LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC: PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ





PHẠM ĐOAN NGỌC


BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHỨA PHẦN DƯ
TAYLOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60.46.01

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2007
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ





PHẠM ĐOAN NGỌC


BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHỨA PHẦN DƯ
TAYLOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60. 46. 01
Người hướng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán - tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Tp. Hồ Chí Minh.
Học viên Cao học : Phạm Đoan Ngọc
Bộ môn Toán, Trường chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ.

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2007
Luận văn được hòan thành tại:
Trường Đại học Cần Thơ


Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long
Khoa Toán – Tin học
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét 1 : TS. Nguyễn Công Tâm
Khoa Toán – Tin học
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.


Người nhận xét 2 : TS. Tr
ần Minh Thuyết

Khoa Thống kê Toán
Đại học Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh.


Học viên Cao học : Phạm Đoan Ngọc

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại
học Cần Thơ
Vào lúc …… giờ,……., ngày …………tháng………năm……….

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại
học Cần Thơ.
















THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2007


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn
Thành Long đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong
suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán
Tin Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Thành phố Hồ Chí Minh, cùng với quý thầy cô ở trường Đại
học Cần Thơ đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh
nghiệm quý báu cho tôi trong suố
t thời gian học tập.
Xin chân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Công Tâm, TS.
Trần Minh Thuyết đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý
kiến bổ ích cho tôi.
Xin trân trọng cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học Hợp
tác Quốc tế - Sau Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn tất chương trình học tập.
Xin trân trọng cảm ơn trườ
ng THPT Chuyên Lý Tự
Trọng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian
đi học.
Xin trân trọng cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán
khóa 11, các bạn đồng nghiệp, đặc biệt là ThS Lê Xuân
Trường đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời
gian qua.

Phạm Đoan Ngọc
Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 1 Phạm Đoan Ngọc
CHƯƠNG 0

PHẦN MỞ ĐẦU

Gần đây, nhiều bất đẳng thức chứa phần dư Taylor của một hàm số được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như H. Gauchman [2, 3], Zheng Liu [4], L.
Bougoffa [1],… và các tài liệu tham khảo trong đó. Các bất đẳng thức này được thiết
lập nhờ vào công thức Leibnitz (đạo hàm cấp cao của tích hai hàm số), hoặc các bất
đẳng thức
ssuG
r
&&
, Chebyshev, Steffensen,…
Liên quan đế phần dư Taylor của một hàm số, định lý Taylor được phát biểu
như sau:
Định lý 0.1.
Cho f : (a, b)
→
R có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong khoảng (a, b).
Khi đó, với mọi x, c
∈
(a, b), tồn tại một số thực
θ

∈
(0, 1) sao cho:
(0.1) f(x) =
(
)
1
)1(
0

)(
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
+
+
=
−
+
−θ+
+−
∑
n
n
n
k
k
k
cx
n
cxcf
cx
k
cf

Biểu thức
(0.2)

∑
=
−−=
n
k
k
k
fn
cx
k
cf
xfxcR
0
)(
,
)(
!
)(
)(),(

gọi là phần dư Taylor của hàm f.
Trong công thức (0.1) ở trên, phần dư
),(
,
xcR
fn
có dạng tường minh
(0.3)
1
)1(

,
)(
)!1(
))((
),(
+
+
−
+
−θ+
=
n
n
fn
cx
n
cxcf
xcR

còn gọi là phần dư Lagrang trong khai triển Taylor của hàm f.
Mặt khác, phần dư
),(
,
xcR
fn
có dạng tường minh cũng được biểu diễn theo
dạng tích phân (phần dư Taylor dạng tích phân) như sau:
(0.4)
.)(
!

)(
),(
)1(
,
∫
+
−
=
x
c
n
n
fn
dttf
n
tx
xcR

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 2 Phạm Đoan Ngọc
Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày và hệ thống lại một số bất đẳng
thức chứa phần dư Taylor của một hàm số được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong
thời gian gần đây. Một số bất đẳng thức quá lâu như bất đẳng thức Steffensen (1919)
mà chúng tôi không tìm được bài báo gốc công bố trong [J.F. STEFFENSEN, On
certain inequalities and methods of approximation, J. Inst. Actuaries,
51 (1919), 274 –
297], nên phải tự chứng minh lại trong phần phụ lục.
Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây:

Chương 0: Phần mở đầu.
Chương 1: Bất đẳng thức Steffensen và một số bất đẳng thức chứa phần dư
Taylor.
Chương 2: Áp dụng một số bất đẳng thức của chương 1.
Chương 3: Bất đẳng thức chứa phần dư Taylor từ công thứ
c Leibnitz.
Chương 4: Bất đẳng thức chứa phần dư Taylor từ công thức
ssuG
r
&&

Phần kết luận.
Phần tài liệu tham khảo.
Phần phụ lục: Luận văn cũng dành một phần phụ lục để chứng minh lại bất
đẳng thức Steffensen và bất đẳng thức
ssuG
r
&&
.








Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng

Luận văn Thạc Sỹ Toán học 3 Phạm Đoan Ngọc

CHƯƠNG I
BẤT ĐẲNG THỨC STEFFENSEN
VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA PHẦN DƯ TAYLOR

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến phần dư
Lagrang trong khai triển Taylor của hàm, bất đẳng thức Steffensen và một số bất đẳng
thức chứa phần dư Taylor. Trước hết, về phần dư Taylor của hàm f, ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.1. Cho f ∈ C
n+1
([a, b]), ta có:
(1.1)
,),()()(
)!1(
1
,
)1(1
∫∫
=−
+
++
b
a
fn
b
a
nn
dxxaRdxxfxb
n

và
(1.2)
,),()1()()(
)!1(
1
,
1)1(1
∫∫
+++
−=−
+
b
a
fn
n
b
a
nn
dxxbRdxxfax
n

trong đó
(1.3)
∑
=
−−=
n
k
k

k
fn
cx
k
cf
xfxcR
0
)(
,
)(
!
)(
)(),(

là phần dư Lagrang trong khai triển Taylor của hàm f.
Chứng minh Bổ đề 1.1.
Dùng tích phân từng phần, ta thu được
(1.4)
∫∫
+++
−
+
=−
+
b
a
nn
b
a
nn

xdfxb
n
dxxfxb
n
)()(
)!1(
1
)()(
)!1(
1
)(1)1(1

=
∫
+
−
+
b
a
nn
xdfxb
n
)()(
)!1(
1
)(1


∫
−+−

+
=
+
b
a
nn
b
a
nn
dxxfxb
n
xbxf
n
)()(
!
1
)()(
)!1(
1
)(1)(

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 4 Phạm Đoan Ngọc

.)()(
!
1
))((

)!1(
1
)(1)(
∫
−+−
+
−=
+
b
a
nnnn
dxxfxb
n
abaf
n

Áp dụng liên tiếp nhiều lần công thức (1.4), ta được
(1.5)
∫
++
−
+
b
a
nn
dxxfxb
n
)()(
)!1(
1

)1(1

∫
−+−
+
−=
+
b
a
nnnn
dxxfxb
n
abaf
n
)()(
!
1
))((
)!1(
1
)(1)(

nnnn
abaf
n
abaf
n
))((
!
1

))((
)!1(
1
)1(1)(
−−−
+
−=
−+


∫
−−
−
−
+
b
a
nn
dxxfxb
n
)()(
)!1(
1
)1(1


nnnn
abaf
n
abaf

n
))((
!
1
))((
)!1(
1
)1(1)(
−−−
+
−=
−+


∫
−−−−
−
−
−−
−
−
b
a
nnnn
dxxfxb
n
abaf
n
)()(
)!2(

1
))((
)!1(
1
)2(21)2(

= …

nnnn
abaf
n
abaf
n
))((
!
1
))((
)!1(
1
)1(1)(
−−−
+
−=
−+


1)(1)2(
))((
)!1(
1

))((
)!1(
1
+−−−−
−
+−
−−−
−
−
knknnn
xbaf
kn
abaf
n


∫
−−
−
−
+
b
a
knkn
dxxfxb
kn
)()(
)!(
1
)(

nnnn
abaf
n
abaf
n
))((
!
1
))((
)!1(
1
)1(1)(
−−−
+
−=
−+


1)(1)2(
))((
)!1(
1
))((
)!1(
1
+−−−−
−
+−

−−−
−
−
knknnn
xbaf
kn
abaf
n


∫
+−
′
−+
b
a
dxxfabaf )(
!0
1
))((
!1
1

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 5 Phạm Đoan Ngọc

)!1(
)(

)(
!
)(
)(
)!1(
)(
)(
1
)2()1(
1
)(
−
−
−
−
−
+
−
−=
−
−−
+
n
ab
af
n
ab
af
n
ab

af
n
n
n
n
n
n


∫
+
−
−−
+−
−
−−
+−
−
b
a
kn
kn
dxxf
ab
af
kn
ab
af )(
!0
1

!1
)(
)(
)!1(
)(
)(
1
)(


∑
∫
=
+
+
+
−
−=
n
k
b
a
k
k
dxxf
k
ab
af
0
1

)(
)(
)!1(
)(
)(
=
∫∫
∑
+
−
−
=
b
a
b
a
k
n
0k
k
dxxfdx
k
ax
af )(
!
)(
)(
)(

∫
∑
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−=
=
b
a
n
0k
k
k
dxxfdx
k
ax
af )(
!
)(
)(
)(


.),(
,

∫
=
b
a
fn
dxxaR

Công thức (1.1) của bổ đề 1.1 được chứng minh.
Công thức (1.2) được chứng minh tương tự. Do đó bổ đề 1.1 được chứng minh.
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Steffensen). Cho f, g: (a, b) → R, f, g ∈ L
1
(a, b), f giảm
trên (a, b), 0 ≤ g(x) ≤ 1,∀x ∈ (a, b). Nếu
,)(
∫
=λ
b
a
dxxg thì ta có bất đẳng thức tích
phân
(1.6)
.)()()()(
∫∫∫
λ+
λ−
≤≤
a
a
b
a

b
b
dxxfdxxgxfdxxf

Chứng minh Định lý 1.2. (Xem chứng minh trong phần Phụ lục I).
Tiếp theo sau đây, chúng tôi trình bày các bất đẳng thức chứa phần dư Taylor
nhờ vào bất đẳng thức Steffensen.
Ta ký hiệu I ⊂ R là một khoảng (có thể là đoạn, nửa khoảng, …) và I
0
là phần
trong của I. Từ đây đến cuối chương này, chúng tôi tập trung chứng minh hai định lý
sau:
Định lý 1.3. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g ∈ C([a, b]). Giả
sử rằng m ≤ f
(n+1)
(x) ≤ M, m ≠ M, g(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b].
Nếu
Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 6 Phạm Đoan Ngọc
(1.7)
[]
)()()(
1
)()(

abmafbf
mM
nn
−−−
−
=λ

thì ta có
(1.8)
∫
λ−
+
λ+−
+
b
b
n
dxxgbx
n
)()(
)!1(
1
1


dxxg
n
ax
mxaR
mM

b
a
n
fn
)(
)!1(
)(
),(
1
1
,
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
≤
+


[]
dxxgaxax
n
b

a
nn
)()()(
)!1(
1
11
∫
++
λ−−−−
+
≤
+
,)()(
)!1(
)1(
1
1
dxxgxa
n
a
a
n
n
∫
λ+
+
+
−λ+
+
−

và
(1.9)
∫
λ+
+
−λ+
+
a
a
n
dxxgxa
n
)()(
)!1(
1
1


dxxg
n
bx
mxbR
mM
b
a
n
fn
n
)(

)!1(
)(
),(
)1(
1
,
1
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
−
≤
++


[]
dxxgxbxb
n
b
a
nn
)()()(

)!1(
1
11
∫
++
−λ−−−
+
≤

+
.)()(
)!1(
)1(
1
1
dxxgbx
n
b
b
n
n
∫
λ−
+
+
λ+−
+
−

Định lý 1.4. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I

0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈ C([a, b]). Giả
sử f
(n+1)
(x) tăng trên [a, b], m ≤ g(x) ≤ M, m ≠ M ∀x∈[a, b].
Đặt
(1.10)
[]
,
2
)()(
))((
1
1
1
1
∫
+
−
−
−−
−−
=λ
+
+
b
a
n

n
n
ab
mM
m
dxxgax
abmM

(1.11)
[]
.
2
)()(
))((
1
1
1
2
∫
+
−
−
−−
−−
=λ
+
+
b
a
n

n
n
ab
mM
m
dxxgxb
abmM

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 7 Phạm Đoan Ngọc
Khi đó ta có các bất đẳng thức tích phân
(1.12)
[]
∫
−
−−
+
≤−λ+
+
b
a
fn
n
nn
dxmxgxaR
abmM
n
afaf )(),(

))((
)!1(
)()(
,
1
)(
1
)(


),()(
1
)()(
λ−−≤ bfbf
nn

và
(1.13)
[]
∫
−
−−
+
≤−λ+
+
b
a
fn
n
nn

dxmxgxbR
abmM
n
afaf )(),(
))((
)!1(
)()(
,
1
)(
2
)(


).()(
2
)()(
λ−−≤ bfbf
nn

Chú thích 1.1.
Dễ thấy rằng các bất đẳng thức trong Định lý 1.3 và Định lý 1.4 trở thành đẳng
thức nếu f(x) là một đa thức có bậc n+1.
Để dễ hình dung những bước tiếp theo, luận văn sẽ lần lượt chứng minh:
A1) Bất đẳng thức (1.8) nhờ hai bổ đề 1.5 và 1.6,
A2) Bất đẳng thức (1.9) nhờ hai bổ đề 1.5a và 1.6a,
A3) Bất đẳng thức (1.12) nhờ hai bổ đề 1.5b và 1.6b,
A4) Bất đẳ
ng thức (1.13) nhờ hai bổ đề 1.5c và 1.6c.
A1) Chứng minh bất đẳng thức (1.8) trong định lý 1.3.

Trước hết, ta thiết lập hai bổ đề 1.5 và 1.6 dưới đây.
Bổ đề 1.5. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈ C([a, b]). Giả sử
rằng 0 ≤ f
(n+1)
(x) ≤ 1, ∀x∈[a, b] và hàm x
∫
−
b
x
n
dttgxt )()(a là hàm giảm trên [a, b].
Nếu
(1.14)
)()(
)()(
afbf
nn
−=λ ,
thì ta có các bất đẳng thức tích phân
(1.15)
∫
λ−
+
λ+−
+

b
b
n
dxxgbx
n
)()(
)!1(
1
1

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 8 Phạm Đoan Ngọc

∫
λ+
≤
a
a
fn
dxxgxaR )(),(
,


∫
++
λ−−−−
+
≤

b
a
nn
dxxgaxax
n
)(])()[(
)!1(
1
11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ+
+
+
−λ+
+
−
+
a
a
n
n
dxxgxa
n

Chứng minh Bổ đề 1.5.
Đặt
(1.16)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−===λ
=
−=
+
+
∫∫
∫
).()()()(
),()(
,)()(
!
1
)(
)()()1(
)1(
afbfdxxfdxxG
xfxG

dttgxt
n
xF
nnn
b
a
n
b
a
n
n
b
x
n
n

Khi đó F
n
(x), G
n
(x) và λ thỏa các điều kiện của Định lý 1.2. Vậy
(1.17)
.)()()()(
∫∫ ∫
λ−
λ+
≤≤
b
b
b

a
a
a
nnnn
dxxFdxxGxFdxxF

Dễ thấy rằng
).()( xFxF
1nn −
−
=
′
Do đó
(1.18)
∫∫
=
b
a
n
n
b
a
nn
xdfxFdxxGxF )()()().(
)(


∫
−
+=

b
a
n
nb
an
n
dxxFxfxFxf )()()()(
1
)()(


∫∫
−−
+−−=
b
a
nn
b
a
n
n
dxxGxFdxxgax
n
af
).()()()(
!
)(
11
)(

∫∫
−
−
−
−
−−−=
b
a
n
nb
a
n
n
dxxgax
n
af
dxxgax
n
af
)()(
)!1(
)(
)()(
!
)(
1
)1()(

∫∫
−−
−−−=
b
a
nn
b
a
n
n
dxxGxFdxxgxb
n
bf
).().().(.)(
!
)(
11
)(


∫
−−
+
b
a
nn
dxxGxF )()(
22

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng

Luận văn Thạc Sỹ Toán học 9 Phạm Đoan Ngọc

=
…

∫∫
−
−
−
−
−−−=
b
a
b
a
n
n
n
n
dxxgax
n
af
dxxgax
n
af
)()(
)!1(
)(

)()(
!
)(
1
)1()(

.)()()()(
∫∫
+−−
b
a
b
a
dxxgxfdxxgaf
Vậy
(1.19)
=
∫
b
a
nn
dxxGxF )()(.)(),(
,
∫
b
a
fn
dxxgxaR
Chú ý rằng
(1.20)

.)()(
!
1
)( dxdttgxt
n
dxxF
a
a
a
a
b
x
n
n
∫∫∫
λ+λ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=

Đổi thứ tự lấy tích phân x và t, dựa vào miền lấy tích phân dưới đây và được
chia thành hai miền
(1.21) D = { (x, t) : x ≤ t ≤ b, a ≤ t ≤ a+λ } = D
1

∪ D
2
,
trong đó
(1.22)
⎩
⎨
⎧
≤≤λ+λ+≤≤=
λ+≤≤≤≤=
}.,:),{(
},,:),{(
btaaxatxD
atatxatxD
2
1

(1.23)
(
)
∫∫∫∫∫
λ+
λ+λ+λ+
−+−=
b
a
a
a
n
a

a
t
a
n
a
a
n
dxxtdttg
n
dxxtdttg
n
dxxF )()(
!
1
)()(
!
1
)(

∫∫
λ+
λ+=
=
+
=
=
+
λ+
+
−

−
+
−
−=
b
a
ax
ax
n
tx
ax
n
a
a
n
xt
dttg
nn
xt
dttg
n 1
)(
)(
!
1
1
)(
)(
!
1

11


∫
λ+
+
−
+
=
a
a
n
dttgat
n
)()(
)!1(
1
1


∫
λ+
++
−−λ−−
+
−
b
a
nn
dttgatat

n
)(])()[(
)!1(
1
11

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 10 Phạm Đoan Ngọc

∫
λ+
+
−
+
=
a
a
n
dttgat
n
)()(
)!1(
1
1


∫
++

−−λ−−
+
−
b
a
nn
dttgatat
n
)(])()[(
)!1(
1
11


∫
λ+
++
−−λ−−
+
+
a
a
nn
dttgatat
n
)(])()[(
)!1(
1
11

∫
++
−−λ−−
+
−=
b
a
nn
dttgatat
n
)(])()[(
)!1(
1
11


∫
λ+
+
λ−−
+
+
a
a
n
dttgat
n
)()(
)!1(

1
1


∫
++
λ−−−−
+
=
b
a
nn
dttgatat
n
)(])()[(
)!1(
1
11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ+
+
+
λ++−

+
−
+
a
a
n
n
dttgat
n

Vậy
(1.24)
∫∫
++
λ+
λ−−−−
+
=
b
a
nn
a
a
n
dxxgaxax
n
dxxF )(])()[(
)!1(
1
)(

11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ+
+
+
−λ+
+
−
+
a
a
n
n
dxxgxa
n

Tính toán tương tự ta thu được
(1.25)
.)()(
)!1(
1
)(
1

∫∫
λ−
+
λ−
λ−−
+
=
b
b
n
b
b
n
dxxgbx
n
dxxF

Thay (1.19), (1.24), (1.25) vào (1.17), ta thu được
(1.26)
∫
λ−
+
λ+−
+
b
b
n
dxxgbx
n
)()(

)!1(
1
1


∫
λ+
≤
a
a
fn
dxxgxaR )(),(
,

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 11 Phạm Đoan Ngọc

∫
++
λ−−−−
+
≤
b
a
nn
dxxgaxax
n
)(])()[(

)!1(
1
11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ+
+
+
−λ+
+
−
+
a
a
n
n
dxxgxa
n

Bổ đề 1.5 được chứng minh.
Bổ đề 1.6. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1

([a, b]), g∈C([a, b]). Giả sử
rằng m ≤ f
(n+1)
(x)

≤ M, ∀x∈ [a, b] và hàm x
∫
−
b
a
n
dttgxt )()(a
là hàm giảm trên [a,
b].
Nếu
(1.27)
[]
,)()()(
1
)()(
abmafbf
mM
nn
−−−
−
=λ
thì ta có bất đẳng thức tích phân
(1.28)
∫
λ−

+
λ+−
+
b
b
n
dxxgbx
n
)()(
)!1(
1
1


∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
≤
+
b
a
n

fn
dxxg
n
ax
mxaR
mM
)(
)!1(
)(
),(
1
1
,


∫
++
λ−−−−
+
≤
b
a
nn
dxxgaxax
n
)(])()[(
)!1(
1
11

∫
λ+
+
+
−λ+
+
−
+
a
a
n
n
dxxgxa
n
)()(
)!1(
)1(
1
1

Chứng minh Bổ đề 1.6.
Đặt
(1.29)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

+
−
−
−
=
+
)!1(
)(
)(
1
)(
~
1
n
ax
mxf
mM
xf
n
.
Khi đó, 0 ≤
)(
~
xf
≤ 1, ∀x ∈[a, b] và
Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 12 Phạm Đoan Ngọc

[]
).(
~
)(
~
)()()(
1
)()()()(
afbfabmafbf
mM
nnnn
−=−−−
−
=λ

Do đó,
),(
~
xf
g(x) và λ thỏa điều kiện của Bổ đề 1.5. Thay
)(
~
xf
vào vị trí của
f(x) trong (1.15), với chú ý rằng
(1.30)
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
=
−
−
−
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
=
−−=
≤≤
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
+
−
−
−
=
+
=
+
=
+−
+
∑
∑
,
)!1(
)(
),(
1
)(
!
)(1
)!1(
)(
)(
1
)(
!
)(
~

)(
~
),(
,1),(
1
)(
~
,
)!1(
)(
)(
1
)(
~
,
)!1(
)(
)(
1
)(
~
1
,
0
)(1
0
)(
~
,
)()(

1
)()(
1
n
ax
mxaR
mM
ax
k
af
mMn
ax
mxf
mM
ax
k
af
xfxaR
nkaf
mM
af
kn
ax
mxf
mM
xf
n
ax
mxf
mM

xf
n
fn
n
k
k
kn
n
k
k
k
fn
kk
kn
kk
n

ta thu được (1.28).
Bổ đề 1.6 được chứng minh.
Chứng minh bất đẳng thức (1.8) trong Định lý 1.3.
Do g(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b] nên khi đó hàm x
∫
−
b
x
n
dttgxt )()(a là hàm giảm trên
[a, b]. Vậy do Bổ đề 1.6 ta suy ra bất đẳng thức (1.8) được chứng minh.
Với sự thay đổi các hàm F
n

(x) và G
n
(x) lần lượt như (1.31), (1.32), (1.33) dưới
đây, ta sẽ thu được (1.9), (1.12) và (1.13) theo thứ tự:
(1.31)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−−=
+
∫
),()(
,)()(
!
1
)(
)1(
xfxG
dttgtx
n
xF
n
n
x
a
n

(1.32)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
∫
+
,)()(
!
1
)(
),()(
)1(
b
x
n
n
n
n
dttgxt
n
xG
xfxF

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng

Luận văn Thạc Sỹ Toán học 13 Phạm Đoan Ngọc
(1.33)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
∫
+
.)()(
!
1
)(
),()(
)1(
x
a
n
n
n
n
dttgtx
n
xG
xfxF

A2. Chứng minh bất đẳng thức (1.9) trong định lý 1.3.

Để chứng minh bất đẳng thức (1.9), ta cần hai bổ đề tương tự như hai Bổ đề 1.5
và 1.6 như sau:
Bổ đề 1.5a. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈ C([a, b]). Giả sử
rằng 0 ≤ f
(n+1)
(x) ≤ 1, ∀x∈[a, b] và hàm x
∫
−−
x
a
n
dttgtx
n
)()(
!
1
a là hàm giảm trên [a,
b].

Nếu
(1.34)
)()(
)()(
afbf
nn
−=λ ,

thì ta có các bất đẳng thức tích phân
(1.35)
∫
λ+
+
−λ+
+
a
a
n
dxxgxa
n
)()(
)!1(
1
1


∫
+
−≤
b
a
fn
n
dxxgxbR )(),()1(
,
1

∫
++
−λ−−−
+
≤
b
a
nn
dxxgxbxb
n
)(])()[(
)!1(
1
11


∫
λ−
+
+
λ+−
+
−
+
b
b
n
n
dxxgbx
n

)()(
)!1(
)1(
1
1

Bổ đề 1.6a. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈C([a, b]). Giả sử
rằng m ≤ f
(n+1)
(x)

≤ M, ∀x∈ [a, b] và hàm x
∫
−−
x
a
n
dttgtx
n
)()(
!
1
a là hàm giảm trên
[a, b].
Nếu
(1.36)

[]
)()()(
1
)()(
abmafbf
mM
nn
−−−
−
=λ

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 14 Phạm Đoan Ngọc
thì ta có bất đẳng thức tích phân
(1.37)
∫
λ+
+
−λ+
+
a
a
n
dxxgxa
n
)()(
)!1(
1

1


∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
−
≤
++
b
a
n
fn
n
dxxg
n
bx
mxbR
mM
)(
)!1(
)(

),(
)1(
1
,
1


∫
++
−λ−−−
+
≤
b
a
nn
dxxgxbxb
n
)(])()[(
)!1(
1
11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ−

+
+
λ+−
+
−
+
b
b
n
n
dxxgbx
n

Chứng minh bổ đề 1.5a.
Đặt

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−==λ
=
−−=
∫
∫

+
.)()()(
),()(
,)()(
!
1
)(
)()(
)1(
b
a
nn
n
n
n
x
a
n
n
afbfdxxG
xfxG
dttgtx
n
xF

Khi đó
)(),( xGxF
nn
và
λ

thỏa các điều kiện của Định lý 1.2 (Bất đẳng thức
Steffensen). Vậy
(1.39)
.)()()()(
∫∫∫
λ+
λ−
≤≤
a
a
n
b
a
nn
b
b
n
dxxFdxxGxFdxxF
Dễ thấy rằng
.)()()(
)!1(
1
)(
1
1
∫
−
−
=−
−

−=
′
x
a
n
n
n
xFdttgtx
n
xF
Do đó
(1.40)
∫∫∫
−
−==
b
a
1n
n
b
a
n
n
b
a
n
n
b
a
nn

dxxFxfxFxfxdfxFdxxGxF )()()()()()()()(
)()()(


∫∫
−−
−−−=
b
a
1n1n
b
a
n
n
dxxGxFdxxgxb
n
bf
)()()()(
!
)(
)(


∫∫
−
−
−
−
+−−=
b

a
n
n
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
dxxgxb
n
bf
)()(
)!1(
)(
)()(
!
)(
1
)1()(

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 15 Phạm Đoan Ngọc
∫
−−
+
b

a
nn
dxxGxF )()(
22

∫∫
−
−
−
−
+−−=
b
a
n
n
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
dxxgxb
n
bf
)()(
)!1(
)(
)()(
!

)(
1
)1()(


∫
−
−
−
−
−
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
)()(
)!2(
)(
2
)2(
∫
−−
−
b
a
3n3n
dxxGxF )()(

= …
=
∫∫
−
−
−
−
+−−
b
a
n
n
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
dxxgxb
n
bf
)()(
)!1(
)(
)()(
!
)(
1

)1()(


∫
−
−
−
−
−
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
)()(
)!2(
)(
2
)2(
+ …
+ … +
∫
+−
+−
−
+−
−
b

a
kn
kn
k
dxxgxb
kn
bf
)()(
)!1(
)(
)1(
1
)1(


∫
−−
−+
b
a
knkn
k
dxxGxF )()()1(

∫∫
−
−
−
−
+−−=

b
a
n
n
b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
dxxgxb
n
bf
)()(
)!1(
)(
)()(
!
)(
1
)1()(


∫
−
−
−
−
−

b
a
n
n
dxxgxb
n
bf
)()(
)!2(
)(
2
)2(
+ …+
∫
+−
+−
−
+−
−
b
a
kn
kn
k
dxxgxb
kn
bf
)()(
)!1(
)(

)1(
1
)1(

+ …
+
∫
−−
b
a
n
dxxgxb
bf
)()(
!1
)(
)1(
'
∫
−+
b
a
n
dxxGxF )()()1(
00

=
∫
∑
+−

=
+−
−
+−
−
b
a
kn
n
k
kn
k
dxxgxb
kn
bf
)()(
)!1(
)(
)1(
1
1
1

∫
−+
b
a
n
dxxGxF )()()1(
00

=
∫
∑
+−
=
+−
+−
−
+−
−−
b
a
kn
n
k
kn
knk
dxxgxb
kn
bf
)()(
)!1(
)(
)1()1(
1
1
1
1

∫
−+
b
a
n
dxxGxF )()()1(
00

=
∫
∑
+−
=
+−
+
−
+−
−
b
a
kn
n
k
kn
n
dxxgxb
kn
bf
)()(
)!1(

)(
)1(
1
1
1
1

∫
−+
b
a
n
dxxGxF )()()1(
00

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 16 Phạm Đoan Ngọc
=
∫
∑
−−
=
+
b
a
k
n
k

k
n
dxxgxb
k
bf
)()(
!
)(
)1(
1
1
.)()()1(
00
∫
−+
b
a
n
dxxGxF

Chú ý rằng
(1.41)
∫∫
′
=
b
a
b
a
000

dxxfxFdxxGxF )()()()(


∫
′
−−=
b
a
000
dxxfxFafaFbfbF )()()()()()(

∫∫
+−=
b
a
b
a
dxxfxgdttgbf )()()()(

(
)
.)()()(
∫
−=
b
a
dxxgbfxf

Vậy
(1.42)

∫∫
∑
−−=
=
+
b
a
k
b
a
n
1k
k
1n
nn
dxxgbx
k
bf
1dxxGxF )()(
!
)(
)()()(
)(


∫
−+
b
a
n

dxxGxF )()()1(
00


∫
∑
=
+
−−=
b
a
n
k
k
k
n
dxxgbx
k
bf
)()(
!
)(
)1(
1
)(
1


(
)

∫
−−+
b
a
n
dxxgbfxf )()()()1(

dxxg
k
bf
xf
b
a
n
k
k
n
)(
!
)(
)()1(
0
)(
∫
∑
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
−−=
=


.)(),()1(
,
∫
−+
b
a
fn
n
dxxgxbR

Chú ý rằng
(1.43)
(
)
.)()(
!
1
)(
∫∫∫
λ−λ−
−−=
b
b
b
b

x
a
n
n
dxtgtx
n
dxxF
Đổi thứ tự biến lấy tích phân x và t, dựa vào miền lấy tích phân dưới đây và
được chia làm hai miền
(1.44) D = { (x, t): a ≤ t ≤ x, b−λ ≤ x ≤ b } = D
1
∪ D
2
,
Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 17 Phạm Đoan Ngọc
trong đó
(1.45)
⎩
⎨
⎧
≤≤λ−λ−≤≤=
≤≤λ−≤≤=
}.,:),{(
},,:),{(
2
1
bxbbtatxD

btbtxttxD

Do đó
(1.46)
(
)
∫∫∫
λ−λ−
−−=
b
b
b
b
b
t
n
n
dxtxdttg
n
dxxF )()(
!
1
)(
∫∫
λ−
λ−
−−
b
a
b

b
dxtxdttg
n
)()(
!
1


∫∫
λ−
=
λ−=
+
λ−
=
=
+
+
−
−
+
−
−=
b
a
bx
bx
n
b
b

bx
tx
n
n
tx
dttg
nn
tx
dttg
n 1
)(
)(
!
1
)!1(
)(
)(
!
1
11


∫
λ−
+
−
+
−=
b
b

n
dttgtb
n
)()(
)!1(
1
1


[]
∫
λ−
++
−λ−−−
+
−
b
a
nn
dttgtbtb
n
)()()(
)!1(
1
11


∫
λ−
+

−
+
−=
b
b
n
dttgtb
n
)()(
)!1(
1
1


[]
∫
++
−λ−−−
+
−
b
a
nn
dttgtbtb
n
)()()(
)!1(
1
11

[]
∫
λ−
++
−λ−−−
+
+
b
b
nn
dttgtbtb
n
)()()(
)!1(
1
11


[]
∫
++
−λ−−−
+
−=
b
a
nn
dttgtbtb
n

)()()(
)!1(
1
11


.)()(
)!1(
1
1
∫
λ−
+
−λ−
+
−
b
b
n
dttgtb
n

Vậy
(1.47)
[]
∫∫
λ−
++
−λ−−−
+

−=
b
b
b
a
nn
n
dttgtbtb
n
dxxF )()()(
)!1(
1
)(
11


.)()(
)!1(
1
1
∫
λ−
+
−λ−
+
−
b
b
n
dttgtb

n

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 18 Phạm Đoan Ngọc
Tính toán tương tự ta cũng thu được
(1.48)
(
)
∫∫∫
λ+λ+
−−=
a
a
a
a
x
a
n
n
dxdttgtx
n
dxxF )()(
!
1
)(


(

)
dxtgtxdttg
n
a
a
x
a
n
∫∫
λ+
−−= )()()(
!
1


∫
λ+
λ+=
=
+
+
−
−=
a
a
ax
tx
n
n
tx

dttg
n 1
)(
)(
!
1
1


.)()(
)!1(
1
1
∫
λ+
+
−λ+
+
−=
a
a
n
dttgta
n

Thay (1.42), (1.47), (1.48) vào (1.39), ta thu được
(1.49)
[]
∫∫
λ−

+++
−λ−
+
−−λ−−−
+
−
b
b
n
b
a
nn
dttgtb
n
dttgtbtb
n
)()(
)!1(
1
)()()(
)!1(
1
111


∫
−≤
b
a
fn

n
dxxgxbR )(),()1(
,


,)()(
)!1(
1
1
∫
λ+
+
−λ+
+
−≤
a
a
n
dttgta
n

hay
(1.50)
∫∫
+
λ+
+
−≤−λ+
+
b

a
fn
n
a
a
n
dxxgxbRdttgta
n
)(),()1()()(
)!1(
1
,
11


[]
∫
++
−λ−−−
+
≤
b
a
nn
dttgtbtb
n
)()()(
)!1(
1
11

,)()(
)!1(
1
1
∫
λ−
+
−λ−
+
+
b
b
n
dttgtb
n

hay
(1.51)
∫∫
+
λ+
+
−≤−λ+
+
b
a
fn
n

a
a
n
dxxgxbRdxxgxa
n
)(),()1()()(
)!1(
1
,
11


[]
∫
++
−λ−−−
+
≤
b
a
nn
dxxgxbxb
n
)()()(
)!1(
1
11

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng

Luận văn Thạc Sỹ Toán học 19 Phạm Đoan Ngọc
.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ−
+
+
λ+−
+
−
+
b
b
n
n
dxxgbx
n

Đây cũng là (1.35).
Bổ đề 1.5a được chứng minh.
Chứng minh Bổ đề 1.6a.
Đặt
(1.52)
⎪
⎪
⎪

⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−==λ
=
−−=
∫
∫
+
),()()(
),()(
,)()(
!
1
)(
)()(
)1(
afbfdxxG
xfxG
dttgtx
n
xF
nn
b
a
n
n

n
x
a
n
n

và
(1.53)
.
)!1(
)(
)(
1
)(
~
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
=
−
n
bx

mxf
mM
xf
n

Khi đó, 0 ≤
)(
~
)(
xf
1n+
≤ 1, ∀x ∈ [a, b] và

[]
).(
~
)(
~
)()()(
1
)()(
afbfabmafbf
mM
nnnn
−=−−−
−
=λ

Do đó,
)(

~
xf , g(x) và λ thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.5a. Thay )(
~
xf vào vị trí
của f(x) trong (1.35), với chú ý rằng
(1.54)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+

−
−
−
=
−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
=
−−=
≤≤
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−

−
−
=
+
=
+
=
+−
∑
∑
.
)!1(
)(
),(
1
,)(
!
)(1
)!1(
)(
)(
1
)(
!
)(
~
)(
~
),(
,1),(

1
)(
~
,
)!1(
)(
)(
1
)(
~
1
,
0
)(1
0
)(
~
,
)()(
1
)()(
n
bx
mxbR
mM
bx
k
bf
mMn
bx

mxf
mM
bx
k
bf
xfxbR
nkbf
mM
bf
kn
bx
mxf
mM
xf
n
fn
n
k
k
kn
n
k
k
k
fn
kk
kn
kk

Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng

Luận văn Thạc Sỹ Toán học 20 Phạm Đoan Ngọc
Khi đó ta có
(1.55)
dxxgxa
n
a
a
n
)()(
)!1(
1
1
∫
λ+
+
−λ+
+


dxxg
n
bx
mxbR
mM
b
a
n
fn

n
)(
)!1(
)(
),(
)1(
1
,
1
∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
−
≤
++


[]
∫
++
−λ−−−
+

≤
b
a
nn
dxxgxbxb
n
)()()(
)!1(
1
11


.)()(
)!1(
)1(
1
1
∫
λ−
+
+
λ+−
+
−
+
b
b
n
n
dxxgbx

n

Đây cũng là (1.37).
Bổ đề 1.6a được chứng minh.
Do g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], khi đó hàm
∫
−−
x
a
n
dttgtx
n
x )()(
!
1
a
là hàm giảm trên
[a, b]. Vậy do Bổ đề 1.6a ta suy ra bất đẳng thức (1.9) được chứng minh.
A3. Chứng minh bất đẳng thức (1.12) của Định lý 1.4.
Để chứng minh bất đẳng thức (1.12) trong Định lý 1.4, ta cần hai bổ đề tương
tự như hai Bổ đề 1.5 và 1.6 như sau:
Bổ đề 1.5b. Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈ C([a, b]).
Giả sử rằng f
(n+1)
tăng trên [a, b] và
,1)()(

!
1
0 ≤−≤
∫
b
x
n
dttgxt
n
∀x ∈ [a, b].
Đặt
(1.56)
.)()(
)!1(
1
1
1
∫
+
−
+
=λ
b
a
n
dxxgax
n

Khi đó, ta có các bất đẳng thức
(1.57)

.)()()(),()()(
1
)()(
,
)(
1
)(
∫
λ−−≤≤−λ+
b
a
nn
fn
nn
bfbfdxxgxaRafaf
Bất đẳng thức tích phân chứa phần dư Taylor và các ứng dụng


Luận văn Thạc Sỹ Toán học 21 Phạm Đoan Ngọc
Bổ đề 1.6b.
Cho f, g : I → R, a, b ∈ I
0
, a < b. Cho f∈ C
n+1
([a, b]), g∈C([a, b]).
Giả sử rằng f
(n+1)
tăng trên [a, b], m ≤ g(x) ≤ M, m≠M, ∀x∈ [a, b].
Đặt
(1.58)

.
2
)()(
))((
1
1
1
1
+
−
−
−−
−−
=λ
∫
+
+
n
ab
mM
m
dxxgax
abmM
b
a
n
n

Khi đó, ta có bất đẳng thức
(1.59)

()
∫
−
−−
+
≤−λ+
+
b
a
fn
n
nn
dxmxgxaR
abmM
n
afaf )(),(
))((
)!1(
)()(
,
1
1
)(


).()(
)()(
1
nn
bfbf λ−−≤

Chứng minh Bổ đề 1.5b.
Đặt
(1.60)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
+
=
+
−
−=
−=
−==λ
−=
−=

∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫
+
=
=
+
+
b
a
n
tx
ax
n
b
a
b
a
n
b
a
b
a
n
b
a
b
a

n
b
a
n
n
n
n
dttgat
n
n
xt
dttg
n
dxxtdttg
n
dttgxtdx
n
dxxG
dttgxt
n
xG
xfxF
.)()(
)!1(
1
1
)(
)(
!
1

)()(
!
1
)()(
!
1
)(
,)()(
!
1
)(
),()(
1
1
1
)1(

Khi đó F
n
(x), G
n
(x) và λ
1
thỏa các điều kiện của Định lý 2.2. Vậy
(1.61)
.)()()()(
1
1
∫∫ ∫
λ−

λ+
≤≤
b
b
b
a
a
a
nnnn
dxxFdxxGxFdxxF
Mặt khác
(1.62)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
λ+−=−=
−λ−=−=
∫∫
∫∫
λ+λ+
+
λ−λ−
+
).()()()(
),()()()(
1
)()()1(
)(

1
)()1(
11
11
afafdxxfdxxF
bfbfdxxfdxxF
nn
a
a
a
a
n
n
b
b
b
b
nnn
n