kỹ thuật biến đối để tìm nguyên hàm

KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VI PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM
Soạn thảo bởi: Lê Trung Tín, Tổ: Toán, Trường THPT Hồng Ngự 2
I. Tóm tắt lí thuyết
Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 cơ bản có định nghĩa vi phân như sau
Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại
x ∈ (a; b). Giả sử ∆x là số gia của x. Ta gọi f

(x).∆x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x
ứng với số gia ∆x. Ký hiệu dy = df(x) = f

(x).∆x
Chú ý: Với hàm số y = x ta có dx = ∆x. Nên dy = df(x) = f

(x)dx = y

dx
Dựa vào các tính chất của đạo hàm, ta được các tính chất cho vi phân như sau
Tính chất. Cho u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng
xác định, ta có
d(u + v) = du + dv (1)
d(u − v) = du − dv (2)
d(u.v) = vdu + udv ⇔ vdu = d(u.v) − udv (3)
d

u
v

=
vdu − udv
v
2

⇔
vdu
v
2
= d

u
v

+
udv
v
2
v = v(x) = 0 (4)
Các vi phân đặc biệt cần nhớ:
Cho a = 0, b ∈ R, ta có:
• x
α
dx = d

x
α+1
α + 1

Mở rộng
−→ (ax + b)
α
dx = d

(ax + b)

α+1
a(α + 1)

với α = −1.
•
1
x
dx = d (ln |x|)
Mở rộng
−→
1
ax + b
dx = d

ln |ax + b|
a

.
• e
x
dx = d (e
x
)
Mở rộng
−→ e
ax+b
dx = d

e
ax+b

a

.
• sin xdx = −d (cos x)
Mở rộng
−→ sin (ax + b)dx = −d

cos (ax + b)
a

.
• cos xdx = d (sin x)
Mở rộng
−→ cos (ax + b)dx = d

sin (ax + b)
a

.
•
1
cos
2
x
dx = d (tan x)
Mở rộng
−→
1
cos
2

(ax + b)
dx = d

tan (ax + b)
a

.
•
1
sin
2
x
dx = −d (cot x)
Mở rộng
−→
1
sin
2
(ax + b)
dx = −d

cot (ax + b)
a

.
•
dx
√
x
2

+ a
= d

ln


x +
√
x
2
+ a



•
√
x
2
+ adx = d

x
√
x
2
+ a + a ln


x +
√
x

2
+ a


2

1
Các công thức nguyên hàm:


du = u + C 

du
u
= ln |u| + C
II. Các thí dụ minh họa:
Thí dụ 1. Tìm nguyên hàm :

(2x + 1) cos 2xdx
Lời giải.
Ta có:
(2x + 1) cos 2xdx = (2x + 1)d

sin 2x
2

= d

(2x + 1)
sin 2x

2

−
sin 2x
2
d(2x + 1)
= d

(2x + 1)
sin 2x
2

− sin 2xdx
= d

(2x + 1)
sin 2x
2

+ d

cos 2x
2

= d

(2x + 1)
sin 2x
2
+

cos 2x
2

Vậy,

(2x + 1) cos 2xdx =

d

(2x + 1)
sin 2x
2
+
cos 2x
2

= (2x + 1)
sin 2x
2
+
cos 2x
2
+ C.

Thí dụ 2. Tìm nguyên hàm :

x
2
e
x

dx
Lời giải.
Ta có:
x
2
e
x
dx = x
2
d (e
x
)
= d (x
2
e
x
) − e
x
d(x
2
)
= d (x
2
e
x
) − 2xe
x
dx
= d (x
2

e
x
) − xd(2e
x
)
= d (x
2
e
x
) − (d(2xe
x
) − 2e
x
dx)
= d (x
2
e
x
− 2xe
x
) + d(2e
x
)
Vậy,

x
2
e
x
dx =



d

x
2
e
x
− 2xe
x

+ d(2e
x
)

=

d

e
x
(x
2
− 2x + 2)

= e
x
(x
2
− 2x + 2) + C.


Thí dụ 3. Tìm nguyên hàm :

x ln xdx
Lời giải.
Ta có:
x ln xdx = ln xd

x
2
2

= d

x
2
2
ln x

−
x
2
2
d (ln x) = d

x
2
2
ln x


−
x
2
dx = d

x
2
2
ln x

− d

x
2
4

Vậy,

x ln xdx =


d

x
2
2
ln x

− d


x
2
4

=

d

x
2
2
ln x −
x
2
4

=
x
2
2
ln x −
x
2
4
+ C.

2
Thí dụ 4. Tìm nguyên hàm :

dx

√
x
2
+ a
Lời giải.
dx
√
x
2
+ a
=
d(
√
x
2
+ a)
x
=
dx + d(
√
x
2
+ a)
x +
√
x
2
+ a
=
d(x +

√
x
2
+ a)
x +
√
x
2
+ a
= d

ln


x +
√
x
2
+ a



Vậy,

dx
√
x
2
+ a
=


d

ln



x +
√
x
2
+ a




= ln



x +
√
x
2
+ a



+ C


Thí dụ 5. Tìm nguyên hàm :

√
x
2
+ adx
Lời giải.
Ta có:
√
x
2
+ adx = d

x
√
x
2
+ a

− xd(
√
x
2
+ a)
= d

x
√
x
2

+ a

−
x
2
√
x
2
+ a
dx
= d

x
√
x
2
+ a

−
√
x
2
+ adx +
a
√
x
2
+ a
dx
⇒ 2

√
x
2
+ adx = d

x
√
x
2
+ a

+
adx
√
x
2
+ a
Chú ý:
dx
√
x
2
+ a
=
d(
√
x
2
+ a)
x

=
dx + d(
√
x
2
+ a)
x +
√
x
2
+ a
=
d(x +
√
x
2
+ a)
x +
√
x
2
+ a
= d

ln


x +
√
x

2
+ a



Do đó:
2
√
x
2
+ adx = d

x
√
x
2
+ a

+ ad

ln


x +
√
x
2
+ a




⇒
√
x
2
+ adx = d

x
√
x
2
+ a + a ln


x +
√
x
2
+ a


2

Vậy,

√
x
2
+ adx =
x

√
x
2
+ a + a ln


x +
√
x
2
+ a


2
+ C.

Thí dụ 6. Tìm nguyên hàm :

x
2
dx
√
x
2
+ 1
Lời giải.
Ta có:
x
2
dx

√
x
2
+ 1
= xd

√
x
2
+ 1

= d

x
√
x
2
+ 1

−
√
x
2
+ 1dx
= d

x
√
x
2

+ 1

− d

x
√
x
2
+ 1 + ln


x +
√
x
2
+ 1


2

= d

x
√
x
2
+ 1 −
x
√
x

2
+ 1 + ln


x +
√
x
2
+ 1


2

Vậy:

dx
√
x
2
+ 1
=

d

x
√
x
2
+ 1 −
x

√
x
2
+ 1 + ln


x +
√
x
2
+ 1


2

= x
√
x
2
+ 1 −
x
√
x
2
+ 1 + ln


x +
√
x

2
+ 1


2
+ C
3
Thí dụ 7. Tính nguyên hàm:

dx
x
2
√
x
2
+ 9
Lời giải.
dx
x
2
√
x
2
+ 9
=
d

√
x
2

+ 9

x
3
=
1
x
2

d

√
x
2
+ 9
x

+
√
x
2
+ 9dx
x
2

⇔
dx
√
x
2

+ 9
= d

√
x
2
+ 9
x

+
√
x
2
+ 9dx
x
2
⇔
dx
√
x
2
+ 9
= d

√
x
2
+ 9
x


+
9dx
x
2
√
x
2
+ 9
+
dx
√
x
2
+ 9
⇔
dx
x
2
√
x
2
+ 9
= −
1
9
d

√
x
2

+ 9
x

= d

−
√
x
2
+ 9
9x

Vậy,

dx
x
2
√
x
2
+ 9
=

d

−
√
x
2
+ 9

9x

= −
√
x
2
+ 9
9x
+ C

Thí dụ 8. Tính nguyên hàm:

x
2
√
x
2
+ 9dx
Lời giải.
Ta có:
x
2
√
x
2
+ 9dx =
√
x
2
+ 9d


x
3
3

= d

x
3
√
x
2
+ 9
3

−
x
3
3
d

√
x
2
+ 9

= d

x
3

√
x
2
+ 9
3

−
x
4
3
√
x
2
+ 9
dx
= d

x
3
√
x
2
+ 9
3

−
x
4
− 81
3

√
x
2
+ 9
dx −
81
3
√
x
2
+ 9
dx
= d

x
3
√
x
2
+ 9
3

−
√
x
2
+ 9(x
2
− 9)
3

dx −
81
3
√
x
2
+ 9
dx
⇔ 3x
2
√
x
2
+ 9dx = 3d

x
3
√
x
2
+ 9
3

−
√
x
2
+ 9(x
2
− 9)dx −

81
√
x
2
+ 9
dx
⇔ 4x
2
√
x
2
+ 9dx = d

x
3
√
x
2
+ 9

+ 9
√
x
2
+ 9dx −
81
√
x
2
+ 9

dx
⇔ 4x
2
√
x
2
+ 9dx = d

x
3
√
x
2
+ 9

+ 9d

x
√
x
2
+ 9 + 9 ln


x +
√
x
2
+ 9



2

− 81d

ln


x +
√
x
2
+ 9



⇔ x
2
√
x
2
+ 9dx = d

x
3
√
x
2
+ 9
4

+
9x
√
x
2
+ 9 + 81 ln


x +
√
x
2
+ 9


8
−
81 ln


x +
√
x
2
+ 9


4

⇔ x

2
√
x
2
+ 9dx = d

x
3
√
x
2
+ 9
4
+
9x
√
x
2
+ 9 − 81 ln


x +
√
x
2
+ 9


8


Vậy,

x
2
√
x
2
+ 9dx =
x
3
√
x
2
+ 9
4
+
9x
√
x
2
+ 9 − 81 ln


x +
√
x
2
+ 9



8
+ C

4
Thí dụ 9. Tìm nguyên hàm :


ln x
ln x + 2

2
dx
Lời giải.
Ta có:

ln x
ln x + 2

2
dx = dx − 4
(ln x + 2)dx
(ln x + 2)
2
+
4dx
(ln x + 2)
2
= dx − 4

d


x
ln x + 2

+
xd (ln x + 2)
(ln x + 2)
2

+
4dx
(ln x + 2)
2
= dx − 4d

x
ln x + 2

−
4dx
(ln x + 2)
2
+
4dx
(ln x + 2)
2
= d

x −
4x

ln x + 2

Vậy,


ln x
ln x + 2

2
dx =

d

x −
4x
ln x + 2

= x −
4x
ln x + 2
+ C

Thí dụ 10. Tìm nguyên hàm :

x ln(x + 1)
(x + 1)
2
dx
Lời giải.
Ta có:

x ln(x + 1)
(x + 1)
2
dx =
ln(x + 1)dx
x + 1
−
ln(x + 1)dx
(x + 1)
2
=
ln(x + 1)dx
x + 1
−
ln(x + 1)d(x + 1)
(x + 1)
2
= d

ln
2
(x + 1)
2

−

(x + 1)d (ln(x + 1))
(x + 1)
2
− d


ln(x + 1)
x + 1

= d

ln
2
(x + 1)
2

−
d (ln(x + 1))
x + 1
+ d

ln(x + 1)
x + 1

= d

ln
2
(x + 1)
2

−
dx
(x + 1)
2

+ d

ln(x + 1)
x + 1

= d

ln
2
(x + 1)
2

+ d

1
x + 1

+ d

ln(x + 1)
x + 1

= d

ln
2
(x + 1)
2
+
1

x + 1
+
ln(x + 1)
x + 1

Vậy,

x ln(x + 1)
(x + 1)
2
dx =
ln
2
(x + 1)
2
+
1
x + 1
+
ln(x + 1)
x + 1
+ C

Thí dụ 11. Tìm nguyên hàm :

(x + 1)
2
e
x
2

−1
x
dx
5
Lời giải.
(x + 1)
2
e
x
2
−1
x
dx =
x
2
(x+1)
2
x
2
+1
d

e
x
2
−1
x

=
(x + 1)

2
x
2
+ 1

d

x
2
e
x
2
−1
x

− e
x
2
−1
x
d (x
2
)

=
(x + 1)
2
x
2
+ 1


d

x
2
e
x
2
−1
x

− 2xe
x
2
−1
x
dx

⇔ (x
2
+ 1)e
x
2
−1
x
dx = d

x
2
e

x
2
−1
x

− 2xe
x
2
−1
x
dx
⇔ (x + 1)
2
e
x
2
−1
x
dx = d

x
2
e
x
2
−1
x


Vậy, I =


2
1
d

x
2
e
x
2
−1
x




2
1
= x
2
e
x
2
−1
x
+ C
Đang cập nhật . . .
Hồng Ngự, ngày 15 tháng 3 năm 2014
6