Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn

Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1 Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn 3
1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 2 Tập và hàm dưới giải tích 7
2.1 Tập và hàm nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Tập nửa giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Tập dưới giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Dưới giải tích toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 3 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn 20
3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm liên tục dưới giải tích . . . . . 20
3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm lồi, dưới giải tích, nửa liên
tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Đặc trưng Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert . . 26
3.3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz với điều kiện metric chính . . . 26
3.3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz trong không gian Hilbert . . . . 30
3.3.3 Đặc trưng của Bất đẳng thức Lojasiewicz . . . . . . . . . . 32
Chương 4 Áp dụng Hệ động lực vi phân 40
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
Quyết định giao đề tài luận văn 49
1
Mở đầu
Bất đẳng thức Lojasiewicz là một trong những công cụ mạnh của Giải tích,
có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Lý thuyết
kỳ dị, Hình học giải tích, Hình học đại số, Phương trình đạo hàm riêng, Tối
ưu,
Bất đẳng thức Lojasiewicz được thiết lập đầu tiên bởi nhà Toán học nổi tiếng
người Ba Lan Lojasiewicz vào khoảng những năm 60 của thế kỷ trước cho hàm

giải tích thực. Sau đó, cùng với sự phát triển của Hình học nửa giải tích và dưới
giải tích, bất đẳng thức này được mở rộng cho những lớp hàm tổng quát hơn:
hàm f C
1
dưới giải tích và tiếp theo cho hàm không trơn dưới giải tích, nửa
liên tục dưới [1,2].
Bất đẳng thức Lojasiewicz phát biểu một cách ngắn gọn cho hàm f giải tích
như sau: Tồn tại số ρ 0, 1 sao cho đại lượng
f f ¯x
ρ
∇f x
bị chặn trên lân cận của điểm tới hạn ¯x, tức là ∇f ¯x 0.
Vào năm 2007 trong tài liệu [2], nhóm tác giả Daniilidis - Bolte - Lewis đã
chứng tỏ rằng: Khi f là hàm không trơn, đại lượng ∇f x được thay bằng
một khái niệm "độ dốc " không trơn thích hợp, thì bất đẳng thức trên vẫn còn
đúng cho lớp hàm dưới giải tích.
Mục đích luận văn này tìm hiểu một số yếu tố cơ bản của Hình học dưới
giải tích, trình bày chi tiết chứng minh Bất đẳng thức Lojasiewicz cho lớp hàm
dưới giải tích không trơn và xem xét ứng dụng của nó cho hệ động lực vi phân.
Luận văn chủ yếu đọc hiểu, trình bày hệ thống lại những kết quả trong ba tài
liệu tham khảo chính [1], [2], [5].
Luận văn được cấu trúc thành bốn chương:
2
Chương 1: Một số yếu tố cơ bản của giải tích không trơn
Trong chương này nêu lại các khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích không
trơn liên quan đến luận văn như: hàm lồi, ánh xạ đa trị, hàm nửa liên tục dưới
và đặc biệt là dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân giới hạn.
Chương 2: Tập và hàm dưới giải tích
Tập và hàm dưới giải tích là khái niệm cơ bản của Hình học dưới giải tích. Chúng
Tôi trình bày những nội dung cơ bản nhất các khái niệm này.

Chương 3: Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm không trơn
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này nội dung chủ yếu tác giả
trích từ hai bài báo [1] và [2]. Xét bất đẳng thức Lojasiewicz cho các trường hợp
hàm f liên tục dưới giải tích và hàm f lồi, dưới giải tích, nửa liên tục dưới. Bên
cạnh đó xem xét đặc trưng của bất đẳng thức này trong không gian Hilbert.
Chương 4: Áp dụng hệ động lực vi phân
Trong chương này trình bày ứng dụng của bất đẳng thức Lojasiewicz để đánh
giá tốc độ hội tụ của quỹ đạo hệ động lực dưới vi phân đến điểm tới hạn thông
qua độ dài của quỹ đạo.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất tận tình của
TSKH. Huỳnh Văn Ngãi. Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy đã chỉ
dẫn về chuyên môn vô cùng quý báu.
Tác giả tỏ lòng cảm ơn đến lãnh đạo Khoa Toán, quý Thầy cô trong Khoa
và các cán bộ phòng Sau đại học của trường Đại học Quy Nhơn đã chỉ dẫn và
giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Ngoài ra, tác giả cũng ghi nhận và biết ơn đến các Bạn trong lớp Sư phạm
Toán B- K25 và các học viên lớp Cao học Toán Giải tích-K14 trường Đại học
Quy Nhơn đã có những chia sẽ và đóng góp bổ ích cho tác giả trong quá trình
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất nổ lực về chuyên môn để luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên
do năng lực có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót trong luận văn này. Rất mong
nhận được sự chỉ bảo, góp ý kiến của quý Thầy cô cùng các Bạn để luận văn
được hoàn chỉnh nhất. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
3
Chương 1
Một số yếu tố cơ bản của giải tích
không trơn
Trong chương này nêu các nội dung chính được dùng trong các chương sau.
Nội dung chương này được tham khảo trong tài liệu [11].
Miền hữu hiệu của hàm số f, ký hiệu domf, được xác định như sau:

domf x R
n
: f x .
Đồ thị của hàm số được ký hiệu và xác định
Grf : x, λ R
n
R : f x λ .
Epigraph của hàm số f, ký hiệu epif, được xác định:
epif
x, λ R
n
R : λ f x
.
Epigraph chặt của hàm số f, ký hiệu epi
s
f, được xác định :
epi
s
f
x, λ R
n
R : λ f x
.
Tập K 0, ¯r được xác định như sau:
K 0, ¯r : ϕ C 0, ¯r C
1
0, ¯r : ϕ 0 0, ϕ r 0, r 0, ¯r .
1.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1. (Tập mức)
Cho r

1
r
2
thuộc , , ta đặt: r
1
f r
2
x X : r
1
f x r
2
.
Nếu r
1
r
2
thì ta viết f r
1
và gọi là tập mức.
Nếu r
1
thì f r
2
và gọi là tập mức dưới.
Định nghĩa 1.2.(Khoảng cách)
i) Khoảng cách từ điểm x X đến tập S X được ký hiệu và xác định bởi:
4
d x, S inf
y S
d x, y .

ii) Khoảng cách Hausdorff hai tập S
1
và S
2
được xác định bởi:
d S
1
, S
2
max sup
x S
1
d x, S
2
, sup
x S
2
d x, S
1
.
Định nghĩa 1.3.(Hàm lồi, hàm nửa lồi)
Cho hàm số f : R
n
R . Khi đó:
(i) Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x, y R
n
, với mọi λ 0, 1 , ta có
f λx 1 λ y λf x 1 λ f y .
(ii) Hàm f được gọi là nửa lồi nếu với α 0 thì hàm x f x
α

2
x
2
là hàm
lồi.
Định nghĩa 1.4.(Ánh xạ đa trị)
Cho X, Y là hai không gian metric. Ký hiệu F : X Y được gọi là ánh xạ đa
trị nếu có quy tắc mỗi x X với tập con của Y .
Định nghĩa 1.5. (i) Hàm số f : R
n
R được gọi là nửa liên tục dưới
tại x
0
R
n
nếu lim
x x
0
inff x f x
0
.
(ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên R
n
nếu nó liên tục dưới tại mọi
điểm x R
n
.
1.2 Dưới vi phân
Định nghĩa 1.2.1. Cho f : R
n

R là hàm nửa liên tục dưới,
x domf.
i) Dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x, ký hiệu
ˆ
f x , được xác định bởi:
ˆ
f x : x R
n
: lim
y x,y x
inf
f y f x x , y x
y x
0 ,
trong đó x domf và
ˆ
f x ∅ trường hợp còn lại.
ii) Dưới vi phân giới hạn của hàm f tại x, ký hiệu f x , được xác định bởi:
f x : x R
n
x
k
, x
k
: x
k
x , x
k
, f x
k

x, f x , x
k
ˆ
f x
k
.
5
Nhận xét 1.2.1.
(i)
ˆ
f x f x .
(ii) Nếu f là hàm lồi thì
ˆ
f x f x .
(iii) Nếu f C
1
thì
ˆ
f x f x f x .
Ví dụ 1.2.1. Cho hàm số
f x
x sin
1
x
nếu x 0
0 nếu x 0.
Khi đó
f 0 1, 1 .
Định nghĩa 1.2.2. Độ dốc không trơn của hàm số f tại x, ký hiệu m
f

x , được
xác định bởi:
m
f
x : inf x : x f x .
Tính chất 1.2.1. Nếu f là Lipschitz địa phương tại x và g là nửa liên tục dưới
thì
f g x f x g x .
Mệnh đề 1.2.1. Cho hàm số: f : R
n
R
nửa liên tục dưới, g : R
m
R
n
là hàm thuộc C
1
, h : R
m
R sao cho h x f g x . Khi đó,
∇g x
T
ˆ
f g x
ˆ
h x .
Hơn nữa, nếu f Lipschitz tại g x thì h x ∇g x
T
f g x .
Định nghĩa 1.2.2. Cho hàm số f : R

n
R .
(i) Điểm a R
n
được gọi là điểm tới hạn của hàm số f , nếu 0 f a . Ký hiệu
critf là tập các điểm tới hạn của f.
(ii) Số r domf được gọi là giá trị trị tới hạn của f , nếu tập f r chứa điểm
tới hạn.
Định nghĩa 1.2.3. Độ dốc mạnh của hàm f tại x domf, ký hiệu ∇f x
được xác định bởi:
∇f x lim
y x
sup
f x f y
d x, y
, trong đó a max
a, 0 .
6
Quy ước:
0
0
0.
Nhận xét 1.2.2.
(i) ∇f x m
f
x
(ii) Nếu f C
1
thì ∇f x m
f

x .
7
Chương 2
Tập và hàm dưới giải tích
2.1 Tập và hàm nửa đại số
Định nghĩa 2.1. Cho X R
n
. Tập X được gọi là nửa đại số nếu và chỉ nếu
tồn tại các đa thức f
ij
x và g
ij
x ; trong đó i 1, , p, j 1, , q sao cho
X
p
i 1
x : f
ij
x 0, g
ij
x 0, j 1, , q
.
Định nghĩa 2.2. Cho X R
n
. Hàm số f : X R được gọi là nửa đại số nếu
với mỗi tập con nửa đại số T của R
p 1
thì
t, x R
p n

: x X, t, f x T
là tập nửa đại số.
Định lý 2.1. [4, Định lý 2.3]
Cho đa thức P x, y , trong đó x x
1
, , x
n
. Khi đó tồn tại phép phân hoạch
nửa đại số
A
1
, , A
m
của R
n
sao cho, mỗi k 1, , m, P x, y có dấu thuộc
0, 0, 0 , với mọi x A
k
và y R hoặc tồn tại hữu hạn hàm liên tục
nửa đại số ξ
1
ξ
n
trên A
k
sao cho
• ξ
1
x , , ξ
r

k
x là tập không điểm của P x, y , với mỗi x A
k
;
• Dấu của P x, y , x A
k
chỉ phụ thuộc vào dấu y ξ
i
x , mỗi i 1, , r
k
.
Hệ quả 2.1. Cho đa thức P x, y , trong đó x x
1
, , x
n
. Khi đó tồn tại
phép phân hoạch nửa đại số A
1
, , A
m
của R
n
sao cho, mỗi k 1, , m, không
điểm của P
1
, , P
t
trên A
k
được cho bởi các hàm liên tục nửa đại số ξ

1
ξ
n
và dấu của mỗi p
j
x, y trên A
k
chỉ phụ thuộc vào dấu của y ξ
i
x , i 1, , r
k
.
8
2.2 Tập nửa giải tích, tập dưới giải tích
2.2.1 Tập nửa giải tích
Gọi U là tập con mở của không gian R
n
. Ta ký hiệu O U là tập các hàm
giải tích trên U.
Định nghĩa 2.1.1. Tập con A của R
n
được gọi là nửa giải tích nếu mỗi điểm
thuộc R
n
có lân cận V sao cho A V có dạng:
p
i 1
q
j 1
x V : f

ij
x 0, g
ij
0 ,
trong đó f
ij
, g
ij
: V R là các hàm giải tích thực; với mỗi 1 i p, 1 j q.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là tập con của M . Hàm f : X R gọi là nửa giải
tích nếu đồ thị của nó là tập nửa giải tích.
Bổ đề 2.1.1.(Bổ đề Thom)
Cho P
1
x , , P
m
x là các hàm đa thức một biến. Đặt
A
m
i 1
x R : P
i
x σ
i
0 ,
trong đó σ
i
là các dấu , , . Khi đó
(i) A ∅ hoặc là tập liên thông.
(ii) Nếu A ∅ thì

¯
A
m
i 1
x : P
i
x ¯σ
i
0 ,
trong đó ¯σ
i
là các dấu , , .
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m. Khi m 0 thỏa mãn.
Giả sử khẳng định trên đúng với m 1, trong đó m 1. Sắp xếp P
1
x , , P
m
x
sao cho P
m
x có bậc cao nhất. Đặt
A
m 1
i 1
x : P
i
x σ
i
0
.

Khi đó A A
x : P
m
x σ
m
0
. Giả thiết A
∅. Nếu A là giá trị thì kết
quả được suy ra. Nếu A là một khoảng thì đạo hàm của P
m
có hằng số dấu
trên A . Do đó P
m
đơn điệu hoặc hằng số trên
¯
A . Kết quả được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.1. Cho f
1
x, y , , f
t
x, y O M y . Khi đó tồn tại phép phân
9
hoạch nửa giải tích A
1
, , A
m
của M sao cho mỗi k 1, , m thỏa:
(i) f
1
, , f

m
trên A
k
được cho bởi các hàm nửa giải tích liên tục ξ
1
ξ
r
k
.
(ii) Dấu của f
i
x, y trên A
k
phụ thuộc vào dấu của y ξ
i
x .
Định nghĩa 2.1.3. Cho U là tập con mở của R
n
. Họ hữu hạn f
1
, , f
m
O U
gọi là tách nếu với tập A U , A nửa giải tích có dạng:
A
m
i 1
x U : f
i
x σ

i
0 ,
trong đó σ
i
, , , ta có:
(i) A là ∅ hoặc là tập liên thông.
(ii) Nếu A ∅ thì
¯
A
m
i 1
x U : f
i
x σ
i
0 , trong đó ¯σ
i
, , .
Định lý 2.1.1. Họ hữu hạn các hàm giải tích trên M có thể được bổ sung các
hàm xét trên lân cận của điểm cho trước để được họ tách.
Chứng minh. Giả sử dimM m. Gọi họ f
1
, , f
p
O M . Theo định lý Weier-
strass[10, Chương 2, Định lý 2] ta giả thiết điểm thuộc M có lân cận U sao cho:
(i) U U I, trong đó U là tập con mở của R
m 1
và I là khoảng mở.
(ii) Gọi x, y x

1
, , x
m 1
, y là tọa độ của U U I. Khi đó mỗi f
j
x, y
u
j
x, y g
j
x, y , trong đó u
j
là hàm giải tích triệt tiêu trên U và g
j
là đa thức
theo biến y có hệ số là các hàm trên U , do đó mỗi x U , các nghiệm của
g
i
x, y thuộc I.
Mỗi g
j
O U y O U R . Rõ ràng nó biểu diễn qua các hàm g
1
, , g
p
có
thể bổ sung để được họ tách, thu hẹp trên U nếu cần thiết. Nếu m 1 thì đây
chính là bổ đề Thom: Ta có họ tách bằng cách thêm vào các đạo hàm.
Nói chung, ta thêm vào các đạo hàm của g
1

, , g
p
, sắp như sau
g
1
, , g
p
, g
p 1
, , g
p q
.
Theo Mệnh đề 2.1.1, tồn tại phép phân hoạch nửa đại số B
1
, , B
s
của U
sao
cho, với mỗi k 1, , s thì g
1
, , g
p q
trên B
k
được cho bởi các hàm liên tục
nửa giải tích ξ
1
ξ
t
k

và dấu của g
j
x, y trên B
k
chỉ phụ thuộc vào dấu của
y ξ
i
x . Khi thu hẹp trên U , mỗi B
k
có thể được mô tả bởi các hàm trên U .
Ta bổ sung các hàm trên B
k
đó là g
p q 1
x , , g
p q r
x . Khi đó g
1
, , g
p q r
là họ tách trên U R. Giả sử
A
p q r
j 1
x, y : g
j
x, y σ
j
0 ,
10

trong đó σ
j
, , . Đặt
B
p q r
j p q 1
x, y : g
j
x, y σ
j
0 .
Gọi ξ
1
ξ
t
là nghiệm của g
1
x , , g
p q
x trên B và π : U R U
là phép chiếu. Theo bổ đề Thom, nếu x
0
B thì A π
1
x
0
là ∅, x
0
, ξ
i

x
0
hoặc khoảng
x
0
, y : ξ
i
x
0
y ξ
i 1
x
0
, trong đó ξ
i
có thể là và ξ
i 1
có thể là . Vì dấu của g
j
x, y phụ thuộc dấu y ξ
i
x trên B; A là một trong
các trường hợp ∅, x, ξ
i
x : x B hoặc x, y : x B, ξ
i
x y ξ
i 1
x .
Khi đó A rỗng hoặc liên thông.

Giả sử A ∅. Đặt
A
p q r
j 1
x, y : g
j
x, y ¯σ
j
0 ,
trong đó ¯σ
j
, , . Gọi
¯
A là bao đóng của A trong U R.
Rõ ràng,
¯
A A . Ta sẽ đi chứng minh A
¯
A.
¯
B
p q r
j p q 1
x : g
j
x ¯σ
j
0 .
Lấy x
0

¯
B. Vì g
j
x, y là đa thức xét theo hạn chế của biến y, ta tìm lân cận
V của x
0
trong U và K 0 sao cho các nghiệm ξ
1
, , ξ
t
bị chặn theo K trên
B V . Do đó, mọi x B V ,
¯
A x K, K ∅ thì
¯
A π
1
x
0
∅.
Theo bổ đề Thom có hai trường hợp nghịch ảnh của x
0
:
(i) Nếu một điểm thì nó trùng với nghịch ảnh của x
0
.
(ii) Nếu là một khoảng đóng. Giả sử x
0
, y thuộc phần trong. Khi đó chắc chắn
g

j
x
0
, y σ
j
0, j 1, , p q, trong đó σ
j
, . Suy ra x
0
, y
¯
A. Do đó
khoảng đóng nằm trong
¯
A.
Vậy A
¯
A.
Hệ quả 2.1.1. Cho X M, X nửa giải tích. Khi đó:
(i) Mỗi thành phần liên thông của X là nửa giải tích;
(ii) Họ các thành phần liên thông của X là hữu hạn địa phương. Đặc biệt họ là
hữu hạn nếu X compact tương đối;
(iii) X liên thông địa phương.
11
Hệ quả 2.1.2. Cho A là tập nửa giải tích. Khi đó
¯
A và int A là các tập nửa
giải tích.
Hệ quả 2.1.3. Cho X M, X nửa giải tích. Gọi U X, U là nửa giải tích
mở trong X. Khi đó:

(i) U là hợp hữu hạn của các tập nửa giải tích có dạng:
x X : f
1
x 0, , f
k
x 0 ,
trong đó f
j
là các hàm giải tích;
(ii) Mỗi tập nửa giải tích đóng trong M là hợp hữu hạn của các tập có dạng
x X : f
1
x 0, , f
k
x 0 ,
trong đó f
j
là các hàm giải tích.
Mệnh đề 2.1.2. Cho f
1
, , f
p
O M và a M. Khi đó tồn tại lân cận mở
nửa giải tích U của a và họ tách h
1
, , h
p
, h
p 1
, , h

p s
O U sao cho
(i) h
j
f
j U
, j 1, , p;
(ii) Họ
A
k
các tập con của U thỏa:
• U
k
A
k
,
• Mỗi A
k
là nửa giải tích liên thông và là đa tạp con của M.
• (Điều kiện biên) Nếu A
k
¯
A
l
∅ thì A
k
¯
A
l
và dimA

k
dim A
l
.
Chứng minh. Gọi U và U là các tập nửa giải tích. Tập con của U
B
p q r
j p q 1
x U : g
j
x σ
j
0
Hạn chế trên U , ta giả sử các nghiệm ξ
1
ξ
t
của g
1
x, y , , g
p q
x, y có
đồ thị là nửa giải tích trên M. Khi đó U là hợp của các tập nửa giải tích rời
nhau có dạng
A
p q
j 1
x, y U I : x B, g
j
x, y σ

j
0 .
Vì g
1
, g
p q
ổn định dưới phép lấy vi phân khi xét theo biến y nên mỗi ξ
i
x
là nghiệm đơn của g
i
x, y . Do đó B là đa tạp, ξ
i
giải tích và A là đa tạp. Từ
12
phép chứng minh của định lý 2.1.1 ta suy ra điều kiện biên.
Hệ quả 2.1.4. Gọi X
i
là họ hữu hạn các tập con nửa giải tích địa phương của
M. Khi đó tồn tại họ hữu hạn phân tầng nửa giải tích địa phương
A
k
tương
ứng với X
i
, tức là mỗi X
i
là hợp các A
k
.

Bổ đề 2.1.2. Cho A B M, B là nửa giải tích. Đặt A
1
¯
A B và
A
2
A cl B A . Khi đó A nửa giải tích khi và chỉ khi A
1
A và A A
2
là nửa
giải tích.
Định lý 2.1.2. Cho X M. Khi đó X là nửa giải tích, dimX k khi và chỉ
khi tồn tại tập giải tích Z M, dimZ k sao cho X Z,
¯
X X và X int X là
nửa giải tích, cùng có số chiều bé hơn bằng k 1.
Chứng minh. Điều kiện cần rõ ràng được suy ra. Ta chứng minh điều kiện đủ.
X là hợp hữu hạn của các tập có dạng
A
r
j 1
f
j
x 0
s
j r 1
f
j
x 0 ,

trong đó f
1
, , f
s
là các hàm giải tích. Khi đó,
r
j 1
f
j
x 0
mở và Y
s
j r 1
f
j
x 0
là tập giải tích.
Ta hạn chế trên lân cận địa phương, sẽ tồn tại tập con giải tích Y của Y sao
cho Y Y là một đa tạp giải tích có số chiều bằng số chiều Y [6, 10]. Từ đó A
mở trong Y ; nếu dimY dimA thì A Y . Khi đó lặp lại lý luận cho Y , A
nằm trong tập Z có số chiều bằng số chiều A.
Theo bổ đề 2.1.2,
¯
A A và A intA là nửa giải tích. Theo hệ quả 2.1.4, ta phân
tầng A và
¯
A A, biên A có số chiều bé hơn số chiều A . Gọi A
2
là phần trong
của A trong Z. Phân tầng A và A

2
, khi đó A
2
chứa trong A có số chiều bằng số
chiều A. Do đó A A
2
có số chiều bé hơn số chiều A.
2.2.2 Tập dưới giải tích
Định nghĩa 2.1.4. Tập con A của R
n
được gọi là dưới giải tích nếu mỗi điểm
thuộc R
n
có lân cận V sao cho
A V x R
n
: y R
m
, x, y B ,
trong đó B là tập con bị chặn nửa giải tích của R
n
R
m
với mỗi m 1.
Định nghĩa 2.1.5. Hàm số f : R
n
R
được gọi là dưới giải tích nếu
13
đồ thị của nó là tập dưới giải tích trong R

n
R.
Tính chất 2.1.1.
i) Hợp và giao hữu hạn các tập dưới giải tích là dưới giải tích.
ii) Phần bù, phần trong, bao đóng và biên của tập dưới giải tích là dưới giải
tích.
iii) Thành phần liên thông của một tập là dưới giải tích.
Định nghĩa 2.1.6. Cho X M, X dưới giải tích.
(i) Điểm x X được gọi là điểm trơn nếu trong lân cận của nó thì X là đa tạp
giải tích con của M.
(ii) Tập X gọi là trơn nếu mọi điểm của nó là điểm trơn.
Bổ đề 2.1.3. Cho X W , X là nửa giải tích và compact tương đối. Khi đó
X là hợp hữu hạn của các tập con nửa giải tích trơn liên thông A, sao cho trên
mỗi A:
(i) rank π
A
là hằng số trên A;
(ii) Không gian con tuyến tính T
x
A V, x A có chung phần bù của V và
không gian π T
x
A , x A có chung phần bù của U. Ký hiệu T
x
A là không gian
con tiếp xúc với A tại x;
(iii) Tồn tại hàm giải tích g trong lân cận của
¯
A sao cho g 0 trên A và g 0
trên

¯
A A.
Chứng minh. Giả sử dimX k. Nếu k 0 thì kết quả được thỏa mãn. Nếu
k 0 thì tồn tại tập con dưới giải tích Y của X sao cho dimY k và X Y có
số chiều bằng k chứa các điểm trơn. Ta chứng minh quy nạp theo k. Giả sử kết
quả thỏa mãn cho Y . Khi đó ta giả thiết X trơn và liên thông.
Đặt X
0
x X : rk
x
π
X
max . Khi đó X
0
nửa giải tích và dim X X
0
k.
Tập X
0
nằm trong tập giải tích có số chiều bằng k; do đó ta giả thiết có các
hàm h
1
, , h
n k
xác định trên lân cận của X
0
sao cho h
i
0 trên X
0

, với
i 1, , n k. Nếu tập Z gồm các giá trị x sao cho gradh
i
x phụ thuộc tuyến
tính thì dim X
0
Z k. Theo phép quy nạp ta giả sử rk
x
π
X
là hằng số
trên X và gradh
i
x độc lập tuyến tính.
Gọi G
k
M là không gian con tuyến tính k chiều của W . Lấy E, F lần lượt là
các không gian con của U và V . Gọi G
E,F
là tập gồm các T G
k
W sao cho F
bổ sung T V trong V và E bổ sung π E trong U . Rõ ràng G
E,F
là tập con
14
mở nửa đại số của G
k
W . Khi đó tồn tại hữu hạn các cặp như E, F sao cho
G

k
W G
E,F
.
Ta được
X
E,F
x X : T
x
X G
E,F
là hợp các tập mở trong X. Ta suy ra được (i) và (ii). Gọi là tập gồm các
z
1
, , z
n k
W
n k
sao cho z
1
, , z
n k
phụ thuộc tuyến tính. Nếu
z
1
, , z
n k
W
n k
,

ta đặt S z
1
, , z
n k
là phần bù trực giao của không gian con sinh bởi z
1
, , z
n k
.
Khi đó
S : W
n k
G
k
W
là ánh xạ liên tục nửa đại số. Đặt H x gradh
1
x , , gradh
n k
x . Khi đó
S
1
G
E,F
là tập con nửa đại số của W
n k
và
x X : T
x
X G

E,F
X H
1
S
1
G
E,F
là nửa giải tích.
Giả thiết A thỏa (i) và (ii).
¯
A A nằm trong tập giải tích Y , dimY dimA, chứng
minh (iii) thỏa cho A Y . Giả thiết Y x : g
1
x g
p
x 0 , trong đó
g
j
là các hàm giải tích, lấy g g
j
2
.
Bổ đề 2.1.4 (Bổ đề cắt).
Cho X W , X là nửa giải tích và compact tương đối. Khi đó tồn tại hữu hạn
tập con trơn nửa giải tích B con X sao cho:
(i) π X π B ;
(ii) Với mỗi B, π
B
: B U là phép nhúng;
(iii) Với mỗi B thì không gian con π T

x
A , x B có chung phần bù của U.
Bổ đề 2.1.5. Cho tập U, giả sử phần bù của mọi tập dưới giải tích trong
trong U đều dưới giải tích. Gọi B là tập nửa giải tích trơn bị chặn trong W
sao cho π
B
: B U là phép đồng phôi. Mỗi u U, µ u là số các điểm thuộc
B
u
B π
1
u . Khi đó µ u bị chặn trên U.
Định nghĩa 2.1.7. Cho ánh xạ ϕ : X Y , trong đó X, Y là hai tập hợp. Với
mỗi s N , ta định nghĩa X
s
ϕ
được xác định như sau:
15
X
s
ϕ
x x
1
, , x
s
X
s
: ϕ x
1
ϕ x

s
và ánh xạ cảm sinh ϕ : X
s
ϕ
Y xác định bởi ϕ x ϕ x
1
.
Bổ đề 2.1.6. Cho tập U, giả sử phần bù của mọi tập dưới giải tích trong U đều
dưới giải tích. Gọi X W, X dưới giải tích compact tương đối. Số các điểm
µ u thuộc X
u
X π
1
u bị chặn trên U. Khi đó W X là dưới giải tích.
Định lý 2.1.3. (Định lý phần bù)
Cho M là một đa tạp giải tích thực và X là tập con dưới giải tích của M. Khi
đó X M là dưới giải tích.
Chứng minh. Giả sử M là không gian Ơclit n chiều và X là compact tương đối.
Nếu n 0 thì thỏa mãn. Ta xét trường hợp n 0.
Khi đó có không gian vectơ Z, dimZ và tập con nửa giải tích compact
tương đối B của W Z sao cho X π B , trong đó π : W Z W là phép
chiếu. Theo bổ đề cắt ta giả thiết B là trơn, π
B
là phép nhúng và π T
x
B có
chung phần bù của V trong W .
Trường hợp dimB n. Gọi U là phần bù của V trong W và π
0
: W U V U

là phép chiếu. Vì dimU n, định lý đúng trong U. Theo bổ đề 2.1.5, số điểm
trong B π
0
π
1
u bị chặn trên U. Do đó số các điểm trong π B π
0
1
u
bị chặn. Theo bổ đề 2.1.6, phần bù của X π B trong W là dưới giải tích.
Trường hợp dimB n. Khi đó π
B
là phép vi phôi. Đặt C
¯
B B. Khi đó π C
dưới giải tích và có số chiều bé hơn n, do đó W π C dưới giải tích.
Vì tập mở W π
¯
B đóng trong W π C do đó nó cũng dưới giải tích.
W π B W π
¯
B π
¯
B π B W π
¯
B π C π B π C .
Vì π B π C dưới giải tích có số chiều bé hơn n, từ trường hợp 1 suy ra
W π B dưới giải tích.
Ví dụ 2.1.1.
(i) Cho X R

n
, X là dưới giải tích. Hàm khoảng cách d x, X min
x X
x z là
dưới giải tích.
(ii) Tập
A x, z, y R
n
R
n
R : z
¯
X, y x z
Khi đó A là dưới giải tích.
(iii) Phép chiếu chính tắc π xác định bởi π x, z, y x, y . Khi đó tập
x, y R
n
R : y d x, X π A là dưới giải tích.
Ví dụ 2.1.2. Cho M, N là các đa tạp giải tích thực. Gọi X, T lần lượt là tập
16
con của M và N, trong đó T compact. Nếu hàm f : X T R liên tục dưới
giải tích thì hàm g x min
t T
f x, t là dưới giải tích trên X.
Mệnh đề 2.1.3. Cho M là đa tạp giải tích thực, X là tập con đóng dưới giải
tích của M. Khi đó với mỗi điểm của X có lân cận U sao cho X U π A ;
trong đó A là tập con đóng giải tích của U R
q
, dimA dim X U và
π : U R

n
U, π
A
là hàm chính.
Mệnh đề 2.1.4. Cho M là đa tạp giải tích thực, X M. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
(i) X dưới giải tích;
(ii) Mỗi điểm của M có lân cận U sao cho
X U
p
i 1
f
i1
A
i1
f
i2
A
i2
,
i 1, , p; j 1, 2; A
ij
là tập con đóng giải tích của đa tạp giải tích N
ij
;
f
ij
: N
ij
U là giải tích và f

ij A
ij
: A
ij
U là hàm chính;
(iii) Mỗi điểm của M có lân cận U sao cho X U thuộc lớp các tập con của U
đó là giao hữu hạn các tập con, hợp hữu hạn các tập con, phần bù tập con từ
các tập con của U có dạng f A , trong đó A là tập con đóng giải tích trong đa
tạp N, f : N U giải tích và f
A
là hàm chính.
Chứng minh. (ii) (i). Áp dụng định lý phần bù .
(i) (iii). Gọi U là tập con mở của M và A là tập nửa giải tích compact tương
đối của M R
p
sao cho π A X U, trong đó π : M R
p
M. Đặt C
¯
A A.
Khi đó
π A π
¯
A π
¯
A π A π
¯
A π C π A π C .
Ta có π C π A π C dưới giải tích có số chiều nhỏ hơn chiều π A . Theo
mệnh đề 2.1.3 ta suy ra điều cần chứng minh.

(iii) (ii) Theo giả thiết điểm thuộc M có lân cận U sao cho X U là hợp của
các tập có dạng
X
q
j 1
g
j1
A
j1
g
j2
A
j2
,
17
trong đó A
jk
là tập đóng trong N
jk
và g
jk
: N
jk
U là ánh xạ giải tích thực
sao cho g
jk A
jk
chính. Gọi A
1
q

j 1
N
j1
là thớ của A
j1
trên U,
g
1
g
11
π
1
:
q
j i
N
j1
U
Gọi A
2
là hợp của các tập rời nhau dạng A
j1
A
j2
, N
2
là hợp các tập rời
dạng N
j1
N

j2
Khi đó A
2
N
2
. Gọi g
2
: N
2
U là ánh xạ cảm sinh của
g
j1
π
j1
, trong đó π
j1
: N
j1
N
j2
N
j1
. Khi đó g
k A
k
là chính, với k 1, 2 và
X g
1
A
1

g
2
A
2
. Vậy phép chứng minh được suy ra.
Định lý 2.1.4. Cho M, N là hai đa tạp giải tích; X M là compact tương đối.
Hàm ϕ : X N dưới giải tích. Khi đó số các thành phần liên thông của ϕ
1
y
bị chặn địa phương trên N.
Chứng minh. Gọi π : N M N là phép chiếu. Nếu X là tập con dưới
giải tích compact tương đối của N M, thì số các thành phần liên thông của
X
y
X π
1
y , y N bị chặn. Khi đó ta giả thiết X nửa giải tích và N, M
là hai không gian vectơ hữu hạn chiều. Ta chứng minh quy nạp theo số chiều
cực đại k của X
y
. Theo bổ đề 2.1.3, ta biểu diễn X là hợp các tập con nửa giải
tích trơn liên thông A.
Với k 0. Mỗi tập A, ta viết N U V , trong đó V là phần bù tuyến tính
của π T
x
A , x A. Gọi π
1
: N U. Khi đó π
1
π

A
là phép đồng phôi địa
phương; theo bổ đề 2.1.5 kết quả được suy ra.
Đặt k dimA rk π
A
. Khi đó mỗi thành phần của thớ A
y
, y π A là
một đa tạp con của π
1
y có số chiều k. Gọi Z x A : d
x
g
T
x
A M
0 ,
trong đó g là hàm được xác định như trong bổ đề 2.1.3(iii). Theo bổ đề 2.1.4,
ta có mỗi y π A , Z giao với A
y
và dim Z A
k
k. Theo phép quy nạp ta
suy ra kết quả.
2.3 Dưới giải tích toàn cục.
Với mỗi n N, tập C
n
1, 1
n
. Ta định nghĩa τ

n
như sau:
τ
n
x
1
, , x
n
x
1
x
1
2
1
, ,
x
n
x
n
2
1
C
n
.
Định nghĩa 2.2.1.
i) Tập con S của R
n
được gọi là dưới giải tích toàn cục nếu ảnh của nó qua τ
n
18

là tập dưới giải tích.
ii) Hàm số f : R
n
R được gọi là dưới giải tích toàn cục nếu đồ thị
của nó là tập dưới giải tích toàn cục.
Nhận xét 2.2.1.
i) Tập dưới giải tích toàn cục là dưới giải tích.
ii) Tập dưới giải tích bị chặn là dưới giải tích toàn cục.
Định lý 2.2.1. Ảnh của tập dưới giải tích toàn cục qua phép chiếu chính tắc
là tập dưới giải tích toàn cục.
Hệ quả 2.2.1. Ảnh và nghịch ảnh của tập dưới giải tích toàn cục qua hàm dưới
giải tích toàn cục là các tập dưới giải tích toàn cục.
Mệnh đề 2.2.1. Cho f : R
n
R là hàm dưới giải tích toàn cục. Khi
đó domf, epif, epif
s
là các tập dưới giải tích toàn cục.
Mệnh đề 2.2.2. Cho f : R
n
R là hàm dưới giải tích bị chặn tương
đối trên domf, tức là tập
f x : x domf B bị chặn, trong đó B là tập bị
chặn trong R
n
. Khi đó domf, epif, epif
s
là các tập dưới giải tích.
Bổ đề 2.2.1. (Chọn đường cong) [5, Bổ đề 6.3]
Cho A là tập dưới giải tích của R

n
và a bdA. Khi đó tồn tại một đường cong
z : 1, 1 R
n
sao cho z 0 a và z 0, 1 A.
Bổ đề 2.2.2. (Tính đơn điệu) [9, 4.1]
Cho α β trong R. Nếu ϕ : α, β R là hàm dưới giải tích toàn cục thì tồn
tại phép phân hoạch
t
0
: α t
1
t
l 1
: β
của α, β sao cho ϕ
t
i
,t
i 1
là C với mọi i 0, , l . Hơn nữa [8], ϕ có khai
triển Puiseux tại t α; tức là, tồn tại δ 0, số k, l N và dãy a
n
n l
R
sao cho
ϕ t
n l
a
n

t α
n
k
với mọi t α, α δ .
Bổ đề 2.2.3. (Nhân tử Lojasiewicz) [5, 6.4]
Cho K R
n
là tập compact và hai hàm f, g : K R liên tục dưới giải tích toàn
cục. Nếu f
1
0 g
1
0 , thì tồn tại c 0 và r N sao cho g x
r
c f x ,
x K.
Nhận xét 2.2.2. Nếu f lồi, nửa liên tục dưới hoặc domf đóng và f
domf
liên tục thì f và critf đóng. Hơn nữa, m
f
x là hàm nửa liên tục dưới và
19
critf m
f
1
0 .
Mệnh đề 2.2.3. Cho hàm số f : R
n
R . Khi đó
i) Nếu f là dưới giải tích toàn cục thì

ˆ
f, f, m
f
, critf là dưới giải tích toàn cục.
ii) Nếu f là dưới giải tích và bị chặn tương đối thì
ˆ
f, f, m
f
, critf là dưới giải
tích.
Hệ quả 2.2.2. Cho hàm số f : R
n
R . Khi đó
i) f
ˆ
f
, f
f
là dưới giải tích toàn cục.
ii) m
f B
là dưới giải tích toàn cục, với B là tập con dưới giải tích của R
n
.
20
Chương 3
Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm
không trơn
3.1 Bất đẳng thức Lojasiewicz cho hàm liên tục
dưới giải tích

Mệnh đề 3.1.1. Cho f là hàm dưới giải tích, ký hiệu critf
a
là thành phần
liên thông của critf chứa a, domf đóng tương đối và f
domf
liên tục. Khi đó
f
critf
a
(3.1)
là hằng số
Định lý 3.1.1. Cho f : R
n
R là hàm dưới giải tích, domf đóng và
f
domf
liên tục. Gọi a R
n
là điểm tới hạn của f. Khi đó tồn tại θ 0, 1 sao
cho hàm
f f a
θ
m
f
(3.2)
bị chặn trong lân cận a.
Ta quy ước: 0
0
1 và
0

0
0.
Chứng minh. Ta đặt S critf và S
a
critf
a
. Gọi g x f x f a , không
mất tính tổng quát giả thiết f a 0. Suy ra a f
1
0 . Vì f
critf
a
là hằng
số nên S
a
f
1
0 .
Ta sẽ chứng minh f dưới giải tích toàn cục và S
a
compact.Thật vậy, nếu trái lại
ta thay f bởi hàm dưới giải tích toàn cục g được xác định bởi
g x f x δ
B a,R
x , trong đó δ
B a,R
là hàm chỉ.
Khi đó domg đóng tương đối và g liên tục tương đối trên đó, a là điểm tới hạn
của g và critg
a

B a, R S
a
B a, R .
Như vậy ta chuyển bài toán chứng minh cho hàm f sang chứng minh đối với
21
hàm g.
Ta xét hàm x m
f
x
1
f x
θ
bị chặn khi x thuộc tập dưới giải tích
f
1
0, cũng như khi x thuộc tập f
1
, 0 . Từ đó không mất tính
tổng quát ta giả thiết f 0.
Ta chọn ∆ 0 sao cho tập compact U x R
n
: d
S
a
x ∆ domf tách S
a
từ các thành phần liên thông của S.
Ta có U là tập dưới giải tích đầy đủ. Ta cần chứng minh rằng x bất kì thuộc
bdS
a

thì
lim
x ¯x
x U S
a
f x
m
f
x
0. (3.3)
Thật vậy, nếu trái lại thì tồn tại dãy x
p
, x
p
thuộc Gr f và r 0, x
p
¯x
sao cho f x
p
r x
p
, p. Theo định nghĩa dưới vi phân giới hạn tồn tại dãy
y
p
, y
p
Gr
ˆ
f sao cho f y
p

r y
p
0, trong đó y
p
¯x. Điều này chứng tỏ
với r 0, ¯x thuộc bao đóng của tập
F x U S
a
: x
ˆ
f x , f x r x
0
.
Nhận xét rằng F dưới giải tích toàn cục, do đó theo bổ đề chọn đường cong tồn
tại đường giải tích z : 1, 1 R
n
thỏa z 0 ¯x và z 0, 1 F. Do đó với
t 0 tồn tại dưới gradient khác 0 z t
ˆ
f z t thỏa
f x t r z t 0. (3.4)
Vì f
domf
liên tục tại ¯x z 0 nên hàm dưới giải tích 0, 1  t h t f z t
liên tục tại t 0 và f
critf
a
hằng số nên h 0 f ¯x 0.
Áp dụng bổ đề đơn điệu cho hàm h dưới giải tích toàn cục và quy tắc dây chuyền,
ta có với t đủ nhỏ h t M z t , trong đó

M max z t : t
1
2
,
1
2
.
Áp dụng phần trên đã có ta được
h t
h
t
rM
1
0, t 0. (3.5)
Xét khai triển triển Puiseux của h xung quanh t 0, ta có số hữu tỉ dương q và
c 0 để h t ct
q
o t
q
, t 0. Vi phân khai triển Puiseux của h tại t 0
và thế vào trên ta suy ra mâu thuẫn.
Bây giờ ta chứng minh 3.2 . Xét hàm dưới giải tích toàn cục
22
ϕ t inf m
f
x : x U f
1
t , t R .
Rõ ràng ϕ 0 0, từ định nghĩa tập U đảm bảo 0 ϕ t , t 0. Nếu
với mỗi δ 0, hàm ϕ giả sử có giá trị vô hạn tại điểm bé nhất trong 0, δ thì

theo tính giải tích của domϕ suy ra 0 là điểm cô lập của domϕ. Khi đó 3.2 trở
nên tầm thường. Ta giả thiết ϕ là hữu hạn xung quanh 0. Theo bổ đề tính đơn
điệu suy ra
l lim
t 0
ϕ t 0, .
Trường hợp l 0, 3.2 dễ dàng được suy ra(với θ 0). Vì vậy giả sử l 0 và
ϕ liên tục. Khi đó, xét khai triển Puiseux của ϕ có dạng:
ϕ t
n 0
a
n
t
n
k
, t 0, với k N .
Lấy n
0
N là chỉ số đầu tiên sao cho a
n
0
0 và đặt η
n
0
k
. Khi đó,
ϕ t ct
η
o t
η

, (3.6)
trong đó c : a
n
0
0. Để 3.2 không tầm thường, ta giả sử từ 3.1 tồn tại dãy
x
υ
υ
U S
a
sao cho x
υ
a, m
f
x
υ
0 và f x
υ
0.
Xét tập dưới giải tích toàn cục
A
x U S
a
: m
f
x ϕ f x , f x 0
∅.
Ta sẽ chứng minh
clA S
a

∅. (3.7)
Thật vậy, nếu trái lại thì theo tính compact, tồn tại lân cận mở V xung quanh
S
a
sao cho S
a
V domf U và A V ∅. Đặt t
υ
f x
υ
và xét y
υ
U
sao cho m
f
y
υ
ϕ t
υ
và t
υ
f x
υ
ta được y
υ
υ
U V . Theo tính compact,
ta có thể giả sử y
υ
y U V , khi đó m

f
y 0, tức là y S
a
. Điều này mâu
thuẫn.
Vậy 3.7 thỏa mãn, do đó tồn tại đường z : 1, 1 R
n
với z 0 b S
a
và
z 0, 1 A. Khi s 0 ta có f z s 0 và m
f
z s ϕ f z s 0.
Từ 3.6 suy ra m
f
z s c f z s
η
o f z s
θ
. Do đó 3.3 suy ra η 1.
Lấy θ η, 1 và sử dụng 3.6 tồn tại t
0
0 sao cho ϕ t ct
θ
, t 0, t
0
. Vì
f
domf
liên tục tại a nên tồn tại µ 0 sao cho x domf B a, µ . Để được

3.2 ta quan sát thấy m
f
x ϕ f x cf x
θ
, x B a, µ .
23
Nhận xét 3.1.1. Bất đẳng thức Lojasiewicz khẳng định trên vẫn đúng trên lân
cận điểm a domf critf.