Tiểu luận đo độ tích phân

Xử lý các số
_________________________________________________________________
CHỦ ĐIỂM 4: TRÌNH BÀY CÁC MỐI QUAN HỆ

Bài 1 Đường thẳng
Hãy tự làm các yêu cầu sau:
1 Hãy vẽ các đường thẳng sau lên cùng một trang giấy:

a) y 4x 6 b) y 2x 2 c) y 9x 7 d)5x 5y 5= − − = − + = − + =
2 Hãy xác định độ dốc và tung độ của các đường thẳng sau đây:

a) y 2x 1 b) y 4x 2 c)3x 6y 17 d) x y 4= − = − + + = − =
3 Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (5;-6) và song song với:

a) y 2x 5 b)y x 1 c) x 4y 2 d)x 5y 10= − = − + + = − =
4 Viết phương trình của đường thẳng có
a) độ dốc 8, tung độ -2
b) độ dốc -3 và đi qua điểm (1;0)
c) đi qua điểm (2;-3) và (1;4)
d) có tung độ -8 và đi qua điểm (4;2)
5 Trong mỗi phương trình sau có một biến đã được cho giá trị. Hãy tìm giái trị tương ứng của
biến còn lại:

a) p 8q 10 p 18
b) y 5 4x y 3
c) 2u 3v 4 u 5
d)5r 4s 2 r 2
= + =
= − = −
+ = =
− = =

1
Xử lý các số
_________________________________________________________________
Tính liên tục từ những dữ liệu rời rạc
Phương trình nói lên mối quan hệ giữa độ Celsius và độ Fahrenheit là:
F = 32 + 1.8C
trong đó C là nhiệt độ được đo trong độ Celsius và tương tự F là nhiệt độ được đo trong độ
Fahrenheit. Từ phương trình này chúng ta có thể xây dựng một bảng giá trị tương ứng giữa C
và F từ đó chúng ta có thể xây dựng các cặp được sắp xếp như sau:
(0; 32), (25; 77), (50; 122), (75; 167), (100; 212)
các cặp được chia theo thứ tự này có thể sau đó được vẽ đồ thị trở lại trong hệ trục tọa độ Đề
các được chỉ trong hình H 4.1. Đồ thị gồm có một tập hợp các điểm cô lập – nó được gọi là một
đồ thị rời rạc. Đồ thị chỉ miêu tả các điểm thực mà chúng ta có thể vẽ và cũng như chỉ chứa
một số lượng thông tin. Nếu chúng ta vẽ nhiều điểm hơn – được tính từ phương trình – chúng
ta sẽ có nhiều thông tin trong hình hơn (xem hình H 4.2). Số lượng lớn nhất của thông tin trong
đồ thị có thể chứa là đạt được trong khi tất cả các điểm có thể được vẽ sao cho ta nhận được
một đường thẳng được chỉ ra trong hình H 4.3. Dĩ nhiên đây là một ý tưởng vì để vẽ đường
thẳng với một điểm và tại một thời điểm sẽ gặp khó khăn. Tuy nhiên ý tưởng là những gì chúng
ta đang cố gắng để đạt được và đồ thị được vẽ với ý tưởng này được gọi là đồ thị liên tục.
Những gì chúng ta làm trong thực tế là vẽ một số hữu hạn các điểm và nối chúng lại với nhau
bởi một đường thẳng. Thật ra để vẽ một đường thẳng chúng ta chỉ cần hai điểm.
H 4.1
2
Xử lý các số
_________________________________________________________________

H 4.2
Các đường thẳng
Mỗi đường thẳng là có chiều hướng nằm ngang và độ dốc của đường thẳng là một giá trị của

góc nghiêng này. Nếu P và Q là hai điểm trên đường thẳng thì độ dốc là tỉ số:
Hiệu số tọa độ theo phương thẳng đứng của P và Q
a =
Hiệu số tọa đo ätheo phương thẳng đứng của P và Q
Hiệu số tọa đo ätheo phương nằm ngang của P và Q
3
Xử lý các số
_________________________________________________________________
nó bằng đơn vị phần trăm sự tăng lên theo hướng thẳng đứng với sự tăng lên theo hướng nằm
ngang . Ví dụ, trong hình H 4.4 tọa độ theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng tăng
lên tương ứng với tọa độ theo phương ngang tăng lên. Độ dốc là 2. Trong hình H 4.5, tọa độ
theo phương đứng của các điểm trên đường thẳng không tăng tương ứng với tọa độ theo
phương ngang cũng không tăng. Chúng ta gọi là độ tăng âm do đó độ dốc của đường thẳng
trong trường hợp này là – 3.
Các đường thẳng đặc biệt
Trong đường thẳng thẳng đứng trong hình H 4.6, mỗi điểm có giá trị q giống nhau, bằng
3. Đường thẳng được vẽ từ phương trình q = 3. Với mọi giá trị của p, giá trị của q luôn bằng 3.
Chú ý rằng đường thẳng này không có độ dốc. Độ tăng theo hướng thẳng đứng luôn xảy ra còn
độ tăng theo hướng nằm ngang bằng không và do đó chúng ta không có định nghĩa ước của
không.
Tương tự cho đường thẳng nằm ngang trong hình H 4.7 được vẽ từ phương trình p = -4 .
Chú ý rằng độ dốc của nó bằng không.

4
Xử lý các số
_________________________________________________________________

Đối với bất kỳ sự thay đổi nào theo hướng ngang không làm cho hướng thẳng đứng thay đổi.
Đối với đường thẳng trong hình H 4.8 thì bất kỳ điểm nào trên đường thẳng đó cũng có hai giá
trị s và t bằng nhau. Đường thẳng này có phương trình s =t và có độ dốc bằng 1. Phương trình

s = -t cho ta đường thẳng ở hình H 4.9 và có độ dốc bằng -1.

Đường thẳng tổng quát
Chúng ta thấy rằng các đường thẳng khác nhau có thể được vẽ từ các phương trình khác nhau.
Tuy nhiên, tất cả các phương trình này là sự thay đổi của một hình thức tổng quát. Một đường
thẳng tiêu biểu là được vẽ như trong hình H 4.10
Trong hình H 4.10, cắt trục tung tại điểm chia P với tọa độ (0;b) và có một điểm chia
khác Q trên đường thẳng có tọa độ (x
0
;y
0
). Ở đây ký hiệu x
0
và y
0
có chỉ số dưới là 0 được buộc
5
Xử lý các số
_________________________________________________________________
chặt đến chúng để chứng tỏ rằng điểm Q trên đường thẳng là một điểm cố định và khơng có
một điểm biến thiên với tọa độ biến thiên (x;y).
H 4.10
Nếu chúng ta đặt a là độ dốc của đường thẳng thì giữa bất kỳ hai điểm trên đường thẳng

a =
Hiệu số tọa đo ätheo phương thẳng đứng của P và Q
Hiệu số tọa đo ätheo phương nằm ngang của P và Q
Thế giá trị của các tọa độ P và Q trong phương trình chúng ta có

0

0
0
0
y b
a
x 0
y b
x
−
=
−
−
=
Nhân cả hai vế phương trình cho x
0
chúng ta có
ax
0
= y
0
– b
Cộng b vào cả hai vế phương trình ta có
0 0
ax b y+ =
Đổi hai vế phương trình này ta có
0 0
y = ax b+
Phương trình này thỏa mãn cả hai tọa độ của điểm P và Q. Thực vậy, điểm Q chỉ đơn thuần là
điển hình của mọi điểm trên đường thẳng, chúng ta bỏ chỉ số dưới 0 và khi đó bất kỳ điểm nào
trên đường thẳng cũng có tọa độ thỏa mãn phương trình

y = ax + b.
Phương trình này được xem là phương trình tổng qt của một đường thẳng, trong đó a là
độ dốc và b là tung độ. Chú ý rằng phương trình này đồng nhất dạng hình thức với
F = 32 + 1.8 C
trong đó các biến C và F thay thế cho x và y. Phương trình này có đồ thị là đường thẳng ở hình
H 4.3 với độ dốc a = 1.8 và tung độ là b = 32.
Phương trình của một đường thẳng
Phương trình của một đường thẳng
y = ax + b
bao gồm bốn con số. Hai biến x và y là giá trị tọa độ của một điểm nằm trên đường thẳng và hai
hằng số. Các hằng số là độ dốc a và tung độ b. Để tìm giá trị của bất kỳ một con số nào chúng
ta cần đến các giá trị của ba đại lượng khác. Giá trị của đại lượng thứ tư thu được bằng việc cân
bằng phương trình. Thỉnh thoảng việc cân bằng phương trình chỉ đơn giản là việc thay thế các
con số. Ví dụ, nếu phương trình của đường thẳng được cho bởi
y = 5x – 2
và một giá trị của x là 4 khi đó giá trị tương ứng của y được tìm thấy bằng việc thế x vào
phương trình. Khi đó
6
Xử lý các số
_________________________________________________________________
y = (5.4) – 2
= 18
Một số trường hợp khác phương trình có thể cần đến một vài thao tác trước khi có thể tìm được
kết quả. Ví dụ, trong phương trình trên, chúng ta cho y = 33 làm cách nào để chúng ta tìm x?
Việc thay thế đơn giản một phía của dấu = là chưa đủ:
33 = 5x – 2
Chúng ta cần cộng vào phương trình với giá trị cô lập x và thu được một phương trình có dạng
x = một vài số hoặc một vài số = x
Với ví dụ trên chúng ta cộng số 2 vào hai vế phương trình để nhận được
33 + 2 = 5x – 2 + 2

khi đó
35 = 5x
Cuối cùng, chia cả hai vế phương trình cho 5 ta nhận được kết quả
7 = x
Việc cân bằng phương trình có nghĩa là nếu một phép toán số học là được thực hiện trên một vế
của phương trình chúng ta cũng phải thực hiện phép toán tương tự trên vế còn lại của phương
trình để giữ cho phương trình được cân bằng. Ví dụ, nếu
y = ax + b
thì
y – b = ax + b – b
= ax
và
y b ax
a a
x
−
=
=
suy ra
x =
y b
a
−
Ở đây chúng ta có thể thay đổi vai trò của x và y cho nhau trong phương trình.
Dạng biến đổi
Một hình thức khác của phương trình đường thẳng là
px + qy = r
7
Xử lý các số
_________________________________________________________________

trong đó p, q và r là các hằng số. Trong dạng này độ dốc là được cho bởi
p
q
−
và tung độ là
r
q
.
Ví dụ, phương trình
3x + 4y = 5
biểu diễn một đường thẳng. Để chỉ ra rằng phương trình này có thể được viết lại trong một hình
thức tiêu chuẩn của một đường thẳng chúng ta làm như sau:
(1) Trừ 3x vào hai vế phương trình
3x + 4y -3x = 5 – 3x
khi đó
4y = 5 – 3x

(2) Chia cả hai vế phương trình bởi 4:
4y 5 3x
4 4
5 3x
4 4
−
=
= −
Suy ra
3 5
y ( )x
4 4
−

= +
với phương trình tiêu chuẩn này chúng ta có độ dốc của đường thẳng là
3
4
−
và tung độ
là
5
4
.
Chúng ý rằng hai đường thẳng
px +qy = r
và
px +qy = s
là song song khi cả hai đường thẳng đều có độ dốc như nhau
p
q
−
nhưng các tung độ
r
q
và
s
q
là khác nhau.
Các ví dụ____________________________________________________________________
1.Vẽ trên cùng một trang giấy các đường thẳng sau và xác định độ dốc và tung độ của chúng:
a) y = 2x +3 b) y = -3x +4 c) y = 4x -2 d) 3x + 4y = 24
8
Xử lý các số

_________________________________________________________________


(a) độ dốc 2, tung độ 3.
(b) độ dốc -3, tung độ 4.
(c) độ dốc 4, tung độ -2.
(d) độ dốc -3/4, tung độ 6. Phương trình dạng tiêu chuẩn là y = (-3/4)x + 6.
2. Xác định độ dốc và tung độ của các đường thẳng sau:
(a) y = 5x – 4 b) y = -7x +8 c) 5x + 2y = 10 d) 2x – 4y = 16
(a) độ dốc 5, tung độ - 4.
(b) độ dốc -7, tung độ 8.
(c) phương trình 5x + 2y = 10 được viết lại
5
y ( )x 5
2
= − +
đường thẳng này có độ dốc -5/2 và tung độ 5.
(d) phương trình 2x – 4y = 16 được viết lại
1
y x 4
2
= −
đường thẳng này có độ dốc ½ và tung độ -4.
3. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1;2) và song song với:
(a) y = 9x – 4 b) 3x +7y = 5
(a) Bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng y = 9x – 4 đều cùng độ dốc nhưng
khác nhau về tung độ. Do đó, phương trình cần tìm có dạng:
y = 9x + k
Thế các giá trị (1;2) vào phương trình chúng ta có
2 = 9 + k do đó k = -7

Phương trình của đường thẳng cần tìm có dạng:
9
X lý cỏc s
_________________________________________________________________
y = 9x 7.
(b) Bt k ng thng no song song vi ng thng 3x +7y = 5 u cú phng trỡnh
3x +7y = k
Th cỏc giỏ tr (1;2) vo phng trỡnh chỳng ta cú
3 + 14 = k do ú k =17
Phng trỡnh ca ng thng cn tỡm cú dng:
3x + 7y = 17.
4. Vit phng trỡnh ca cỏc ng thng sau:
(a) dc 3, tung -5
(b) dc -4 v i qua im (2; -3)
(c) i qua im (1; -1) v (2; 6)
(d) tung 6 v qua im (10; 8)
(a) y = 3x -5
(b) y = -4x + b. Thay (2; -3) vo phng trỡnh ta nhn c:
- 3 = -8 + b do ú b = 5
Phng trỡnh ca ng thng cn tỡm l y = -4x +5.
(c) y = ax + b. Vỡ ng thng i qua hai im (1; -1) v (2; 6) nờn dc ca ng thng
l
a =
Hieọu soỏ tung ủoọ
Hieọu soỏ hoaứnh ủoọ
=
6 ( 1)
2 1

= 7
Khi ú phng trỡnh l
y = 7x +b
Thay ta (1; -1 ) vo phng trỡnh
- 1 = 7 + b
Suy ra
b = -8
Cui cựng phng trỡnh l
y = 7x 8.
(d) Tung 6 v i qua im (10; 8). Do ú phng trỡnh cú dng:
y = ax + 6
Thay ta (10; 8) vo phng trỡnh
8 = 10a + 6
Khi ú
2 = 10a
Suy ra
a =
1
5
Vỡ vy phng trỡnh l
10
Xử lý các số
_________________________________________________________________
y =
1
5
x + 6.
5. Trong mỗi phương trình sau giá trị của tung độ được cho. Hãy tìm giá trị tương ứng của biến
khác
(a) y = 3x – 4 y = 2

(b) l = - 4 – 2m l = 0
(c) 3a + 4b = -5 b = 1
(d) 6p – 5q = -13 p = 2
(a) y = 3x – 4 y = 2 do đó
2 = 3x – 4
cộng 4 vào hai vế phương trình nhận được
2 + 4 = 3x – 4 + 4
khi đó
6 = 3x
Chia cả hai vế phương trình cho 2 ta nhận được:
2 = x
(b) l = - 4 -2m l = 0 do đó
0 = - 4 -2m
Cộng 4 vào vế phương trình ta nhận được
0 + 4 = -4 -2m + 4
khi đó
4 = -2m
Chia cả hai vế phương trình cho -2 ta có kết quả:
- 2 = m
(c) 3a + 4b = - 5 b = 1 do đó
3a + 4 = -5
Trừ hai vế phương trình cho 4 ta nhận được
3a + 4 – 4 = -5 – 4
khi đó
3a = -9
Chia cả hai vế phương trình cho 3 ta có kết quả
a = - 3


(d) 6p – 5q = - 13 p = 2 do đó

12 – 5q = -13
Trừ hai vế phương trình cho 12 ta nhận được
11
Xử lý các số
_________________________________________________________________
12 – 5q – 12 = -13 – 12
khi đó
-5q = - 25
Chia cả hai vế phương trình cho -5 ta có kết quả
q = 5
Bài tập
1. Trên cùng một trang giấy hãy vẽ các đường thẳng sau và xác định độ dốc và tung độ của
chúng:
(a) y = 5x – 9 (b) 8x + 9y = 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hệ thống Toán học và Anh ngữ
12