x
0x
xelim
+
→
4.10
( )
xsine
2
x
0x
x2
x2cosex2tglim
+
→
4.11
( )
sin3x
x 0
lim tg2x
+
→
4.12
( )
1
sin2x
x 0
lim tgx
+
→
4.13
( )
sin3x
x 0
lim cotg2x
+
→
4.14
1
x
x
lim x
→+∞
Bài 5 :
5.1
xx
x
lnlim
0
+
→
5.2
(
)
12ln.lnlim
0
+
+
→
xx
x
5.3
xe
x
x
lnlim
−
+∞→
5.4
(
)
xxx
x
3ln.sinlim
2
0
+
+
→
5.5
(
)
x
lim sin x 1 sin x
→+∞
+ − 5.5
x 0
1
lim x .sin
x
+
α
→
,
0
α >
Giới hạn hàm số Tài liệu ôn tập hàm một biến thực
Trần Quốc Việt page 17
