Các kỹ thuật sử dung bất đẳng thức caushy và bunnhicoxky

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki


- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

1
Phn mt BT NG THC Cễ SI (AM-GM) V K THUT S DNG

I-CC DNG BT NG THC
1).Dng c bn:
12
12


n
n
n
aa a
aa a
n
+++

vi
0, 1,
i
ain=

2).Dng lu tha:
12 12

m

mm m
nn
aa a aa a
nn
+++ +++




vi 0, 1,
i
ain=
3).Dng cng mu s:
2
12 12
11 1


nn
n
aa a aa a
++
+
++
vi 0, 1,
i
ain>=
4).Dng trung bỡnh
a).Trung bỡnh nhõn:
()( )

12 12 1 1 2 2
. . ( )
nn
n
nn nn
aa a bb b a b a b a b++++
(Bt ng thc MinCụpxki)
H qu:
()()()
()
12 12
1 1 1 1
n
n
nn
aa a aaa++ ++
b).Trung bỡnh cn:
22
22
111
nnn
ii i i
iii
ab a b
===

+ +

(Bt ng thc MinCụpxki)
c). Trung bỡnh iu ho:
11
1
11
nn
ii
n
ii
ii
nn
i
ii
ii
ii
ab
ab
ab
ab
==
=
==




+
+

vi
0, 0; 1,
ii
ab in>>=

Mi quan h gia cỏc dng trung bỡnh:
22
2
22
ab a b a b
ab
ab
++

+

5).Dng phõn thc:
12
12
11 1

11 1
1 .
n
n
n
n

aa a
aa a
+++
++ +
+
vi 0, 1,
i
ain>= (Bt ng thc Jen sen).
II-K THUT S DNG BT NG THC Cễ SI
1. Phơng pháp cân bằng tổng (ỏnh giỏ t trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn)
Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi
Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
chúng bằng nhau.
Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S
1
+ S
2
+ + S
n
m ,
ta biến đổi S = A
1
+A
2
+ +A
n
là các số không âm mà có tích A
1
A
2

A
n
= C không đổi,
sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Vớ d 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x +
1
1
x
khi x > 1
Giải: Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và
1
1
x
> 0 ta có
()
1111
121 12 3
1111
xxx x
xxxx
+ + +

.
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.
Vớ d 2. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì
2
1
21
(1)
x

x
+

+
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki


- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

2
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả, nhng
nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh.
Vớ d 3. Chứng minh rằng 0x thì
1
)3(
27
3

+
+
x
x
.
Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải
phân tích x thành 3 số hạng là
3
3
x+

Giải: Bất đẳng thức đã cho tơng đơng

13
)3(
27
3
3
3
3
3
3
3

+
+
+
+
+
+
+
x
xxx
4
)3(
27
3
3
3
3
3
3
3

+
+
+
+
+
+
+

x
xxx
.
Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dơng gồm ba số
3
3
+
x
và
()
3
3
27
+x

ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi x=0
Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
12
2

+
+
x
x
với x > 0
2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì
()
1
3
9
3
2
2

+
+
x
x

3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 3
)1)((
2

+ bba
b

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn:
1
32
=+

yx

Hớng dẫn: từ biểu thức ta có y =
2
6
3
2
3

+=
xx
x
do vậy
Q =
5
2
6
2
2
6
3 +

+=

++=+
x
x
x
xyx

5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R =
ab
ba
ba
ab
22
22
+
+
+
với a > 0, b > 0
HD: R =
22 22
22
3
.
44
ab ab ab
a b ab ab
++
++
+
sau đó dùng bất đẳng thức Côsi.
6. Chứng minh rằng
2
2
(2) 3(0)
2
xa
x

++ >
+

7. Chng minh rng
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki


- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

3
1).
()
()
8
2
64 , , 0ab abab ab+ +
2).
()( )
19,,0a b a b ab ab a b++ ++

3).
33 2
37 9,,0ab abab+ HD:
3
33 33 333 36 2
37 36 333327 9,,0abababb ab abab
+
+=++ =

8. Cho

,,, 0
1111
3
1111
abcd
abcd
>



+++

++++

. Chng minh rng:
1
81
abcd

HD:
()()()
3
11 1 1
111 3 0
11 1 1111111
bcd bcd
ab c dbcdbcd

= + + = + +

++ + +++++++



9. Cho
,, 0
1
abc
abc
>


++=

. Chng minh rng:
111
1118
abc





.
HD:
11
1
abc
aa a
+

= =
.
Chỳ ý: Tỏch nghch o trong k thut ỏnh giỏ trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn l k tỏch
phn nguyờn theo mu s khi chuyn sang trung bỡnh nhõn thỡ cỏc phn cha bin s b trit tiờu.
10. Chng minh rng:
1).
2
2
2
2,
1
a
a
a
+

+
\ 2).
22
22,
1
ab
ab
ab
ab
>

+

=



3).
()
1
3, 0aab
ba b
+>>

4).
()()
2
4
3, 0
1
aab
abb
+
>
+

5).
()
2
1
22, 0aab
ba b
+>>

6).
()
3
1
21
2
3,
4
1
a
a
a
ba b
b



+





>




11. Vi mi x, y, z dng, hóy chng minh

333
xyz
x
yz
yz zx xy
+
+++

12. Vi x, y, z l cỏc s dng cú tớch bng 1, hóy chng minh bt ng thc sau
()()()()()()
333
3
11 11 11 4
xyz
yz zx xy
++
++ ++ ++


2. Phơng pháp cân bằng tích ( ỏnh giỏ t trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng)
Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tích của
chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P=
P
1
P
2
P
n

M
ta
phân tích P = B
1
B
2
B
n
là các số không âm mà tổng B
1
+ B
2
+ + B
n
= C

là một số không đổi.
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

4
Vớ d 1. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng ab
2

27
4
.

Phân tích: ta cần tách biểu thức ab
2
thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó
chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1.
Giải: ab
2
=
2
.
2
.4
bb
a
mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng là a, b/2,b/2
ta có:
27
4
2
.
2
.4
27
1
2
.
2
.
3
1
3

22
2
.
2
.
3
=
++

bb
a
bb
a
bb
a
bb
a đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3.

Bi tp t luyn
Bi 1. Chng minh rng:
1).
()()
+++ >,,,, 0ab cd a c b d a b c d
2).
() ()
>>

+

>>

0
,
0
ac
ca c cb c ab
bc

3).
()()
+
24
16 , , 0ab a b a b a b
4).
()( )
()()
22
1
11
22
11
ab ab
ab
+

++

Bi 2. Chng minh rng:
()()()

++++
3
3
11 1 1,,,0abc a b c a b c
Tng quỏt:
()()
12 12 1 1 2 2
. . ( )
nn
n
nn nn
aa a bb b a b a b a b++++(Bt ng thc MinCụpxki).

Bi 3. Chng minh rng:

+`
11
11
1, 3
!
nn
n
nn
.
HDG: Bin i:
11
11
11 111121
. .
23 23

!
nn
nn
n
nn
nn



+= +

Bi 4. Cho



++=

,, 0
1
abc
abc
. Chng minh rng:
1). 16abc a b+
HDG:
()() ()
22
ôôsi
16 16 . 4 4
22
Csi C

ab abc
abc c ababc ab ab
+++

=+++ =+



2). ++
8
27
ab bc ca abc

HDG:
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

5
()()()
33
ô
111 28
1111
3327
Csi
abc
VT ab bc ca a b c abc a b c

++

=+ + + = = =



3).
()()()
+++
8
729
abc a b b c c a

4).
++
7
02
27
ab bc ca abc
(IMO-1984)
Gii: Theo gi thit suy ra:
[
]
,, 0;1abc do ú:
() ()
2
2
3
3
23 23 232 0ab bc ca abc abc abc abc abc abc abc abc++ = =.

(vỡ
[]
()
2
3
0;1abc abc abc ).
Ta s chng minh:
()
(
)
(
)
[
]
,, 0;1a b c b c a c a b abc a b c+ + + .
Nu cú hai tha s
0VT , chng hn:

0
20ôí
0
abc
bvl
bca
+



+

Nu cú ỳng mt tha s 0ĐPCMVT
Nu c ba tha s VT u dng thỡ ta cú:
()()()()()()

222
VT abcbca bcacab cababc
abcbcabcacabcababc
abc
=++ ++ ++
+++ +++ +++
=

M 1abc++= suy ra:

()()()
()
()
3
12 12 12
12224 8
11 7
21 1
44327
c a b abc
a b c ab bc ca abc abc
abc
ab bc ca abc abc

+ + +

++

++ + + =






Vy ta cú iu phi chng minh.
Chỳ ý: Nhõn thờm hng s trong k thut ỏnh giỏ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng


Bi 5. Chng minh rng:
11,,1ab ba ab ab+

Bi 6. Cho



++=

,, 0
1
abc
abc
. Chng minh rng: 6ab bc ca++ ++ +
Bi 7. Cho
3

4
2
a
b
c








. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
234
22
ab c bc a ca b
P

++
=

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

6
Bi 8. Cho

03
04
x
y





. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
(
)
(
)( )
3423
A
xyxy= +
Bi 9. a). Cho ,0xy> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
()
(
)
3
2
;
x
y
fxy
xy
+
=

b). Cho ,, 0xyz> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
()
()
6
23
;;
x
yz
fxyz
xy z
++
=

Tng quỏt: Cho
12
, , , 0
n
xx x> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
()
(
)
12
12
12
2
12

; ; ;

n
n
n
n
n
xx x
fxx x
xx x
+
++
+++
=

Bi 10. Chng minh rng;
2
23
sin .cos
9
Axx
=

Tng quỏt:
()
.
sin .cos , 1 ,
mn
mn
mn
mn
Axx mn

mn
+
=
+
]
Bi 11. ( THI HSG Tnh Ngh An-Bng A-1992-1993)
Cho
123 10
, , , ,aaa a l cỏc s dng. Tỡm giỏ tr nh nht ca
()
22 2
12 10
10 1 2 9


aa a
P
aaa a
+++
=
+++
.
Gii. Nhn xột vai trũ ca
12 9
, , ,aa a bỡnh ng nờn ta phõn phi
10
a u cho 9 s .
p dng bt ng thc Cụ si :
22
110110

22
210210
22
910910
1
3
9
1
3
9

1
3
9
aaaa
aaaa
aaaa

+



+





+

Cng v theo v cỏc BT trờn ta c:
()
22 2
1 2 10 10 1 2 9
3 aa a aaa a+++ +++
Suy ra:
()
22 2
12 10
10 1 2 9

3

aa a
P
aaa a
+++
=
+++
.
ng thc xy ra khi
12 9 10
1

3
aa a a
==== .Vy:
3MinP

=
khi
12 9 10
1

3
aa a a
====
3. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng.
Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất
nhiều hứng thú cho học sinh.
Vớ d 1: Chứng minh 0,, > cba thì
cba
b
ac
a
bc
c
ab
++++
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

7
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay đợc, vì vậy
ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số.
Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên 0,0,0 >>>

b
ac
a
bc
c
ab
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp:
++++











++
++
++
)(2)(2
2.2
2.2
2.2
cba
b
ac
a

bc
c
ab
a
c
ba
b
ac
c
ba
b
ac
c
ba
b
ac
c
b
ac
a
bc
b
ac
a
bc
b
ac
a
bc
b

a
bc
c
ab
a
bc
c
ab
a
bc
c
ab
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chỳ ý:
Ghộp i xng
Phộp cng:
()
2
222
x
yz xyyzzx
x
yyzzx
xyz

++ = +++++


+++

++= + +



Phộp nhõn:
()()
(
)
()
222

,, 0

xyz xy yz zx
xyz
xyz xy yz zx

=



=




Vớ d 1. Chng minh rng:
1). ,,,0
bc ca ab
abc abc

abc
++++ >
2).
222
222
0
abc abc
abc
bcacab
++++
3).
333 2 2 2
,, 0a b c a bc b ca c ab a b c++ + +



Vớ d 2. Cho tam giỏc ABC. Chng minh rng:
1).
()()()
1
8
p
apbpc abc

2).
111 111
2
1
p
pb pc a bc

++++




3).
()()()
bcacababc abc+ + +
4).
2
R
r
5).
222
43abc S++
6).
222
33
abc
mmm S++
7).
()()
2 2 2222 2
27
abcabc
mmmhhh S++ ++
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

8

Vớ d 3.Cỏc s thc dng ,,
x
yz tho món iu kin:
222
3xyz
+
+=.
Hóy chng minh rng:
3
xy yz zx
zxy
++
HD: Bỡnh phng 2 v BT cn chng minh ri ghộp i xng.
4.Ghộp cp nghch o
()
2
12
12
11 1
0 , 1,
ni
n
x
xx nxin
xx x

+++ + ++ > =



Vớ d 1. Chng minh rng:
1). 6,,0
bc ca ab
abc
abc
+++
++>
2).
222 9
bc ca ab abc
++
+++ ++
,, 0abc>
3).
3
2
abc
bc ca ab
++
+++
,, 0abc>
4).
222
2
abcabc

bc ca ab
++
++
+++

,, 0abc>

Vớ d 2. Cho
,, 0
1
abc
abc



++=

. Chng minh rng:
1119
2bc ca ab
+
+
+++

Vớ d 3. Cho
,, 0
1
abc
abc
>

++

. Chng minh rng:
222
111
9
222abcbcacab
+
+
+++

5. ỏnh giỏ mu s
Vớ d 1. Chng minh rng:
1).
222
111
,, 0
2
abc
abc
a bc b ca c ab abc
+
+
++ >
+++

2).
33 33 33

1111
,, 0abc
a b abc b c abc c a abc abc
++>
++ ++ ++

3).
+++
+++ +++ +++ +++
444 444 444 444
11111
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd
.


Tng quỏt: Cho
(
)
12
, , , 0 3
n
aa a n>. Chng minh rng:
11122 12 121212
11 11
0,
1

i
nn nn nnn
nn nnn nnn

ai
a a aaaa aaaa aa a aaa aaa

+++ >=
++ + ++ + + ++ +

Vớ d 2.Cho
[
]
,, 0;1abc . Chng minh rng:
()()()
111 1
111
abc
abc
bc ca ab
+++
++ ++ ++
.
Tng quỏt:
Chng minh rng:
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

9

()()()

12
12
23 13 12 1
1 1 1 1
1 1 1
n
n
nn n
a
aa
aa a
aa a aa a aa a

+++ +
++++ ++++ +++ +
(1)

vi mi
[
]
12
, , , 0;1
n
aa a .


Gii:
Gi s
()
112

max , , ,
n
aaaa=
.Khi ú ta cú:

11
23 23
22
13 23
12 1 2 1
1 1
1 1

1 1
nn
nn
nn
nnn
aa
aa a aa a
aa
aa a aa a
aa
aa a a a a


=

++++ ++++

++++ ++++






+++ + ++ ++


Cng v theo v ta c:
12
12
23 13 12 1 23


1 1 1 1
nn
nn n n
aaaa
aa
aaaaaa aaa aaa

+++
+++
++++ ++++ +++ + ++++
(2)

Ta s chng minh:
()()()
12
1
12
22

1
1 1 1 1
1 1
n
n
nn
aa a
a
aa a
aa aa
+++

=
+
++ +++
(3)
Nu
1
1a = thỡ (3) ỳng.
Nu
1
1a thỡ
1

10a>.Do ú
(
)
(
)
(
)( ) ( )
23 2 3
3 1 1 1 1 1
nn
aa a a a a

++++

p dng BT Cauchy cho VT ta cú:

()()()()
23 2 3
23 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1 1
n
nn
nn
aa a a a a
aa a a a a
n
+ + + ++ + + +

++++ =

Vy (3) ỳng.
Cng v theo v ca (2) v (3) ta cú iu phi chng minh.
Vớ d 3. Cho
222
,, 0
1
abc
abc
>


++=

. Chng minh rng:
22 22 22
33
2
abc
bc ac ab
++
+++

Tng quỏt: Cho
12
222
12
, , , 0

1
n
kkk
n
aa a
aaa
>



++=


v ,,kmn

] .
Chng minh rng:
(
)
2
21
21 21
12
22 2
12
2121

11 1 2
m
k

kk
n
mm m
n
mm
a
aa
aa a m


+
+
+++


Gii:
Ta cú:
(
)
2
21
21 21
12
22 2
12
2121

11 1 2
m
k

kk
n
mm m
n
mm
a
aa
aa a m


+
+
+++


CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

10
()() ()
(
)
2
2
22
12
22 2

11 22
2121

2
11 1
m
k
kk
n
mm m
nn
mm
a
aa
m
aa aa aa
+
+
+++


Ta s chng minh:
()
()
()
()
()
()
2
2

2
1
1
2
11
2
11
2
2
2
2
11
21
2121
(1)
2
1
2
1
2121
2
1
21
m
k
k
m
m
m
m

m
m
m
mm
a
a
m
aa
m
aa
mm
m
aa
m
+
++



++

+

p dng BT Cụ si ta cú:
() ()()
()()()
()
()
21
22 2 2

11 1 1
22
2
22 2 2
11 1 1
2
21
21
2 1 1 1
11
121
2221
2
12
221
21
m
mm m m
mm
m
mm m m
m
m
m
ma a a a
aa ma a
mmm
m
m
mm

m
+
+
+

+ + ++


=

+



==

+

+



Tng t ta cú:
()
()
()
()
2
2
2

2
2
2
22
2
2
2
2
2121
(2)
2
1

2121
()
2
1
m
k
k
m
m
k
k
n
n
m
nn
mm
a

a
m
aa
mm
a
an
m
aa
++


++



Cng v theo (1), (2),,(n) ta c:

()() ()
(
)
()
(
)
22
2
22
22 2
12
12
22 2

11 22
2121 2121

22
11 1
mm
k
kk
kk k
n
n
mm m
nn
mm mm
a
aa
aa a
mm
aa aa aa
+
+++
+++ +++=


(vỡ
22 2
12
1
kk k
n

aa a+++=
).
T ú suy ra PCM.
Chỳ ý: ỏnh giỏ mu s trong k thut Cụsi ngc du

Vớ d 4: Cỏc s dng a, b, c tho món: 3abc
+
+=. Chng minh bt ng thc:
222
3
2
111
abc
bca
++
+++
.
Bỡnh lun: Ta khụng th dựng trc tip bt ng thc Cụ si (AM-GM) vi mu s vỡ bt ng thc sau ú
s i chiu

222
3
2222
111
abcabc
bca
bca
+ + ++
+++
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

11
Tuy nhiờn, rt may mn ta li cú th dung bt ng thc ú theo cỏch khỏc:
()
22
22
22 2
1
22
11 1
abb
aababab
aaa
b
bb b
+
===
++ +

Ta õ s dng bt ng thc AM-GM:
2
12bb+ di mu nhng li cú c mt bt ng thc thun
chiu.
S may mn õy l mt cỏch dựng
ngc du bt ng thc Cụ si, mt k thut khỏ n tng v bt ng.
Gii: Ta cú:

()
22
22
22 2
1
22
11 1
abb
aababab
aaa
b
bb b
+
===
++ +

Tng t:
2
2
1
bbc
b
c

+
v
2
2
1
cca

c
a

+

Cng v theo v c bt ng thc ta c:
222
3
3
222
111
a b c abbcca abbcca
abc
bca
++ ++
+
+++ =
+++

Vỡ
()( )
2
33abc abbcca abbcca++ + + + +
.
ng thc xy ra khi ac= b = c = 1.
Bi tp tng t: 1).Chng minh rng vi mi s dng a, b, c tho món: 3abc++=.
Chng minh bt ng thc:
222
1113
2

111abc
++
+++
.
2). Chng minh rng vi mi s dng a, b, c tho món: 3abc
+
+=. Chng minh bt ng thc:
222
111
3
111
abc
bca
+++
++
+++
.
3).Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng tho món: 4abcd
+
++ = ta cú :
2222
1111
2
1111abcd
+++
++++

4).Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng tho món: 4abcd
+
++ = ta cú :

22 2 2
2
1111
abcd
bcda
+++
++++

5).Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng tho món: 4abcd
+
++ = ta cú :
22 2 2
1111
4
1111
abcd
bcda
++++
+++
++++

Vớ d 5:
Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng tho món: 4abcd+++= ta cú bt ng thc:
22 2 2
2
1111
abcd
bc ca da ab
+++
++++

Gii: Theo bt ng thc Cụ si ta cú:
()
()
22
22
22 2
1
.
22 4
11 1
2
abcbc
ba ac
abcabcabcbaac
aaaa a
bc bc bc
bc
+
+
===
++ +

Tng t:
2
2
1
bbcbcd
b
cd

+

+
;
2
2
1
ccdcda
c
da
+

+
v
2
4
1
d da dab
d
ab
+
=
+

Cng 4 bt ng thc trờn ta cú:
()
22 2 2
1
4
1111

abcd
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
bc ca da ab
+++++++++++++
++++

Ta li cú:
()
2
1
4
4
ab bc cd da a b c d+++ +++ =


()()
3
1
4
16
abc bcd cda dab a b c+++ ++=
.
Do ú:
22 2 2
22
1111
abcd
abcd
bc ca da ab
+ + + +++=

++++
.
ng thc xy ra khi a = b = c = d = 1.
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

12

Vớ d 6: Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng ta luụn cú:
333 3
22 22 22 22
2
abcdabcd
ab bc cd da
+++
+++
++++

HDG: Ta cú:
3 322 2 2
22 22 22
22
a a ab ab ab ab b
aaa
ab
ab ab ab
+

===
++ +

Xõy dng ba bt ng thc tng t. ng thc xy ra khi cỏc bin bng nhau.
Bi tp tng t: Chng minh rng vi a, b, c, d l cỏc s thc dng ta luụn cú:
444 4
33333333
3
2222
abcdabcd
abbccdda
+
++
+++
++++
.
Vớ d 7. Cho ,, 0abc tho món: 3abc++=. Chng minh bt ng thc:
222
222
1
222
abc
abbcca
++
+++
.
Gii: Theo bt ng thc Cụ si ta cú:
()
()
2

22
22
3
22
3
4
22
2
2
3
22
3
aa b ab
ab
aab
aa
ab ab
ab
+
==
++
.
Hon ton tng t ta cng cú 2 bt ng thc:
()
2
2
3
2
2
3

2
bc
b
b
bc

+
,
()
2
2
3
2
2
3
2
ca
c
c
ca

+

Do ú ta ch cn chng minh:

() () () () () ()
222 222
333 333
2
13

3
abc abbcca abbcca

++ + + + +


.
Tht vy, theo bt ng thc Cụ si ta cú:
()
2
3
3aabb ab++ ,
()
2
3
3bbcc bc++ ,
()
2
3
3ccaa ca++
Cng v theo v ta cú:
() ()() ()
222
333
23abc abbcca ab bc ca


++ + + + + +

Vỡ
3abc++= v
()()
2
393abbcca abc abbcca++ ++ = ++.
T ú suy ra:
() () () () () ()
222 222
333 333
32.339 3ab bc ca ab bc ca

++ +=++



nờn ta cú iu phi chng minh.
ng thc xy ra khi a = b = c =1.

Vớ d 8. Cho ,, 0abc tho món: 3abc++=. Chng minh bt ng thc:
222
333
1
222
abc
abbcca
++
+++

.
Gii: Chng minh tng t
Theo bt ng thc Cụ si ta cú:
(
)
33
3
232
33
3
6
22
22
3
22
3
aa b ab
aabba
aa
ab ab
ab
+
==
++
.
Do ú ta ch cn chng minh:
333
222
3ba cb ac++.
Tht vy, theo bt ng thc Cụ si ta cú:

()
3
2
12
.1
33
ab
ba ba a
+
++=
Cng v theo v ta cú:
()()
333
222
2222 1
3333 3
ab b bc c ca a
b a c b a c ab bc ca a b c
+++
++ + + +++++

T ú suy ra:
333
222
21
.3 .3 3
33
ba cb ac+++=
nờn ta cú iu phi chng minh.
ng thc xy ra khi a = b = c =1.

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

13
Vớ d 9. Cho x, y, x > 0 tho món 1xy yz zx
+
+=. Tỡm giỏ tr nh nht ca:
222
x
yz
T
x
yyzzx
=++
+++

Gii: Ta cú:
()
2
2
xx y xy
x
y
xxy
xx
xy xy xy

+
==
++ +

Chng minh tng t:
2
2
y
z
y
y
yz

+
;
2
2
zzx
z
zx

+

Suy ra:
111
1
2222
xy yz zx
Txyz xyz
++

++ =++=
(vỡ 1xyz xy yz zx
+
+ + + =
ng thc xy ra khi x = y = z =
1
3
.
Vy Min T =
1
2
khi x = y = z =
1
3
.
5. Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi
Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo
bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!
Kim tra iu kin xy ra du bng, chn im ri v cõn bng h s
5.1).Du bng xy ra ti im mỳt.
Vớ d 1. 1).Cho 3a . Chng minh rng:
110
3
a
a
+

Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi a = 3
Chn s

sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
1
àav
a

thỡ du = xy ra khi a = 3
Ngha l:
11
.3
39
==
.T ú ta cú li gii:
Gii: Ta cú:
18 1 1 8 1110
.3 2 .
99 9 9 3
aaa a
aa a

+= + + + =


.
Du = xy ra khi a = 3
2).Cho 2a . Chng minh rng:
2
19
4
a
a

+

Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi a = 2
Chn s
sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
2
1
,àaav
a

thỡ du = xy ra khi a = 2
Ngha l:
2
11
.2
28
= =
.
T ú ta cú li gii:
Gii:
Ta cú:
3
22 2
13 1 1 1 3 111339
.2 3 . .
488 4 88 244
aaaa aa
aa a

+= + ++ + =+=


.
Du = xy ra khi a = 2

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

14
3).Cho 6a . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2
18
Sa
a
=+

Phõn tớch tỡm li gii:
D oỏn giỏ tr nh nht t c khi a = 6
Cn chn s
sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
2
18
àav
a

thỡ du = xy ra khi a = 6

Ngha l:
18 1
.36
626
= =
.T ú ta cú li gii:
Gii: Ta cú:
222 2
18 1 1 18 1 9 1
1121.36663636
26 26 26 6 26
aa
aaa a
aa


+=+++ +=+




.
Du = xy ra khi a = 6. Vy 36 3 6MinS =+ ti a = 6.
4).Cho
1
0
2
a<
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2

1
2Sa
a
=
+
.
Phõn tớch tỡm li gii:
D oỏn giỏ tr nh nht t c khi a =
1
2

Cn chn s

sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
2
,àaav
a

thỡ du = xy ra khi a =
1
2

Ngha l:
2
11
28
1
2

==

.T ú ta cú li gii:
Gii: Ta cú:
3
2
2222
1171737
23 5
88 8 22
1
8.
2
Sa aa aa
aaaa
=+=++ + + =+=



.
Du = xy ra khi a =
1
2
.
Vy: Min S = 5 khi a =
1
2
.
* Hóy so sỏnh vớ d 2 v 4 xem cú iu gỡ thỳ v õy?

5.2). Cỏc bin u bỡnh ng , du bng xy ra khi cỏc bin bng nhau
Vớ d 2. Cho
,0
1
ab
ab
>


+=

. Chng minh rng:
a).
22
11
6
ab a b
+
+

Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi a = b =
1
2
v nhn xột rng:
()
(
)
()

2
22
2
22
2
à2
244
ab a b
ab
ab
ab v ab a b
++
+
+

+=



CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

15
Chn s sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
22
1
àv

ab a b

+
thỡ du = xy ra khi a = b=
1
2

Ngha l:
22
11
11
2
11
.
22
22

==

+


.T ú ta cú li gii:
Gii: Ta cú:
()
() ()
22
22 22
22
11 11 1 1 1 2 4

2222.26
22 2
2
ab a b ab ab a b ab
ab a b
ab ab

+++ + + =+=

++
+

++
.
Du = xy ra khi a =
1
2
.
b).
22
23
14
ab a b
+
+

Hóy gii tng t cõu a.

Vớ d 3. ( THI HSG Tnh Ngh An -Bng B-98-99 )
Cho

,0
1
xy
xy
>


+

. Hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

22
12
4
A
xy
xy xy
=++
+

Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi x = y =
1
2

Chn s

sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho à4vxy
xy

thỡ du = xy ra khi x = y =
1
2

Ngha l:
11 1
4. .
11
22 4
.
22

==
.T ú ta cú li gii:
Gii: Ta cú:
22 22
12 1 151
44
244
A
xy xy
x y xy x y xy xy xy

=++= ++++

++

.
()()
22

45 1
4.445411
4
Axy
xy
xy xy
++ =++=
++

Du = xy ra khi x
= y =
1
2
.
Vy Min A = 11 khi khi x
= y =
1
2
.
Vớ d 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
a
b
b
a
+
+
+
11
33
với a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện ab = 1.

Hớng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho
3
1
a
b
+
số hạng
1 b

+
.
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

16
Để tính

ta thấy cho a = b =1 thì

=4. Nhng nh thế ta thấy chỉ xuất hiện
3
3 a vì vậy ta thêm
1
2

để đợc chứng minh sau:
33 33

113 113 35 5
;()
1 4 221 4 22 1 1 24 2
ab bc ab
ab ab
bc bc
++
+ + + + + + +
++ ++
. MinP = 1
Vớ d 5. Chứng minh 0,, > cba thì cba
a
c
c
b
b
a
++++
222

Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra
đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc.
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó
2
a
b
=a
vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện
2
a

b
để có chứng minh sau:
Chứng minh:
Ap dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng a
a
c
c
c
b
b
b
a
,,,,,
222
thì ta có:
222
222 222
2; 2; 2
222
abc
ba cb ac
bca
abc abc
bcaabc abc
bca bca
+ + +
+++++++++++

Vi d 6. Chứng minh rằng 0,, > cba thì
2

222
cba
ab
c
ca
b
cb
a ++

+
+
+
+
+

Phân tích: Ta cần thêm cho
cb
a
+
2
một số m thoả mãn:
1. Rút gọn đợc mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi (
cb
a
+
2
+m
2
2
a

m
bc
+
)
2. Dấu bằng của bất đẳng thức Côsi
xảy ra đợc nghĩa là
cb
a
+
2
= m và a= b = c
suy ra

cb
m
+
=
.Và để tính thì

cb
m
cb
a +
==
+
2
. Dễ thấy khi thay a=b=c thì =4.
Chứng minh:
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng
4

,,
4
,,
4
,
222
ba
ba
cac
ac
bcb
cb
a +
+
+
+
+
+

thì ta có:
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

17
2
2222
2

222
4
4444
4
2
abc
a
bc
b ca a bc b ca c ab
b abc
ca bc ca ab
cab
c
ab
a b c abc
bc ca ab

+
+

+

++++

+ + + + + + ++

++++


+

+

+

++
++
++ +

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể
Vớ d 7: Chứng minh rằng với x,y,z > 0:
222
333
zyx
x
z
z
y
y
x
++++
Phân tích: Ta thấy rằng với hạng tử x
3
/ y có thể có hai hớng sau:
Cách 1:
Hc sinh sẽ thêm
333
222
2; 2; 2
xyz

x
yx yzy zxz
yzx
+ + + sau đó chứng minh
x
2
+ y
2
+ z
2
xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
Cách 2:
33 33 33
22 22 22
3; 3; 3
xx yy zz
yx zy xz
yy zz xx
++ ++ ++ cộng lại ta có điều phải chứng minh.
Vớ d 8. Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta có
a
c
a
b
b
a
a
c
c
b

b
a
++++
2
2
2
2
2
2

Giải: Ap dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

222
222
3
abc
bca
++,
b
a
b
a
21
2
2
+ ,
c
b
c
b

21
2
2
+ ,
a
c
a
c
21
2
2
+

Vớ d 9. Nếu a, b, c dơng v abc=1 thì
333
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
abc
bc ca ab
+
+
++ ++ ++

Phân tích: ta sẽ thêm cho
3
(1 )(1 )
a
bc++
những hạng tử gì? chắc chắn là có
11

;
bc


++
với
là một số dơng nào đó. Vấn đề bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1;
khi đó
3
11
(1 )(1 )
abc
bc


++
==
++
sẽ cho ta 4 = =4. Vì vậy ta có chứng minh sau:
333
113 11 3 11 3
;;
(1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4
a b ca b c ab c a bc
bc ca ab
++ ++ ++
++ ++ ++
++ ++ ++

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

18
333
31 3
()
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 2 2
abc
abc
bc ca ab
+++++
++ ++ ++
Điều phải chứng minh.
Vớ d 10. Cho
,, 0
1
abc
abc
>


++=

. Chng minh rng:
a).
222
1111

30
abc abbcca
+++
++


Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi a = b = c =
1
3
v nhn xột rng:
222 222
11111 9
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+++ +
++ ++ ++

Cn chn s

sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
222
1
;à
v
a b c abbcca abbcca

+
+++ ++

thỡ du = xy ra khi a = b = c =

1
3
.
Ngha l:
222
1
1
11 11 11
111

33 33 33
333

=
=

++
++



Gii: Ta cú:

()()
222 222
22
19 111 7
921
92130
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

abc abc

+= ++ +

++ ++ ++ ++ ++ ++

+=+=
++ ++

Du = xy ra khi a = b = c =
1
3
.
b).
222
111222
81
abcabbcca
+++++.
Phõn tớch tỡm li gii:
Du = xy ra khi a = b = c =
1
3

Cn chn s sao cho khi ỏp dng BT Cụ si cho
222
111
;;;; à
v
abcabbc ca

thỡ du = xy ra khi a = b = c =
1
3
.
Gii: Ta cú:

()
2
222 222
111222111111111 81
81
a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca
abc
+++++=++++++++ =
++

Du = xy ra khi a = b = c =
1
3
. (p dng BT
2
12 12
11 1


nn
n

aa a aa a
++
+++
)
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

19
Vớ d 11. Cho
222
,, 0
18
xyz
xyz



++=

.
Tỡm giỏ tr ln nht ca:
P
xyz=++. S: 36 6MaxP x y z====

Vớ d 12. Cho
444
48xyz++=. Tỡm giỏ tr ln nht ca:

a).
1
S
xy yz zx=++
b).
22 22 22
2
S
xy yz zx=++
S: 48
c).
3
33
3
S
xy yz zx=++ S:
3
34Phõn tich tỡm li gii:
Do vai trũ bỡnh ng ca x, y, z nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c khi
444
16 2xyz xyz======
xut hin biu thc
1
S
xy yz zx=++ ta cn ỏp dng BT Cụ si cho 4 s:
44
,,,xy


nh sau:

44 244
4
44
x
yxyxy+++ = v du = xy ra khi
44
16xy= = =
T ú ta cú li gii:
Gii: p dng BT Cụ si:
44 44
4
16 16 4 . .16.16 16 16
x
yxyxyxy+++ =
Tng t:
44 44
4
16 16 4 . .16.16 16 16z x z x zx zx+++ =

Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta c:

()
444
11
16 2 96 192 12Sxyz S+++=
Du = xy ra khi
2xyz===
.
Vy Max
1

12S = khi x = y = z = 2 hoc x = y = z = -2.
Tng quỏt 1: Cho
222nnn
x
yzM++=( n l s t nhiờn khỏc 0; M l s khụng õm cho trc).
Tỡm giỏ tr ln nht ca:
a).
1
S
xy yz zx=++
b).
2
nn nn nn
S
xy yz zx=++

c).
21
21 21
3
m
mm
S
xy yz zx
+
++
=++ (
*
m ` ).
Vớ d 7. Cho

333
,, 0
24
xyz
xyz



++=

. Tỡm giỏ tr ln nht ca:
a).
1
P
xy yz zx=++ S: 12
b).
2
P
xy yz zx=++ S: 6
c).
5
55
3
P
xy yz zx=++ S:
5
34
Tng quỏt 2: Cho
,, 0
nnn

xyz
x
yzM



++=

( n l s t nhiờn khỏc 0; M l s khụng õm cho trc).
Tỡm giỏ tr ln nht ca:
a).
1
P
xy yz zx=++
b).
2
m
mm
P
xy yz zx=++ ( ,2mm

` ).
Gii:a).
Do vai trũ bỡnh ng ca x, y, z nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c khi
3
nnn
M
xyz===
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

20
xut hin biu thc
1
P
xy yz zx=++ ta cn ỏp dng BT Cụ si cho n s:
,à2ố
3
nn
M
xyvn s

Ta cú:
()
22
2ố
. .
33 3 3 3
nn
nn nn
nn
ns
MM M M M
x
ynxynxy

+++++ =




Suy ra:
()
2
2
33
n
nn
n
MM
x
yn n xy


++



Tng t:
()
2
2
33
n
nn

n
MM
y
zn n yz


++



()
2
2
33
n
nn
n
MM
zx n n zx


++



Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta c:
()
()
2
2

11
2
.2 2 3
39
3
n
nnn
n
n
n
n
M
MM
nPxyznMnMP
M



+++= =






Vy
2
1
3.
93

n
n
M
M
MaxP x y z
====.
b). Tng t cõu a ta ỏp dng bt ng thc Cụ si nh sau:
Ta cú:
()
2
2ố
. .
33 3 3
mn
nn nn
mn
mn s
MM M M
xy mnxy



+++++




Suy ra:
()
2

2
33
mn
nn
m
mn
MM
x
ymn mn xy


++



Tng t:
()
2
2
33
mn
nn
m
mn
MM
y
zmn mn yz


++

()
2
2
33
mn
nn
m
mn
MM
z x mn mn zx


++



Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta c:
()
()
2
2
21
2
.2 2 3
39
3
mn

nnn
mn
mn
mn
mn
M
MM
mn P x y z mn M mnM P
M



+++= =






Vy
2
2
3.
93
mn
n
M
M
MaxP x y z====.
Chng hn: Vi n = 2009 v M = 3 ta cú bi toỏn 1:

1). Cho
2009 2009 2009
,, 0
3
xyz
xyz



++=

( n l s t nhiờn khỏc 0; M l s khụng õm cho trc).
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

21
Tỡm giỏ tr ln nht ca:
1
P
xy yz zx
=
++ .S:
1
31
M
axP x y z
=

===
Vi m = 2, n = 2009 v M = 9 ta cú bi toỏn 2:
2). Cho
2009 2009 2009
,, 0
9
xyz
xyz



++=

( n l s t nhiờn khỏc 0; M l s khụng õm cho trc).
Tỡm giỏ tr ln nht ca:
2
P
xy yz zx=++ .S:
2009 2009
2
33 3MaxP x y z====
Vớ d 8.a). Cho
,, 0
1
xyz
xy yz zx



++=

. Tỡm giỏ tr nh nht ca
333
1
S
xyz
=
++

b). Cho ,,
x
yz l cỏc s thc tho món 1xy yz zx
+
+=. Tỡm GTNN ca
222
2
S
xyz=++
Tng quỏt: a). Cho ,,
x
yz l cỏc s thc khụng õm tho món 1xy yz zx
+
+=.
Tỡm GTNN ca
1
nnn
S
xyz=++ ; n l s t nhiờn l ;
3n
.

b). Cho ,,
x
yz l cỏc s thc khụng õm tho món 1xy yz zx
+
+=.
Tỡm GTNN ca
2
nnn
S
xyz=++ ; n l s t nhiờn chn ; 2n .
Gii: a).D oỏn ng thc xy ra khi
11
33
n
nnn
xyz x y z

=== = = =



xut hin biu thc
x
yyzzx++ ta cn ỏp dng BT Cụ si cho n s:
1
,à2ố
3
n
nn
xyvn s

Ta cú:
()
(2) 2
2ố
11 1 1 1
. .
33 3 3 3
n
nn nn n
nn nn
n
ns
x
ynxynxy



+++++ =




Suy ra:
()
2

11
2
33
nn
nn
x
yn n xy


++



Tng t:
()
2
11
2
33
nn
nn
y
zn n yz


++



()

2
11
2
33
nn
nn
zx n n zx


++



Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta c:
() ()
22
1
2
11
11 1 1
23 2 3
33 3 3
111
26 3
333
nn n n
nnn
Sn n xyyzzxn n
SS

+ ++= =



=



Vy
2
1
11
33
n
MinS x y z


====


.
5.3). Vai trũ cỏc bin khụng bỡnh ng
Kĩ thuật thêm nghịch đảo
Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng
minh bất đẳng thức Côsi.
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

22
Bi toỏn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
23
x
y
+
với x, y là các số dơng thỏa mãn x+y=1.
Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau:
P =
()
23 2 3
23526
yx
xy
xy x y

++=++++


dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x
2
= 2y
2

Khi
23
;

23 23
xy
==
++

Bi toỏn 2. Cho
,,
x
yz
tho món
22 2
x
ykzM
+
+=. (k l hng s dng; M l s khụng õm cho trc)
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++
.
Phõn tớch v tỡm li gii:
Do vai trũ bỡnh ng ca x, y nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c khi
x
y=
v cỏc thao tỏc i vi x
v y l ging nhau. Ta tỏch
(
)
(
)( )
22 222 2

1à 101xmx mxvymy my m=+ =+ ng thi chia
u
222
22
kk
kz z z=+
cho c x v y.
p dng BT Cụ si nh sau:
()() ()
22
22
22
1121
2
2
2
2
mx my mxy
k
mx z mk xz
k
my z mkyz

+



+

+



xut hin biu thc
S
xy yz zx=++
ta cn chn m sao cho
() () () ()
2
22
1
21 2 41 2 2 4 2 0 4 8
4
mmk mmkm km m kkk


= = + +== + +


(vỡ 01m

).
Khi ú cng v theo v suy ra:
()
()
21
21
M

mS M S
m


.
Vy GTLN ca
()
2
2
22 2
,, ùn
g
ấu
21
2
xyzc d
xy
M
S
kz
m
mx
x
ykzM


=


=

=


+
+=




p dng:
Cho
,,
x
yz
tho món
22 2
9
5
2
xy z++ =. Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx
=
++
.
Gii : Bc 1: Chn
2
19991

48.
422 24
m



=+ +=





CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

23
Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú:
22
22
22
333 3
442 2
193 3
442 2
193 3
442 2
x

yxyxy
x
zxzxz
y
zyzyz

+



+



+



Cng v theo v cỏc BT trờn ta c:
22 2
3910
5
22 3
Sx y z S++ =
.
Vy Max S =
10
3
khi
22 2

2
3
2;
3
9
5
2
2
2;
3
xy z
xy z
xy z
xy z

==
== =







++ =


== =

Bi tp tng t:
1). Cho ,,
x
yz tho món
22 2
44xy z++ =.
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++. S: 31
+

2). Cho ,,
x
yz tho món
22 2
81xy z++ =.
Tỡm GTLN ca
Qxyyzzx=++
Bi toỏn 2. Cho ,,
x
yz tho món
(
)
22 2
nx y kz M
+
+=. (k l hng s dng; M l s khụng õm cho
trc) Tỡm GTLN ca

S
xy yz zx=++.
Phõn tich v tỡm li gii:
Do vai trũ bỡnh ng ca x, y nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c khi
x
y= v cỏc thao tỏc i vi x
v y l ging nhau. Ta tỏch
(
)
(
)( )
22 222 2
à0
x
mx n m x v y ny n m y m n=+ =+ ng thi chia
u
222
22
kk
kz z z=+
cho c x v y.
p dng BT Cụ si nh sau:
()() ()
22
22
22
2
2
2
2

2
nmx nmy nmxy
k
mx z mk xz
k
my z mkyz

+



+



+



xut hin biu thc
S
xy yz zx=++ ta cn chn m sao cho
() () ( ) ()
2
22 2
1
224224204 8
4
nm mk nm mk m nkm n m nk k kn

= = + + == + +

(vỡ
0 mn).
Khi ú cng v theo v suy ra:
()
()
2
2
M
nmS M S
nm


.
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki



- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

24
Vy GTLN ca
()
()
2
2
22 2
, , ùng ấu
2

2
xyzc d
xy
M
S
kz
mx
nm
nx y kz M


=


=

=



+
+=



p dng: Cho ,,
x
yz tho món
()
22 2

2910xy z
+
+=. Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx
=
++.
Bc 1: Chn
()
2
11
4.2 9 9 8.9.2
42
m

=++=


Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú:
22
22
22
33
33
22
19
33
22
19
33

22
x
yxyxy
x
zxzxz
y
zyzyz

+



+



+



Cng v theo v cỏc BT trờn ta c:
()
22 2
10
32 9 10
3
Sxy z S++=.
Vy Max S =
10
3

khi
()
22 2
2
2;
3
3
2910
2
2;
3
xy z
xy z
xy z
xy z

== =

==





++=



== =

.
Bi tp tng t:
1).Cho ,,
x
yz tho món
()
22 2
3816xy z++=.
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++. S: Max S = 4
2). Cho ,,
x
yz tho món
()
22 2
4925xy z++=.
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++. S: Max S =
3).Cho ,,
x
yz tho món
()
222
21xyz++=.
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++. S: Max S =

4). Cho
,,
x
yz
tho món
()
22 2
15 35xz y++=
.
Tỡm GTLN ca
S
xy yz zx=++
. S: Max S = 7.

Bi toỏn 3. Cho
,,
x
yz
tho món
222
x
yzM
+
+=. (k l hng s dng; M l s khụng õm cho trc)
Tỡm GTLN ca
S
xy yz kzx=++
.
Phõn tich v tỡm li gii:
a).Do vai trũ bỡnh ng ca x, z nờn cú th d oỏn giỏ tr ln nht t c khi x v z v cỏc thao tỏc i vi

x v z l ging nhau. xut hin biu thc:
S
xy yz kxz
=
++
thỡ khi ta ỏp dng BT Cụ si
()
22
11 1
122
22 2
mm
mx y xy xy

+
;
()
22
11 1
122
22 2
mm
mz y yz yz

+
v
22
22mx mz m xz mxz+ .
CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki

- THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN

25
Cng v theo v ba bt ng thc trờn ta cú:
222
11
2
22
mm
x
y z xy yz mxz


++ + +




Ta cn chn m (
01m) sao cho:
242
22 22 2
11 8
20
22 4
mm kkk
mk m k m kmk m
++

== +==




Khi ú suy ra:
()
[]
222
11 1
221
22 2
mm m
x
y z xy yz k xz m xy yz kxz


++ + + = ++




Do ú:
()
21
M
Sxyyzkzx
m
=++

Vy:
()
()
42
21
21
M
xz
M
m
MaxS
m
y
mx

==


=



=



p dng: ( THI HSG Tnh Ngh An Lp 11-Bng A-2002-2003)
Cho ,,

x
yz tho món
222
1xyz++=. Tỡm GTLN ca 2
A
xy yz zx
=
++ .
Gii. Ta ỏp dng cho trng hp: 1à 2Mvk
=
=
Bc 1: Tỡm
4168.4
13
4
m
+ +
==+
Bc 2: p dng BT Cụ si ta cú:
() ()
() ()
()()() ()
2
2
2
2
22
23
23 2 31
22

23
23 2 31
22
31 31 2 31 2 31
y
xxyxy
y
zzyyz
x
zzxzx



+




+



+




Cng v theov cỏc BT trờn ta c:
()
()

222
131
31 2
2
31
xy z x y z S
+
++++ =


Vy:
1
623
31
2
31
623
xz
MaxS
y

==


+

=

=




Chc cỏc bn phi thy rng nu khụng cú nh hng cỏch gii rừ rng thỡ bi toỏn tr nờn khú vi kt
qu khỏ phc tp v y bt ng ch nh?

Bi toỏn 4. Cho
,, 0
nnn
xyz
x
yzM



++=

.