Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (620.04 KB, 40 trang )
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
.
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam giác cân tại giao
điểm của
dd
12
,
.
·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d
2
là:
xyxy
xy ()
xy ()
1
2222
2
7175
3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é
+-=
=Û
ê
=
ë
+-+
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.
KL:
xy
330
+-=
và
xy
310
-+=
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:250
-+=
.
dxy
2
:36–70
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.
·
d
1
VTCP a
1
(2;1)
=-
r
; d
2
VTCP a
2
(3;6)
=
r
Ta có: aa
12
.2.31.60
=-=
uuruur
nên
dd
12
^ và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=
d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0
AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos453830
3
2(1)
-
é
=
Û=Û =Û
ê
=-
ë
++-
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
dxy
:350
+-=
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
dxy
:350
=
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
dxy
:350
+-=
;
dxy
:350
=
.
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:310
++=
và điểm
I
(1;2)
-
. Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt
dd
12
,
lần lượt tại A và B sao cho
AB
22
= .
·
Giả sử
AaadBbbd
12
(;35);(;31)
Î Î
; IAaaIBbb
(1;33);(1;31)
= = +
uuruur
I, A, B thẳng hàng
bka
IBkIA
bka
1(1)
31(33)
ì
-=-
Þ=Û
í
-+=
î
uuruur
·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=
Þ
AB = 4 (không thoả).
·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1
31(33)32
1
-
-+= Û=-
-
ABbaabtt
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với
tab
=-
).
tttt
2
2
512402;
5
Û++=Û=-=-
+ Với
tabba
220,2
=-Þ-=-Þ==-
xy
:10
ÞD++=
+ Với tabba
2242
,
5555
=Þ-=Þ==
xy
:790
ÞD =
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng dxy dxy
12
:10,:–220
++=+=
lần lượt tại A, B sao cho
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2
MB = 3MA.
ã
Ad
AaaMAaa
BdBbb
MBbb
1
2
()
(;1)(1;1)
()(22;)
(23;)
ỡ
ỡ
ẻ
ù
ỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
ị
A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử
ù
ỗữ
ị =
ớ
ốứ
ù
ợ
hoc
(
)
A
dxy
B
0;1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợ
Cõu 5. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1
) v (d
2
) tng
ng ti A v B sao cho MAMB
20
+=
uuuruuurr
.
ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1)
T iu kin MAMB
20
+=
uuuruuurr
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0
Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho (OA+3OB) nh nht.
ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụsi
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OAOBabab
332312
+=+=
ab
a
OAOB
b
ab
min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ
Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy
1360
62
+=+-=
Cõu 7. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng qua
(
)
M
2;1
v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng
4
.
ã
Gi
(
)
(
)
AaBb
;0,0;
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ
baab
ab
2
8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.
ã
Khi
ab
8
=
thỡ
ba
28
+=
. Nờn: badxy
1
2;4:240
==ị+-=
.
ã
Khi
ab
8
=-
thỡ
ba
28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==- .
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
2
222:1221240
=-+ị-++-=
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
3
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OAOB
+
nh nht.
ã
xy
260
+-=
Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).
ã
xyxy
360;20
+-= =
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3
Cõu 10. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy
230
+=
. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .
ã
PT ng thng (
D
) cú dng: a(x 2) + b(y +1) = 0
ax + by 2a + b = 0
Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5()
a
-
==
+
7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.
ị
(
D
1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0
Cõu 11. Trong mt phng vi h to
Oxy
, cho ng thng
dxy
:220
=
v im
I
(1;1)
. Lp
phng trỡnh ng thng D cỏch im
I
mt khong bng
10
v to vi ng thng
d
mt gúc bng
0
45
.
ã
Gi s phng trỡnh ng thng
D
cú dng:
axbyc
0
++=
ab
22
(0)
+ạ
.
Vỡ
ã
d
0
(,)45
D
= nờn
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=
+
ab
ba
3
3
ộ
=
ờ
=-
ở
ã
Vi
ab
3
=
ị
D
:
xyc
30
++=
. Mt khỏc dI
(;)10
D
=
c4
10
10
+
=
c
c
6
14
ộ
=
ờ
=-
ở
ã
Vi
ba
3
=-
ị
D
:
xyc
30
-+=
. Mt khỏc dI
(;)10
D
=
c2
10
10
-+
=
c
c
8
12
ộ
=-
ờ
=
ở
Vy cỏc ng thng cn tỡm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=
xy
3120
-+=
.
Cõu 12. Trong mt phng vi h ta
Oxy
, cho im
M
(0; 2) v hai ng thng
d
1
,
d
2
cú
phng trỡnh ln lt l
xy
320
++=
v
xy
340
-+=
. Gi
A
l giao im ca
d
1
v
d
2
. Vit
phng trỡnh ng thng i qua M, ct 2 ng thng
d
1
v
d
2
ln lt ti
B
,
C
(
B
v
C
khỏc
A
) sao cho
ABAC
22
11
+ t giỏ tr nh nht.
ã
AddA
12
(1;1)
=ầị- . Ta cú
dd
12
^ . Gi
D
l ng thng cn tỡm. H l hỡnh chiu vuụng
gúc ca A trờn
D
. ta cú:
ABACAHAM
2222
1111
+= (khụng i)
ị
ABAC
22
11
+ t giỏ tr nh nht bng
AM
2
1
khi H
M, hay
D
l ng thng i qua M v
vuụng gúc vi AM.
ị
Phng trỡnh
D
:
xy
20
+-=
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
M
(1;2)
-
, dxy
1
:350
++=
, dxy
2
:350
-+=
. S:
xy
:10
D
++=
.
Cõu 13. Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho ng thng
dxy
():340
=
v ng trũn
Cxyy
22
():40
+=
. Tỡm M thuc (d) v N thuc (C) sao cho chỳng i xng qua im A(3;
1).
ã
M
ẻ
(d)
ị
M(3b+4; b)
ị
N(2 3b; 2 b)
N
ẻ
(C)
ị
(2 3b)
2
+ (2 b)
2
4(2 b) = 0
ị
b b
6
0;
5
==
Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38684
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 4
Cõu 14. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D:
xy
2340
++=
. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45
.
ã
D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ
=-
ớ
=-+
ợ
v VTCP
u
(3;2)
=-
r
. Gi s
Btt
(13;22)
D
+ẻ
.
AB
0
(,)45
D
=
ị
ABu
1
cos(;)
2
=
uuurr
ABu
ABu
.1
.
2
=
uuur
r
r
t
tt
t
2
15
13
169156450
3
13
ộ
=
ờ
=
ờ
ờ
=-
ờ
ở
.
Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
3242232
;,;
13131313
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Cõu 15. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
:360
=
v im
N
(3;4)
.
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
bng
15
2
.
ã
Ta cú ON
(3;4)
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
(36;)
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
SdMONONdMON
ON
2
1
(,).(,)3
2
D
D
===
mm
mmm
4.(36)3
13
3924151;
53
+-
-
=+==-=
+ Vi
mM
1(3;1)
=-ị-
+ Vi
mM
1313
7;
33
ổử
=ị-
ỗữ
ốứ
Cõu 16. Trong mt phng to
Oxy
,
cho im
A
(0;2)
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm trờn
ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .
ã
Gi s
BbbCccd
(22;),(22;)
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d
d
ABu
.0
=
uuur
r
B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
ị
AB
25
5
=
ị
BC
5
5
=
BCcc
2
1
125300180
5
=-+=
5
5
cC
cC
1(0;1)
747
;
555
ộ
=ị
ờ
ổử
ờ
=ị
ỗữ
ốứ
ở
Cõu 17. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)20
++=
; dmxmym
2
:(2)(1)350
++=
. Chng minh
d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PAPB
+
ln nht.
ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2)(1)35
ỡ
-+-=-
ớ
-+-=-+
ợ
. Ta cú
mm
Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử
==-+>"
ỗữ
ốứ
ị
dd
12
,
luụn ct nhau. Ta cú:
AdBddd
1212
(0;1),(2;1),ẻ-ẻ^
ị
D
APB vuụng ti P
ị
P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB
2222
()2()216
+Ê+==
ị
PAPB
4
+Ê
. Du "=" xy ra
PA = PB
P l trung im ca cung
ằ
AB
P(2; 1) hoc P(0; 1)
m
1
=
hoc
m
2
=
. Vy
PAPB
+
ln nht
m
1
=
hoc
m
2
=
.
Cõu 18.
ã
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5
TP 02: NG TRềN
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20500
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).
ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=
Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.
ã
Tỡm c C
(1;1)
1
-
, C
2
(2;10)
.
+ Vi C
1
(1;1)
-
ị
(C):
22
xyxy
111116
0
333
+-++=
+ Vi C
2
(2;10)
ị
(C):
22
xyxy
9191416
0
333
+-++=
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:230
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v tip
xỳc vi d
2
v d
3
.
ã
Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-
ẻ
d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)
(,
=
tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+
t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=
Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1) =-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1
:6100
=
, dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4350
=
.
S: xy
22
(10)49
-+=
hoc xy
222
10707
434343
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.
Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
:
xy
380
++=
,
xy
':34100
D
-+=
v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.
ã
Gi s tõm
Itt
(38;)
ẻ
D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=
tt
tt
22
22
3(38)410
(382)(1)
34
+
= ++-
+
t
3
=-
ị
IR
(1;3),5
-=
PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25
-++=
.
Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2;1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .
ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222
222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở
a)
ị
a
a
1
5
ộ
=
ờ
=
ở
b)
ị
vụ nghim.
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6
Kt lun: xy
22
(1)(1)1
-++=
v xy
22
(5)(5)25
-++=
Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
():240
=
. Lp phng trỡnh
ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).
ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3
=-==
.
ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.
ã
m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
(4)(4)16
-+-=
.
Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
xy
3480
+=
. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).
ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB
(4;2)
=
uuur
ị
d: 2x + y 4 = 0
ị
Tõm I(a;4 2a)
Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
118551010
-=-+
2a
2
37a + 93 = 0
a
a
3
31
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
ã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25
ã
Vi a =
31
2
ị
I
31
;27
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
, R =
65
2
ị
(C): xy
2
2
314225
(27)
24
ổử
-++=
ỗữ
ốứ
Cõu 8. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D
+-=
. Lp phng
trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.
ã
Tõm I
ẻ
d
ị
Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:
dIR
(,)
D
=
a 2
210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=
ờ
=-
ở
ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22
8
(7)(2)
5
-++=
.
Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy ct
(C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti A.
ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
,
IIA
'
ẻ
ị
Itt
(23;22)
Â
+
.
AIIAtI
1
2'(3;3)
2
Â
==ị
uuruur
ị
(C
Â
): xy
22
(3)(3)4
-+-=
Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
ã
(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M
ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ
ị
(C
Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7
Cõu 11. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420
+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho AB
3
= .
ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB
3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IHRAH
22
3
2
ỡ
ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ
xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ
=
ù
ớ
-++=
ù
ợ
xy
xy
129
;
510
1111
;
510
ộ
=-=-
ờ
ờ
ờ
==-
ờ
ở
ị
H
129
;
510
ổử
ỗữ
ốứ
hoc H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
ã
Vi H
129
;
510
ổử
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=
ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)43
-+-=
.
ã
Vi H
1111
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=
ị
PT (C
Â
): xy
22
(5)(1)13
-+-=
.
Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1
;0,(2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.
ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ
ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DBAB
ddd
DCACd
2
2
2
2
9
1
3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-
Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43
+-
=+-=
-
Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:
(
)
bb
bbb
22
3146
35
34
-+-
=-=
+
ị
bbb
bbb
4
35
3
1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ờ
ở
Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=
l hp lý. Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l:
xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 13. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1
):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2
) v trc Oy.
ã
Gi
AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ=ầ=ầ
ị
ABC
(3;0),(0;4),(0;4)
-
ị
D
ABC cõn nh A v
AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC
ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ
.
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:
xy
10
=
và hai đường tròn có
phương trình: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2
): xy
22
(5)(4)32
++-=
. Viết phương trình đường
tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C
1
) và (C
2
).
·
Gọi I, I
1
, I
2
, R, R
1
, R
2
lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C
1
), (C
2
).
Giả sử I(a; a – 1)
Î
d. (C) tiếp xúc ngoài với (C
1
), (C
2
) nên II
1
= R + R
1
, II
2
= R + R
2
Þ
II
1
–
R
1
= II
2
– R
2
Û
aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++-
Û
a = 0
Þ
I(0; –1), R =
2
Þ
Phương trình (C): xy
22
(1)2
++=
.
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9),
M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
DABC.
·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20
++=
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
(
)
C
, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng
30
o
.
·
CxyIR
22
():(1)1(1;0);1
++=Þ-=
. Hệ số góc của tiếp tuyến (
D
) cần tìm là
3
± .
Þ
PT (
D
) có dạng xyb
1
:30
D
-+=
hoặc xyb
2
:30
D
++=
·
xyb
1
:30
D
-+=
tiếp xúc (C)
dIR
1
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
1
():3230
D
-±+=
·
xyb
2
():30
D
++=
tiếp xúc (C)
dIR
2
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+ .
Kết luận: xy
2
():3230
D
+±+=
.
Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6250
+ +=
và đường
thẳng (d):
xy
330
+-=
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến
không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.
·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5
. Giả sử (
D
):
axbycc
0(0)
++=¹
.
Từ:
dI
d
(,)5
2
cos(,)
2
D
D
ì
=
ï
í
=
ï
î
Þ
abc
abc
2,1,10
1,2,10
é
==-=-
ê
===-
ë
Þ
xy
xy
:2100
:2100
D
D
é
=
ê
+-=
ë
.
Câu 18. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn Cxy
22
():(1)(1)10
-+-=
và đường thẳng
dxy
:220
=
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C
()
, biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
d
một góc
0
45
.
·
(C) có tâm
I
(1;1)
bán kính R
10
= . Gọi
nab
(;)
=
r
là VTPT của tiếp tuyến
D
ab
22
(0)
+¹
,
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=
+
ab
ba
3
3
é
=
Û
ê
=-
ë
·
Với
ab
3
=
Þ
D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác
dIR
(;)
D
=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é
=
Û
ê
=-
ë
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9
ã
Vi
ba
3
=-
ị
D
:
xyc
30
-+=
. Mt khỏc
dIR
(;)
D
=
c2
10
10
-+
=
c
c
8
12
ộ
=-
ờ
=
ở
Vy cú bn tip tuyn cn tỡm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=
xy
3120
-+=
.
Cõu 19. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn
(C
1
): xyxy
22
2220
+=
, (C
2
): xyxy
22
82160
++=
.
ã
(C
1
) cú tõm I
1
(1;1)
, bỏn kớnh R
1
= 2; (C
2
) cú tõm I
2
(4;1)
, bỏn kớnh R
2
= 1.
Ta cú:
IIRR
1212
3
==+
ị
(C
1
) v (C
2
) tip xỳc ngoi nhau ti A(3; 1)
ị
(C
1
) v (C
2
) cú 3 tip tuyn, trong ú cú 1 tip tuyn chung trong ti A l x = 3 // Oy.
* Xột 2 tip tuyn chung ngoi:
yaxbaxyb
():():0
DD
=+-+=
ta cú:
ab
aa
dIR
ab
hay
dIR
ab
bb
ab
22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
472472
1
44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ
=
ù
ùù
+
ớớớớ
=
+-
-+
ợ
ùùù
==
=
ùùù
ợợ
+
ợ
Vy, cú 3 tip tuyn chung:
xyxyx
123
24722472
():3,():,()
4444
DDD
+-
==-+=+
Cõu 20. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): xy
22
(2)(3)2
-+-=
v (C):
xy
22
(1)(2)8
-+-=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C) v (C).
ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R
2
= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R
'22
= .
Ta cú:
IIRR
'2
Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) tip xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II
(1;1)
Â
=
uur
ị
PTTT:
xy
70
+-=
Cõu 21. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
1
+=
v phng trỡnh:
xymxmy
22
2(1)450
+++=
(1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m
) tip xỳc vi (C).
ã
(C
m
) cú tõm
Imm
(1;2)
+-
, bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45
=+++
,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI
mm
22
(1)4=++ , ta cú OI < R
Â
Vy (C) v (C
m
) ch tip xỳc trong.
ị
R
Â
R = OI ( vỡ R > R)
ị
mm
3
1;
5
=-=
.
Cõu 22. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
650
++=
. Tỡm im M
thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng
6
0
0
.
ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60(1)
120(2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB
nờn:
(1)
ã
AMI
= 30
0
IA
MI
0
sin30
= MI = 2R mm
2
947
+==
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10
(2)
ã
AMI
= 60
0
IA
MI
0
sin60
= MI =
23
3
R
m
2
43
9
3
+=
Vụ nghim Vy cú hai
im M
1
(0;
7
) v M
2
(0;
7
- )
Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+ =+-=
. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi (C)
hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.
ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R
5
= .
Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0
thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra
IMR=25
2= .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy
22
(2)(1)20
-+-=
.
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng
D
, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
xy
xy
22
(2)(1)20(1)
2120(2)
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ
Kh x gia (1) v (2) ta c:
( ) ( )
y
yyyy
y
22
2
3
210120542810
27
5
ộ
=
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở
Vy cú hai im tha món bi l:
(
)
M
6;3
hoc
M
627
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh
xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng thng
dxym
:0
++=
. Tỡm m trờn ng thng d cú duy
nht mt im A m t ú k c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip
im) sao cho tam giỏc ABC vuụng.
ã
(C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA
32
ị=
m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-
ộ
=-
=-=
ờ
=
ở
Cõu 25. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650
+ +=
v
Cxy
22
():9
Â
+=
. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ), gi
A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng
4,8
.
ã
(C) cú tõm
(
)
O
0;0
, bỏn kớnh
ROA
3
==
. Gi
HABOM
=ầ
ị
H l trung im ca AB
ị
AH
12
5
= . Suy ra: OHOAAH
22
9
5
=-=
v
OA
OM
OH
2
5
==
.
Gi s
Mxy
(;)
. Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25
ỡ
ù
ỡ
ẻ+ +=
ớớ
=
+=
ợ
ù
ợ
xx
yy
45
30
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợ
Vy
M
(4;3)
hoc
M
(5;0)
.
Cõu 26. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
4460
++++=
v ng
thng D:
xmym
230
++=
vi m l tham s thc. Gi I l tõm ca ng trũn (C). Tỡm m
D ct (C) ti 2 im phõn bit A v B sao cho din tớch DIAB ln nht.
ã
(C) cú tõm l I (2; 2); R =
2
. Gi s
D
ct (C) ti hai im phõn bit A, B.
K ng cao IH ca
D
IAB, ta cú: S
D
ABC
=
ã
IAB
SIAIBAIB
1
sin
2
= =
ã
AIB
sin
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11
Do đó
IAB
S
lớn nhất
Û
sin
·
AIB
= 1
Û
D
AIB vuông tại I
Û
IH =
IA
1
2
=
(thỏa IH < R)
Û
m
m
2
14
1
1
-
=
+
Û
15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15
Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440
+-+-=
, xmy
:2120
D
++-=
. ĐS:
m
4
=-
.
b) Với Cxyxy
22
():2450
+ =
,
xmy
:20
D
+-=
. ĐS:
m
2
=-
Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 25 và điểm
M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao
cho MA = 3MB.
·
MC
P
/()
270
=>Þ
M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
MC
PMAMBMBMBBH
2
/()
.333
==Þ=Þ=
uuuruuur
IHRBHdMd
22
4[,()]
Þ=-==
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).
a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é
=
ê
=Û=Û
=-
ê
+
ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình xy
22
(2)(1)25
-++=
theo một dây cung có độ dài
bằng
l
8
=
.
·
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0
Û
ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài
l
8
=
nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.
( )
abab
dIdabab
ab
22
22
22
,333
==Û-=+
+
a
aab
ab
2
0
860
3
4
é
=
ê
Û+=Û
=-
ê
ë
·
a = 0: chọn b = 1
Þ
d: y – 2 = 0
·
a =
b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) Với d đi qua O, Cxyxy
22
():26150
+-+-=
,
l
8
=
. ĐS:
dxy
:340
-=
hay
dy
:0
=
.
b) Với d đi qua
Q
(5;2)
, Cxyxy
22
():4850
+ =
, l
52
= .
ĐS:
dxy
:30
=
hoặc
dxy
:177710
=
.
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : xyxy
22
2880
++ =
. Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng
dxy
:320
+-=
và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài bằng 6.
·
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng:
xyc c
30,2
++=¹
.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
()
c
c
dI
c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++
é
=-
Þ==Û
ê
=
ë
+
.
Vậy phương trình
D
cần tìm là:
xy
341010
++-=
hoặc
xy
341010
+ =
.
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():(4)(3)25
++-=
và
đường thẳng
xy
:34100
D
-+=
. Lập phương trình đường thẳng d biết
d
()
D
^
và d cắt (C) tại
A, B sao cho AB = 6.
·
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do
d
D
^
nên
PT của d có dạng:
xym
430
++=
.
Ta có: dI
1
(,())
D
= IH = AIAH
2222
534
-=-=
Û
m
m
m
22
27
169
4
13
43
é
=
-++
=Û
ê
=-
ë
+
Vậy PT các đường thẳng cần tìm là:
xy
43270
++=
và
xy
43130
+-=
.
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230
+ =
và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.
·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R =
5
. IM =
25
<
Þ
M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IAIHIHIM
2222
2252523
-=-³-=.
Dấu "=" xảy ra
Û
H
º
M hay d
^
IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI
(1;1)
=-
uuur
Þ
Phương trình d:
xy
20
-+=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): xyxy
22
84160
+ =
, M(–1; 0). ĐS:
dxy
:5250
++=
Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.
·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û
D
OAB vuông cân tại O. Khi đó
dOd
52
(,)
2
=
.
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
(2)(6)0(0)
-+-=+¹
dOd
52
(,)
2
=
Û
AB
AB
22
2652
2
=
+
Û
BABA
22
4748170
+-=
Û
BA
BA
24555
47
24555
47
é
=
ê
ê
-+ê
=
ê
ë
+ Với
BA
24555
47
=
: chọn A = 47
Þ
B =
24555
Þ
d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
+-=
+ Với
BA
24555
47
-+
=
: chọn A = 47
Þ
B =
24555
-+
Þ
d:
(
)
xy
47(2)24555(6)0
-+-+-=
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6260
+-+-=
và điểm
A
(3;3)
. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).
·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
(3)(3)0,0
-+-=+¹
Û
axbyab
330
+ =
.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B
Þ
AB = 4
2
. Gọi I là tâm hình vuông.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 13
Ta có:
dIdADAB
11
(,)22()
22
===
abab
ab
22
333
22
Û=
+
bababab
2222
422
Û=+Û=Û=±
. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là:
xy
60
+-=
hoặc
xy
0
-=
.
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13
+=
và (C
2
):
xy
22
(6)25
-+=
. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
·
(C
1
) có tâm O(0; 0), bán kính R
1
=
13
. (C
2
) có tâm I
2
(6; 0), bán kính R
2
= 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22
(2)(3)0(0)
-+-=+¹
. Gọi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
Từ giả thiết
Þ
RdRd
2222
1122
-=-
Û
dd
22
21
12
-=
Û
aabab
abab
22
2222
(623)(23)
12
-=
++
Û
bab
2
30
+=
Û
b
ba
0
3
é
=
ê
=-
ë
.
·
Với b = 0: Chọn a = 1
Þ
Phương trình d:
x
20
-=
.
·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d:
xy
370
-+=
.
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D:
mxy
4 0
+=
, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240
+ +-=
có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
·
(C) có tâm
Im
(1;)
, bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
mmm
IHdI
mm
22
45
(,)
1616
+
=D==
++
;
m
AHIAIH
m
m
2
22
2
2
(5)20
25
16
16
=-=-=
+
+
IAB
S
12
D
=
Û
m
dIAHmm
m
2
3
(,).12325480
16
3
é
=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ë
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1
+=
, đường thẳng
dxym
():0
++=
. Tìm m để
C
()
cắt
d
()
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
·
(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B
dOd
(;)1
Û<
Khi đó:
· ·
OAB
SOAOBAOBAOB
111
sin.sin
222
==£
. Dấu "=" xảy ra
Û
·
AOB
0
90
= .
Vậy
AOB
S lón nhất
Û
·
AOB
0
90
= . Khi đó dId
1
(;)
2
=
m
1
Û=±
.
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
d
()
: xmy
2120
++-=
và đường
tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440
+-+-=
. Gọi I là tâm đường tròn
C
()
. Tìm m sao
cho
d
()
cắt
C
()
tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác
IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
·
C
()
có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt
C
()
tại 2 điểm phân biệt A, B
dIdR
(,)
Û<
mm
2
221232Û-+-<+
mmmmmmR
222
14418954170
Û-+<+Û++>ÛÎ
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 14
Ta cú:
ã
SIAIBAIBIAIB
IAB
119
.sin.
222
=Ê=
Vy: S
IAB
ln nht l
9
2
khi
ã
AIB
0
90
=
AB = R
232
=
dId
32
(,)
2
=
mm
32
2
122
2
-=+
mm
2
216320
++=
m
4
=-
Cõu hi tng t:
a) Vi
dxmym
:230
++=
, Cxyxy
22
():4460
++++=
. S: mm
8
0
15
==
Cõu 38. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng d:
xy
520
=
v ng trũn (C):
xyxy
22
2480
++ =
. Xỏc nh ta cỏc giao im A, B ca ng trũn (C) v ng
thng d (cho bit im A cú honh dng). Tỡm ta C thuc ng trũn (C) sao cho
tam giỏc ABC vuụng B.
ã
Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh
yx
xyxy
yx
xy
22
0;2
2480
1;3
520
ỡ
ỡ
==
++ =
ớớ
=-=-
=
ợ
ợ
. Vỡ
A
x
0
>
nờn ta c A(2;0), B(3;1).
Vỡ
ã
ABC
0
90
= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).
Cõu 39. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (
C
): xyxy
22
2480
++ =
v
ng thng (
D
):
xy
2310
=
. Chng minh rng (
D
) luụn ct (
C
) ti hai im phõn bit A,
B . Tỡm to im
M
trờn ng trũn (
C
) sao cho din tớch tam giỏc
ABM
ln nht.
ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R =
13
.
dIR
9
(,)
13
D
=<
ị
ng thng (
D
) ct (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM
SABdM
1
.(,)
2
D
D
= . Trong ú
AB khụng i nờn
ABM
S
D
ln nht
dM
(,)
D
ln nht.
Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi (
D
). PT ng thng d l
xy
3210
+-=
.
Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C). To P, Q l nghim ca h
phng trỡnh:
xyxy
xy
22
2480
3210
ỡ
++ =
ớ
+-=
ợ
xy
xy
1,1
3,5
ộ
==-
ờ
=-=
ở
ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy
dM
(,)
D
ln nht
M trựng vi Q.
Vy ta im M(3; 5).
Cõu 40. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2450
+ =
v A(0;
1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.
ã
(C) cú tõm I(1;2) v R=
10
. Gi H l trung im BC. Suy ra
AIIH
2.
=
uuruur
H
37
;
22
ổử
ỗữ
ốứ
ABC
D
u
ị
I l trng tõm. Phng trỡnh (BC):
xy
3120
+-=
Vỡ B, C
ẻ
(C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:
xyxyxyxy
xyxy
2222
24502450
3120123
ỡỡ
+ =+ =
ớớ
+-==-
ợợ
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 15
Gii h PT trờn ta c: BC
7333373333
;;;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.
Cõu 41. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35
-+-=
v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.
ã
(C) cú tõm I(3; 4). Ta cú:
ABAC
IBIC
ỡ
=
ớ
=
ợ
ị
AI l ng trung trc ca BC.
D
ABC vuụng cõn
ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca
ã
BAC
. Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45
.
Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45
. Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA
(2;1)
=
uur
ạ
(1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to
ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi
ua
(1;)
=
r
l VTCP ca d. Ta cú:
( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r
aa
2
2251
+=+
a
a
3
1
3
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở
+ Vi a = 3, thỡ
u
(1;3)
=
r
ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53
ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
91373139137313
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ
+ Vi a =
1
3
-
, thỡ u
1
1;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r
ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7313111373131113
;,;
2222
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
+-++
ỗữỗữ
ốứốứ
v
731311139137313
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 42. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn (C): xy
22
4
+=
v cỏc im A
8
1;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B
(3;0)
. Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
20
3
.
ã
ABABxy
6410
4;:43120
93
=+= =
. Gi M(x;y) v
hdMAB
(,)
=
.
Ta cú:
xy
xy
hABh
xy
4312
120
4380
.44
43320
235
ộ
-+=
===
ờ
=
ở
ã
xy
MM
xy
22
4380
1448
(2;0);;
2575
4
ỡ
ổử
-+=
ị
ỗữ
ớ
+=
ốứ
ợ
ã
xy
xy
22
43320
4
ỡ
=
ớ
+=
ợ
(vụ nghim)
Cõu 43.
ã
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 16
TP 03: CC NG CễNIC
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
2516
+=
. A, B l cỏc im trờn (E)
sao cho: AFBF
12
8
+=
, vi
FF
12
,
l cỏc tiờu im. Tớnh
AFBF
21
+ .
ã
1
AFAFa
2
2
+=v
BFBFa
12
2
+=
ị
12
AFAFBFBFa
12
420
+++==
M
1
AFBF
2
8
+=
ị
2
AFBF
1
12
+=
Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
FF
12
(1;1),(5;1)
- v tõm sai
e
0,6
=
.
ã
Gi s
Mxy
(;)
l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l
c
a
e
3
5
0,6
===
nờn ta cú: MFMFxyxy
2222
12
10(1)(1)(5)(1)10
+=++-+-+-=
xy
22
(2)(1)
1
2516
+=
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1
41
+=
. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.
ã
AB
243243
;,;
7777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
10025
+=
. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao
cho
ã
FMF
0
12
120
= (F
1
, F
2
l hai tiờu im ca (E)).
ã
Ta cú:
ab
10,5
==
ị
c
53
= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+
.
Ta cú:
ã
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2 cos=+-
( )
xxxx
22
2
33331
103101021010
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++ +-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ
x = 0 (y=
5). Vy cú 2 im tho YCBT: M
1
(0; 5), M
2
(0; 5).
Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im FF
12
(3;0);(3;0)
- v i qua im
A
1
3;
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu
thc:
PFMFMOMFMFM
222
1212
3.=+ .
ã
(E):
xy
abab
22
2222
31
11
4
+=ị+=
, ab
22
3
=+
ị
xy
22
1
41
+=
ị
MMMMM
Paexaexxyaex
2222222
()()2()() 1
=+++-=
Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy
22
41664
+=
. Gi F
2
l tiờu im bờn phi
ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F
2
v
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 17
ti ng thng x
8
:
3
D
= cú giỏ tr khụng i.
ã
Ta cú: F
2
(12;0)
. Gi
MxyE
00
(;)()
ẻ
ị
x
MFaex
0
20
83
2
-
=-= ,
x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44
-ÊÊ
)
ị
MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).
Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy
22
51680
+=
v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.
ã
Phng trỡnh ng thng (AB):
xy
230
-+=
v AB
25
=
Gi MxyExy
22
0000
(;)()51680.
ẻị+= Ta cú:
xyxy
dMAB
0000
2323
(;)
145
-+-+
==
+
Din tớch
D
MAB: SABdMABxy
00
1
(;)23
2
==
p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s
xy
00
11
;,(5;4)
2
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:
(
)
xyxy
2
22
0000
11119
.5.4516.8036
25420
5
ổử
ổử
-Ê++==
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
xyxyxy
xyxy
000000
0000
26626362363
3239239
-Ê-Ê-Ê-Ê-+Ê+
-Ê-+Êị-+Ê
xy
xy
xy
xy
xy
00
00
00
00
54
58
11
max239
26
2
5
239
ỡ
=
ù
ỡ
=-
ù
ị-+=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù
-+=
ợ
x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=-
ù
ợ
Vy,
MAB
SkhiM
85
max9;
33
ổử
=-
ỗữ
ốứ
.
Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp
xy
E
22
():1
94
+=
v hai im A(3; 2), B(3;
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.
ã
PT ng thng AB:
xy
230
+=
. Gi C(x; y)
ẻ
(E), vi
xy
0,0
>>
ị
xy
22
1
94
+=
.
ABC
xy
SABdCABxy
18585
.(,)233.
21332
213
==+=+
xy
22
85170
323
139413
ổử
Ê+=
ỗữ
ỗữ
ốứ
Du "=" xy ra
xy
x
xy
y
22
2
1
3
94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù
=
ớớ
ùù
=
=
ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
Cõu 9. Trong mt phng ta
Oxy
, cho elip
xy
E
22
():1
259
+=
v im
M
(1;1)
. Vit phng trỡnh
ng thng i qua
M
v ct elip ti hai im
AB
,
sao cho
M
l trung im ca
AB
.
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 18
·
Nhận xét rằng
MOx
Ï
nên đường thẳng
x
1
=
không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT.
Xét đường thẳng
D
qua M(1; 1) có PT:
ykx
(1)1
=-+
. Toạ độ các giao điểm
AB
,
của
D
và
E
()
là nghiệm của hệ:
xy
ykx
22
1(1)
259
(1)1(2)
ì
ï
+=
í
ï
=-+
î
Þ
kxkkxkk
222
(259)50(1)25(29)0
+ + =
(3)
PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
với mọi
k
. Theo Viet:
kk
xx
k
12
2
50(1)
259
-
+=
+
.
Do đó
M
là trung điểm của
AB
M
kk
xxxk
k
12
2
50(1)9
22
25
259
-
Û+=Û=Û=-
+
.
Vậy PT đường thẳng
D
:
xy
925340
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xy
E
22
():1
94
+=
,
M
(1;1)
ĐS:
xy
:49130
D
+-=
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
xy
22
1
169
-=
.
Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp
hình chữ nhật cơ sở của (H).
·
(H) có các tiêu điểm FF
12
(5;0);(5;0)
- . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),
Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng:
xy
ab
22
22
1
+=
( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm FFab
222
12
(5;0);(5;0)5(1)
-Þ-=
MEabab
2222
(4;3)()916(2)
ÎÛ+=
Từ (1) và (2) ta có hệ:
aba
ababb
2222
22222
540
91615
ìì
ïï
=+=
Û
íí
+==
ïï
îî
. Vậy (E):
xy
22
1
4015
+=
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình
xy
22
1
94
-=
.
Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d).
Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
·
(H) có một tiêu điểm F
(13;0)
. Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a
2
– 4b
2
= c
2
(*)
Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x
13)
- – a y = 0
Toạ độ của M là nghiệm của hệ:
axbyc
bxayb
13
ì
+=-
í
-=
î
Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x
2
+ y
2
= 9
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P):
yx
2
=
và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ
hai điểm M, N Î (P) sao cho
IMIN
4
=
uuuruur
.
·
Gọi
MxyNxy
0011
(;),(;)
là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có:
xyxy
22
0011
;==
IMxyyy
2
0000
(;2)(;2)
=-=-
uuur
; INyyyyINyy
22
111111
(;2)(;2);4(4;48)
=-=-=-
uuruur
Theo giả thiết:
IMIN
4
=
uuuruur
, suy ra:
yy
yy
22
01
01
4
248
ì
ï
=
í
-=-
ï
î
yxyx
yxyx
1100
1100
11;2;4
39;6;36
é
=Þ==-=
Û
ê
=Þ===
ë
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19
Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M(4; –2), N(1; 1) hay M(36; 6), N(9; 3).
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P):
yx
2
8
=
. Giả sử đường thẳng d đi qua
tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là
x x
12
,
.
Chứng minh: AB = xx
12
4
++
.
·
Áp dụng công thức tính bán kính qua tiêu: FA = x
1
+ 2, FB = x
2
+ 2.
AB = FA = FB = x
1
+ x
2
+ 4.
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): xy
22
55
+=
, Parabol
Pxy
2
():10
= . Hãy
viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
xy
():360
D
+-=
, đồng thời tiếp xúc
với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P).
·
Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2
Tâm I
Î
D
nên:
Ibb
(63;)
-
. Ta có:
bbb
bb
bbb
431
632
432
éé
-==
=ÛÛ
êê
-=-=
ëë
Þ
(C): xy
22
(3)(1)1
-+-=
hoặc (C): xy
22
(2)4
+-=
Câu 15.
·
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 20
TP 04: TAM GIC
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho DABC bit: B(2; 1), ng cao qua A cú
phng trỡnh d
1
:
xy
34270
+=
, phõn giỏc trong gúc C cú phng trỡnh d
2
:
xy
250
+=
.
Tỡm to im A.
ã
Phng trỡnh BC:
xy
21
34
-+
=
-
ị
To im
C
(1;3)
-
+ Gi B l im i xng ca B qua d
2
, I l giao im ca BB v d
2
.
ị
phng trỡnh BB:
xy
21
12
-+
=
xy
250
=
+ To im I l nghim ca h:
xyx
I
xyy
2503
(3;1)
2501
ỡỡ
==
ị
ớớ
+-==
ợợ
+ Vỡ I l trung im BB nờn:
BIB
BIB
xxx
B
yyy
'
'
24
(4;3)
23
ỡ
=-=
Â
ị
ớ
=-=
ợ
+ ng AC qua C v B nờn cú phng trỡnh: y 3 =0.
+ To im A l nghim ca h:
yx
A
xyy
305
(5;3)
342703
ỡỡ
-==-
ị-
ớớ
-+==
ợợ
Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú ng cao AH, trung tuyn CM
v phõn giỏc trong BD. Bit HM
17
(4;1),;12
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
v BD cú phng trỡnh
xy
50
+-=
. Tỡm ta
nh A ca tam giỏc ABC.
ã
ng thng
D
qua H v vuụng gúc vi BD cú PT:
xy
50
-+=
.
BDII
(0;5)
Dầ=ị
Gi s
ABH
'
Dầ=
.
D
BHH
'
cõn ti B
ị
I l trung im ca
HHH
''(4;9)
ị
.
Phng trỡnh AB:
xy
5290
+-=
. B = AB
ầ
BD
ị
B
(6;1)
-
ị
A
4
;25
5
ổử
ỗữ
ốứ
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh C(4; 3). Bit phng trỡnh
ng phõn giỏc trong (AD):
xy
250
+-=
, ng trung tuyn (AM):
xy
413100
+-=
. Tỡm
to nh B.
ã
Ta cú A = AD
ầ
AM
ị
A(9; 2). Gi C
Â
l im i xng ca C qua AD
ị
C
Â
ẻ
AB.
Ta tỡm c: C
Â
(2; 1). Suy ra phng trỡnh (AB):
xy
92
2912
-+
=
+
xy
750
++=
.
Vit phng trỡnh ng thng Cx // AB
ị
(Cx):
xy
7250
+-=
Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2;3),
B(3;2). Tỡm to im C, bit im C nm trờn ng thng (d):
xy
340
=
.
ã
PTTS ca d:
xt
yt
43
ỡ
=
ớ
=-+
ợ
. Gi s C(t; 4 + 3t)
ẻ
d.
( )
SABACAABACABAC
2
22
11
sin
22
==-
uuuruuur
=
3
2
tt
2
4413
++=
t
t
2
1
ộ
=-
ờ
=
ở
ị
C(2; 10) hoc C(1;1).
Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC bit A(2; 3), B(3; 2), cú din tớch bng
3
2
v
trng tõm G thuc ng thng
D
:
xy
380
=
. Tỡm ta nh C.
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21
ã
Ta cú: AB =
2
, trung im M
55
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
. Phng trỡnh AB:
xy
50
=
.
ABC
SABdCABdCAB
133
.(,)(,)
22
2
==ị=.
Gi
Gtt
(;38)
D
-ẻ
ị
dGAB
1
(,)
2
=
ị
tt(38)5
1
22
=
t
t
1
2
ộ
=
ờ
=
ở
ã
Vi
t
1
=
ị
G(1; 5)
ị
C(2; 10)
ã
Vi
t
2
=
ị
G(2; 2)
ị
C(1; 1)
Cõu hi tng t:
a) Vi
AB
(2;1),(1;2)
,
ABC
S
27
2
= ,
Gxy
:20
D
ẻ+-=
. S:
C
(18;12)
-
hoc
C
(9;15)
-
Cõu 6. Trong mt phng vi h to
Oxy
, cho ng thng
dxy
:230
+-=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
(2;1)
. Tỡm to im
C
thuc ng thng
d
sao cho din tớch tam giỏc
ABC
bng 2.
ã
AB
10
= ,
Caa
(23;)
-+
ẻ
d. Phng trỡnh ng thng
ABxy
:350
+-=
.
ABC
S
2
D
=
ABdCAB
1
.(,)2
2
=
a 2
1
10.2
2
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=
ờ
=-
ở
ã
Vi
a
6
=
ta cú
C
(9;6)
-
ã
Vi
a
2
=-
ta cú
C
(7;2)
-
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
dxy
:210
=
, A(1; 0), B(3; -1) ,
ABC
S
6
=
. S:
C
(7;3)
hoc
C
(5;3)
.
Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; 3), B(3; 2), din tớch tam
giỏc bng 1,5 v trng tõm I nm trờn ng thng d:
xy
380
=
. Tỡm to im C.
ã
V CH
^
AB, IK
^
AB. AB =
2
ị
CH =
ABC
S
AB
2
3
2
D
=
ị
IK = CH
11
3
2
= .
Gi s I(a; 3a 8)
ẻ
d. Phng trỡnh AB:
xy
50
=
.
dIABIK
(,)
=
a
321
-=
a
a
2
1
ộ
=
ờ
=
ở
ị
I(2; 2) hoc I(1; 5).
ã
Vi I(2; 2)
ị
C(1; 1)
ã
Vi I(1; 5)
ị
C(2; 10).
Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(3; 5); B(4; 3), ng phõn
giỏc trong v t C l
dxy
:280
+-=
. Lp phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
ã
Gi E l im i xng ca A qua d
ị
E
ẻ
BC. Tỡm c
E
(1;1)
ị
PT ng thng BC:
xy
4310
++=
.
CdBC
=ầ
ị
C
(2;5)
-
.
Phng trỡnh ng trũn (ABC) cú dng: xyaxbycabc
2222
220;0
+ +=+->
Ta cú A, B, C
ẻ
(ABC)
ị
abc
abcabc
abc
41029
1599
61034;;
284
8625
ỡ
-+=-
ỡ
-
ù
+=-===
ớ
ớ
ợ
ù
-++=-
ợ
Vy phng trỡnh ng trũn l: xyxy
22
599
0
44
+ =
.
Cõu 9. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho DABC cú ta nh B(3; 5) , phng trỡnh
ng cao h t nh A v ng trung tuyn h t nh C ln lt l
d
1
: 2x 5y + 3 = 0 v
d
2
: x + y 5 = 0. Tỡm ta cỏc nh A v C ca tam giỏc ABC.
ã
Gi M l trung im AB thỡ M
ẻ
d
2
nờn
Maa
(;5)
-
. nh A
ẻ
d
1
nờn
b
Ab
53
;
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 22
M là trung điểm AB:
ABM
ABM
xxx
yyy
2
2
ì
+=
í
+=
î
aba
abb
4532
251
ìì
-==
ÛÛ
íí
+==
îî
Þ
A(1; 1).
Phương trình BC:
xy
52250
+-=
;
CdBC
2
=Ç
Þ
C(5; 0).
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với
B
(1;2)
-
đường cao
AHxy
:30
-+=
. Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng
dxy
:210
+-=
và diện tích tam giác ABC bằng 1.
·
Phương trình
BCxy
:10
++=
. C = BC
Ç
d
Þ
C
(2;3)
-
.
Gọi
(
)
AxyAAHxy
0000
;,30
ÎÞ-+=
(1);
( )
xy
BCAHdABC
00
1
2,,
2
++
===
ABC
xy
xy
SAHBC
xy
00
00
00
1
12(2)
11
.1 21
12(3)
22
2
D
++
é
++=
==Û=Û
ê
++=-
ë
Từ (1) và (2)
x
A
y
0
0
1
(1;2)
2
ì
=-
ÞÞ-
í
=
î
. Từ (1) và (3)
x
A
y
0
0
3
(3;0)
0
ì
=-
ÞÞ-
í
=
î
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
xy
50
++=
, d
2
:
xy
2–70
+=
và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và
điểm
C thuộc d
2
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
·
Do B
Î
d
1
nên B(m; – m – 5), C
Î
d
2
nên C(7 – 2n; n)
Do G là trọng tâm
D
ABC nên
mn
mn
2723.2
353.0
ì
++-=
í
+=
î
m
n
1
1
ì
=-
Û
í
=
î
Þ
B(–1; –4), C(5; 1)
Þ
PT đường tròn ngoại tiếp
D
ABC: xyxy
22
8317338
0
27927
+-+-=
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
,
cho tam giác
ABC
có
A
(4;6)
, phương trình các
đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh
C
lần lượt là dxy
1
:2130
-+=
và
dxy
2
:613290
-+=
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
·
Đường cao CH :
xy
2130
-+=
, trung tuyến CM :
xy
613290
-+=
C
(7;1)
Þ
PT đường thẳng AB:
xy
2160
+-=
.
MCMAB
=Ç
Þ
M
(6;5)
Þ
B
(8;4)
.
Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ABCxymxnyp
22
:0.
D
++++=
Vì A, B, C
Î
(C) nên
mnp
mnp
mnp
52460
80840
5070
ì
+++=
ï
+++=
í
ï
+=
î
m
n
p
4
6
72
ì
=-
ï
Û=
í
ï
=-
î
.
Suy ra pt đường tròn: xyxy
22
46720
+-+-=
.
Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai
đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng dxy
1
:50
++=
và dxy
2
:2–70
+=
. Viết
phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.
·
Giả sử
BbbdCccd
12
(5;);(72;)
Î-Î
.
Vì G là trọng tâm
D
ABC nên ta có hệ:
BC
BC
xx
yy
26
30
ì
++=
í
++=
î
Þ
B(–1;–4) , C(5; 1).
Phương trình BG:
xy
4–3–80
=
. Bán kính RdCBG
9
(,)
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23
ị
Phng trỡnh ng trũn: xy
22
81
(5)(1)
25
+=
Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú
A
(3;6)
-
, trc tõm
H
(2;1)
, trng
tõm
G
47
;
33
ổử
ỗữ
ốứ
. Xỏc nh to cỏc nh B v C.
ã
Gi I l trung im ca BC. Ta cú
AGAII
271
;
322
ổử
=ị
ỗữ
ốứ
uuuruur
ng thng BC qua I vuụng gúc vi AH cú phng trỡnh:
xy
30
=
Vỡ
I
71
;
22
ổử
ỗữ
ốứ
l trung im ca BC nờn gi s
(
)
BB
Bxy
;
thỡ
(
)
BB
Cxy
7;1 v
BB
xy
30
=
H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn
CHAB
^
;
(
)
(
)
BBBB
CHxyABxy
5;,3;6
=-+=+-
uuuruuur
( )( ) ( )
BB
BB
BBB
BB
xy
xx
CHAB
xxy
yy
3
16
.0
5360
23
ỡ
-=
ỡỡ
==
ù
=
ớớớ
-++-=
=-=
ù
ợợ
ợ
uuuruuur
Vy
(
)
(
)
BC
1;2,6;3
- hoc
(
)
(
)
BC
6;3,1;2
-
Cõu 15. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(1; 2), ng cao
CHxy
:10
-+=
, phõn giỏc trong
BNxy
:250
++=
. Tỡm to cỏc nh B, C v tớnh din
tớch tam giỏc ABC.
ã
Do
ABCH
^
nờn phng trỡnh AB:
xy
10
++=
.
ã
B =
ABBN
ầ
ị
To im B l nghim ca h:
xy
xy
250
10
ỡ
++=
ớ
++=
ợ
x
y
4
3
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị
B(-4; 3).
ã
Ly A i xng vi A qua BN thỡ
ABC
'
ẻ
.
Phng trỡnh ng thng (d) qua A v vuụng gúc vi BN l (d):
xy
250
=
.
Gi
IdBN
()
=ầ
. Gii h:
xy
xy
250
250
ỡ
++=
ớ
=
ợ
. Suy ra: I(1; 3)
A
'(3;4)
ị
ã
Phng trỡnh BC:
xy
7250
++=
. Gii h:
BCxy
CHxy
:7250
:10
ỡ
++=
ớ
-+=
ợ
ị
C
139
;
44
ổử
ỗữ
ốứ
.
ã
BC
22
139450
43
444
ổửổử
=-+++=
ỗữỗữ
ốứốứ
, dABC
22
7.11(2)25
(;)32
71
+-+
==
+
.
Suy ra:
ABC
SdABCBC
1145045
(;) 32
2244
===
Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho
ABC
D
, vi nh A (1; 3) phng trỡnh ng phõn
giỏc trong BD:
xy
20
+-=
v phng trỡnh ng trung tuyn CE:
xy
870
+-=
. Tỡm to
cỏc nh B, C.
ã
Gi E l trung im ca AB. Gi s
BbbBD
(;2)
-ẻ
bb
ECE
11
;
22
ổử
++
ị-ẻ
ỗữ
ốứ
ị
b
3
=-
ị
B
(3;5)
-
. Gi A
Â
l im i xng ca A qua BD
ị
A
Â
ẻ
BC. Tỡm c A
Â
(5; 1)
ị
Phng trỡnh BC:
xy
270
+-=
;
xy
CCEBCC
xy
870
:(7;0)
270
ỡ
+-=
=ầị
ớ
+-=
ợ
.
Cõu 17. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cú nh A(3; 4). Phng trỡnh
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24
ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn xut phỏt t
C
ln lt l dxy
1
:10
+-=
v
dxy
2
:390
=
. Tỡm ta cỏc nh
B
,
C
ca tam giỏc ABC.
ã
Gi
Cccd
2
(;39)
-ẻ
v M l trung im ca BC
ị
Mmmd
1
(;1)
-ẻ
.
ị
Bmcmc
(2;1123)
. Gi I l trung im ca AB, ta cú
mcmc
I
23723
;
22
ổử
-+
ỗữ
ốứ
.
Vỡ I
ẻ
d
2
()
nờn
mcmc23723
3.90
22
-+
=
m
2
=
ị
M
(2;1)
-
ị
Phng trỡnh BC:
xy
30
=
. CBCdCB
2
(3;0)(1;2)
=ầịị-
.
Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6), ng
thng d i qua trung im ca cỏc cnh AB v AC cú phng trỡnh x + y
-
4 = 0. Tỡm ta
cỏc nh B v C, bit im E(1; -3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho.
ã
Gi H l chõn ng cao xut phỏt t A
ị
H i xng vi A qua d
ị
H
(2;2)
ị
PT ng thng BC:
xy
40
++=
. Gi s
BmmBC
(;4)
ẻ
ị
Cmm
(4;)
ị
CEmm, ABmm
(5;3)(6;10)
=+ =
uuuruuur
.
Vỡ
CEAB
^
nờn ABCEmmmm
.0(6)(5)(3)(10)0
=-++++=
uuuruuur
mm
0;6
==-
.
Vy:
BC
(0;4),(4;0)
hoc
BC
(6;2),(2;6)
.
Cõu 19. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 5) v ng thng D cú phng trỡnh:
xy
3440
-+=
. Tỡm trờn D hai im A v B i xng nhau qua I
5
2;
2
ổử
ỗữ
ốứ
sao cho din tớch tam
giỏc ABC bng 15.
ã
Gi
aa
AaBa
34163
;4;
44
D
ổửổử
+-
ẻị-
ỗữỗữ
ốứốứ
ị
ABC
SABdCAB
1
.(,)3
2
D
==
ị
AB = 5.
a
a
ABa
a
2
2
63
4
5(42)25
0
2
ổử
-
ộ
=
=-+=
ỗữ
ờ
=
ở
ốứ
. Vy hai im cn tỡm l A(0; 1) v B(4; 4).
Cõu 20. Trong mt phng to vi h to
Oxy
,
cho
ABC
D
vi AB
5,
= nh
C
(1;1)
,
phng trỡnh cnh
ABxy
:230
+-=
v trng tõm
G
ca
ABC
D
thuc ng thng
dxy
:20
+-=
. Xỏc nh ta cỏc nh
AB
,
ca tam giỏc.
ã
) Gi
Ixy
(;)
l trung im
AB
,
GG
Gxy
(;)
l trng tõm
G
G
x
x
ABCCGCI
y
y
21
2
3
21
3
3
D
ỡ
-
=
ù
ù
ị=
ớ
-
ù
=
ù
ợ
uuuruur
Gdxy
:20
ẻ+-=
nờn cú:
GG
xy
20
+-=
xy2121
20
33
+-=
Ta im
I
tha món h:
xy
I
xy
230
(5;1)
2121
20
33
ỡ
+-=
ù
ị-
ớ
+-=
ù
ợ
Gi
AAAA
AB
AxyIAxy
2
222
5
(;)(5)(1)
24
ổử
ị=-++==
ỗữ
ốứ
. Hn na
AABxy
:230
ẻ+-=
suy ra
ta im
A
l nghim ca h:
( ) ( )
AAAA
AAAA
xyxx
xyyy
22
23046
513
51
422
ỡỡỡ
+-===
ùùù
ớớớ
-++==-=-
ùùù
ợợợ
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25
Vy:
AB
13
4,,6;
22
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc
BA
13
4,,6;
22
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Cõu 21. Trong mt phng vi h to
Oxy
, tỡm to cỏc nh ca mt tam giỏc vuụng cõn, bit
nh
C
(3;1)
-
v phng trỡnh ca cnh huyn l
dxy
:320
-+=
.
ã
To im C khụng tho món phng trỡnh cnh huyn nờn
D
ABC vuụng cõn ti C. Gi I
l trung im ca
AB
. Phng trỡnh ng thng CI:
xy
30
+=
.
ICIAB
=ầ
ị
I
31
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ
ị
AIBICI
72
5
===
Ta cú:
ABd
AIBI
,
72
5
ỡ
ẻ
ù
ớ
==
ù
ợ
xy
xy
22
320
3172
555
ỡ
-+=
ù
ổửổử
ớ
++-=
ỗữỗữ
ù
ốứốứ
ợ
xy
xy
319
;
55
917
;
55
ộ
==
ờ
ờ
ờ
=-=-
ờ
ở
Vy to 2 nh cn tỡm l:
319917
;,;
5555
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Cõu 22. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(-2, 0) v phng
trỡnh cỏc cnh AB, AC theo th t l:
xy
4140
++=
;
xy
2520
+-=
. Tỡm ta cỏc nh A,
B, C.
ã
A(4, 2), B(3, 2), C(1, 0)
Cõu 23. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A thuc ng thng d:
xy
420
=
, cnh BC song song vi d, phng trỡnh ng cao BH:
xy
30
++=
v trung
im ca cnh AC l M(1; 1). Tỡm to cỏc nh A, B, C.
ã
Ta cú AC vuụng gúc vi BH v i qua M(1; 1) nờn cú phng trỡnh:
y x
=
.
To nh A l nghim ca h :
x
xy
A
yx
y
2
22
420
3
;
2
33
3
ỡ
=-
ù
ổử
ù
ỡ
=
ị
ớớ
ỗữ
=
ợ
ốứ
ù
=-
ù
ợ
Vỡ M l trung im ca AC nờn
C
88
;
33
ổử
ỗữ
ốứ
Vỡ BC i qua C v song song vi d nờn BC cú phng trỡnh:
x
y
2
4
=+
xy
x
BHBCBB
x
y
y
30
4
:(4;1)
1
2
4
ỡ
++=
ù
ỡ
=-
ầ=ị-
ớớ
=
=+
ợ
ù
ợ
Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú ng cao
BHxy
:34100
++=
,
ng phõn giỏc trong gúc A l AD cú phng trỡnh l
xy
10
-+=
, im M(0; 2) thuc ng
thng AB ng thi cỏch C mt khong bng
2
. Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC.
ã
Gi N i xng vi M qua
AD
. Ta cú
NAC
ẻ
v N (1;1)
ị
PT cnh
ACxy
:4310
=
AACADA
(4;5)
=ầị
. AB i qua M, A
ị
PT cnh
ABxy
:3480
-+=
ị
B
1
3;
4
ổử
ỗữ
ốứ
Gi
CabACab
(;)4310
ẻị =
, ta cú MC
2
=ị
C
(1;1)
hoc
C
3133
;
2525
ổử
ỗữ
ốứ
.
Kim tra iu kin B, C khỏc phớa vi AD ta cú c hai im trờn u tha món.
