đạo hàm nâng cao toán c1

1
ĐO HM, VI PHÂN
HM MT BIN
Lecture 4
Nguyen Van Thuy
Review
 Đnh l (Kẹp). Nu  khi  gn 
v

th

 Đnh l

lim ( ) lim ( ) lim ( )
xa
x a x a
f x L f x L f x



   
Giai tich 1 4-2 Nguyen Van Thuy-University of Science
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L


lim ( )
xa
g x L



Review
 Đnh ngha. Hm f đưc gi l liên tc ti a nu

 f gin đon ti a nu f không liên tc ti a
 f liên tc trên khong (a, b) nu f liên tc ti mi
đim thuc khong đ
 Câu 65. Tm a đ hm s sau
liên tc ti 
lim ( ) ( )
xa
f x f a


2
2
2
1
arctan , 1
( 1)
()
3
,1
1
x
x
fx
x x a
x
x














Giai tich 1 4-3 Nguyen Van Thuy-University of Science
Review
 Đnh l. Tt c nhng hm sau liên tc trên min
xc đnh
 Hm đa thc
 Hm phân thc hu t
 Hm căn thc
 Hm m
 Hm logarithm
 Hm lưng gic
 Hm lưng gic ngưc
Giai tich 1 4-4 Nguyen Van Thuy-University of Science
Review
 7 dng vô đnh

 Cc gii hn cơ bn

 V d. Tnh
0 0
.0
0
, , , ,1 ,
0
0,




  
1/
00
sin 1
lim 1, lim 1 ,lim(1 )
u
u
u u u
u
e u e
uu
  

    


0
tan2

)lim
x
x
a
x

1
)lim 1
2
x
x
b
x





Giai tich 1 4-5 Nguyen Van Thuy-University of Science
Hệ số góc của đường thẳng
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-6







2
Hệ số góc của đường thẳng

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-7





 



 





Hệ số góc của tiếp tuyến
 Tnh 



 Tnh


 Nhận xét
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-8
0
lim
AB
h

k

Hệ số góc của tiếp tuyến
Giai tich 1 4-9 Nguyen Van Thuy-University of Science
0
( ) ( )
lim
tt
h
f a h f a
k
h



Vn tốc tc thời


 Vận tc trung bnh


 Vận tc tc thi ti thi đim 
( ) ()sa h sa
v
h


0
( ) ()
() lim

h
sah sa
va
h



Giai tich 1 4-10 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm
 Đnh ngha. Đo hm ca hm s  ti 



 Phương trnh tip tuyn ti đim 
  
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
fa
h



Giai tich 1 4-11 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm
 V d. Tnh đo hm bng đnh ngha
1) 


  tnh 




2) . Tnh 
()f x x
2
00
2
00
(3 ) (3) (3 ) (3 ) 12
'(3) lim lim
7
lim lim( 7) 7
hh
hh
f h f h h
f
hh
hh
h
h


     


   
Giai tich 1 4-12 Nguyen Van Thuy-University of Science

3
Đo hm
 K hiu đo hm ca hm s 


 Ch . l gi tr ti ca hm 
 V d. , pht biu 
bi v l hng s, v đo hm
ca hng s l zero” đng hay sai?
'( ) ' ( ) ( ) ( )
x
dy df d
f x y f x Df x D f x
dx dx dx
     
Giai tich 1 4-13 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm
 Cc công thc đo hm cơ bn




1
22
22
22
'
( )' ', ( )' ', (ln )'
( )' 'ln , (sin )' 'cos , (cos )' 'sin
(tan ) ' '(1 tan ),(

''
(arcsin )' ,(arccos ) '
11
''
(arctan )' ,(arcc
cot )' '(1 cot )
ot )'
11
uu
uu
u
u u u e e u u
u
a a u a u u u u u u
u u u
uu
uu
uu
uu
uu
u
uu
u
u



  
  
 


 


 


Giai tich 1 4-14 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm
 Cc tnh cht ca đo hm



 V d



'
2
( )' ' ', ( . )' . '
''
( )' ' ',
u v u v cu cu
u u v uv
uv u v uv
vv
   


  



1 cos 1 cos 1 cos
( ) .(1 cos )' .sin
x x x
d
e e x e x
dx
  
   
lnlncos ?
d
x
dx
Giai tich 1 4-15 Nguyen Van Thuy-University of Science
Khi no đo hm tn ti?



 Gii hn ny c th không tn ti
 Nu tn ti hu hn,  đưc gi l kh
vi ti 
 Nu  kh vi ti a th  liên tc ti 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
fa
h




Giai tich 1 4-16 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm
 V d
 c v không c đo hm
ti 
1, 0
'( )
1, 0
x
fx
x






Giai tich 1 4-17 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm cp cao


 







 



 







 V d. Tnh ca hm s
  
 V d. Tnh ca hm s
    

  


Giai tich 1 4-18 Nguyen Van Thuy-University of Science
4
Đo hm cp cao
 Công thc




()

1
1 ( 1) !
()
n
n
n
n
x a x a







()
(sin ) sin
2
n
x x n





()
(cos ) cos
2
n
x x n






()
()
ax n n ax
e a e
()
(sin ) sin
2
nn
ax a ax n





()
(cos ) cos
2
nn
ax a ax n





Giai tich 1 4-19 Nguyen Van Thuy-University of Science

Đo hm cp cao
 Công thc Leibniz




vi

 V d. a) Tnh b) Tnh
(0)
!
,
!( )!
k
n
n
f fC
knk


2 (100)
()
x
xe
()
2
21
56
n
x

xx





Giai tich 1 4-20 Nguyen Van Thuy-University of Science
() () ( )
0
0(0)() 1(1)( 1) () (0)
()
n
n k k nk
n
k
n n n n
n n n
fg Cf g
Cf g Cfg Cf g




  

Vi phân của hm số
 Ti x=a
  



 Ti x




Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-21
Vi phân của hm số
 Công thc




 V d. Tm vi phân cp 1 ca hm s


 V d. Tm vi phân cp 1 ca hm s


Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-22
ln
arctan
3
x
y
(3)
x
yx
Ví phân cp cao
 Vi phân cp n









 V d. Tm vi phân cp 2 ca hm s

 V d. Tm vi phân cp 2 ca hm s

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-23
2
ln(12)yx
2
cot( )yarc x
Quy tc L’Hospital
 Đnh l. Nu


c dng





khi  v
tn ti 




 th




 





 Ch :  c th hu hn hoặc vô hn
Giai tich 1 4-24 Nguyen Van Thuy-University of Science
5
Quy tc L’Hospital
 Ch . Qu trnh  c th thay bi





 V d
32
00
00
sin 1 cos
lim lim
3

sin cos 1
lim lim
6 6 6
00
00
0
0
xx
xx
x x x
xx
xx
x


   
   
   









Giai tich 1 4-25 Nguyen Van Thuy-University of Science
Quy tc L’Hospital
 V d. Tnh








 V d. Tnh


Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-26
3
0
arctan
lim
0
0
x
xx
L
x







 

0
0.limln
x
L xx


 
Quy tc L’Hospital
 V d. Tnh











 V d. Tnh




Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-27

2
0( 2)
lim(2) 0

x
x
Lx




 
1
1
lim
1ln
x
x
L
xx







Đo hm của hm n
 Đnh ngha. Hm s cho bi
phương trnh đưc gi l hm
n
 V d. Cho hm s xc đnh bi
phương trnh 


  


 Phương trnh trên xc đnh hai hm n

22
2 , 2y x y x    
Giai tich 1 4-28 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm của hm n
 Đ tnh đo hm ca hm n, ch  rng

 Ch .  l hm s theo , cn l bin s
 V d. Tnh bit 

  


 Ly đo hm theo  c hai v, ta đưc
 
'
( , ) 0 ( , ) 0
x
F x y F x y  
2 2 ' 0 '
x
x yy y
y
    
Giai tich 1 4-29 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm của hm n

 V d. Tm đo hm  ca hm n
 đưc cho bi phương trnh


 


  

 








Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-30
6
Đo hm của hm n
 V d. Vit phương trnh tip tuyn ca
đưng cong cardioid
ti 

2 2 2 2 2
(2 2 )x y x y x   
Giai tich 1 4-31 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm của hm n
 V d. Vit phương trnh tip tuyn ca

đưng cong lemniscate

ti 

2 2 2 2 2
2( ) 25( )x y x y  
Giai tich 1 4-32 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm của hm số dng tham số
 Đnh ngha. Hm s cho dưi
dng  đưc gi l hm
s cho dưi dng tham s
 V d. Hm s cho bi 
 
 Đ l hm s
2
1 , 1 1y x x    
Giai tich 1 4-33 Nguyen Van Thuy-University of Science
1 -1
0
x
y
Đo hm của hm số dng tham số
 Đo hm ca hm s cho dưi dng tham
s


 V d. Cho hm s xc đnh bi

'( )
'( )

'( )
'( )
'( )
dy y t dt
dx x
yt
yx
xtt dt

'( ) sin , '( ) cos
cos , s
'( ) '( )/ '( ) / cot
in
x t a t y t b t
x a t y b t
y x y t x t b a t
   
   

Giai tich 1 4-34 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đo hm của hm số dng tham số
 V d. Tm  ti 

ca hm s
cho bi phương trnh tham s




  



 Gii. 




2
2
t
xe
y t t





Giai tich 1 4-35 Nguyen Van Thuy-University of Science
'
2
0
'
( )' 1 2 1
'( ) '( 2)
(2 )' 2 2
t
tt
t
y
t t t

y x y x
x e e

     
Đo hm của hm số dng tham số
 V d. Tm đo hm  ca hm s
 đưc cho bi phương trnh
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-36
2
ln(1 )
2 2arctan
xt
y t t





2
2
2
)'
1
t
ay
t


2
2

2
)'
1
t
by
t


)'c y t
)'d y t
7
Đo hm của hm số dng tham số
 Đo hm cp 2 ca hm s cho dưi dng
tham s

 V d. Tnh ti 

ca hm s
cho bi phương trnh tham s





arctan
ln
xt
yt






'
'
( '( ))
''( )
t
t
yx
yx
x

Giai tich 1 4-37 Nguyen Van Thuy-University of Science