Dãy pho lyndon hochschild serre và đối đồng đều của nhóm nửa nhị diện

Lời cám ơn
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô và đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin
học đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần cùng với một môi
trường học tập hoàn hảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Đặc biệt là các thầy cô và đồng nghiệp thuộc Bộ môn Đại số.
Tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Nguyễn Viết Đông - người đã tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo tôi từ khi tôi mới chập chững bước chân vào con đường Toán học.
Thầy đã đọc bản thảo, chỉnh sửa và cho tôi những ý kiến đóng góp quan trọng từ tiểu
luận cử nhân cho tới luận văn thạc só.
Tôi xin gởi lời cảm ơn tới hai bạn Dương Đức Thònh và Trần Mai Thuận đã cùng
tôi thảo luận và giải quyết các vấn đề trong các buổi seminar của nhóm.
Cuối cùng, lời cảm ơn đặc biệt và chân thành nhất, xin được gởi cho mẹ tôi. Người
đã đứng cạnh tôi động viên và tin tưởng, không chỉ trong thời gian tôi làm luận văn
này mà trong suốt cả quá trình sống, học tập và làm việc. Xin cảm ơn những lời
khuyên ngoài học thuật của mẹ đã cho tôi động lực to lớn để hoàn thành luận văn
này.
Mục lục
Lời nói đầu 4
Bảng ký hiệu 6
1 Kiến thức cơ sở 7
1.1 Đối đồng điều nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tíchcup 8
1.3 Toán tử đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Đồng cấu hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Đồng cấu nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Ánh xạ chuẩn Evens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Tích nửa trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Tíchbện 13
1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản 16

2.1 Dãyphổ 16
2.1.1 Module được lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Vành đối đồng điều của nhóm Cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhò diện D
2
n
23
2
2.3.1 Đối đồng điều nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Đối đồng điều mod-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q
8
27
3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện 29
3.1 Đối đồng điều nguyên của SD
2
n
29
3.2 Đối đồng điều mod-2 của nhóm nửa nhò diện D
2
n
38
Tài liệu tham khảo 43
Lời nói đầu
Đối đồng điều của các nhóm nhò diện và Quaternion tổng quát giờ đây đã trở thành
cổ điển và được trình này trong hầu hết các sách viết về đối đồng điều nhóm. Và hơn
nữa, đối đồng điều của hai nhóm này cũng đã được tìm hiểu và trình bày cặn kẽ, tỉ
mỉ trong các cuốn luận văn của các học viên thuộc Bộ môn Đại số, chuyên ngành hẹp
Đại số đồng điều. Đặc biệt là luận văn của Thạc só Nguyễn Uy Bá. Sử dụng hai kết

quả đã biết này, Leonard Evens và Stewart Priddy đã đưa ra cách tính đối đồng điều
của nhóm nửa nhò diện thông qua việc sử dụng một công cụ rất mạnh đó là dãy phổ
Lyndon - Hochschild - Serre.
Nhóm nửa nhò diện được đònh nghóa như sau
SD
2
n
= Gp < s, b : s
2
n−1
= b
2
=1, bsb
−1
= s
2
n−2
−1
>
Trong công trình của L. Evens và S. Priddy có hai kết quả chính được đưa ra dưới dạng
đònh lý
Đònh lý A. H
∗
(SD
2
n
)=Z[β,ξ,ζ,γ] với degβ = degξ =2, degζ =4, degγ =5và
các phần tử sinh thỏa các quan hệ sau 2β =2ξ =2γ =0, 2
n−1
ζ =0,ξ

2
=0,βξ=
0,ξγ=0,γ
2
= β
3
ζ.
Đònh lý B. H
∗
(SG
2
n
; Z
2
) được xác đònh thông qua (D
8
,Q
8
). Tức là,
φ
∗
× ψ
∗
: H
∗
(SD
2
n
; Z
2

) −→ H
∗
(D
8
; Z
2
) × H
∗
(Q
8
; Z
2
)
là đơn cấu. Trong đó, φ : D
8
→ SD
2
n
và ψ : Q
8
→ SD
2
n
lần lượt là các phép nhúng.
Cuốn luận văn này sẽ tập trung làm rõ hai đònh lý trên thông qua việc trình bày
công cụ dãy phổ và các kiến thức liên quan. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 Kiến thức cơ sở. Trong chương này tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn
các khái niệm và đònh lý liên quan đến đối đồng điều nhóm, tích cup, tích bện và các
đồng cấu đồng điều như đồng cấu hạn chế, đồng cấu đối hạn chế, đồng cấu nâng và
ánh xạ chuẩn Evens.

Chương 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản. Trong
chương này tôi sẽ trình bày về dãy phổ tổng quát và một các xây dựng dãy phổ của
4
mở rộng nhóm có tên là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre, viết tắt là dãy phổ LHS.
Đồng thời trình bày các ứng dụng của dãy phổ LHS thông qua việc tính đối đồng điều
nguyên và mod -2 của các nhóm đơn giản như nhóm cyclic, nhóm nhò diện tổng quát
và nhóm Quaternion.
Chương 3. Đối đồng điều của nhóm nửa nhò diện. Chương này tôi sẽ tập trung
vào việc chứng minh hai đònh lý đã nêu trên của L. Evens và S. Priddy.
Đối đồng điều nhóm là một công cụ quen thuộc trong việc khảo sát và tìm hiểu
các tính chất của nhóm. Hy vọng rằng, cuốn luận văn này sẽ góp một phần nhỏ vào
kho tài liệu đồ sộ về Toán của Bộ môn Đại số, cũng như của Khoa Toán - Tin học và
là tài liệu tham khảo hữu ích cho những học viên tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này.
Thành phố Hồ Chí minh, Tháng 6 năm 2010
Bùi Anh Tuấn
5
Bảng ký hiệu
Ký hiệu Ý nghóa
A ⊗
R
B Tích tenxơ trên R của hai môđun A và B
A
f
→ Bflà đồng cấu từ A đến B
A  B toàn cấu từ A đến B
A  B đơn cấu từ A đến B
Hom(A, B) Tập hợp tất cả đồng cấu từ A vào B
E
p,q
r

Dãy phổ bậc r tại vò trí (p, q)
A 
ϕ
B Tích nửa trực tiếp của A, B qua đồng cấu ϕ
B(G) Phép giải Bar của nhóm G
H
n
(G, A) Đối đồng điều thứ n của G với hệ số trong A
kG Vành nhóm
∪ Tích cup
A  B Tích bện giữa A và B
res
G→S
Đồng cấu hạn chế từ G xuống S
cor
S→G
Đồng cấu đối hạn chế
N
S→G
Ánh xạ chuẩn Evens
D
2
n
Nhóm nhò diện cấp 2
n
Q
2
n
Nhóm Quaternion cấp 2
n

SD
2
n
Nhóm nửa nhò diện cấp 2
n
6
Chương 1
Kiến thức cơ sở
Việc sử dụng dãy phổ để tính đối đồng điều nhóm đã thường xuyên là đề tài nghiên
cứu và thảo luận của sinh viên cũng như học viên cao học thuộc chuyên ngành Đại số
- Lý thuyết số, trong đó có thể kể đến các luận văn thạc só của các học viên Nguyễn
Uy Bá, Phạm Thành Trí hay tiểu luận tốt nghiệp đại học của chính bản thân tôi. Do
vậy, trong phần kiến thức cơ sở tôi chỉ nhắc lại các vấn đề chính để tạo tính logic cho
luận văn. Các chi tiết cụ thể như ví dụ hay chứng minh các đònh lý, mệnh đề có thể
dễ dàng tìm thấy trong các luận văn kể trên.
1.1 Đối đồng điều nhóm
Cho G là một nhóm, k là vành, ta đònh nghóa k(G) là nhóm Abel tự do sinh bởi
các phần tử g ∈ G, bao gồm các tổng hữu hạn

g
m(g)g với m(g) ∈ k. Trên k(G)
đònh nghóa hai phép toán

x
m(x)x +

x
m

(x)x =


x
(m + m

)(x)x
(

x
m(x)x)(

y
m

(y)y)=

x,y
m(x)m

(y)xy
Với hai phép toán trên kG trở thành một vành và ta gọi là vành nhóm của G. Đặt
B
n
là kG-module tự do sinh bởi các bộ có thứ tự [x
1
|x
2
| |x
n
], trong đó 1 = x
i

∈ G.
Khi đó B
n
cũng là một nhóm Abel tự do sinh bởi x[x
1
|x
2
| |x
n
]. Đặc biệt B
0
là kG-
module tự do sinh bởi một phần tử []. Quy ước, [x
1
|x
2
| |x
n
]=0nếu tồn tại bất kỳ
x
i
=1. Trên cơ sở các B
n
ta xây dựng dãy sau:
B(G): → B
n+1
∂
n+1
→ B
n

→ → B
1
∂
1
→ B
0
ε
→ k
7
Trong đó,
ε[] = 1
∂
1
[x]=x[] − []
∂
n
[x
1
|x
2
| |x
n
]=x
1
[x
2
|x
3
| |x
n

]+
n−1

i=1
(−1)
i
[x
1
| |x
i
x
i+1
| |x
n
]
+(−1)
n
[x
1
|x
2
| |x
n−1
](n>1)
Với cách xây dựng trên thì B(G) trở thành một dãy khớp và do đó là một phép
giải xạ ảnh của kG-module tầm thường k. Ta gọi B(G) là phép giải Bar.
Xét một kG-module A bất kỳ, ta đònh nghóa đối đồng điều của G với hệ số trong A là
H
n
(G, A)=H

n
(Hom
kG
(B(G),A))
1.2 Tích cup
Cho G là một nhóm; A, B là kG-module. X → k, Y → k là các kG-phép giải xạ ảnh
của k. Ta đònh nghóa tích chéo
Hom
kG
(X, A) ⊗ Hom
kG
(Y,B)
×
→ Hom
kG×kG
(X ⊗ Y,A⊗ B)
(f × g)(x ⊗ y) −→ f(x) ⊗ g(y)
với f ∈ Hom
kG
(X, A),g∈ Hom
kG
(Y,B) .
Đồng cấu tích chéo cảm sinh đồng cấu
H
∗
(G, A) ⊗ H
∗
(G, B) → H
∗
(G × G, A ⊗ B)

(α ⊗ β) −→ α × β
Xét đồng cấu ∆: G → G × G xác đònh bởi
∆(x)=x × x với x ∈ G
∆ cảm sinh đồng cấu
∆
∗
: H
∗
(G × G, A ⊗ B) → H
∗
(G, A ⊗ B)
Khi đó tích cup được đònh nghóa là phép hợp nối của ∆
∗
và đồng cấu cảm sinh của
tích chéo
H
∗
(G, A) ⊗ H
∗
(G, B)
×
∗
→ H
∗
(G × G, A ⊗ B)
∆
∗
→ H
∗
(G, A ⊗ B)

8
Đặc biệt trong trường hợp A = B = k là vành, tích cup
∪ : H ∗ (G, k) × H
∗
(G, k) → H
∗
(G, k)
α ∪ β =∆
∗
(α × β)
Khi đó, H
∗
(G, k) với tích cup trở thành một vành, ta gọi vành đối đồng điều của G
với hệ số trong k.
1.3 Toán tử đối đồng điều
1.3.1 Đồng cấu hạn chế
Cho G là một nhóm và H là một nhóm con. Khi đó qua phép nhúng, một kG-module
cũng có thể xem như một kH-module, một kG-đồng cấu cũng có thể xem như một
kH-đồng cấu. Xét X → k là một kG-phép giải xạ ảnh, A là một kG-module. Vậy
X → k cũng là một kH-phép giải xạ ảnh, A cũng là một kH-module. Từ đây để tiện
lợi ta viết G thay cho vành nhóm kG.
Ta xây dựng đồng cấu hạn chế
ϕ : Hom
G
(X, A) → Hom
H
(X, A)
thỏa ϕ(f)=f. Đồng cấu cảm sinh
ϕ
∗

: H
∗
(G, A) → H
∗
(H, A)
Ta gọi ϕ
∗
là đồng cấu hạn chế và ký hiệu là res
G→H
.
Một cách nhìn khác về đồng cấu hạn chế. Cho A là G-module, A

là G

-module,
φ : G

→ G là một đồng cấu nhóm. Qua φ, A cũng có thể được xem như G

-module.
Giả sử f : A → A

là một G

-module, tức là f thỏa f(φ(x

)a)=f(x

a)=x


f(a) với
x

∈ G

,a∈ A.
Khi đó, các đồng cấu cảm sinh
φ
∗
: H
∗
(G, A) → H
∗
(G

,A)
f
∗
: H
∗
(G

,A) → H
∗
(G

,A

)
cho ta phép hợp nối

(φ
∗
,f
∗
)=f
∗
φ
∗
: H
∗
(G, A) → H
∗
(G

,A

)
9
Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau đây:
Trường hợp thứ nhất, G

= H là một nhóm con của nhóm G, A

= A, φ = i là
phép nhúng từ H vào G và f = Id
A
là phép đồng nhất của A. Lúc đó, (i, Id)
∗
:
H

∗
(G, A) → H
∗
(H, A) chính là đồng cấu hạn chế mà ta đã đònh nghóa ở trên.
Trường hợp thứ hai, G

= N là nhóm con chuẩn tắc của G, A là G-module. A
N
là một G-module với tác động tầm thường của N lên A. Lúc đó, A
N
trở thành một
G/N-module, cụ thể tác động của G/N lên A
N
là (gN)a = ga (do N tác động tầm
thường lên A). Cho π : G → G/N là phép chiếu tự nhiên, f : A
N
→ A là phép
nhúng. Khi đó,
(π,f)
∗
: H
∗
(G/N, A
N
) → H
∗
(G, A)
được gọi là đồng cấu nâng, ký hiệu inf
G/N→G
, mà ta sẽ làm rõ hơn ở phần sau.

Mệnh đề 1.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con. Với mỗi g ∈ G, ta đònh
nghóa
φ : gHg
−1
→ H bởi φ(h

)=g
−1
h

g
f : A → A bởi f(a)=ga
Ta có các điều sau
1. f(φ(h

)a)=h

f(a)
2. g
∗
=(φ, f)
∗
: H
∗
(H, A) → H
∗
(gHg
−1
,A).
Trong đó, g

∗
là đồng cấu cảm sinh từ đồng cấu
g
∗
: Hom
H
(X, A) → Hom
gHg
−1
(X, a)
g
∗
(f)(x)=gf(g
−1
x)
Trong trường hợp H chuẩn tắc trong G, mệnh đề cho chúng ta một tác động của
G lên H
∗
(H, A) để nó trở thành G-module, đó là g(clsf)=g
∗
(clsf).
Mệnh đề 1.2. G tác động tầm thường lên H
∗
(G, A).
1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế
H là một nhóm con có chỉ số hữu hạn trong G, A là một G-module. Gọi S là tập các
phần tử đại diện lớp ghép trái của H trong G. X → k là một G-phép giải xạ ảnh của
10
k. Đònh nghóa đồng cấu
T

G/H
: Hom
H
(X, A) → Hom
G
(X, A) bởi T
G/H
(f)=

s∈S
sf
Cụ thể hơn T
G/H
(f)(x)=

s∈S
sf(s
−1
x. Ta sẽ chứng minh cách xác đònh T
G/H
như
trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện của các lớp kề trái. Xét tập các
lớp kề trái G/H = {s
1
H, s
2
H, , s
n
H}. Giả sử s
i

y
i
là một phần tử đại diện khác của
lớp ghép trái s
i
H.
T
G/H
(f)(x)=
n

i=1
(s
i
y
i
f)(x)
=
n

i=1
s
i
y
i
f((s
i
y
i
)

−1
x)
=
n

i=1
s
i
y
i
f(y
i
−1
s
i
−1
x)
=
n

i=1
s
i
f((s
−1
i
x)
Như vậy, T
G/H
được đònh nghóa tốt. T

G/H
cảm sinh đồng cấu
T
∗
G/H
: H
∗
(H, A) → H
∗
(G, A)
T
∗
G/H
được gọi là đồng cấu đối hạn chế, ký hiệu cor
H→G
.
Mệnh đề 1.3. ([3], Mệnh đề 4.2.2, trang 39) Nếu H là nhóm con của K và K là
nhóm con của G sao cho H có chỉ số hữu hạn trong G thì
H
∗
(G, A)
res
G→H
→ H
∗
(H, A)
cor
H→G
→ H
∗

(G, A)
cor
H→G
res
G→H
=[G : H]Id
Đònh lý 1.4. ([3], Đònh lý 4.6.2, trang 41) Nếu H là một nhóm con có chỉ số hữu
hạn của G, K là một nhóm con khác. D là tập tất cả các phần tử đại diện của các
lớp kề đôi (như vậy G =
∪
x∈D
KxH là một hợp rời). A là một G-module. Khi đó, với
α ∈ H
∗
(H, A) ta có
res
G→K
(cor
H→G
(α)) =

x∈D
cor
K∩xHx
−1
→K
(res
xHx
−1
→K∩xHx

−1
(x
∗
α))
=

x∈D
cor
K∩xHx
−1
→K
(x
∗
res
xHx
−1
→K∩xHx
−1
(α))
11
1.3.3 Đồng cấu nâng
Đồng cấu nâng đã được nhắc đến ở phần 1.3.1, ở đây chúng ta sẽ làm rõ hơn về vấn
đề này.
Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G và A là G-module. Do H tác động tầm thường
lên A
H
nên A
H
trở thành G/H-module. Xét cặp đồng cấu (φ, f)
φ : G → G/N xác đònh bởi φ(g)=gN

f : A
H
→ A xác đònh bởi f( a)=a
Khi đó,
inf
G/H→G
=(φ, f)
∗
: H
∗
(G/N, A
H
)
φ
∗
→ H
∗
(G, A
H
)
f
∗
→ H
∗
(G, A)
inf
G/H→G
= f
∗
φ

∗
được gọi là đồng cấu nâng.
1.4 Ánh xạ chuẩn Evens
1.4.1 Tích nửa trực tiếp
Cho H và N là hai nhóm, đồng cấu nhóm ϕ : H → Aut(N) xác đònh bởi ϕ(h)=ϕ
h
.
Trong tập tích Đề các G = N × H, ta đònh nghóa phép nhân giữa hai phần tử như sau
∗ : G × G → G
(n
1
,h
1
) ∗ (n
2
,h
2
)=(n
1
ϕ
h
1
(n
2
),h
1
h
2
)
Tập G với phép toán (*) được đònh nghóa như trên trở thành một nhóm, ta gọi đó là

tích nửa trực tiếp của H và N ứng với đồng cấu ϕ và ký hiệu N 
ϕ
H. Nhóm N 
ϕ
H
có phần tử đơn vò (e
N
,e
H
), phần tử nghòch đảo của (m, h) là (ϕ
h
−1
(n
−1
),h
−1
).
Trong trường hợp cho trước nhóm G, N là nhóm con chuẩn tắc, H là nhóm con
của G sao cho mỗi phần tử g của G được biểu diễn duy nhất dưới dạng g = nh với
n ∈ N, h ∈ H. Đồng cấu ϕ : H → AutN, ϕ(h)=ϕ
h
với ϕ
h
(n)=hnh
−1
. Thì G
đẳng cấu với tích nửa trực tiếp của N và H.
Mệnh đề 1.5. Nhóm G đẳng cấu với tích nửa trực tiếp của N và H khi và chỉ khi
dãy khớp ngắn sau chẻ:
1 → N

β
→ G
α
→ H → 1
12
Trong trường hợp này, tồn tại γ : H → G, α ◦ γ = Id. Khi đó, ϕ : H → AutN được
xác đònh bởi ϕ(h)=ϕ
h
với ϕ
h
(n)=β
−1
(γ(h)β(n)γ(h
−1
)). Đặc biệt, trong trường
hợp ϕ là đồng cấu tầm thường thì N 
ϕ
H chính là tích trực tiếp N × H.
1.4.2 Tích bện
Cho X là một tập, S(X) là nhóm tất cả các hoán vò của X. H là một nhóm con
của S(X). Xét G = A
X
là tích trực tiếp của |X| lần nhóm A, f ∈ A
X
thì f có dạng
{f
x
}
x∈X
. Khi đó phép toán trong A

X
được đònh nghóa
(f.g)
x
= f
x
.g
x
với mọi x ∈ X
Hai phần tử f và g trong A
X
bằng nhau nếu các thành phần f
x
và g
x
bằng nhau trừ
một số hữu hạn x trong X. Xét tác động của H lên G như sau
(h ∗ g)
x
= g
h
−1
(x)
Khi đó ta đònh nghóa tích bện giữa A và H là tích nửa trực tiếp A
X

ϕ
H tương ứng
với đồng cấu là tác động của H lên A
X

. Ký hiệu A  (H, X).
Xét hai phần tử (f,h) và (g,k) của A  (H,X) ta có phép toán được suy ra từ tích nửa
trực tiếp
(f,h)(g,k)=(f.(h ∗ g),hk)
Trong trường hợp cho trước hai nhóm A và H, ta có thể đồng nhất H với nhóm con
của nhóm S(H) gồm các hoán vò σ
g
với σ
g
(x)=gx. Khi đó tích bện giữa A và H ký
hiệu A  H.
Xét S là nhóm con của S(X).
Đònh lý 1.6. (Nakaoka)([3], Đònh lý 5.3.1, trang 50) Nếu k là trường và X, H hữu
hạn thì
H
∗
(S  H, k)=H
∗
(S, H
∗
(H, k)
⊗X
)
Theo đònh lý Nakaoka thì H
∗
(SH, k) sẽ chứa H
0
(S, H
∗
(H, k)

⊗X
)=(H
∗
(H, k)
⊗X
)
S
,
tập các bất biến của H
∗
(H, k)
⊗X
dưới tác động của S.
Nếu α ∈ H
n
(H, k) có bậc chẵn thì
α
⊗X
= α ⊗ α ⊗ ⊗ α

 
|X| lần
∈ H
∗
(H, k)
⊗X
là một bất biến, ta ký hiệu là 1  α ∈ H
n|X|
(S  H, k).
13

1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens
Cho G là một nhóm và H là nhóm con có chỉ số hữu hạn. T là tập tất cả các phần
tử đại diện các lớp kề trái của H trong G. Khi đó G =
∪
t∈T
tH. Như vậy, với mọi
g ∈ G, t ∈ T , tồn tại t
g
∈ T sao cho gt ∈ t
g
H. Lúc đó, tồn tại h
g,t
∈ H để gt = t
g
h
g,t
.
Đặt π( g):G/H → G/H xác đònh bởi π(g)(
¯
t)=
t
g
φ : G → S(G/H)  H với φ(g)=(π(g),f)
trong đó f : G/H → H cho bởi f(
¯
t)=h
g,t
.
Mệnh đề 1.7. Đồng cấu φ xây dựng ở trên là một đơn cấu, ta gọi là biểu diễn đơn.
Đồng cấu φ cảm sinh

φ
∗
: H
∗
(S(G/H)  H, A) → H
∗
(G, A)
Với α ∈ H
∗
(G, A) có bậc chẵn ta đònh nghóa ánh xạ chuẩn dựa vào φ
∗
và đònh lý
Nakaoka
N
H→G
: H
∗
(H, A) −→ H
∗
(G, A)
α −→ 1  α
Đònh lý 1.8. ([3], Đònh lý 6.1.1, trang 57) Giả sử H là nhóm con có chỉ số hữu hạn
của nhóm G. Ánh xạ chuẩn N
H→G
có những tính chất sau
(N1) Nếu H là một nhóm con của K và K là một nhóm con của nhóm G, thì với
α ∈ H
∗
(H, k) có bậc chẵn
N

K→G
(N
H→K
(α)) = N
H→G
(α)
(N2) Nếu α, β ∈ H
∗
(H, k) có bậc chẵn thì
N
H→G
(αβ)=N
H→G
(α)N
H→G
(β)
(N3) Nếu G =
∪
x∈D
KxH là một phân tích các lớp kề đôi của G thì với α ∈ H
∗
(H, k)
có bậc chẵn
res
G→K
(N
H→G
(α)) =
Π
x∈D

N
K∩xHx
−1
→K
(res
xHx
−1
→K∩xHx
−1
(x
∗
α))
14
trong đó Π chỉ tích cup.
(N4) Nếu H chuẩn tắc trong G thì
res
G→H
(N
H→G
(α)) =
Π
y∈G/H
y
∗
(α)
(N5) Cho H

là nhóm con của G

, H là nhóm con của G đều có chỉ số hữu

hạn. Giả sử φ : G

→ G là đồng cấu sao cho φ(H

) ⊆ H và φ cảm sinh đẳng cấu
G

/H

∼
=
G/H. Gọi φ

là hạn chế của φ trên H

, thì
N
H

→G

(φ
∗
(α)) = φ
∗
(N
H→G
(α))
với α ∈ H
∗

(H, k) có bậc chẵn.
15
Chương 2
Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một
số nhóm cơ bản
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong Tôpô đại số, Leray đã đưa ra khái niệm sheaf và
sau đó nhận ra rằng mình gặp khó khăn trong việc tính đối đồng điều của các sheaf.
Ông giải quyết vấn đề bằng cách đưa ra một kỹ thuật tính toán mà bây giờ chúng ta
vẫn gọi là dãy phổ Leray. Kỹ thuật này đưa ra một mối quan hệ giữa đối đồng điều
của sheaf và đối đồng điều của các pushforward của nó. Leray phát hiện ra rằng, đối
đồng điều của pushforward cho phép chúng ta xây dựng một phức dây chuyền và như
vậy ta có thể tính đối đồng điều của đối đồng điều. Việc làm này không thực sự là
tính đối đồng điều của các sheaf ban đầu nhưng cho chúng ta một bước tiến gần hơn
tới kết quả. Đối đồng điều của đối đồng điều lại cho chúng ta một phức dây chuyền
và vì vậy chúng ta lại có thể lấy đối đồng điều thêm một lần nữa. Quá trình vô hạn
này cứ tiếp diễn và giới hạn của nó cho chúng ta đối đồng điều của sheaf ban đầu.
Trên cơ sở kỹ thuật này, các nhà toán học đã xây dựng nhiều biến dạng để phù hợp
với từng vấn đề đặt ra. Lyndon - Hochschild - Serre, ba nhà toán học này đã đưa ra
một dãy phổ của các mở rộng nhóm mà chúng ta sẽ sử dụng để tính đối đồng điều
của các nhóm ở phần sau. Bây giờ chúng ta bắt đầu với những khái niệm cơ bản của
dãy phổ.
2.1 Dãy phổ
Một module Z-song phân bậc là một họ E = {E
p,q
} các module, mỗi module được
đánh một cặp chỉ số p, q =0, ±1, ±2, Một vi phân song bậc (r, −r +1) là một họ
16
các đồng cấu {d : E
p,q
→ E

p+r,q−r+1
} với d
2
=0. Đối đồng điều H(E)=H(E,d) là
một module song phân bậc H
p,q
(E) được đònh nghóa theo cách thông thường
H
p,q
(E)=ker[d : E
p,q
→ E
p+r,q−r+1
]/dE
p−r,q+r−1
Đặt E
n
=

p+q=n
E
p,q
và vi phân cảm sinh d : E
n
→ E
n+1
có bậc 1. Khi đó, E trở
thành một module Z-phân bậc đơn và H({E
n
},d) là một module phân bậc đơn được

suy ra từ module song phân bậc H
p,q
(E) theo cách H
n
=

p+q=n
H
p,q
.
Đònh nghóa 2.1. Một dãy phổ E =(E
r
,d
r
) là một dãy E
2
,E
3
,E
4
các module
Z-song phân bậc ứng với các vi phân d
r
: E
p,q
r
→ E
p+r,q−r+1
r
,r=2, 3, 4, có song

bậc (r, −r +1) và đẳng cấu H(E
r
,d
r
)
∼
=
E
r+1
,r=2, 34
Từ đẳng cấu trên, ta đồng nhất E
r+1
với H(E
r
,d
r
). Khi đó, E
3
trở thành module
thương C
2
/B
2
của E
2
, với C
2
= kerd
2
và B

2
= Imd
2
. Tiếp tục E
4
= H(E
3
,d
3
) là
module thương của C
2
/B
2
và đẳng cấu với C
3
/B
3
, trong đó, C
3
/B
2
= kerd
3
,B
3
/B
2
=
Imd

3
và B
3
⊂ C
3
.
Cứ như vậy, dãy phổ được biểu diễn như một chuỗi bao hàm
0=B
1
⊂ B
2
⊂ B
3
⊂ ⊂ ⊂ C
3
⊂ C
2
⊂ C
1
= E
2
các module con song phân bậc của E
2
với E
r+1
= C
r
/B
r
và

d
r
: C
r−1
/B
r−1
→ C
r−1
/B
r−1
có nhân C
r
/B
r−1
và ảnh B
r
/B
r−1
.
Đặt C
∞
là giao của tất cả các module con C
r
.
B
∞
là hội của tất cả các module con B
r
.
E

p,q
∞
= C
p,q
∞
/B
p,q
∞
E
∞
= {E
p,q
∞
}.
Đònh nghóa 2.2. Một dãy phổ được gọi là dãy phổ góc phần tư thứ nhất nếu E
p,q
r
=0
khi p<0 hoặc q<0.
Ta sẽ mô tả các module E
p,q
r
trên mặt phẳng (p, q)
17
Figure 2.1:
Do E
p,q
r
=0khi p<0 hoặc q>0 nên ta có các thành phần đặc biệt của E
r+1

được xét như sau
E
p−r,q+r−1
r
d
r
→ E
p,q
r
d
r
→ E
p+r,q−r+1
r
Nếu r>pthì E
p−r,q+r−1
r
=0nên d
r
E
p−r,q+r−1
r
=0và nếu r>q+1 thì E
p+r,q−r+1
r
=0
nên kerd
r
= E
p,q

r
. Suy ra, nếu r > max{p, q +1)} thì
E
p,q
r+1
= Kerd
r
/d
r
E
p−r,q+r−1
r
= E
p,q
r
Xét các thành phần nằm trên hai trục tọa độ (p, q).
Trước tiên, các thành phần E
0,q
r
nằm trên trục q
E
−r,q+r−1
r
d
r
→ E
0,q
r
d
r

→ E
r,q−r+1
r
Do E
−r,q+r−1
r
=0nên E
0,q
r+1
= Kerd
r
, tức là E
0,q
r+1
là module con của E
0,q
r
. Từ đó ta
có dãy các đơn cấu nhúng sau
E
0,q
∞
= E
0,q
q+2
→ E
0,q
q+1
→ → E
0,q

2
Các thành phần E
p,0
r
nằm trên trục p
E
p−r,r−1
r
d
r
→ E
p,0
r
d
r
→ E
p+r,−r+1
r
Do E
p+r,−r+1
r
=0nên E
p,0
r+1
là module thương của E
p,0
r
. Từ đó ta có dãy các phép
chiếu tự nhiên sau
E

p,0
2
 E
p,0
3
 ··· E
p,0
p+1
= E
p,0
∞
Hai dãy đồng cấu trên được gọi là các đồng cấu biên.
18
2.1.1 Module được lọc
Lọc F của một module A là một họ các module con F
p
A với
···⊂F
p+1
A ⊂ F
p
A ⊂ F
p−1
A ⊂
Một lọc F của một module Z-phân bậc vi phân A là một họ các module con Z-phân
bậc vi phân của F
p
A thỏa mãn dãy bao hàm trên. Lọc này cảm sinh một lọc trên
đối đồng điều Z-phân bậc H( A) với F
p

(H(A)) được đònh nghóa là ảnh của H(F
p
A)
dưới phép nhúng F
p
A → A.DoA là module Z-phân bậc, lọc của A xác đònh một lọc
F
p
A
n
cho mỗi module A
n
và vi phân của A cảm sinh đồng cấu ∂ : F
p
A
n−1
→ F
p
A
n
.
Họ module {F
p
A
n
} là một module Z-song phân bậc. Lọc F của module phân bậc vi
phân A được gọi là bò chặn nếu với mỗi bậc n có hai số nguyên s(n) >t(n) sao cho
mỗi A
n
có một lọc hữu hạn sau

0=F
s
A
n
⊂ F
s−1
A
n
⊂···⊂F
t+1
A
n
⊂ F
t
A
n
= A
n
Đònh nghóa 2.3. Dãy phổ E được gọi là hội tụ đến module phân bậc A (ký hiệu
E
p,q
2
⇒ A) nếu có một lọc F của A sao cho E
p,q
∞
= F
p
A
p+q
/F

p+1
A
p+q
2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre
Bổ đề 2.1. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Với bất kỳ kG-module tự do
F và kG-module A ta có
H
n
(G/H, Hom
kH
(F, A)) = 0, với n>0
Bổ đề 2.2. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là kG-module. Khi đó,
H
n
(H, M) là k(G/H)-module với mỗi n>0.
Đònh lý 2.3. (Dãy phổ Hochschild-Serre)
Cho G là một nhóm, H là nhóm con chuẩn tắc và A là một kG-module. Khi đó, có
một dãy phổ đối đồng điều góc phần tư thứ nhất
E
p,q
2
= H
p
(G/H, H
q
(H, A)) ⇒ H
p+q
(G, A)
Các đồng cấu biên
H

n
(G/H, A
H
) −→ H
n
(G, A)
19
và
H
n
(G, A) −→ H
n
(H, A)
G/H
được cảm sinh lần lượt từ các đồng cấu nâng inf
G/H
và đồng cấu hạn chế res
G→H
.
Hệ quả 2.4. Với E là dãy phổ LHS thì hai biểu đồ sau giao hoán
H
∗
(G/H, A
H
)
inf
//
∼
=


H
∗
(G, A)
E
∗,0
2
// //
E
∗,0
∞
?

OO
và
H
∗
(G, A)
res
//


H
∗
(H, A)
G
E
0,∗
∞



//
E
0,∗
2
∼
=
OO
OO
Hệ quả 2.5. Với E là dãy phổ LHS thì
a) Nếu mở rộng nhóm 1 → H → G → G/H → 1 chẻ ra và H tác động tầm
thường lên A thì đồng cấu
inf
G/H→H
: H
∗
(G/H, A) −→ H
∗
(G, A)
là đơn cấu. Hơn nữa, E
∗,0
2
= E
∗,0
∞
.
b) Im(res
G→H
)=E
0,∗
∞

.
Ta có thể mô tả các E
r
cấp thấp như hình sau
E
2
E
0,2
2
d
2
((
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
E

1,2
2
((
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
E
2,2
2
&&
M
M
M
M
M
M

M
M
M
M
M
M
M
M
••
E
0,1
2
d
2
((
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q

Q
Q
E
1,1
2
((
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
E
2,1
2
d
2
&&
M

M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
••
E
0,0
2
E
1,0
2
E
2,0
2
••
E
3
kerE
0,2
2
→ E

2,1
2
kerE
1,2
2
→ E
3,1
2
•
kerE
0,1
2
→ E
2,0
2
kerE
1,1
2
→ E
3,0
2
•
E
0,0
2
E
1,0
2
E
2,0

2
/d
2
E
0,1
2
20
Rõ ràng các vò trí đóng khung sẽ không thay đối giá trò khi ta tăng bậc của dãy
phổ. Chẳng hạn
E
0,1
3
= E
0,1
4
= ···= E
0,1
∞
E
1,0
2
= E
1,0
3
= ···= E
1,0
∞
Mặt khác, chúng ta đã biết với lọc của H
1
0=H

1
2
⊂ H
1
1
⊂ H
1
0
= H
1
Hơn nữa,
E
p,n−p
∞
= H
n
p
/H
n
p+1
= H
1
1
Do đó,
E
1,0
∞
= H
1
1

/H
1
2
= H
1
1
E
0,1
∞
= H
1
0
/H
1
1
= H
1
/H
1
1
Điều này cho chúng ta dãy khớp
0 → E
1,0
2
→ H
1
→ (kerE
0,1
2
→ E

2,0
2
) → 0
Kết hợp vối đồng cấu biên
0 → E
2,0
2
/d
2
E
0,1
2
→ H
2
ta có dãy khớp năm thành phần
0 → E
1,0
2
→ H
1
→ E
0,1
2
→ E
2,0
2
→ H
2
Đònh lý 2.6. (Inflation-Restriction)
Nếu H là một nhóm con chuẩn tắc của G và A là một kG-module, thì ta có dãy

khớp
0 → H
1
(G/H, A
H
)
inf
→ H
1
(G, A)
res
→ H
1
(H, A)
G/H
→ H
2
(G/H, A
H
)
inf
→ H
2
(G, A)
Biểu diển các thành phần của dãy phổ tương tự như trên cho E
4
ta có được dãy
khớp
0 → E
2,0

2
→ H
2
→ E
0,2
2
→ E
3,0
2
→ H
3
Đònh lý 2.7. (Higher Inflation - Restriction)
Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của G và A là một kG-module. Giả sử rằng
H
q
(H, A)=0với 1 ≤ q ≤ q
0
. Thì với 1 <q<q
0
, đồng cấu nâng cảm sinh đẳng cấu
H
q
(G/H, A
H
)
∼
=
H
q
(G, A) và có một dãy khớp

0 → H
q
0
(G/H, A
H
)
inf
→ H
q
0
(G, A)
res
→ H
q
0
(H, A)
G/H
→ H
q
0
+1
(G/H, A
H
)
inf
→ H
q
0
+1
(G, A)

21
2.2 Vành đối đồng điều của nhóm Cyclic
Cho G =<g>là một nhóm cyclic cấp p
n
, p nguyên tố. k là một vành bất kỳ. Xét
phép giải của k
kG
g−1
→ kG
T
→ kG
g−1
→ kG
ε
→ k → 0
Trong đó T =1+g + g
2
+ ···+ g
p
n
−1
.
Tác động Hom
kG
(−,k) lên phép giải
0 → Hom
kG
(k,k)
ε
∗

→ Hom
kG
(kG,k)
(g−1)
∗
→ Hom
kG
(kG,k) →
T
∗
→ Hom
kG
(kG,k)
(g−1)
∗
→ Hom
kG
(kG,k) →
Để ý Hom
kG
(kG,k)
∼
=
k khi k là kG-module tầm thường. Do đó dãy trở thành
0 → Hom
kG
(k,k)
ε
∗
→ k

(g−1)
∗
→ k
T
∗
→ k
(g−1)
∗
→ k →
Các thành phần đối đồng điều
H
0
(G, k)=k
G
H
2n
(G, k)=ker(g − 1)
∗
/Im( T
∗
)=k
G
/T k
H
2n+1
(G, k)=ker(T
∗
)/Im(g − 1)
∗
= {a ∈ k|Ta=0}/(g − 1)k

Nếu k là kG-module tầm thường thì
k
G
= k
Tk =(1+g + g
2
+ ···+ g
p
n
−1
)k
= k + k + ···+ k
  
p
n
lần
= p
n
k
Ta= p
n
a
(g − 1)k =0
Từ các kết quả trên cho ta đònh lý
Đònh lý 2.8. G là nhóm cyclic cấp p
n
, p nguyên tố. k là vành bất kỳ và là kG-module
tầm thường. Khi đó,
H
0

(G, k)=k
H
2m
(G, k)=k/p
n
k
H
2m+1
(G, k)={a ∈ k|p
n
a =0}
Từ đònh lý 2.8 trong hai trường hợp đặc biệt k = Z và k = Z
2
ta tính được vành
đối đồng điều H
∗
(G, k) với p
n
> 2 như sau
22
Đònh lý 2.9. Cho G là nhóm cyclic cấp p
n
H
∗
(G, Z
2
)=Z
2
[x
1

,y
2
]/<x
2
1
>
trong đó, x
1
là phần tử sinh của H
1
(G, Z
2
)
y
2
là phần tử sinh của H
2
(G, Z
2
)
Đònh lý 2.10. G là nhóm cyclic cấp p
n
H
∗
(G, Z)=Z[y
2
]/<p
n
y
2

>
2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhò diện D
2
n
2.3.1 Đối đồng điều nguyên
Nhóm nhò diện được đònh nghóa như sau
G = D
2
n
=<s,b|s
s
n−1
= b
2
=1,b
−1
sb = s
−1
>
Đặt S =<s>,B=<b>thì ta có G = S  G/S. Do đó, dãy khớp
1 → S → G → G/S → 1 chẻ ra
Xét dãy phổ LHS của mở rộng trên, E
∗,∗
2
= H
∗
(B,H
∗
(S, Z)) ⇒ H
∗

(G, Z)
Ta có, H
2
(S, Z)
∼
=
H
1
(S, Q/Z)=Zσ, trong đó, σ(s)=1/2
n
và b.σ
j
=(−1)
j
σ.
Dễ dàng tính được các thành phần của dãy phổ E
2
như sau:
E
0,1
2
=0
E
2,0
2
= Zβ, 2β =0
E
0,2
2
= Zξ, 2ξ =0

E
1,2
2
= Zχ, 2χ =0
E
0,4
2
= Zζ, 2
n
ζ =0
Tổng quát
E
i,2j+1
2
=0
E
2i,4j
2
= Zβ
i
ζ
j
E
2i,4j+2
2
= Zβ
i
ξζ
j
E

2i+1,4j+2
2
= Zβ
i
χζ
j
E
2i+1,4j
2
= Zβ
i
χξζ
j−1
Từ đó ta có vành đối đồng điều nguyên của nhóm nhò diện D
2
n
được tính theo đònh
lý sau
23
Đònh lý 2.11. Vành đối đồng điều nguyên của nhóm nhò diện là H
∗
(D
2
n
, Z)=
Z[β,ξ,χ,ζ] với degβ = degξ =2, degχ =3, degζ =4và các phần tử sinh thỏa mãn
quan hệ 2β =2ξ =2χ =0, 2
n−1
ζ =0,ξ
2

= βξ, χ
2
= βζ.
2.3.2 Đối đồng điều mod-2
Xét mở rộng
E :1→ H
i
→ G
π
→ K → 1
Do π toàn cấu nên ta có G/kerπ
∼
=
K. Hơn nữa i(H)=kerπ nên i(H) là một nhóm
con chuẩn tắc của G. Mặt khác, do i đơn cấu nên có thể đồng nhất H với i(H). Với
cách nhìn như vậy ta có nhóm thương G/H
∼
=
G/kerπ
∼
=
K.
Xét sự tương ứng 1-1 giữa các phần tử của G/H và K, với mỗi x ∈ K, đặt t(x) là
phần tử đại diện của lớp kề chứa x. Với mọi x, y ∈ K thì t(x) ∈ xH, t(y) ∈ yH nên
t(x)t(y) ∈ xyH. Mặt khác, t(xy) cũng thuộc xyH. Suy ra, tồn tại phần tử h
x,y
∈ H
sao cho t(x)t(y)=t(xy)h
x,y
.

Xét ánh xạ f : K × K → H = kerπ xác đònh bởi f( x, y)=h
x,y
= t(xy)
−1
t(x)t(y).
Ta gọi ánh xạ f được đònh nghóa như vậy là hệ nhân tử của mở rộng trên.
Đònh lý 2.12. Cho mở rộng tâm 1 → H → G → G/H → 0 có hệ nhân tử f. Với
x ∈ E
0,1
2
= Hom(H, k), ta có d
2
x = −cls(xf) ∈ H
2
(G/H, k)=E
2,0
2
Đònh lý 2.13. H
∗
(Z
n
2
, Z
2
)
∼
=
H
∗
(Z

2
, Z
2
)
⊗n
∼
=
Z
2
[x
1
,x
2
, , x
n
]
trong đó, degx
i
=1,i= 1,n.
Đònh lý 2.14. ([4], Đònh lý 4.30, trang 118) Xét các toán tử Steenrod
Sq
i
: H
∗
(X; Z
2
) → H
∗+i
(X; Z
2

)
với i ≥ 0, ta có
(1) Sq
0
là ánh xạ đồng nhất.
(2) Nếu x ∈ H
n
(X, Z
2
) thì Sq
n
x = x
2
.
(3) Nếu x ∈ H
n
(X, Z
2
) và i>nthì Sq
i
x =0.
(4) Với mọi x, y ∈ H
∗
(X, Z
2
) ta có công thức Cartan
Sq
k
(xy)=
k


i=0
Sq
i
x.Sq
k−i
y
24
Đònh lý 2.15. Trong dãy phổ LHS, giả sử x ∈ E
0,n
2
thì Sq
r
x ∈ E
0,n+r−1
n+r
và d
n+r
(Sq
r
x)=
Sq
r
(d
n
x) ∈ E
n+r,0
n+r
.
Bây giờ ta sẽ đi tính đối đồng điều mod-2 của nhóm nhò diện.

Xét biểu diễn D
2
n
=<a,b: a
2
n−1
= b
2
=1,b
−1
ab = a
−1
>.
Giả sử D
2
n
+1
=<x,y: x
2
n
= y
2
=1,y
−1
xy = x
−1
>.
Ta có tâm của D
2
n+1

là Z(D
2
n+1
)=<x
2
n
−1
>
∼
=
Z
2
và D
2
n+1
/Z (D
2
n+1
)
∼
=
D
2
n
.Do
vậy ta có mở rộng tâm
1 → Z(D
2
n
+1

) → D
2
n
+1
→ D
2
n
→ 0
Xét dãy phổ LHS của mở rộng trên
E
2
= H
∗
(D
2
n
, Z
2
)⊗H
∗
(Z(D
2
n+1
), Z
2
)=H
∗
(D
2
n

, Z
2
)⊗H
∗
(Z
2
, Z
2
) ⇒ H
∗
(D
2
n+1
, Z
2
)
Như vậy, từ việc tính H
∗
(D
2
n+1
, Z
2
) ta đưa về tính H
∗
(D
2
n
, Z
2

). Hay nói cách khác
bằng việc tính H
∗
(D
8
, Z
2
) ta có thể tính H
∗
(D
2
n+1
, Z
2
) bằng phương pháp quy nạp.
Xét mở rộng tâm
1 → Z(D
8
) → D
8
→ D
4
→ 0
với hệ nhân tử f : D
4
× D
4
→ Z(D
8
) xác đònh bởi f(u, v)=t(uv)

−1
t(u)t(v), trong
đó t(a
i
b
j
)=x
i
y
j
, 0 ≤ i, j ≤ 2.
Xét dãy phổ LHS của mở rộng trên
E
2
= H
∗
(D
4
, Z
2
) ⊗ H
∗
(Z
2
, Z
2
) ⇒ H
∗
(D
8

, Z
2
)
Theo đònh lý 2.13 ta có H
∗
(Z
2
, Z
2
)=Z
2
[z
1
], degz
1
=1và do D
4
∼
=
Z
2
× Z
2
nên
H
∗
(D
4
, Z
2

)=Z
2
[x
1
,y
1
], trong đó degx
1
= degy
1
=1,x
1
(a)=y
1
(b)=1,x
1
(b)=
y
1
(a)=0.
Mặt khác, E
0,1
2
= H
0
(D
4
,H
1
(Z

2
, Z
2
)) = H
1
(Z
2
, Z
2
). Do đó z
1
∈ E
0,1
2
. Theo đònh lý
2.12, d
2
z
1
= z
1
f ∈ H
2
(D
4
, Z
2
)=E
2,0
2

, nên z
1
f có bậc 2. Vậy, z
1
f = c
1
x
2
1
+ c
2
x
1
y
1
+
c
3
y
2
1
. Ta có thể kiểm chứng được z
1
f = x
2
1
+ x
1
y
1

.
Xét tác động của toán tử vi phân lên phần tử xz
n
1
∈ H
∗
(D
4
, Z
2
) ⊗ Z
2
[z
1
]=E
2
ta có
d
2
(xz
n
1
)=z
n
1
d
2
x +(−1)
degx
xd

2
z
n
1
=(−1)
degx
xd
2
z
n
1
(do x ∈ E
∗,0
2
nên d
2
x =0).
Do z
1
có cấp 1 nên d
2
z
n
1
= z
n−1
1
d
2
z

1
+(−1)
degz
1
z
1
d
2
z
n−1
1
= z
n−1
1
d
2
z
1
− z
1
(z
n−2
1
d
2
z
1
− z
1
d

2
z
n−2
1
)=z
2
1
d
2
z
n−2
1
.
Nếu n =2k ta có d
2
z
2k
1
= z
2k−2
1
d
2
z
2
1
= z
2k−2
1
(z

1
d
2
z
1
− z
1
d
2
z
1
)=0.
25