slide bài giảng mô hình kinh tế - Tối ưu hóa lợi ích và sự lựa chọn

Chương 2
Tối đa hoá lợi ích và sự lựa
chọn

Copyright â2005 by FOE. All rights reserved.


Nguyên lý tối ưu
Tối đa hoá lợi ích, với một lượng thu
nhập cố định, người tiêu dùng sẽ mua
hàng hoá và dịch vụ sao cho:
Thu nhập phải sử dụng hết
Tỷ lệ của sự đánh đổi giữa các hàng hoá
(MRS) bằng tỷ lệ tại đó các hàng hoá có thể
thay thế cho nhau trên thị trường


Hạn chế ngân sách
Giả sử một cá nhân có I đồng để phân
bổ cho hai hàng hoá X và Y:
PXX + PYY = I
Y

I
PY

Một cá nhân chỉ có thể lựa chọn
tập hợp 2 hàng hoá X và Y trong
hình tam giác bên

Nếu toàn bộ thu nhập chỉ mua

hàng hoá Y

Nếu toàn bộ thu nhập chỉ mua
hàng hoá X

I
PX

X


Tối đa hoá lợi ích: điều kiện cần
Chúng ta có thể đưa biểu đồ các đường bàng
quan đến với giới hạn ngân sách để chỉ ra
quá trình tối đa hoá lợi ích
Người tiêu dùng có thể đạt được lợi ích cao
hơn điểm A khi phân bổ lại thu nhập

Y
A

Người tiêu dùng không thể đạt được
tại điểm C do thu nhập hạn chế

C
B

U3
U2
U1

Điểm B là điểm tối đa hoá lợi Ých

X


Tối đa hoá lợi ích: điều kiện cần
Tối đa hoá lợi ích tại điểm tiếp xúc giữa đư
ờng bàng quan và đường ngân sách
PX
Hsg ngan sach =
PY

Y

Hsg duong bang quan = B

−

U2
X

PX
dY
=PY
dX

dY
dX

U = constant

= MRS
U = constant


Tối đa hoá lợi ích: điều kiện đủ
Quy luật tiếp điểm chỉ là điều kiện cần
nhưng không đủ trừ khi chúng ta giả định
rằng MRS giảm dần
Nếu MRS giảm dần, khi đó đường bàng quan
là lồi ngặt

Nếu MRS không giảm dần, khi đó chúng
ta phải kiểm tra điều kiện đủ để đảm bảo
rằng chúng ta đạt được mức lợi ích tối đa


Tối đa hoá lợi ích: điều kiện đủ
Quy luật tiếp điểm chỉ là điều kiện cần nhưng
không đủ trừ khi chúng ta giải định rằng MRS
giảm dần
Y

Tiếp điểm tại điểm A, nhưng cá nhân
có thể đạt được lợi ích cao hơn tại B
B
A

U1

U2
X


Trường hợp n-hàng hoá
Mục tiêu của người tiêu dùng là tối đa hoá:
Lợi ích = U(X1,X2,,Xn)
Ràng buộc ngân sách:
I = P1X1 + P2X2 ++ PnXn
Lập hµm Lagrange:
 L = U(X1,X2,…,Xn) + λ(I-P1X1- P2X2-…-PnXn)


Trường hợp n-hàng hoá
Điều kiện cần:
L/X1 = U/X1 - λP1 = 0
∂L/∂X2 = ∂U/∂X2 - λP2 = 0
•
•
•
∂L/∂Xn = ∂U/∂Xn - λPn = 0
∂L/∂λ = I - P1X1 - P2X2 - … - PnXn = 0


ý nghĩa của điều kiện cần
Đối với hai hàng ho¸ bÊt kú:
∂U / ∂X i Pi
=
∂U / ∂X j Pj

Tức là phân bổ ngân sách tối ưu
Pi
MRS ( X i cho X j ) =
Pj


Phương pháp nhân tử Lagrange
∂U / ∂X1 ∂U / ∂X 2
∂U / ∂X n
λ=
=
= ... =
P1
P2
Pn

λ=

MU X1
P1

=

MU X 2
P2

= ... =

MU X n

Pn

là lợi ích cận biên của mỗi đồng tiêu
dùng thêm
Lợi ích cận biên của thu nhËp


Phng phỏp nhõn t Lagrange
Đối với mọi hàng hoá người tiêu dùng
mua, giá của hàng hoá đó thể hiện sự
đánh giá lợi ích của đơn vị tiêu dùng
cuối cùng cña hä.

Pi =

MU X i
λ


Hàm Cobb-Douglas
Hàm lợi ích Cobb-Douglas:
U(X,Y) = XY
Lập hµm Lagrange:
 L = XαYβ + λ(I - PXX - PYY)
Điều kiện cần:
L/X = X-1Y - PX = 0
 ∂L/∂Y = βXαYβ-1 - λPY = 0
 ∂L/∂λ = I - PXX - PYY = 0

Hàm Cobb-Douglas
Điều kiện cần thể hiện:
Y/X = PX/PY
NÕu α + β = 1:
 PYY = (β/α)PXX = [(1- )/]PXX
Thay vào phương trình ngân sách:
I = PXX + [(1- α)/α]PXX = (1/α)PXX


Hàm Cobb-Douglas
Hàm cầu đối với X

I
X* =
PX

Hàm cầu đối với Y
I
Y* =
PY

Cá nhân sẽ phân bổ phần trăm thu nhập
cho X và phần trăm thu nhËp cho Y


Hàm Cobb-Douglas
Hàm lợi ích Cobb-Douglas bản thân nó
bị giới hạn về khả năng giải thích hành
vi tiêu dùng thực tế
Phần thu nhập dành cho các hàng hoá cá biệt thư

ờng thay đổi trong việc phản ứng lại các điều kiện
kinh tế thay đổi

Dạng hàm phổ biến hơn có thể hữu
dụng hơn trong việc giải thích các quyết
định tiªu dïng


Hµm CES
 Giả sử rằng δ = 0,5 và bỏ qua tham số tỷ
trọng a
 U(X,Y) = [X0,5 + Y0,5]2
 LËp hµm Lagrange:
 L = [X0,5 + Y0,5]2 + λ(I - PXX - PYY)
Điều kiện cần:
L/X = 2[X0,5 + Y0,5].0,5X-0,5 - λPX = 0
∂L/∂Y = 2[X0,5 + Y0,5].0,5Y-0,5 - λPY = 0
∂L/∂λ = I - PXX - PYY = 0


Hµm CES
 Cã nghÜa lµ
 (Y/X)0,5 = Px/PY
 Thay vµo phương trình ngân sách, hàm
cầu có thể viết lại là:
X* =

I
PX
PX [1 + ]

PY

Y* =

I
PY
PY [1 + ]
PX


Hàm CES
Trong các hàm cầu đó, sự phân chia
thu nhập chi cho X hoặc Y không cố
định
Nó phụ thuộc vào tỷ lệ giá hai hàng hoá

Nếu giá hàng hoá X (hoặc Y) cao hơn
tương đối thì phần thu nhập chi cho X
(hoặc Y) sẽ nhỏ hơn


Hàm CES
Nếu = -1,
Hàm cầu về các hàng hoá:
X* =

I
PY
PX [1 +
P

X

0,5


]



Y* =

I
PX
PY [1 + 
P
 Y

0,5


 ]




Hµm CES
 Co gi·n thay thÕ (σ) b»ng 1/(1-δ)
 Khi δ = 0,5, σ = 2
 Khi δ = -1, = 0,5

Do khả năng thay thế giảm, các hàm cầu
phản ứng chậm hơn sự thay đổi trong giá tư
ơng đối
Hàm cầu CES cho phép chúng ta minh hoạ
hàng loạt các khả năng liên quan rộng hơn


Hàm lợi ích gián tiếp
Thường sử dụng FOC để giải quyết các
giá trị tối ưu của X1,X2,,Xn
Giá trị tối ưu sẽ phụ thuộc vào giá của các
hàng hoá và thu nhập
X*1 = X1(P1,P2,,Pn,I)
X*2 = X2(P1,P2,,Pn,I)
ã
ã
ã
X*n = Xn(P1,P2,,Pn, I)


Hàm lợi ích gián tiếp
Chúng ta có thể sử dụng giá trị tối ưu của
các hàng hoá để tìm ra hàm lợi ích gián
tiếp
Lợi ích tối đa = U(X*1,X*2,,X*n)
Thay thế giá trị X*i ta có
Lợi ích tối đa = V(P1,P2,,Pn,I)
Mức lợi ích tối ưu sẽ phụ thuộc gián tiếp
vào giá và thu nhập
Nếu giá hoặc thu nhập thay đổi thì lợi ích tối

đa sẽ thay ®ỉi


Lợi ích gián tiếp trong hàm
Cobb-Douglas
Nếu U = X0,5Y0,5, chúng ta có:
I
X* =
2Px

I
Y* =
2PY

Thay thế vào hàm lợi Ých, ta cã:
 I
maximum utility = 
 2P
 X






0,5

 I

 2P

 Y






0,5

=

I
2 PX0,5 PY0,5


Tối thiểu hoá chi tiêu
Một cách tiếp cận khác là tối thiểu hoá chi
tiêu (tính đối ngẫu trong tiêu dùng)
Phân bổ thu nhập sao cho đạt được mức lợi
ích cho trước với chi tiêu thấp nhất
Điều này có nghĩa là mục tiêu và hạn chế ngư
ợc lại với các phân tích trước