Bài tập lớn sức bền vật liệu

Trang 0
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HỒ CHÍ MINH
BỘ MÔN CƠ HỌC ỨNG DỤNG
›–?—š
BÀI TẬP LỚN SỨC BỀN VẬT LIỆU
BÀI SỐ 1: VẼ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

GIÁO VIÊN : TRẦN QUỐC HÙNG
SINH VIÊN : VÕ ANH VŨ
MSSV : X042256 (STT: 79)
LỚP : XD04/A2
NGÀY HOÀN THÀNH : 20/10/2005
Trang 1
Sễ ẹO : A
SO ẹE BAỉI : 9
HE SO K
7
: 1,40
q
0
= q
1
= 3 (kN/m)
P
1
= K
i
qa = 1,40 x 3 x 1 = 4,2 (kN)
P
2
= 1,25P

1
= 1,25 x 4.2 = 5,25 (kN)
M = K
i
qa
2
= 1,40 x 3 x 1
2
= 4.2 (kN.m)
Q = q x a = 3 x 1 = 3 (kN)

2,559

X
A
= 0(kN)

q= 3(kN/m)

Q= 3(kN)

P
1
= 4,2(kN)

A

C

D

B

M= 4,2(kNm)

Y
B
=2,559(kN)

4,641

Q
y

[kN]
M
x

[kN.m]
4,641

0,441

0,441

4,2

0,441

1,059

1,25

Y
A
=4,641(kN)

Trang 2
A. PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT:
1. Xác đònh phản lực tại gối:

∑X = X
A
= 0
∑Y = Y
A
– P
1
– Q + Y
B
= 0
⇒
Y
A
+ Y
B
= P
1
+ Q = 4,2 + 3 = 7,2 (kN) (1)
∑M

A
= M – 1.P
1
– (1 + 1,4 + 0,5)Q + (1 + 1,4 + 1)Y
B
=0
⇒
Y
B
=
1
3,4
(P
1
+ 2,9Q – M) =
1
3,4
(4,2+2,9 x 3 –4,2) ≈ 2,559 (kN)
(1)
⇒
Y
A
= 7,2 – Y
B
= 7,2 – 2,559 = 4,641 (kN)
Nhận xét: Trên toàn thanh AB không có lực tác dụng theo phương X
⇒
N
z
=0

trên toàn thanh.
2. Xét đoạn AC:
Dùng mặt cắt 1–1 cắt AC tại O
1
, O
1
cách A đoạn z
1
(0 ≤ z
1
≤ 1). Xét phần bên
trái mặt cắt.

∑Z = X
A
+ N
z1
= 0

⇒
N
z1
= –X
A
= 0
∑Y = Q
y1
–Y
A
= 0

⇒
Q
y1
= Y
A
= 4,641(kN) = const
∑M
01
= M
x1
+ M – z
1
.Y
A
= 0
⇒
M
x1
= –M + z
1
.Y
A
= –4,2 + 4,641.z
1
(bậc 1)
Các đầu thanh:
z
1
=0
⇒

M
x1
= –4,2 + 4,641 x 0 = –4,2 <0 (căng trên)
z
1
=1
⇒
M
x1
= –4,2 + 4,641 x 1 = 0,441 >0 (căng dưới)
X
A
= 0(kN)

q= 3(kN/m)

Q= 3(kN)

P
1
= 4,2(kN)

A

C

D

B

M= 4,2(kNm)

Y
B
=2,559(kN)

Y
A
=4,641(kN)

X
A
= 0(kN)

A

M= 4,2(kNm)

Y
A
=4,641(kN)

M
x1
N
z1
Q
y1

0

1
Trang 3
3. Xét đoạn CD:
Dùng mặt cắt 2–2 cắt CD tại O
2
, O
2
cách C đoạn z
2
(0 ≤ z
2
≤ 1,4). Xét phần
bên trái mặt cắt.

∑Z = X
A
+ N
z2
= 0

⇒
N
z2
= –X
A
= 0


∑Y = Q
y2

+ P
1
– Y
A
= 0
⇒
Q
y2
= Y
A
– P
1
= 4,641– 4,2 = 0,441(kN) = const
∑M
02
= M
x2
+ M – (1+z
2
).Y
A
+ P
1
.z
2
= 0
⇒
M
x2
= –M + (1+z

2
).Y
A
– P
1
.z
2

= (–M + Y
A
) + (Y
A
– P
1
).z
2

= (–4,2 + 4,641) + (4,641 – 4,2). z
2

= 0,441 + 0,441.z
2
(bậc 1)
Các đầu thanh:
z
2
=0
⇒
M
x2

= 0,441 + 0,441 x 0 = 0,441 >0 (căng dưới)
z
2
=1,4
⇒
M
x2
= 0,441 + 0,441 x 1,4 = 1,059 >0 (căng dưới)
4. Xét đoạn DB:
Dùng mặt cắt 3–3 cắt DB tại O
3
, O
3
cách B đoạn z
3
(0 ≤ z
3
≤ 1). Xét phần bên
phải mặt cắt.

Q’ = q
0
.z
3
= 3z
3
∑Z = N
z3
= 0
∑Y = Q

y3
– Q' + Y
B
= 0
⇒
Q
y3
= Q'

– Y
B
= 3z
3
– 2,559 (bậc 1)
Các đầu thanh:
z
3
=0
⇒
Q
y3
= 3 x 0 – 2,559 = –2,559 <0
z
3
=1
⇒
Q
y3
= 3 x 1 – 2,559 = 0,441 >0
X

A
= 0(kN)

A

M= 4,2(kNm)

Y
A
=4,641(kN)

M
x2
N
Z2
Q
y2

0
2
P
1
= 4,2(kN)

C

M
x3
N
z3

Q
y3

O
3
q
0
= 3(kN/m)

Q’

= q
0
.z
3

Y
B
= 2,559(kN)

B

Trang 4
∑M
03
= M
x3
+
1
2

.Q’.z
3
– Y
B
.z
3
= 0
M
x3
= Y
B
.z
3
–
1
2
.Q’.z
3
= 2,559.z
3
– 1,5.z
3
2
(bậc 2)
Tìm cực trò :
M
x3
đạt cực trò
⇔

x3
3
dM
dz
= 0
⇔
Q
y3
= 0
⇔
3z
3
– 2,559 = 0

⇔
z
3
=
2,559
3
= 0,853
M
x3
(z
3
=0,853) = 2,559 x 0,853 – 1,5 x 0,853
2
≈ 1,25
Các đầu thanh:
z

3
=0
⇒
M
x3
= 2,559 x 0 – 1,5 x 0
2
= 0
z
3
=1
⇒
M
x3
= 2,559 x 1 – 1,5 x 1
2
= 1,059
B. KIỂM TRA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Kiểm tra lại biểu đồ nội lực đã vẽ bằng phương pháp vi phân :
Đi từ trái qua phải.
Trên AC :
không có lực phân bố
⇒
Q
y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại A :
Q

yA
= Y
A
= 4,641 (kN)
M
xA
= M = –4,2 (kNm)
Tại C :
Q
yC
tr
= Q
yA
= 4,641 (kN)
M
xC
= M
XA
+ S
Qy
AC

= –4,2 + 4,641 x 1
= 0,441 (kNm) >0 (căng dưới)
Trên CD :
không có lực phân bố
⇒
Q
y
=const (bậc 0), M

x
bậc 1
Tại C :
Q
yC
ph
= Q
yC
tr
– P
1
= 4,641 – 4,2 = 0,441(kN)
M
xC
= 0,441 (kNm) >0 (căng dưới)
Tại D :
Q
yD
tr
= Q
yC
ph
= 0,441 (kN)
M
xD
= M
XC
+ S
Qy
CD

= 0,441 + 0,441 x 1,4
= 1,059 (kNm) >0 (căng dưới)
Trên DB :
có lực phân bố q= const (bậc 0)
⇒
Q
y
bậc 1, M
x
bậc 2

X
A
= 0
q= 3(kN/m) P
1
= 4,2(kN)
A
C
D
B

M= 4,2

4,641
Q
y

[kN]

M
x

[kN.m
]

4,641
0,441

0,441

4,2
0,441

1,059

1,25
Y
A
=4,641

2,559
Y
B
=2,559

Trang 5
Tại D :
Q
yD

ph
= Q
yD
tr
= 0,441(kN)
M
xD
= 1,059 (kNm) >0 (căng dưới)
Tại B :
Q
yB
= Q
yD
ph
– S
q
DB
= 0,441 – 3 x 1 = –2,559(kN) < 0
M
xB
= M
XD
+ S
Qy
DB

= 1,059 +
1
2
.(0,441 – 2,559) x 1

= 0
KẾT LUẬN : Kiểm tra lại bài toán vẽ biểu đồ bằng phương pháp vi phân ta thấy
kết quả bài toán là hoàn toàn phù hợp.
Trang 6
Sễ ẹO : B
SO ẹE BAỉI : 9
HE SO K
7
: 1,40
q
0
= q
1
= 3 (kN/m)
P
1
= K
i
qa = 1,40 x 3 x 3 =12,6 (kN)
P
2
= 1,25P
1
= 1,25 x 12,6 =15,75 (kN)
M = K
i
qa
2
= 1,40 x 3 x 3
2

= 37,8 (kN.m)
Q =
1
2
.q
0
.1,2 =
1
2
x 3 x 1,2 = 1,8 (kN)

Q
y

[kN]
M
x

[kN.m]
A
B

C

D

Q= 1,8(kN)

q
0

= 3(kN/m)

X
A
= 0(kN)

77,04(kNm)=M
A
P
1
= 12,6(kN)

M=37,8(kNm)

77,04

14,4

13,95

12,6

12,6

68,49

30,69

22,68

Y
A
=14,4(kN)

Trang 7
A. PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT:
1. Xác đònh phản lực tại gối:

∑X = X
A
= 0
∑Y = Y
A
– Q– P
1
= 0
⇒
Y
A
= P
1
+ Q = 12,6 + 1,8 = 14,4(kN)
∑M
A
= M
A
– M –
2
3
.(0,6 + 0,6).Q – (0,6 + 0,6 + 1,8).P

1
= 0
⇒
M
A
= M + 0,8.Q + 3. P
1
=
= 37,8 + 0,8.1,8 + 3.12,6
= 77,04 (kN.m)
Nhận xét: Trên toàn thanh AB không có lực tác dụng theo phương X
⇒
N
z
=0
trên toàn thanh.
2. Xét đoạn AC:
Dùng mặt cắt 1–1 cắt AC tại O
1
, O
1
cách A đoạn z
1
(0 ≤ z
1
≤ 0,6). Xét phần bên
trái mặt cắt.

⇒==
00

1
11
1
qq
q
qz
z1,21,2

∑Z = X
A
+ N
z1
= 0

⇒
N
z1
= – X
A
= 0(kN)
∑Y = Q
y1
+ Q' –Y
A
= 0
⇒
Q
y1
= Y
A

– Q’ = 14,4 –
1
2
.z
1
.q
1

X
A
= 0(kN)

A

M
A
= 77,04

Y
A
=14,4(kN)

M
x1
N
z1
Q
y1

0

1
Q’

= ½.z
1
.q
1
A

B

C

D

Q= 1,8(kN)

q
0
= 3(kN/m)

X
A
= 0(kN)

77,04(kNm)=M
A
P
1
= 12,6(kN)

M=37,8(kNm)

Y
A
=14,4(kN)

q
1
Trang 8
= 14,4 –
1
2
.z
1
.z
1
.
0
q
1,2

= 14,4 – 1,25.z
1
2
(bậc 2)
Tìm cực trò:
Q
y1
đạt cực trò

⇔
0
=
y1
1
dQ
dz
⇔
q = 0
⇔
z
1
= 0
Q
y1max
= Q
y1
(z
1
= 0) = 14,4 – 1,25 x 0
2
= 14,4 (kN)
Các đầu thanh:
z
1
=0
⇒
Q
y1
= 14,4 – 1,25 x 0

2
= 14,4
z
1
=0,6
⇒
Q
y1
= 14,4 – 1,25 x 0,6
2
= 13,95
∑M
01
= M
x1
+ M
A
+
1
3
.z
1
.Q’ – z
1
.Y
A
= 0
⇒
M
x1

= –M
A
+ z
1
.Y
A
–
1
3
.z
1
.Q’
= –77,04 + 14,4z
1
–
1
3
.1,25.z
1
3

Tìm cực trò:
Trên AC, Q
y1
≠ 0
⇒

x1
1
dM

dz
≠ 0
⇒
M
x1
không đạt cực trò trên AC
Dễ thấy M
x1
sẽ lõm theo chiều của q
Các đầu thanh:
z
1
=0
⇒
M
x1
=–77,04+14,4 x 0 –
1
3
.1,25 x 0
3
= –77,04 <0 (căng trên)
z
1
=0,6
⇒
M
x1
=–77,04+14,4 x 0,6 –
1

3
1,25 x 0,6
3
=–68,49 <0 (căng trên)
3. Xét đoạn CD:
Dùng mặt cắt 2–2 cắt CD tại O
2
, O
2
cách C đoạn z
2
(0 ≤ z
2
≤ 0,6). Xét phần
bên trái mặt cắt.
2
2
q
0,6 + z
=
0
q
1,2

⇒
q
2
=
2
3(0,6+z)

1,2
= 2,5. (0,6 + z
2
)
Q
2
=
1
2
(0,6+z
2
).q
2
=
1
2
(0,6+z
2
).2,5.(0,6 + z
2
) = 1,25.(0,6 + z
2
)
2


∑Z = X
A
+ N
z2

= 0

⇒
N
z2
= – X
A
= 0


∑Y = Q
y2
+ Q
2
–Y
A
= 0
⇒
Q
y2
= Y
A
– Q
2
= 14,4 – 1,25.(0,6 + z
2
)
2

X
A
= 0(kN)

A

M
A
= 77,04

Y
A
=14,4(kN)

M
x2
N
z2
Q
y2

0
2
Q
2
=
1
2
(0,6+z

2
).q
2
C
M= 37,8

Trang 9
= –1,25z
2
2
– 1,5z
2
+ 13,95 (bậc 2)
Tìm cực trò:
Trên CD, q ≠ 0
⇒

y2
2
dQ
dz
≠ 0
⇒
Q
y
không đạt cực trò trên CD
Các đầu thanh:
z
2
=0

⇒
Q
y2
= –1,25 x 0
2
– 1,5 x 0 + 13,95 = 13,95
z
2
=0,6
⇒
Q
y2
= –1,25 x 0,6
2
– 1,5 x 0,6 + 13,95 = 12,6
∑M
02
= M
x2
– M + M
A
+
1
3
.(0,6 + z
2
)Q
2
– (0,6+z
2

).Y
A
= 0
M
x2
= M – M
A
–
1
3
.(0,6 + z
2
)Q
2
+ (0,6+z
2
).Y
A

= M – M
A
–
1
3
.(0,6 + z
2
).1,25.(0,6 + z
2
)
2

+ (0,6+z
2
).Y
A

= 37,8 – 77,04 –
1,25
3
.(0,6 + z
2
)
3
+ 14,4.(0,6+z
2
)
= –30,69 + 13,95.z
2
– 0,75.z
2
2
–
1,25
3
.z
2
3

(bậc 3)
Tìm cực trò:
Trên CD, Q

y
≠ 0
⇒

x
2
dM
dz
≠ 0
⇒
M
x
không đạt cực trò trên CD.
M
x
có dạng lõm theo chiều của q.
Các đầu thanh:
z
2
=0
⇒
M
x2
= –30,69 + 13,95 x 0 – 0,75 x 0
2
–
1,25
3
.0
3

= –30,69 <0

z
2
=0,6
⇒
M
x2
= –30,69 + 13,95x0,6 – 0,75x0,6
2
–
1,25
3
.0,6
3
=–22,68<0
⇒
căng trên
4. Xét đoạn DB:
Dùng mặt cắt 3–3 cắt DB tại O
3
, O
3
cách B đoạn z
3
(0 ≤ z
3
≤ 1,8). Xét phần
bên phải mặt cắt.

∑Z = N
z3
= 0
M
x3
N
z3
Q
y3

O
3
P
1
= 12,6(kN)

B

Trang 10
∑Y = Q
y3
– P
1
= 0
⇒
Q
y3
= P
1
= 12,6 = const

∑M
03
= M
x3
+ P
1
.z
3
= 0
M
x3
= –P
1
.z
3
= –12,6.z
3
(bậc 1)
Các đầu thanh:
z
3
= 0
⇒
M
x3
= –12,6 x 0 = 0
z
3
=1,8
⇒

M
x3
= –12,6 x 1,8 = –22,68 <0 (căng trên)
B. KIỂM TRA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Kiểm tra lại biểu đồ nội lực đã vẽ bằng phương pháp vi phân :
Đi từ trái qua phải :
Trên AC :
có lực phân bố tam giác (bậc 1)
⇒
Q
y
bậc 2, M
x
bậc 3
Tại A :
Q
yA
= Y
A
= 14,4 (kN)
M
xA
= M
A
= –77,04 (kNm)
Tại C :
Q
yC
tr
= Q

yA
– S
q
AC

= 14,4 –
1
2
x 0,6 x 0,6 x
3
1,2

= 13,95 (kN)



M
xC
ph
= M
XA
+ S
Qy
AC

= M
XA
+
∫ y
Qdz

AC

= –77,04 +
∫
0,6
2
1
(14,4 - 1,25.z)
0
dz

= –68,49 (kN) <0 (căng trên)
Trên CD :
có lực phân bố tam giác (bậc 1)
⇒
Q
y
bậc 2, M
x
bậc 3
Tại C :
Q
yC
ph
= Q
yC
tr
= 13,95(kN)
M
xC

ph
= M
xC
tr
+ M = –68,49 + 37,8 = –30,69 (kNm) <0 (căng trên)
Tại D :
Q
yD
tr
= Q
yC
ph
– S
q
CD

= 13,95 –
1
2
(1,5+3).0,6 = 12,6(kN)


M
x

[kN.m
]

q
0

= 3

Q
y

[kN]
A
B

C

D X
A
= 0
77,04=M
A
M=37,8
77,04
14,4
13,95

12,6 12,6
68,49

30,69

22,68

Y
A

=14,4

Trang 11
M
xD
= M
XC
+ S
Qy
CD

= –30,69 +
∫ y
Qdz
CD

= –30,69 +
∫
0,6
2
22
(-1,25z - 1,5z + 13,95)
0
dz

= –22,68 (kNm) <0 (căng trên)
Trên DB :
không có lực phân bố
⇒
Q

y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại D :
Q
yD
ph
= Q
yD
tr
= 12,6(kN)
M
xD
= –22,68 (kNm) <0 (căng trên)
Tại B :
Q
yB
= Q
yD
ph
= 12,6(kN)
M
xB
= M
XD
+ S
Qy
DB

= –22,68 + 12,6 x 1,8 = 0
KẾT LUẬN : Kiểm tra lại bài toán vẽ biểu đồ bằng phương pháp vi phân
ta thấy kết quả bài toán giải bằng phương pháp mặt cắt là hoàn toàn phù hợp.
Trang 12
Sễ ẹO : C
SO ẹE BAỉI : 9
HE SO K
7
: 1,40
q
0
= q
1
= 3 (kN/m)
P
1
= K
i
qa = 1,40 x 3 x 2 = 8,4 (kN)
P
2
= 1,25P
1
= 1,25 x 12,6 = 10,5 (kN)
M = K
i
qa
2
= 1,40 x 3 x 2
2

= 16,8 (kN.m)
Q
2
=
1
2
.q
0
.1,5a =
1
2
.3.1,5.2 = 4,5 (kN)
Q
1
= q.
1
2
.a = 3 x
1
2
x 2 = 3 (kN)

2,5

Q
y

[kN]
M
x

[kN.m]
N
z
[kN]
A

B

C

D

E

F

G

2

3

8,4

8,4

2

2

5

5

2,5

2,5

1,5

1,5

16,8

16,8

q
0
= 3(kN/m)

B

C

D

Q
2
= 4,5(kN)

Y
A
= 5(kN)

P
1
= 8,4(kN)

M=16,8(kNm)

Q
1
= 3(kN)

q= 3(kN/m)

Y
B
= 2,5(kN)

X
B
=
-
8,4(kN)

Trang 13
A. PHƯƠNG PHÁP MẶT
CẮT:

1. Xác đònh phản lực
tại gối:
∑X = X
B
+ P
1
= 0
⇒
X
B
= –P
1
= –8,4 (kN)
∑Y = Y
A
+ Y
B
–Q
1
– Q
2
= 0
⇒
Y
A
+ Y
B
= Q
1
+ Q

2


= 3 + 4,5
= 7,5 (kN)

∑M
A
=
1
2
.1.Q
1
–
2
3
.3.Q
2
– M + 3Y
B
+ 2P
1
= 0
⇒
Y
B
=
1
3
.( –

1
2
.Q
1
+ 2Q
2
+ M – 2P
1
)
=
1
3
.( –
1
2
.3

+ 2 x 4,5 + 16,8 – 2 x 8,4)
= 2,5 (kN.m)
⇒
Y
A
= 7,5 – Y
B
= 7,5 – 2,5 = 5 (kN)
2. Xét đoạn AC:
Dùng mặt cắt 1–1 cắt AC tại O
1
, O
1

cách A đoạn z
1
(0 ≤ z
1
≤ 2). Xét phần bên
dưới mặt cắt.

∑Z = N
z1
+ Y
A
= 0

⇒
N
z1
= – Y
A
= –5(kN) = const
<0 (chòu nén)
∑Y = Q
y1
= 0
∑M
01
= M
x1
= 0

A

B

C
D

E

F

G

q
0
= 3(kN/m)

C

Q
2
= 4,5(kN)

Y
A
= 5(kN)

P
1
= 8,4(kN)

Q
1
= 3(kN)

q= 3(kN/m)

Y
B
= 2,5(kN)

X
B
=
-
8,4(kN)

M=16,8(kNm)


M
x1
N
z1
Q
y1
O
1
Y
A
= 5(kN)

B

Trang 14
3. Xét đoạn CD:
Dùng mặt cắt 2–2 cắt CD tại O
2
, O
2
cách C đoạn z
2
(0 ≤ z
2
≤ 1). Xét phần bên
trái mặt cắt.


Q’
1
= z
2
.q

∑Z = N
z2
= 0
∑Y = Q
y2
+ Q’
1
= 0

⇒
Q
y2
= – Q’
1
= – z
2
.q = –3.z
2
(bậc 1)
Các đầu thanh:
z
2
=0
⇒
M
x2
= –3 x 0 = 0
z
2
=1
⇒
M
x2
= –3 x 1 = –3
∑M
02
= M
x2
+

1
2
.z
2
.Q’
1
= 0
M
x2
= –
1
2
.z
2
.Q’
1

= –
1
2
.z
2
.z
2
.q = –
1
2
.q.z
2
2

= –
3
2
.z
2
2
(bậc 2)
Tìm cực trò:
Trên CD, z
2
= 1
⇒
Q
y
= 0
⇒

x
2
dM
dz
= 0
⇒
M
x
đạt cực trò trên CD tại z
2
=1
M

x
(z
2
=1)= –
3
2
.1
2
= –1,5 (kNm)
M
x
có dạng lõm theo chiều của q.
Các đầu thanh:
z
2
=0
⇒
M
x2
= –
3
2
x 0
2
= 0

z
2
=1
⇒

M
x2
= –
3
2
x 1
2
= –1,5 (kNm) <0 (căng trên)
D

M
x2
N
z2
Q
y2

0
2
Q’
1
= z
2
.q

q = 3(kN/m)

Trang 15
4. Xét đoạn CE:
Dùng mặt cắt 3–3 cắt CE tại O

3
, O
3
cách B đoạn z
3
(0 ≤ z
3
≤ 2). Xét phần bên
dưới mặt cắt.

∑Z = N
z3
+ Y
A
– Q
1
= 0
N
z3
= – Y
A
+ Q
1
= – 5 + 3 = –2(kN) =const
<0 (chòu nén)
∑Y = Q
y3
= 0
∑M
03

= M
x3
+ Q
1
.0,5

= 0
M
x3
= – 3.0,5 = –1,5(kNm) = const
<0 (căng trên)
5. Xét đoạn EF:
Dùng mặt cắt 4–4 cắt EF tại O
4
, O
4
cách E đoạn z
4
(0 ≤ z
4
≤ 3). Xét phần bên
trái mặt cắt.
D

M
x3
N
z3
Q
y3

0
3
Q
1
= 3

q = 3

Y
A
= 5

Trang 16

4
q'
z
=
0
3
q
z

⇒
q’ = z
4
.
0
3

q
z
= z
4
⇒
Q’
2
=
1
2
.z
4
.q’ =
1
2
.z
4
2

∑Z = N
z4
= 0
∑Y = Q
y4
+ Q’
2
+ Q
1
– Y
A

= 0
⇒
Q
y4
= Y
A
– Q’
2
– Q
1
= 5 – 0,5 x z
4
2
–3
= 2 – 0,5.z
4
2
(bậc 2)
Tìm cực trò:
Trên EF , z
4
=0
⇒
q = 0
⇒

y
4
dQ
dz

= 0
⇒
Q
y
đạt cực trò
Q
y
(z
4
=0) = 2 – 0,5 x 0
2
= 2(kN)
Các đầu thanh:
z
4
=0
⇒
Q
y4
= 2 – 0,5 x 0
2
= 2 (kN)
z
4
=3
⇒
Q
y4
= 2 – 0,5 x 3
2

= –2,5 (kN)
∑M
04
= M
x4
+
1
3
.z
4
.Q’
2
+ (0,5 +z
4
)Q
1
– z
4
.Y
A
= 0
⇒
M
x4
= –
1
3
.z
4
.Q’

2
– (0,5 +z
4
)Q
1
+ z
4
.Y
A

= –
1
3
.z
4
.
1
2
.z
4
2
– (0,5 +z
4
).3

+ z
4
.5
= –
1

6
.z
4
3
+ 2.z
4
– 1,5 (bậc 3)
Tìm cực trò:
Trên EF,
x
2
dM
dz
= 0
⇔
Q
y4
= 0
⇔
2 – 0,5.z
4
2
=0

⇔
z
4
= 2 (loại –2
∉
[0,3]

⇒
M
x
đạt cực trò trên EF tại z
4
=2
M
x
(z
4
=2)= –
1
6
x 2
3
+ 2 x 2 – 1,5 = 1,17 (kNm) >0 (căng dưới)
D

M
x4
N
z4
Q
y4

0
4
Q
1
= 3

q = 3

Y
A
= 5

C

E

Q’
2
=1/2.z
4
.q’

Trang 17
M
x
có dạng lõm theo chiều của q.
Các đầu thanh:
z
4
=0
⇒
M
x4
= –
1

6
x 0
3
+ 2 x 0 – 1,5 = –1,5 (kNm) <0 (căng trên)

z
4
=3
⇒
M
x4
= –
1
6
x 3
3
+ 2 x 3 – 1,5 = 0
6. Xét đoạn FG:
Dùng mặt cắt 5–5 cắt FG tại O
5
, O
5
cách G đoạn z
5
(0 ≤ z
5
≤ 2). Xét phần bên
dưới mặt cắt.

∑Z = N

z5
+ Y
B
= 0

⇒
N
z5
= – Y
B
= – 2,5(kN) =const
∑Y = Q
y5
– P
1
–X
B
= 0

⇒
Q
y5
= P
1
+ X
B
= 8,4 – 8,4 = 0
∑M
05
= M

x5
+ z
5
.P
1
+ (2 + z
5
).X
B
= 0
⇒
M
x5
= –z
5
.P
1
– (2 + z
5
).X
B

= –z
5
.8,4 – (2 + z
5
). (–8,4)
= 16,8 >0 (căng dưới)
7. Xét đoạn GB:
Dùng mặt cắt 6–6 cắt GB tại O

6
, O
6
cách B đoạn z
6
(0 ≤ z
6
≤ 2). Xét phần bên
dưới mặt cắt.
B

M
x5
N
z5
Q
y5

0
5
P
1
= 8,4

X
B
=
-
8,4

Y
B
= 2,5

G

Trang 18

∑Z = N
z6
+ Y
B
= 0

⇒
N
z6
= – Y
B
= – 2,5(kN) =const
∑Y = Q
y6
–X
B
= 0

⇒
Q
y6
= X

B
=– 8,4(kN)
∑M
06
= M
x6
+ z
6
.X
B
= 0
⇒
M
x6
= –z
6
.X
B

= –z
6
.(–8,4) = 8,4.z
6
(bậc 1)
Các đầu thanh:
z
6
=0
⇒
M

x6
= 8,4 x 0 = 0 (kNm)
z
6
=2
⇒
M
x6
= 8,4 x 2 = 16,8 (kNm)
B. KIỂM TRA BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Kiểm tra lại biểu đồ nội lực đã vẽ bằng phương pháp vi phân :
Đi dọc khung theo chiều cùng chiều kim đồng hồ (xuất phát từ A)
Trên AC :
không có lực phân bố
⇒
Q
y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại A :
Q
yA
= 0 (kN)
M
xA
= 0 (kNm)
Tại C :
Q
yC

tr
= Q
yA
= 0 (kN)
M
xC
= M
XA
+ S
Qy
AC

= 0 + 0
= 0 (kNm)
Trên CD :
có lực phân bố q= const (bậc 0)
⇒
Q
y
bậc 1, M
x
bậc 2
Tại D :
Q
yD
= 0 (kN)
B

M
x6

N
z6
Q
y6

0
6
X
B
=
-
8,4

Y
B
= 2,5


C
A

B
D

E

F
G

5

2

2,5

2,5

3

2

2,5

8,4

8,4

1,5

1,5

1
6,8

16,8

q=3

q
0
=3

P
1
=8,4

X
B
=
-
8,4

Y
B
= 2,5

Y
A
= 5

Trang 19
M
xD
= 0 (kNm)
Tại C :
Q
yC
= Q
yD
– S
q

CD
= 0 – q.1 = –3(kN)
M
xC
= M
xD
+ S
Qy
CD

= 0 + (–
1
2
.1.3) = –1,5(kN.m) <0 (căng trên)
M
x
có dạng lõm theo q phân bố.
Trên CE :
không có lực phân bố
⇒
Q
y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại C :
Q
yC
= 0 (kN)
M

xC
= 1,5 (kNm)
Tại E :
Q
yE
= Q
yC
= 0 (kN)
M
xE
= M
XC
+ S
Qy
CE

= 1,5 + 0
= 1,5 (kNm)
Trên EF :
có lực phân bố q (bậc 1)
⇒
Q
y
bậc 2, M
x
bậc 3
Tại E :
Q
yE
= 2 (kN)

M
xE
= –1,5 (kNm)
Tại F :
Q
yF
= Q
yE
– S
q
EF
= 2 –
1
2
.3.q = 2 –
1
2
.3.3 = –2,5(kN)
M
xF
= M
xE
+ S
Qy
EF

= –1,5 +
∫
EF
y

Qdz

= –1,5 +
2
4
2 - 0,5.z
∫
3
()
0
dz

= –1,5 + 1,5
= 0(kN.m)
M
x
có dạng lõm theo q phân bố.
Trên EF,
x
2
dM
dz
= 0
⇔
Q
y4
= 0
⇔
2 – 0,5.z
4

2
=0

⇔
z
4
= 2 (loại –2
∉
[0,3])
⇒
M
x
đạt cực trò trên EF tại z
4
=2
M
x
(z
4
=2)= –
1
6
.2
3
+ 2.2 – 1,5 = 1,17 (kNm) >0 (căng dưới)
Trên FG:
Trang 20
không có lực phân bố
⇒
Q

y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại F :
Q
yF
= 0 (kN)
M
xF
= 16,8 (kNm)
Tại G :
Q
yG
= Q
yF
= 0 (kN)
M
xG
= M
XF
+ S
Qy
FG

= 16,8 + 0 = 16,8 (kNm)
Trên GB:
không có lực phân bố
⇒
Q

y
=const (bậc 0), M
x
bậc 1
Tại G :
Q
yG
= Q
yF
– P
1
= 0 – 8,4 = –8,4(kN)
M
xG
= 16,8 (kNm)
Tại B :
Q
yB
= Q
yG
= –8,4 (kN)
M
xB
= M
XG
+ S
Qy
GB

= 16,8 + 2 x (–8,4) = 0 (kNm)

KIỂM TRA CÂN BẰNG TẠI NÚT:
Nút C:

∑M
C
= 1,5 – 1,5 = 0
⇒
nút C cân bằng
Nút E:
C

1,5(kNm)

1,5(kNm)

Trang 21

∑M
E
= 1,5 – 1,5 = 0
⇒
nút E cân bằng
Nút F:

∑M
F
= 16,8 – 16,8 = 0
⇒
nút F cân bằng
KẾT LUẬN : Kiểm tra lại bài toán vẽ biểu đồ bằng phương pháp vi phân ta thấy

kết quả bài toán là hoàn toàn phù hợp.
E

1,5(kNm)

1,5(kNm)

F

16,8(kNm)

16,8(kNm)