Bài tập lớn sức bền vật liệu

GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH1


• CÂU A:
cho sơ đồ như hình vẽ. tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và các mômen quán
tính đối với hệ trục đó.




H1: HÌNH A

c
1
c
1
X
Y
1
Y
2
30
10
10
10
15 30
(I)
(II)
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH2


1- XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM TIẾT DIỆN:

Tách tiết diện thành hai hình chữ nhật có diện tích F
1,
F
2
. với các hệ trục tương ứng là C
1
XY
1
và
C
2
XY
2

H2: HÌNH CHỮ NHẬT F1 H3: HÌNH CHỮ NHẬT F2
22
2
1
30
. 450( )
222
aa
Fa cm====

22
2
2
30
. 300( )
333
aa
Fa cm====
Chọn hệ trục làm chuẩn là : C
1
XY
1

Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng
 trọng tâm C của hình thuộc trục X  tọa độ điểm C
là C (X
C
; 0).
Với
12
Y1 Y1
12
15 45
.0 .(15 ) 0 300.
22
9( )
450 300
III
C
FF

SS
Xcm
FFF
++ +
+
== = =
++

Vậy trọng tâm tiết diện có tọa độ C(9 ; 0).
Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng nên J
XY=0
 Hệ trục CXY cũng là hệ trục quán tính chính trung tâm như hình vẽ sau:






c1 X
Y
2
10
30
F
2
c1
Y
1
30
15

X
F
1
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH3




H4: HTQTCTT (CXY)


1
1
(9;0)
(13, 5; 0)
C
C
−
⎧
⎨
⎩

2- TÍNH CÁC MOMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI HỆ TRỤC CXY
• Momen quán tính độc cực:
Đối với trục X :
()( )
33
4

11 2 2 12
15.30 30.10
0. 0. 36250( )
12 12
III I II I II
XXX X X X X
J
JJ J F J FJ J cm=+= + + + = + = + =
Đối với trục Y:

()( )
33
22 2 2
111 2 22
30.15 10.30
. . ( 9) .450 (13.5) .300
12 12
III I II
YYY Y Y
JJJ JXF J XF
⎛⎞⎛ ⎞
=+ = + + + = +− + +
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

4
122062.5( )cm=

•
Momen quán tính ly tâm:

Vì tiết diện nhận trục X làm trục đối xứng nên JXY=0


9
c
1
c
c
1
X
Y
1
Y
Y
2
30
10
10
10
15 30
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH4


•
SƠ ĐỒ B: cho sơ đồ như hình vẽ. tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và các mômen quán
tính đối với hệ trục đó.

H1: HÌNH B


(I)
(II)
Y
1
X
1
X
2
Y
2
C1
C2
U
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH5


1- ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA TỪNG LOẠI THÉP:

Tách tiết diện thành hai hình bao gồm: thép chữ I (N
O
24) và thép không đều cánh (125x80x12)

•
Thép hình chữ I (N

O
24):
h
1
=24(cm)
b
1
=11,5(cm)
d
1
=5,6(mm)
F
1
=34.8(cm
2
)
J
X1
=3460(cm
4
)

J
Y1
=198(cm
4
)


H2: THÉP I (N

O
24)
•
Thép không đều cánh (125x80x12)
b
2
=125(mm)
a
2
=80 (mm)
d
2
=12 (mm)
X
0
=4,22
Y
0
=2
F
2
=23,4
J
X2
=117(cm
4
)
J
Y2
=365(cm

4
)
J
U2
=69,5(cm
4
)

H3: THÉP KHÔNG ĐỀU CÁNH (125x80x12)



Y
0
=2
X
0
=4,22
X
2
Y
2
C2
U
80
125
12
Y1
X1
C1

240
115
5,6
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH6


2- XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM TIẾT DIỆN:

Tách tiết diện thành hai hình bao gồm: hình chữ I và hình chữ L với các hệ trục tương ứng là
C
1
X
1
Y
1
và C
2
X
2
Y
2
.
Chọn hệ trục C
2
X
2
Y
2

làm chuẩn
Nhận xét: tiết diện không có trục đối xứng nên trọng tâm có tọa độ C (X
C
; Y
C
) và J
XY
0
Xácđ
ịnh trọng tâm:
20 1
Y2 Y2 Y2
12
34,8.( ( 0,1. )) 0
34,8.((12,54,220,1.11,5))
4,26( )
34,8 23,4 34,8 23, 4
III
C
bx b
SSS
X cm
FFF
−−− +
+
−−−
== = = =−
++ +

1

0
X2 X2 X2
12
24
34,8.( ) 34,8.( 2)
22
8,37( )
34,8 23,4 34,8 23,4
III
C
h
y
SSS
Ycm
FFF
++
+
== = = =
++ +

Vậy C(-4,26 ; 8,37). Hệ trục trung tâm là CXY như hình vẽ:


H4: HT TRUNG TÂM (CXY)

C
X
Y
(I)
(II)

Y
1
X
1
X
2
Y
2
C1
C2
U
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH7



tọa độ của các điểm C
1
và C
2

C
1
:
120 1
1
10
( 0,1. 4,26) 2,867( )
(8,37)5,63()

2
Xbx b cm
h
Yy cm
=− − − − =−
⎧
⎪
⎨
=+− =
⎪
⎩
 C
1
(-2,867 ; 5,63)
C
2 :

2
2
4,26( )
8,37( )
Xcm
Ycm
=
⎧
⎨
=−
⎩
 C
2

(4,26 ; -8,37)
3- XÁC ĐỊNH MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI HỆ TRỤC CXY:
• Momen quán tính độc cực:
+ đối với trục X :

22
111 222
(.)(.)
III I II
XXX X X
JJJ JyFJ yF=+= + + + =


224
(3460 (5,63) .34,8) (117 ( 8,37) .23,4) 6319,4( )cm+++−=
+ đối với trục Y :

22
111 2 22
(.)(.)
III I II
YYY Y Y
JJJ JxF J xF=+ = + + + =


224
(198 (2,867) .34,8) (365 4,263 .23,4) 1274,3( )cm+++=
• Momen quán tính ly tâm:
11 1 1 1 2 2 2 2 2
( )( )

III
XY XY XY X Y X Y
J
JJ J xyFJ xyF=+= + + +

Với :
11
0
XY
J =
(vì tiết diện hình chữ I có một trục đối xứngY1)
Tính:
22
X
Y
J

Từ công thức :
()
2
2
2Y2
min 2 2 Y2 2 2
1
.4.
22
X
UXXY
JJ
JJ JJ J

+
== − − +




()
()
()
2
22
22
2Y2
22Y2222Y222
11
4.
24 4
X
UXXYXXY
JJ
JJJJJJJ
+
⎛⎞
−=−+=−+
⎜⎟
⎝⎠


22
2

2Y2 2Y2
22 2
22
XX
XY U
JJ JJ
JJ
+−
⎛⎞⎛⎞
=− −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠


()()
22 2 2 Y2 2XY X U U
JJJJJ=± − −

+
Xác định dấu của
22
X
Y
J bằng vòng tròn Mo quán tính đối với thép L:


GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH8

H5: VÒNG TRÒN Mo XÁC ĐỊNH DẤU
J
X2Y2

Ta có J
U2
= J
min
. từ điểm B ta kẻ tia song song với U cắt vòng tròn tại điểm D(J
2
, J
X2Y2
)
Trên hình vẽ ta thấy J
X2Y2
<0 . Vậy
()( )
22 2 Y2 2XY X U U
JJJJJ=− − −


()()
4
22
365 69,5 117 69,5 118,5( )
XY
Jcm=− − − =−

Vậy momen quán tính ly tâm đối với trục CXY là :
11 1 1 1 2 2 2 2 2
( )( )
III
XY XY XY X Y X Y
J
JJ J xyFJ xyF=+= + + +
=
4
(0 ( 2,867).5,63.34,8) ( 118.5 4,263.( 8,37).23,4) 1515.156( )cm+− +− + − =−
4- XÁC ĐỊNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM (C
uv
) VÀ CÁC MÔ MEN
QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM
Ta có :
2. 2.( 1515.156)
20.6
6319.4 1274.3
XY
XY
J
tg
JJ
α
−
=− =− =
−−



00
23058'.180k
α
=+

00
15 29' .90k
α
=+

Suy ra :
0
1
15 29'
α
=
và
00
21
90 105 29'
αα
=+ =

Vậy xoay hệ trục CXY theo chiều ngược kim đồng hồ góc
0
1
15 29'
α
=

ta được hệ trục quán tính
chính trung tâm C
UV.
Giá trị các momen quán tính chính trung tâm :
()
2
2
Y
max Y
min
1
.4.
22
X
X
XY
JJ
J
JJ J
+
=±−+
=
()
2
2
6319,4 1274,3 1
6319,4 1274,3 4.( 1515,156)
22
+
±−+−

Suy ra :

4
max
6739,46( )
U
J
cm J==

U
J
X2Y2
J
XY
J
X
O
B
D
J
2
Y
0
=2
X
0
=4,22
X
2

Y
2
C2
U
80
125
12
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH9


4
min
854,24( )
V
J
cm J==


0
UV
J =


H5: HTQTCTT (C
UV)


X

U
V
15,48
C
Y
(I)
(II)
Y
1
X
1
X
2
Y
2
C1
C2
U
GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH10


5- XÁC ĐỊNH TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN
TÍNH CHÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÒNG TRÒN Mo QUÁN TÍNH :
A> Vẽ vòng tròn mohr quán tính:

Lập hệ trục tọa độ
()
UUV

OJ J
.
Trên mặt phẳng tọa độ dựng ( , ) (6319,4; 1515,156)
XXY
AJ J A
=
−
( , ) (1274,3;1515,156)
YYX
BJ J B=
Nối A với B cắt trục hoành tại
( ;0) ( ;0) (3796,85;0)
2
XY
C
JJ
CJ C C
+
==
là tâm vòng tròn Mohr
quán tính.
Dựng đường tròn tâm C bán kính CA ta được vòng tròn Mohr quán tính.
Với
(
)
(
)
22 22
(')(') ( )
X

CXY
RCA CA AA J J J== + = − +

(
)
22
(6319,4 3796,85) ( 1515,156) 2942,61=−+− =
(cm
4
)


H6: VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH


GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH11


B> Xác định trục quán tính chính trung tâm và các momen quán tính chính:
Nhận xét: trên hình vẽ vị trí
max
J
,
min
J
nằm trên trục J
U
Xác định trục quán tính chính trung tâm :

' 1515,156
0,6
' 6319,4 3796,85
XY
XC
JAA
tg
CA J J
β
== = =
−−
 30 58'
o
β
=
Theo định lý thì
β (góc ở tâm) và góc
1
α
cùng chắn cung
max
J
A 
1
30 58'
15 29'
22
o
o
β

α
== = 
Theohìnhv
ẽ thì :
21
90 15 29' 90 105 29'
oo o o
αα
=+ = + =

Vậy xoay hệ trục CXY theo chiều ngược kim đồng hồ góc
0
1
15 29'
α
=

ta được hệ trục quán tính
chính trung tâm CUV.( như H5)
Dựa vào hình vẽ ta có:
4
max
3796,85 2942,61 6739,46( )
UC
J
JJR cm==+= + =

4
min
3796,85 2942,61 854,24( )

VC
J
JJR cm==−=−=

0
UV
J =
Kết luận : kết quả giải được bằng phương pháp vòng tròn Mohr phù hợp với kết quả giải bằng
phương pháp giải tích.
















GVHD: TRẦN QUỐC HÙNG

TRẦN SONG ÁNH12