skkn hướng dẫn học sinh tìm nhiệm nguyên của phương trình

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai
* * *

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài
Hớng dẫn học sinh tìm
nghiệm nguyên của phơng
trình

Họ tên: Nguyễn Thị Bích Huệ
Giáo viên: Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội
Năm học 2010 - 2011
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
***
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
sơ yếu lí lịch
Họ và tên : Nguyễn Thị Bích Huệ
Ngày tháng năm sinh : 25/05/1973
Năm vào ngành :1996
Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên Trờng THCS Thanh Cao
Thanh Oai - Hà Nội
Trình độ chuyên môn : Đại học toán
Hệ đào tạo : Từ xa
Bộ môn giảng dạy : Toán 9
Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở .

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc công nhận
1. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.
3. Hng dn hc sinh gii phng trỡnh vụ t.
4. Hớng dẫn học sinh giải phơng trình Không mẫu mực(đạt cấp thành phố)
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban giám hiệu và các thầy cô
giáo dạy toán, các em học sinh trờng THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai -
TP Hà Nội cùng các bạn bè, đồng nghiệp đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý
báu để tôi hoàn thành đề tài.
Để hoàn thành nội dung nghiên cứu tôi đã tham khảo, sử dụng trong đề
tài rất nhiều ý kiến đánh giá, tài liệu nghiên cứu của các chuyên gia giáo dục,
các nhà nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực. Ngời viết xin đợc vô cùng cảm ơn.
Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian
đọc, đánh giá đề tài. Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp cho đề tài đợc
hoàn thiện hơn.
Xin đợc chân thành cảm ơn!
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
2
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2011
Ngời viết
Nguyễn Thị Bích Huệ
Mục lục
STT Nội dung trang
1
A. Mở đầu 6
2
Tên đề tài 6
3

B.Quá trình thực hiện đề tài 8
4
I. Khảo sát thực tế 8
5
II. Những biện pháp thực hiện 8
6
III.Nội dung chủ yếu của đề tài 9
7
1. Phơng pháp dùng tính chất chia hết 10
8
2. Phơng pháp xét số d của từng vế 18
9
3. Phơng pháp dùng bất đẳng thức 19
10
4. Phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơng 27
11
5. Phơng pháp a v phng trỡnh tng
31
12
6. Phơng pháp chng minh bng phản chứng
33
13
Mt s bi tp t luyn
36
14
C.Kt qu thc hin cú so sỏnh i chiu
37
15
D.Ti liu tham kho
37

16
E.Kt lun chung
38
17
F.Nhng kin ngh sau quỏ trỡnh thc hin ti
39
Chữ viết tắt dùng trong đề tài:
1.ĐHKHTN: Đại học khoa học tự nhiên
2.HSG: Học sinh giỏi
3. PT: Phơng trình
4. SGK: Sách giáo khoa.
5.TB: Trung bình
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
6.TP: Thnh ph
7.THCS: Trung học cơ sở
8.THPT: Trung hc ph thụng
9. VP: Vế phải
10. VT: Vế trái
Phần A: Mở đầu
1. Tên đề tài:
Hớng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lý luận:
+ Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp dạy học tích cực.
+ Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học:
Luật giáo dục quy định "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự
giác chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học,
khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên".

Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".
+ Phơng pháp dạy học tích cực:
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
4
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện thói
quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào những
tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui hứng
thú trong học tập.
b) Cơ sở thực tiễn:
Toán học là một môn khoa học nói chung nhng lại giữ một vai trò rất chủ đạo
trong nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Là một giáo viên giảng
dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao
chất lợng dạy học. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc
nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó đối với
những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình khó hơn, phức
tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi.
- Vi rt nhiu nhng chuyờn c cp n khi dy i s cp 2 v phng
trỡnh i s, tụi mnh dn tp trung suy ngh sõu v phng trỡnh vi nghim
nguyờn, cỏc dng ca nú v cỏc phng phỏp gii nú cho i tng l hc sinh cú
nhu cu ham mun c khỏm phỏ loi phng trỡnh ny.
3. PHM VI V THI GIAN THC HIN
- ti ny ca tụi c thc hin trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh
gii lp 9 cng nh ụn luyn vo lp 10 nm hc 2010-2011
-Thi gian :15tit trong ú cú 2 tit kim tra.
4.PHNG PHP NGHIấN CU

+ Phng phỏp nghiờn cu lý thuyt
Tỡm c cỏc ti liu tham kho: Sỏch bi dng mụn i s lp 9, sỏch phỏt
trin i s lp 9, sỏch bi tp nõng cao cỏc chuyờn i s lp 9,sỏch Phng
trỡnh v bi toỏn vi nghim nguyờn (Tỏc gi - V HU BèNH),sỏch Phng
trỡnh v h phng trỡnh khụng mu mc (Tỏc gi-NGUYN C TN-PHAN
NGC THO),sỏch chuyờn v bt ng thc v ng dng trong i s (Tỏc gi
- NGUYN C TN ), cỏc thi hc sinh gii, chuyờn ca cỏc trng,
huyn , thnh ph
+Phng phỏp nghiờn cu thc tin
-Quan sỏt trc tip cỏc i tng hc sinh phỏt hin ra nhng vn m hc
sinh thy lỳng tỳng khú khn.
-Kim tra hc sinh, tỡm hiu trỡnh v nhn thc ca hc sinh.
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
5
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
-Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
II. QU TRèNH THC HIN TI:
1.Kho sỏt thc t:
Trc khi thc hin ti ny cỏc em hc sinh ó c trang b nhng kin
thc c bn tng i y ca chng trỡnh b mụn toỏn trong nh trng ph
thụng trung hc c s. Quỏ trỡnh nhn thc ca cỏc em mc bỡnh thng cú
th hon thnh cỏc bi toỏn trong SGK v cú kh nng gii c mt s bi cú tớnh
nõng cao. Mc dự vy khi ng trc nhng bi gii phng trỡnh vi nghim
nguyờn thỡ vic tỡm ra li gii nhiu khi vn gp khú khn v b tc.
2. Số liệu khảo sát trớc khi thực hiện đề tài:
Khảo sát về việc giải phơng trình nghim nguyờn đối với 30 học sinh đợc kết
quả nh sau:

Trớc khi thực hiện đề tài
Số lợng Tỉ lệ %
Giỏi 1 3,3%
Khá 3 10%
TB 10 33,3%
Dới TB 16 53,4%
Với bảng số liệu trên việc giải các phơng trình nghim nguyờn đối với học
sinh là vấn đề khó khăn, số học sinh đạt điểm khá, giỏi đạt tỉ lệ rất thấp, tỉ lệ học
sinh đạt điểm dới trung bình rất cao.
3. Bin phỏp thc hin:
Qua kinh nghim ging dy v c s giỳp ng viờn ca ng nghip,
thụng qua mt s t liu tham kho tụi mun im li mt s c s lý thuyt v
gii quyt mt s bi tp nhm giỳp cỏc em tỡm thy s b ớch v t kt qu khi
hc chuyờn ny.
Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vi nghim nguyờn:
1.Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht.
-Phỏt hin tớnh chia ht ca n
-a v phng trỡnh c s
-Tỏch ra cỏc giỏ tr nguyờn
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
7
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
2.Phng phỏp xột s d ca tng v.
3.Phng phỏp dựng bt ng thc
-Sp xp th t cỏc n s
-Xột tng khong giỏ tr ca n
-Ch ra nghim nguyờn
-S dng iu kin
0

phng trỡnh bc hai cú nghim
4.Phng phỏp s dng tớnh cht ca s chớnh phng
-S dng tớnh cht chia ht ca s chớnh phng
-To ra bỡnh phng ỳng
-Xột cỏc s chớnh phng liờn tip
5.a v phng trỡnh tng
6.Phng phỏp chng minh bng phn chng
4. Ni dung ch yu ca ti:
A. C S Lí THUYT:
Gii phng trỡnh cha cỏc n x, y, z, vi nghim nguyờn l tỡm tt c cỏc b
s nguyờn (x, y, z,) tha món phng trỡnh ú.
* Khi gii phng trỡnh vi nghim nguyờn, do phi li dng cỏc tớnh cht ca tp
hp Z nờn ngoi cỏc bin i tng ng, ta cũn dựng cỏc bin i m cỏc giỏ
tr ca n mi ch tha món iu kin cn. Trong trng hp ny ta cn kim tra li
cỏc giỏ tr ú bng cỏch th vo phng trỡnh ó cho.
* Gii phng trỡnh vi nghim nguyờn thng gm 2 bc:
Bc 1: Gi s phng trỡnh cú nghim nguyờn (x
0,
y
0
, z
0
,) Ta suy ra cỏc n phi
nhn cỏc giỏ tr no ú.
Bc 2: Th li cỏc giỏ tr ú ca n khng nh tp nghim ca phng trỡnh.
* Trong nhiu bi toỏn bc 1 khụng tỏch riờng mt cỏch tng minh v cỏc giỏ tr
x
0
, y
0

, z
0
, vn c biu th bi x, y, z, Vi cỏc bi toỏn m cỏc bin i u
tng ng, ta khụng cn bc 2.
B. CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN
1. Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht:
*. Phỏt hin tớnh cht chia ht ca n:
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
8
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Ví dụ 1: Tìm (x, y) nguyên thỏa mãn:
3x + 17y = 159 (1)
Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1).
Do 159
M
3 và 3x
M
3 => 17y
M
3 vì (17,3) = 1 => y
M
3
Đặt y = 3t (t
∈
Z ) Thay vào phương trình (1) ta có:
3x + 17.3t = 159

⇔
x + 17 t = 53

⇔
x = 53 – 17t
Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên (x, y) biểu thị bởi công thức:
53 17
( )
3
x t
t Z
y t
= −

∈

=

Ví dụ 2: Tìm (x;y) nguyên thỏa mãn
12x – 7y = 45 (2)
Giải: Giả sử x; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (2).
Do 12x
M
3 và 45
M
3 => 7y
M
3 mà (7;3) =1 => y
M
3.
Đặt y = 3k (k
∈
Z). Thay vào phương trình ta có:

4x – 7k = 15
=>
7 15 1
2 4
4 4
k k
x k
+ +
= = + −
.
Đặt
1
4
k
t
+
=
=> x = 7t +2 và y = 12t – 3
Vậy phương trình có nghiệm
7 2
12 3
x t
y
= +


= −

(t
∈

Z).
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x + 13y = 156
Giải: Giả sử x; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình.
Do 13y
M
13 và 156
M
13 => 2x
M
13 mà (2;13) =1 => x
M
13.
Đặt x = 13k (k
∈
Z). Thay vào phương trình ta có:
2k + y =12 => y = 12 – 2k.
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
9
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Vậy phương trình có nghiệm
13
12 2
x k
y k
=


= −


(k
∈
Z).
*. Đưa về phương trình ước số:
Dùng các phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng f
1
(x
1
,y
1
,…)f
2
(x
2
,y
2
,
…)…f
n
(x
n
,y
n
,…)=a
1
.a
2
….a
n
. Với a

1
,a
2
, a
n

∈
Z .Rồi sử dụng tính chất của tập hợp số
tự nhiên ,số nguyên…,f
1
(x
1
,y
1
, );f
2
(x
2
,y
2
,…);…;f
n
(x
n
,y
n
,…)
∈
Z. Xét mọi trường hợp
có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình.

Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
xy – x – y = 2 (2)
Giải: Biến đổi phương trình (2) tương đương

⇔
x(y – 1) – y = 2

⇔
x(y – 1) – (y – 1) =3

⇔
(y – 1)(x – 1) = 3
Ta có x, y
∈
Z nên x - 1 và y – 1
∈
Z và là ước của 3.
Do vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên ta giả sử x
≥
y
=>x -1
≥
y – 1.Ta có
1 3
1 1
x
y
− =



− =

hoặc
1 1
1 3
x
y
− = −


− = −


Do đó
4
2
x
y
=


=

hoặc
0
2
x
y
=



= −

Vậy nghiệm nguyên của phương trình: (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
Ví dụ 5: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
xy – 4x = 35 – 5y
Giải: xy – 4x = 35 – 5y

⇔
(y – 4)(x + 5) = 15
Vì x, y
∈
N nên x + 5
≥
5; x + 5 là ước của 15 do đó ta có:
5 5
4 3
x
y
+ =


− =

hoặc
5 15
4 1
x
y
+ =



− =

NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
10
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
⇔

0
7
x
y
=


=

hoặc
10
5
x
y
=


=

Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là: (0; 7), (10; 5)
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x
2
– 25 = y(y + 6)
Giải: x
2
– 25 = y(y + 6)
⇔
x
2
– (y + 3)
2
= 16
( 3)( 3) 16x y x y
+ + − + =
Vì 16>0 nên
3x y
+ +
> 0 =>
3x y
− +
> 0
Mà
3x y
+ +
+
3x y
− +
=
2 x
chẵn

Nên
3x y
+ +
và
3x y
− +
cùng tính chẵn lẻ.
Mặt khác
3x y
+ +

≥
3x y
− +
nên ta có:
3 8
3 2
x y
x y
 + + =


− + =


hoặc
3 4
3 4
x y
x y

 + + =


− + =


*
3 8
3 2
x y
x y
 + + =


− + =


=>
5x
=
⇔
x =
±
5 => y = - 6 và y = 0
*
3 4
3 4
x y
x y
 + + =



− + =


=>
4x =

⇔
x =
±
4 và
3 0y
+ =

⇔
y = -3
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
(4; -3), (-4; -3), (5; -6), (5; 0), (-5; -6), (-5; 0).
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3xy + x – y = 1
Giải: 3xy + x – y = 1
⇔
9xy + 3x – 3y = 3
⇔
3x(3y + 1) – (3y +1) = 2
⇔
(3x – 1)(3y + 1) = 2
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011

Xột cỏc trng hp ta cú x = 1; y = 0 v x = 0; y = -1
Vy nghim ca phng trỡnh l: (1;0), (0;-1).
Vớ d 8: Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn khụng õm (x;y) tho món ng thc:
(1+x
2
)(1+y
2
)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25
( thi chuyờn h THPT HKHTN-nm2010)
Gii: (1+x
2
)(1+y
2
) +4xy+2(x+y)(1+xy)=25

1+x
2
y
2
+x
2
+y
2
+4xy+2(x+y)+2(x+y)xy=25

(x
2
+2xy+y
2
)+(x

2
y
2
+2xy+1)+2(x+y)(xy+1)=25

(x+y)
2
+(xy+1)
2
+2(x+y)(xy+1)=25

(x+y+xy+1)
2
=25

(x+1)(y+1)=5 .Do x,y l cỏc s nguyờn khụng õm.
Nờn nghim ca PT l (4;0) ;(0:4)
Vớ d 9 : Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh :5x - 3y = 2xy 11
( thi th chuyờn Nguyn Hu nm 2010/2011)
Gii: 5x-3y=2xy-11


10x-6y=4xy-22


(10x-4xy) +( 15-6y)=-7


2x(5-2y) +3(5-2y) =-7

(5-2y)(2x+3) =-7
Do x nguyờn dng

2x+3

5 v l c ca 7 nờn ta cú:
*
2 3 7 2
5 2 1 3
x x
y y
+ = =



= =

Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh l : (2;3)
Vớ d 10: Tỡm x,y nguyờn dng tho món:6x
2
+ 5xy- 25y
2
- 221= 0
( thi tuyn sinh vo 10 chuyờn toỏn nm 2007/2008-
Tnh H Tõy)
Gii: 6x
2
+ xy - 25y
2

- 221 = 0


6x
2
-10xy+ 15xy- 25y
2
= 221

2x(3x-5y) +5y(3x-5y) = 221

(3x-5y)(2x+5y)=221=13.17=1.221
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
12
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Do x,y nguyờn dng nờn 2x + 5y

7

3x - 5y > 0 v l c ca 221
*
3 5 1 5 222
2 5 221 2 5 221
x y x
x y x y
= =



+ = + =

khụng cú nghim nguyờn
*
3 5 13 5 30 6
2 5 17 2 5 17 1
x y x x
x y x y y
= = =



+ = + = =

*
3 5 17 5 30
2 5 13 2 5 13
x y x
x y x y
= =



+ = + =

khụng cú nghim nguyờn
Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh l : (6;1)
Vớd11:Tỡm cỏc cp s nguyờn(x,y) tho món ng thc : 2y
2
x+x+y+1=x
2

+2y
2
+xy
( thi HSG toỏn 9-Huyn Thanh Oai-2009/2010)
Gii:2y
2
x+x+y+1=x
2
+2y
2
+xy

2y
2
x- 2y
2
- x
2
+ x- xy + y = -1

2y
2
(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1

(x-1)(2y
2
-x-y) = -1
*
2
1 1

2 2
( )
( 1)(2 1) 0 1
2 1
x
x x
y Z
y y y
y x y
=
= =




+ = =
=


*
2
1 1
0
1
2 1
x
x
y
y x y
=

=




=
=


Vy nghim ca phng trỡnh l: (2;1),(0;1)
Vớ d 12:Tỡm cỏc s nguyờn (x,y)tho món phng trỡnh:y
2
-x(x-2)(x
2
-2x+2)=0
( thi tuyn sinh vo 10 chuyờn toỏn nm hc 2010/2011-TP H Ni)
Gii: y
2
-x(x-2)(x
2
-2x+2) = 0

y
2
-(x
2
-2x)(x
2
-2x+2) = 0

y
2
-(x
2
-2x+1-1)(x
2
-2x+1+1) = 0

y
2
-[(x-1)
2
-1] [(x-1)
2
+1] = 0

y
2
-[(x-1)
4
-1] = 0

[y-(x-1)
2
] [y+(x-1)
2
] =-1
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
13
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011

*
2
2
2
2 0
( 1) 1
( 1) 1
( 1) 1
y
y x
y x
y x
=

− − =


⇒ ⇒
 
+ − = −
+ − = −



vô nghiệm
*
2
2
2
0

2
2 0
( 1) 1
( 1) 1
0
( 1) 1
0
y
x
y
y x
y x
y
y x
x

=



=
=

− − = −

 

⇒ ⇒
 


+ − =
=
+ − =






=



Vậy nghiệm của phương trình là: (2;0) ,(0;0)
*. Tách ra các giá trị nguyên:
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
xy – x = y + 2
Giải: xy – x = y + 2
⇔
x(y – 1) = y + 2
Ta thấy y
≠
1( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3, vô lí).
Do đó:
2 1 3 3
1
1 1 1
y y
x
y y y

+ − +
= = = +
− − −
.
Do x
∈
Z nên
3
1y
−
∈
Z, do đó y – 1 là ước của 3.
Lần lượt cho y – 1 bằng -1; 1; -3; 3 được nghiệm nguyên của PT là: (4;2), (2;4),
(0;-2),(-2;0).
Ví dụ 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
xy – 5y = x
2

- 6x + 8
Giải: xy – 5y = x
2
– 6x + 8 <=> (x – 5)y = x
2
– 6x + 8 .Do x=5 không là nghiệm
của PT vì nếu x=5 thì 0.y=3 vô lý.
=> x
≠
5 nên
2
6 8 3

1
5 5
x x
y x
x x
− +
= = − +
− −
do y
∈
Z=>(x-5)
∈
Ư(3) .Ta có:
x - 5 1 -1 3 -3
x 6 4 8 2
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
y 8 0 8 0
Vy nghim ca phng trỡnh l: (6;8), (4;0), (8;8), (2;0).
Vớ d 15: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
xy 2y 3 = 3x x
2
.
Gii: xy 2y 3 = 3x x
2

y(x 2) = 3 + 3x x
2
.

Do x

2 thỡ
2
3 3 5
1
2 2
x x
y x
x x
+
= = + +

.
Ta cú:
x 2 1 -1 5 -5
x 3 1 7 -3
y 3 -5 -5 3
Vớ d 16: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x
3
- x
2
y + 3x - 2y - 5 = 0
( thi HSG toỏn 9 -huyn Thanh Oai nm 2007/2008)
Gii: x
3
-x
2
y +3x -2y -5 =0

x
2
y +2y =x
3
+3x -5

y(x
2
+2) =x
3
+3x -5

y=
3 3
2 2 2
3 5 ( 2 ) 5 5
2 2 2
x x x x x x
x
x x x
+ + +
= = +
+ + +
Vỡ
2
2
5
, 5 2
2
x

x Z y Z Z x x
x

+
+
M
2 2 2 2 2 2
( 5)( 5) 2 25 2 2 27 2 27 2x x x x x x x x
+ + + + + +
M M M M
2
( 2)x
+

(27) v x
2
+2

2
Xột cỏc trng hp x tho món ta cú nghim nguyờn ca PT l: (-1;-3),(5;5)
Vớ d 17: Tỡm nghim nguyờn ca PT: 5x - 3y = 2xy 11
Gii: 5x-3y=2xy-11


2xy + 3y = 5x + 11
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011

y(2x+3)=5x+11 .Do 2x+3

0 vỡ x

Z


y=
5 11 7
2 5
2 3 2 3
x
y
x x
+
= +
+ +
Do 2y
7
2 3
Z Z
x

+
{
(2 3) 1; 1;7; 7Ư}x
+
}
{
}

{
1; 2;2; 5 ; 6; 1;3;2x y

Vy nghim nguyờn ca PT l:(-1;6) ;(-2;-1);(2;3);(-5;2)
Vớ d 18: Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng ca PT: xy
2
+ 2xy - 243y + x = 0
Gii: xy
2
+2xy-243y +x=0


xy
2
+2xy+x=243y


x(y+1)
2
=243y


x=
2
243
( 1)
y
y
+
do y + 1 >0

Do x nguyờn;(y,y+1)=1nờn (y,(y+1)
2
)=1 nờn 243
M
(y+1)
2
M 243=3
5

}
{
2 2 2
( 1) 1;3 ;9y
+
*
(y+1)
2
=1

y+1=1

y=0 loi
*(y+1)
2
=3
2

y+1=3

y=2 .Ta cú x=54

*(y+1)
2
=9
2

y+1=9

y=8.Ta cú x=24
Nghim l : (24;8) ,(54;2)
2.Phng phỏp xột s d ca tng v :
* Vn dng tớnh cht chia ht ,tớnh cht ca phộp chia cú d trong tp hp
s nguyờn tỡm nghim.
Vớ d 19:Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 9x + 2 = y
2
+ y
Gii: 9x + 2 = y
2
+ y

9x + 2 = y(y+1)
Ta thy v trỏi ca phng trỡnh chia cho 3 d 2 nờn y(y +1) chia cho 3 d 2
Ch cú th y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2 ( k nguyờn)
Khi ú 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)


9x = 9k(k + 1)
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
16
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011

⇔
x = k(k + 1)
Thử lại thấy x = k(k + 1), y = 3k + 1 thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm
( 1)
3 1
x k k
y k
= +


= +

k
∈
Z,và tùy ý.
Ví dụ 20: Tìm nghiệm nguyên của PT: 19x
5
+ 5y +1995z =x
2
–x +3
Giải : 19x
5
+5y+1995z =x
2
-x+3
⇔
20x
5
-(x

5
-x) +5y +1995z=x
2
+3
⇔
20x
5
-x(x
2
-1)(x
2
+1) +1995z=x
2
+3
⇔
20x
5
-(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1) +1995z=x
2
+3
VT của PT chia hết cho 5 còn VP không chia hết cho 5 ( vì x
2
không có tận cùng là
2 hoặc 7) nên PT vô nghiệm
Ví dụ 21: Tìm nghiệm nguyên của PT: x
3
+ 5x + 2 =y
2
Giải: x
3

+5x +2 =y
2
⇔
x
3
-x+6x +2 =y
2
⇔
x(x
2
-1) +6x+2 =y
2
⇔
(x-1)x(x+1) +6x +2=y
2
VT của PT chia cho 3 dư 2; VP của PT chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Vậy PT vô nghiệm
Ví dụ 22: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
19x
2
+ 28y
2
=2001
Giải: Xét phương trình 19x
2
+ 28y
2
=2001 .
Ta thấy VP là một số lẻ nên 19x
2

là số lẻ, do đó x là số lẻ. x
2
chia cho 4 dư 1 nên
19x
2
chia cho 4 dư 3 => VT chia cho 4 dư 3 còn vế phải chia cho 4 dư 1. Vậy
phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 23 : Tìm nghiệm nguyên của PT: x
3
-100=225y
Giải: x
3
-100 =225y
Ta có 100
M
5 ; 225y
M
5
⇒
x
3
M
5
⇒
x
M
5 Đặt x=5z ta được 5z
3
-4=9y
(5z

3
-4)
M
9
⇒
z chia cho 3 dư 2 . Đặt z = 3k + 2 (k
∈
Z)
Vậy nghiệm nguyên của PT là:
3 2
15 10
15 30 20 4
x k
y k k k
= +


= + + +

(k
)Z∈
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
17
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
3. phng phỏp dựng bt ng thc:
*. Nhn xột v cỏc n s:
Sp xp th t cỏc n v xột cỏc khong giỏ tr:
* Nu cỏc n (x, y, z,) cú vai trũ bỡnh ng nh nhau, thỡ ta cú th gi s
x

y

zhoc x

y

z thu hp min xỏc nh ca bi toỏn.
Vớ d 24: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
x + y + z = xyz
Gii:
Do vai trũ ca x, y, z bỡnh ng, khụng mt tớnh tng quỏt gi s 0

x

y

z.
Ta cú xyz = x + y + z

3z => xy

3
Nu x = y = z thỡ x
3
=3x => x
2
=3 (vụ lớ vỡ x

Z
+

)
Vy phi cú ớt nht 2 trong 3 s x, y, z khụng bng nhau do ú xyz < 3z
=> xy < 3 tc xy = 1; xy = 2
+ nu xy = 2 m x

y v x; y

Z
+
Nờn x = 1; y = 2 => z = 3
+ nu xy = 1 m x; y

Z
+
Nờn x = y = 1 => 2 + z = z vụ nghim
Vy phng trỡnh cú nghim l: (1; 2; 3) v cỏc hoỏn v.
Vớ d 25: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
1 1 1
2
x y z
+ + =
Gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x, y, z nờn ta gi s x

y

z .
Ta cú
1 1 1 1
2 3.
x y z x

= + +
=> x = 1 =>
1 1 2
1
y z y
= +
=> y = 1 hoc y = 2.
+ Nu y = 1 =>
1
0
z
=
( loi)
+ Nu y = 2 =>
1 1
2z
=
=> z = 2
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
18
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Vy nghim ca phng trỡnh l: (1; 2; 2) v cỏc hoỏn v
Vớ d 26: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
5(x + y + z + t) = 2xyzt 10 (16)
Gii: Do x; y; z; t bỡnh ng. Gi s x

y

z

t.
(16)


3
5 5 5 5 10 30
2
yzt xzt xyt xyz xyzt t
= + + + +
=> t
3


15 => t

2 => t = 1; 2
*Vi t = 1 ta cú:
3
5 5 5 5 10 30
2
yz xz xy xyz xyz z
= + + + +
=> z
2


15 => z = 1; 2; 3.
-Nu z = 1 =>
35
3

x
y
=


=

hoc
9
5
x
y
=


=

.
Ta cú nghim (35; 3; 1; 1), (9; 5; 1; 1) v cỏc hoỏn v ca chỳng.
-Nu z = 2; 3 phng trỡnh khụng cú nghim.
*Vi t = 2 ta cú: 5(x + y + z) + 20 = 4 xyz

2
5 5 5 20 35
4
yz xz xy xyz z
= + + +
=> z
2

35
4
< 9 => z =2.
Vỡ t

z =2 =>t = 2 =>5(x + y) + 30 = 8xy

(8x 5)(8y 5) =265.
Vỡ x

y

z

t

2 nờn 8x 5

8y 5

8.2 5 = 11 cũn 265 khụng vit c
di dng tớch hai s nguyờn dng ln hn 11.
=> t = 2 phng trỡnh vụ nghim.
Vy phng trỡnh cú nghim ng vi t = 1.
Vớ d 27: Tỡm nghim nguyờn dng ca PT :
2 2 2 2
1 1 1 1
1
x y z t

+ + + =
Gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x,y,z ,t nờn ta cú th gi s x

y

z

t
* x>1 vỡ nu x=1 thỡ
2 2 2
1 1 1 1
1 y z t
+ + +
>1 mõu thun
*x<3 vỡ nu x

3 thỡ
2 2 2 2
1 1 1 1 4
9x y z t
+ + +
<1 mõu thun
Do ú x = y = z = t = 2 .Vy nghim nguyờn dng ca PT l (2;2;2;2)
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
19
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Vớ d 28: Tỡm nghim nguyờn dng ca PT :
3
xy xz yz
z y x

+ + =

Gii : Do vai trũ bỡnh ng ca x,y,z .Nờn ta gi s x

y

z

1
Ta cú
2
xy z
z
z z
=
. Mt khỏc
2
x y
y x
+
.Vỡ (x-y)
2

0
Do ú 3=
( ) 2 3
xy x y
z z z z
z y x
+ + + =

=>z

1 .Vy z=1
Tacú:xy+
3 2 1
y x
xy xy
x y
+ = +
1x y
= =
.
Vy nghim nguyờn dng ca PT l (1,1,1)
Vớ d 29: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
1 1 1
3x y
+ =
Gii: Do vai trũ bỡnh ng ca x v y, gi s x

y. Dựng bt ng thc gii
hn khong giỏ tr ca s nh hn ( l y)
Ta cú:
1 1
3y
<
nờn y > 3 (1)
Mt khỏc do x

y

1 nờn
1 1
x y


Do ú:
1 1 1 1 1 2
3 x y y y y
= + + =
2 1
3y

nờn y

6 (2)
T (1) v (2) => 4

y

6
Vi y = 4 => x = 12
Vi y = 5 => x = 15/2 ( loi vỡ x khụng nguyờn)
Vi y = 6 => x = 6
Vy cỏc nghim ca phng trỡnh l: (4; 12), (12; 4), (6; 6)
Vớ d 30 : Tỡm cỏc s nguyờn dng x;y;z tho món: 2(y+z)=x(yz-1) (1)
( thi chn hc sinh gii toỏn 9 huyn Thanh Oai nm 2010/2011)
Gii: Vi x=1 phng trỡnh cú dng 2(y+z)=yz-1
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
20
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011

(y-2)(z-2)=5 .Do y,z
Z
+

2 2; 2 2y z
> >
Ta cú nghim (x;y;z) l (1;3;7);(1;7;3)
Vi x

2 .Do y;z cú vai trũ nh nhau ,khụng lm mt tớnh tng quỏt gi s y

z ta
cú:2(y+z)

2(yz-1)=>yz-y-z-1

0 =>(y-1)(z-1)

2 (2)
+ Nu y=1 thỡ pt(1) cú dng2(1+z)=x(z-1)

(x-2)(z-1)=4 .Do x
2 2 0x
Ta cú nghim (x;y;z) l: (3;1;5) ;(4;1;3) ; (6;1;2) v hoỏn v ca y;z l (3;5;1);
(4;3;1) (6;2;1)
+Nu y
1 1z

.T (2) =>y=2 .Khi ú pt(1) cú dng 2(2+z)=x(2z-1)

(2z-1)(x-1)=5.Do x

2 =>x-1

1 => (x;y;z)=(2;2;3) v hoỏn v ca y;z l
(2;3;2)
Vy pt cú 10 nghim (x;y;z) l (1;3;7) ;(1;7;3) ;( 3;1;5) ;(4;1;3) ;(6;1;2) ;(3;5;1);
(4;3;1) ;( 6;2;10;(2;2;3);(2;3;2)
*.Kh n
Nu n cú cu trỳc ging nhau,nh lu tha cựng bc ca cỏc s nguyờn liờn
tip hoc tớch cỏc s nguyờn liờn tipthỡ ta kh n a phng trỡnh v
dng quen thuc hn hoc ớt n hn.
Thng vn dng hai nhn xột sau:
a. x
n
< y
n
< (x+a)
n
; (a

Z)

y=(x+a+i)
n
vi i=1;2;;a-1
b. x(x+1)(x+n) < y(y+1)(y+n) < (x+a)(x+a+1)(x+a+n) ; (a

Z
+
)

y(y+1)(y+n) = (x+i)(x+i+1)(x+i+n) , vi i=1;2;3;;n-1
Vớ d 31: Tỡm nghim nguyờn ca PT: y
3
-x
3
=3x
Gii: y
3
-x
3
=3x

y
3
=x
3
+3x.Vỡ 3x
2
+1>0 vi mi x nờn ta cú :
(x
3
+3x)-(3x
2
+1)<x
3
+3x<x

3
+3x+(3x
2
+1)

(x-1)
3
<y
3
<(x+1)
3

y
3
=x
3
Vy x
3
=3x+x
2

x=0=>y=0
Vy nghim nguyờn ca PT l :( 0,0)
Vớ d 32: Tỡm nghim nguyờn ca PT: 1+x +x
2
+x
3
=y
3
Gii: Ta cú x

2
+x+1=(x+
1
2
)
2
+
3
4
>0
5x
2
+11x+7=5(x+
2
11 19
)
10 20
+
>0
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
21
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Nên(1+x+x
2
+x
3
)-(1+x+x
2
)<1+x+x
2

+x
3
<(1+x+x
2
+x
3
)+(5x
2
+11x+7)
⇔
x
3
<1+x +x
2
+x
3
<(x+2)
3
hay x
3
<y
3
<(x+2)
3
.Do đó y
3
=(x+1)
3
=>(x+1)
3

=1+x+x
2
+x
3
⇔
x(x+1)=0
⇔
0
1
x
x
=


=−

*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)
Ví dụ 33:Tìm nghiệm nguyên của PT: (x+2)
4
-x
4
=y
3
Giải : (x+2)
4
–x
4
= y

3
⇔
8x
3
+24x
2
+32x+16=y
3
Vì 12x
2
+22x+11=11(x+1)
2
+x
2
>0
12x
2
+26x +15=11(x+1)
2
+(x+2)
2
>0
Tacó:(8x
3
+24x
2
+32x+16)-(12x
2
+26x+15)<8x
3

+24x
2
+32x+16<(12x
2
+22x+11)+
(8x
3
+24x
2
+32x+16)
⇔
(2x+1)
3
<8x
3
+24x
2
+32x+16<(2x+3)
3
Hay
⇔
(2x+1)
3
<y
3
<(2x+3)
3.
.

Do đó y

3
=(2x+2)
3
=>(2x+2)
3
=8x
3
+24x
2
+32x+16
⇔
8x=-8
⇔
x=-1=>y=0
Nghiệm nguyên của PT là (-1;0)
Ví dụ 34:Giải phương trình nghiệm nguyên: x
4
+x
2
-y
2
+y+10=0
Giải:x
4
+x
2
-y
2
+y+10=0
⇔

y(y-1)=x
4
+x
2
+10 (*)
Ta có x
4
+x
2
<x
4
+x
2
+10<x
4
+x
2
+10+6x
2
+2 (do 6x
2
+2>0 )
Do đó x
2
(x
2
+1)<y(y-1)<(x
2
+3)(x
2

+4)
=>
2 2
2 2
( 1) ( 1)( 2)
( 1) ( 2)( 3)
y y x x
y y x x

− = + +

− = + +


Kết hợp với (*)
2
2
4
1
x
x

=
⇒

=


=>x=2;x=-2;x=1;x=-1
Nghiệm nguyên của PT là (2;5);(-2;5);(1;2);(-1;2)

* Chỉ ra nghiệm nguyên:
Ví dụ 35: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
2
x
+ 3
x
= 5
x
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
22
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Giải: 2
x
+ 3
x
= 5
x

⇔

2 3
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
(1)
Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2 (loại)

Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 (đúng)
Với x
≥
2 thì
2 2
5 5
x
 
<
 ÷
 
,
3 3
5 5
x
 
<
 ÷
 
Nên:
2 3 2 3
1
5 5 5 5
x x
   
+ < + =
 ÷  ÷
   
(loại)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: x = 1.

Ví dụ 36: Tìm nghiệm nguyên của PT: x(x+1)(x+2)(x+3)=y
2
Giải: Với y=0 thì x=0;-1;-2;-3
Với y
0≠
thì x
≠
0;-1;-2;-3 mà x(x+1)(x+2)(x+3)=y
2
>0 =>x(x+3)>0
Dođó: x(x+1)(x+2)(x+3)=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=(x
2
+3x)
(x
2
+3x+2)=(x
2
+3x)
2
+2(x
2
+3)
=>(x
2
+3x)
2
<y
2
<(x
2

+3x+1)
2
V« lý .
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0;0) ,(-1;0); (-2;0); (-3;0)
Ví dụ 37:Tìm nghiệm nguyên của PT: 3
x
+1=2
x
y
Giải : Nhận thấy x=0 thì y=2 nghiệm đúng
*x=1 thì y=2 nghiệm đúng
*x>1
+ x chẵn . Ta có VT= 3
x
+1= [3
x
-(-1)
x
]+2chia cho 4 dư 2 còn VP=2
x
y chia hết cho
4 .Vô lý
+x lẻ . Ta có 3
x
+1=3
2k+1
+1=3(9
k
-1
k

) +4 chia cho 8 dư 4
Vì (9
k
-1
k
)
M
(9-1) còn 2
x
y
M
8.Vô lý
Vậy nghiệm nguyên của PT là: (0;2); (1;2)
*Sử dụng điều kiện
∆
≥
0 để phương trình bậc 2 có nghiệm:
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
23
§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011
Ta viết phương trình f(x, y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một
ẩn, chẳng hạn là x, khi đó y là tham số. Điều kiện cần để phương trình có nghiệm
là
∆
≥
0 ( để có nghiệm nguyên cần
∆
là số chính phương)
Ví dụ38: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x+y+xy=x

2
+y
2
(1)
Giải: Viết (1) trở thành pt bậc hai đối với x:
x
2
– (y + 1)x + (y
2
–y) = 0 (2)
Điều kiện để (2) có nghiệm là
∆
≥
0
∆
= (y + 1)
2
– 4(y
2
– y) = -3y
2
+ 6y + 1
∆
≥
0
⇔
3y
2
– 6y – 1
≤

0

⇔
3(y – 1)
2

≤
4
⇔
(y – 1)
2

≤
1. Ta có:
y - 1 -1 0 1
y 0 1 2
Với y = 0 => x = 0 hoặc x = 1
Với y = 1 => x = 0 hoặc x = 2
Với y = 2 => x = 1 hoặc x = 2
Thử lại, các giá trị trên thỏa mãn phương trình (1)
Vậy nghiệm của phương trình là:
(0; 0), (1; 0), (0; 1), (2; 1), (1; 2), (2; 2)
Cách giải khác: Biến đổi phương trình (1) về dạng:
(x – 1)
2
+ (y – 1)
2
+ (x – y)
2
= 2

Tổng của 3 số chính phương bằng 2 nên tồn tại một số bằng 0
+ Nếu x – 1 = 0 ta có (x, y) = (1; 0), (1; 2)
+ Nếu y – 1 = 0 ta có (x, y) = (0;1), (2; 1)
+ Nếu x – y = 0 ta có (x, y) = (0; 0), (2; 2)
Ví dụ 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
+ xy +y
2
= x + y
NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi
24
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011
Gii: x
2
+ xy +y
2
= x + y


x
2
+(y 1)x + (y
2
y) = 0


0 => 3y
2
2y 1

0


1
1
3
y

.
Vi y = 0 thay vo phng trỡnh ta cú: x
1
= 0; x
2
= 1.
Vi y = 1 thay vo phng trỡnh ta cú: x
3
= 0.
Vy phng trỡnh cú nghim l: (0; 0), (1; 0), (0; 1).
Vớ d 40: Tỡm cỏc s nguyờn dng x,y tho món ng thc : x
2
+y(y
2
+y-3x)=0
( thi chuyờn toỏn nm 2009/2010-Thnh ph H Ni)
Gii : x
2
+y(y
2
+y-3x)=0

x
2
- 3yx +y
3
+y
2
= 0
iu kin PT cú nghim

0

=9y
2
-4y
3
-4y
2
=5y
2
-4y
3
=y
2
(5-4y)
0

=>y
5
4

vỡ y nguyờn dng nờn y=1. Khi ú PT tr thnh :x
2
-3x+2=0 =>x
1
=1;x
2
=2
Vy nghim nguyờn dng ca PT l: (1;1);(2;1)
Vớ d 41: Tỡm cỏc cp s nguyờn (x,y) tho món: x
2
+2y
2
+2xy+y-2=0
( thi chn HSG toỏn 9 -Huyn Thanh Oai nm 2008/2009)
Gii: x
2
+2y
2
+2xy+y-2=0

x
2
+ 2yx + 2y
2
+ y 2 = 0
iu kin PT cú nghim

0

=y
2
-2y
2
-y+2=-y
2
-y+2=(1-y)(2+y)

0
=> -2

y

1 =>y=-2;-1;0;1
Vi y=-2 thỡ x=2
Vi y=-1 thỡ x
Z

Vi y=0 thỡ x
Z
Vi y=1 thỡ x=-1
Vy nghim nguyờn ca PT l (2;-2), (-1;1)
4. Phng phỏp dng tớnh cht s chớnh phng:
* S dng tớnh cht chia ht ca s chớnh phng:
Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội
25