Bài tập phương trình lượng giác

1
BÀI TẬP PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

A. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Một số công thức lượng giác cần nhớ
1)
2 2 2 2
22
11
sin x cos x 1;1 tan ;1 cot .
cos sin
xx
xx
     

2)
sin cos 1
tanx ;cot x ;tan
cos sin cot
xx
x
x x x
  
.
3) Công thức cộng:
sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b a b

  


4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2 cos
2
x – 1 = 1 - 2 sin
2
x

5) Công thức hạ bậc:
22
1 cos2 1 cos2
cos ;sin
22
xx
xx



6) Công thức nhân ba:
Sin3x = 3sinx – 4sin
3
x; cos3x = 4cos
3
x – 3cosx.

7) Công thức biểu diễn theo tanx:
2
2 2 2
2tan 1 tan 2tan
sin 2 ;cos2 ;tan 2
1 tan 1 tan 1 tan
x x x
x x x
x x x

  
  
.
8) Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
 
 
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   

   
   

9) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy







  

2

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Dạng 1. Phƣơng trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx – 3 = 0
3) 3cot2x +
3
= 0 4)
2
sin3x – 1 = 0
5)
2
cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0
3) 2cos
2
x +
2
cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0

5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
7) 2sin
2
x – cosx +
7
2
= 0 8) 2sin
2
x – 7sinx + 3 = 0
9) 2sin
2
x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3 4) cos2x + sin
2

x + 2cosx + 1 = 0
5) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – (3 +
2
) = 0
6) tan
2
x + (
3
- 1)tanx –
3
= 0 7)
3
3cot 3
2
sin
x
x


8)
22
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
  


9)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin2 1
x x x x x
x
  


.
Dạng 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx -
3
cosx = 1
3)
3
sin3x + cos3x = 1 4) sin4x +
3
cos4x =
2

5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
3cos3 sin3 2xx
2)
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x  

3)
cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5x x x x x  
4)
cos7 3sin7 2xx  

5)
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x  

Dạng 3. Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4
3
sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +
5
2
.
4)
5
2
3sin (3 ) 2sin( )cos( )
22
x x x


   
3
2
5sin ( ) 0
2

x

  
.
5) a)
1
3sin cos
cos
xx
x

; b)
1
4sin 6cos
cos
xx
x

.
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10)
22
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5
.


3
Dạng 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1)
(2 2)
(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2
2
+ 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
2
(sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
.
3)
1 1 10
cos sin
cos sin 3
xx
xx
   
.
4) sin
3
x + cos
3
x =

2
2
.
5) sinx – cosx + 7sin2x = 1.
6)
(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x    
.
7)
sin2 2sin( ) 1
4
xx

  
.
8)
sin cos 4sin2 1x x x  
.
9) 1 + tgx = 2
2
sinx.
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.


4
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin3x =
1
2

11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
2) cos2x = -
2
2
12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
3) tan(x + 60
o
) = -
3
13) sin3x = cos4x
4) cot
5
7
x





=
1
3
14) tan3x.tanx = 1
5) sin2x = sin
3
4
x






15) sin(2x + 50
o
) = cos(x + 120
o
)
6) tan
2
3
x





= tan
3
6
x





16)
3
- 2sin2x = 0
7) cos(3x + 20
o

) = sin(40
o
- x) 17) 2cos
34
x





-
3
= 0
8) tan
4
x





= - cot
2
3
x






18) 3tan
2
20
3
o
x




+
3
= 0
9) sin(2x - 10
o
) =
1
2
với -120
o
< x < 90
o
19) 2sinx -
2
sin2x = 0
10) cos(2x + 1) =
2
2
với -  < x <  20) 8cos
3

x - 1 = 0
Bài 2. Giải các phương trình:
1) sin
2
x =
1
2
11) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x
2) cos
2
3x = 1 12) sin
 
2cos 2
4
xx





tan2x = 0
3) sin
4
x + cos

4
x =
1
2
13) (2sinx + 1)
2
- (2sinx + 1)(sinx -
3
2
) =
0
4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x +
cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx
8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x =
1
2

Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin

2
x + 4cosx - 1 = 0


5
3) tan
2
6
x





+ 2cot
2
6
x





- 3 = 0 4)
2
2
+ (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0
sin 2x

5) cot

2
x - 4cotx + 3 = 0 6) cos
2
2x + sin2x + 1 = 0
7) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0 8) 4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx +
3
= 0
9) tan
4
x + 4tan
2
x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0
11)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5

Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2

3) 2sin
4
x





+ sin
4
x





=
32
2

4)
2
3cos + 4sinx + = 3
3cos + 4sinx - 6
x
x

5) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0
6) cos7x - sin5x =
3
(cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 6. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 5 = 0
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x +
2
sin(x - 45
o
) = 1
9) 2sin2x +
3
sinx + cosx + 8 = 0
10) (sinx - cosx)
2
+ (
2

+ 1)(sinx - cosx) +
2
= 0
Bài 7. Giải các phương trình
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3
sin2x = 1
4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
- 9)cos
2
x = 0
5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos

2
x = 4
6) 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = 1
7) 2sin
2
x - 3sinxcosx + cos
2
x = 0 8) cos
2
2x - 7sin4x + 3sin
2
2x = 3

Bài 8. Giải các phương trình
1) 4cos
2
x - 2(
3
+ 1)cosx +
3
= 0 2) tan
2

x + (1 -
3
)tanx - 3 = 0
3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin
2
2x - 2cos
2
x +
3
4
= 0


6
5) 2cos6x + tan3x = 1 6)
2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
Bài 9. Giải các phương trình
1) sin
2
x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos
2
x + 1

5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
6) sin(4x +
π
4
)sin6x = sin(10x +
π
4
)
7) (1 + tan
2
)(1 + sin2x) = 1
8) tan(
2π
3
- x) + tan(
π
3
- x) + tan2x = 0
Bài 10. Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x =
3
sin
2
x
2) sin
4
x - cos
4
x = cosx
3)

11 π 1 - cotx
+ cos(x - ) =
1 + cosx 4 2(1 + cotx)
2

4) 1 - (2 +
2
)sinx =
2
22
1 + cot x


5) tan
2
x =
1 - cosx
1 - sinx

6) 2(sin
3
x + cos
3
x) + sin2x(sinx + cosx) =
2

7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2

x
Bài 10. Giải các phương trình
1) sinx + cosx -
sin2x
3
- 1 = 0
2) (1 +
2
)(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 +
2
) = 0
3) tanx + tan2x = tan3x
4)
1 cosx sinx
=
x
1 - cosx
cos
2




7
D. MỘT SỐ BÀI THI ĐẠI HỌC VÊ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình
1) (1 + tanx)cos
3
x + (1 + cotx)sin
3

x =
2sin2x

2) tan
2
x - tanxtan3x = 2
3)
2
5 - 3sin x - 4cosx
= 1 - 2cosx
4) cos3xtan5x = sin7x
5) tanx + cotx = 4
6)
sin 2
1 + sinx
x
+ 2cosx = 0
7) 2tanx + cotx =
2
3 +
sin2x

8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 2sin3x(1 - 4sin
2
x) = 1
10)
22
cot x - tan x
= 16(1 + cos4x)

cos2x

11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16

12) cos10x + cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x
13) sin
2
xcosx =
1
4
+ cos
3
xsinx
14) sin
6
x + cos
6
x = cos4x
15) sin
4
x + cos
4
x =
7

8
cot(x +
π
3
)cot(
π
6
- x)
16)
sinxcot5x
= 1
cos9x

17) sin
3
xcos3x + cos
3
xsin3x = sin
3
4x
18) 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx

19) cos
3
xcos3x + sin

3
xsin3x =
2
4

20)
44
sin + cos x 1
=
sin2 2
x
x
(tanx + cotx)
21) 1 + tanx = 2
2
sinx
22) cosx - sinx =
2
cos3x
23)
2
3sin2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx

24) sin
3
x + cos
3
x + sin
3
xcotx + cos

3
xtanx =
2sin2x

25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 2sin(3x +
4

) =
2
1 + 8sin2xcos 2x



8
Bài 2. Giải các phương trình
1) sin
4
x
3



+ cos
4
x
3




=
5
8

2) 4sin
3
x + 3cos
3
x - 3sinx - sin
2
xcosx = 0
3) cos
3
x - sin
3
x - 3cosxsin
2
x + sinx = 0
4)
22
22
(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx
- tan xsinx = + tan x
4(1 - sinx) 2


5) sin
2
x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
6) cos

6
x + sin
6
x =
7
16

Bài 3. Giải các phương trình
1)
cos2 + 3cot2x + sin4x
= 2
cot 2 - cos2x
x
x
2)
22
4sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x
= 0
cosx

3)
2
cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1
= 1
1 + sin2x
4) sin4x = tanx
5) cos2x + sin
2
x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0
7) cos

2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
8) 2 + cos2x + 5sinx = 0
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx
Bài 4. Giải phương trình lượng giác
1) cosx +
3
sinx = 3 -
3
cosx + 3sinx + 1
2) 3sin3x -
3
cos9x = 1 +
4sin
3
3x
3) cos7xcos5x -
3

sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1)
5) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
3
sin4x = 2 6) 4sin
3
x - 1 = 3sinx -
3
cos3x
7)
3
sin2x + cos2x =
2
8) 2
2
(sinx + cosx)cosx = 3 +
cos2x
9) cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin
2
x
Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
1) sin3x -
2

3
sin
2
x = 2sinxcos2x
2) sin
2
2x + cos
2
8x =
1
2
cos10x
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos
2
x
4) cosxcos
x
2
cos
3x
2
- sinxsin
x
2
sin
3x
2
=
1
2

5) tanx + tan2x - tan3x = 0
6) cos
3
x + sin
3
x = sinx - cosx
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos
2
x
9) 2cos
3
x + cos2x + sinx = 0
10) sin3x - sinx = sin2x


9
11)
cos
1 sin
1 sin
x
x
x



12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0
13) cos

4
x
2
- sin
4
x
2
= sin2x
14) 3 - 4cos
2
x = sinx(2sinx + 1)
15) 2sin
3
x + cos2x = sinx
16) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2

17) cos
3
x + sin
3
x = sinx - cosx
18) sin

3
x + cos
3
x = 2(sin
5
x + cos
5
x)
19) sin
2
x = cos
2
2x + cos
2
3x
20) sin
2
3x - sin
2
2x - sin
2
x = 0
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0
22) 2sin
3
x - sinx = 2cos
3
x - cosx + cos2x
23) 2sin
3

x - cos2x + cosx = 0
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
25) 2cos2x =
6
(cosx - sinx)
26) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 6. Giải các phương trình
1)
sin3x - sinx
1 - cos2x
= cos2x + sin2x với 0 < x < 2
2) sin(2x +
5π
2
) - 3cos(x -
7π
2
) = 1 + 2sinx với
π
2
< x < 3
3) cos7x -
3
sin7x = -
2

với
2π 6π
< x <
57

Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin
2
x + 3sinxcosx + 5cos
2
x
2) y =
cosx + 2sinx + 3
2cosx - sinx + 4
trong khoảng ( - ; )
3) y = 4sin
2
x +
π
2sin(2x + )
4

4) y = sinx - cos
2
x +
1
2

Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ mới).
1) A_02. Giải phương trình: 5

cos3x + sin3x
sin +
1 2sin2x
x




= cos2x + 3
2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 =
cos2x
1 + tanx
+ sin
2
x -
1
2
sin2x
4) D_03. Giải phương trình: sin
2
(
x
2
-
π
4
)tan
2

x - cos
2
x
2
= 0
5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx


10
6) A_05. Giải phương trình: cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0
7) D_05. Giải phương trình: cos
4
x + sin
4
x + cos(x -
π
4
)sin(3x -
π
4
) -
3
2
= 0
8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phương trình:
4sin

2
x
2
-
3
cos2x = 1 + 2cos
2
(x -
3π
4
)
9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 2
2
cos
3
( x -
π
4
) - 3cosx - sinx = 0
10) D_05_dự bị 1. Giải pt: tan(
3π
2
- x) +
sin
1 cos
x
x
= 2
11) D_05_dự bị 2. Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0
12) A_06_dự bị 1. Giải pt: cos3xcos

3
x - sin3xsin
3
x =
2 + 3 2
8

13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 4sin
3
x + 4sin
2
x + 3sin2x + 6cosx = 0
14) B_06_dự bị 1. Giải pt: (2sin
2
x - 1)tan
2
2x + 3(2cos
2
x - 1) = 0
15) B_06_dự bị 2. Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1. Giải pt: cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2
x = 1
17) D_06. Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0
18) A_07. Giải phương trình: (1 + sin
2

x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07. Giải phương trình: 2sin
2
2x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07. Giải phương trình: (sin
2

x
2
+ cos
2
x
2
)
2
+
3
cosx = 2
22) CĐ_07. Giải phương trình: 2sin
2
(
π
4
- 2x) +
3
cos4x = 4cos
2
x - 1

23) A_08. Giải phương trình:
1 1 7π
+ = 4sin - x
3π
sinx 4
sin x -
2







24) B_08. Giải phương trình: sin
3
x -
3
cos
3
x = sinxcos
2
x -
3
sin
2
xcosx
25) D_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) CĐ_08. Giải pt: sin3x -
3

cos3x = 2sin2x