phân tích sai lầm khi giải toán

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

1

chuyên đề
phân tích những Sai lầm khi giải toán
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là điều cần thiết song điều quan trọng
hơn là phân tích đợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó. Việc thấy đợc những sai
lầm có ý nghĩa đặc biệt về mặt phơng pháp vì chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình
thức, đi sâu vào bản chất của vấn đề.
Những sai lầm hạn chế năng lực học toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích
những sai lầm, ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đợc các sai lầm, thấy đợc
nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đợc những sai lầm, nắm kiến
thức một cách vững chắc hơn.
Chuyên đề này chỉ phân tích những sai lầm có tính điển hình mà học sinh thờng mắc.
1.1. Những khó khăn và những sai lầm học sinh thờng mắc khi ứng dụng đạo hàm để
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
* Do không nắm vững kiến thức có nhiều học sinh khi dùng đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN của hàm số đã mắc sai lầm nh sau:
Ví dụ 1 Với bài toán:
'' Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y =
3
1
x
x
+
trên [-2 ; 0] ''
+ Một số học sinh đã giải nh sau: y' =
2
2
(2 3)

(1)
xx
x
+
+

Lập bảng biến thiên của y với x

[-2 ; 0]
x - 2 - 3/2 0
y' - 0 +
y 8 0

4
27

Từ bảng biến thiên ta có:
y = 8; =
[]
2;0
max

[]
2;0
min

27
4

+ Sai lầm: Học sinh đã quên không xét tập xác định của hàm số do vậy đã lập sai bảng

biến thiên. Đây là sai lầm thờng gặp khi học sinh lập bảng biến thiên của hàm số dới dạng
phân thức.

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

2
+ Lời giải đúng:
Bảng biến thiên của hàm số y =
3
1
x
x
+
Với x

[-2 ; 0] là:
x - 2 -
2
3
-1 0
y' - 0 + +
y 8 + 0

4
27
-

Vậy GTLN và GTNN của hàm số không tồn tại.
* Cũng có nhiều học sinh do không hiểu định nghĩa nên sau khi đã lập đúng đợc bảng
biến thiên nhng kết luận lại sai.

Ví dụ 2 Với bài toán:
''Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) =
5xx

''
+ Có học sinh giải nh sau:
Điều kiện

0
50
x
x





5x
f'(x) =
5
0
2( 5)
xx
xx

<

với
5x>
lim

x+
f(x) =
lim
x+
5
5xx+
= 0
Bảng biến thiên:

x 5 +
f'(x) -
f(x)
5
0

Do đó:
f(x) = f(5) =
[]
5;
max
+
5 ;
[]
5;
min
+

f(x) = 0
+ Sai lầm: Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn giữa hai khái niệm minf(x)
và limf(x) nên mặc dù bảng biến thiên lập đúng nhng kết luận vẫn sai.

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

3
+Lời giải đúng
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy 0 < f(x)

5 với
5x



GTLN của f(x) là
5 còn GTNN của f(x) không tồn tại.
* Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số do không nắm
vững khái niệm GTLN, GTNN nên rất nhiều học sinh nhầm lẫn giữa các khái niệm cực đại,
cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số.
Ví dụ 3 Với bài toán :
'' Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) =
32
4
32
xx
1
+
+
trên đoạn [-1;1]''
+ Có học sinh giải nh sau:
y' =
2
42

x
x+

y' = 0
0
1
2
x
x
=





=


Bảng biến thiên:

x - 1 -
1
2
0 1
y' + 0 - 0 +
y
7
12

1
2

Ta có:
f(x) =
[]
1;1
max

7
12
; f(x) =
[]
1;1
min

1
2

+ Sai lầm: Học sinh này đã nhầm lẫn giữa bài toán tìm GTLN, GTNN với bài toán tìm
cực đại và cực tiểu của hàm số.
ở đây
7
12
và
1
2
tơng ứng là giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y trên [-1;1] nhng
không phải là GTLN, GTNN của y trên [-1;1].
Học sinh đã quên một bớc quan trọng là không so sánh các cực trị của f(x) với các giá

trị f(-1) và f(1).
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

4
+ Lời giải đúng:
Xét hàm số y = f(x) =
32
4
32
xx
1
+
+
liên tục trên đoạn [-1;1]
f'(x) =
2
42
x
x
+
; f'(x) = 0
1
0(0)
2
11
()
22
xf
xf

= =





7
12
=
=



Bảng biến thiên:

1
2
x - 1 - 0 1
f'(x) + 0 - 0 +
f(x)
7
12

17
6


1
6

1
2

Vậy
f(x) =
[]
1;1
max

17
; f(x) =
6
[]
1;1
min

1
6

* Một sai lầm điển hình mà nhiều học sinh thờng mắc nữa là chuyển đổi không tơng
đơng đối với những bài toán cần phải đổi biến số để tìm GTLN, GTNN.
Ví dụ 4 Với bài toán :
'' Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =
66
44
1sin cos
1sin cos
x
x
x

x
++
++
''
+ Một số học sinh giải nh sau:
sin
4
+ cos
4
x = (sin
2
x + cos
2
x)
2
- 2sin
2
xcos
2
x = 1 -
1
2
sin
2
2x
sin
6
x + cos
6
x = (sin

2
x)
3
+ (cos
2
x)
3
= sin
4
x + cos
4
x - sin
2
xcos
2
x
= 1 -
3
4
sin
2
2x
Vậy y =
2
2
3
2sin2
4
1
2sin2

2
x
x


=
2
2
3sin 2 8
2sin 2 8
x
x



Đặt t = sin
2
2x ta có y = f(t) =
38
28
t
t


xác định với t 4
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

5
f'(t) =
()

2
8
28t


< 0 f(t) nghịch biến trên khoảng (- ; 4) và (4; +)
Bảng biến thiên:

x -

4 +
f'(x) - +
f(x)
3
2
+
-
3
2

Vậy không tồn tại GTLN, GTNN của f(t) không tồn tại GTLN, GTNN của y.
+ Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tơng đơng cho rằng GTNN,
GTNN của f(x) trùng với GTLN, GTNN của g(t) với t R nên sau khi đổi biến đã
không tìm miền xác định của f(t).
+ Lời giải đúng:
Biến đổi nh trên ta đợc y =
2
2
3sin 2 8
2sin 2 8

x
x



Đặt t = sin
2
2x thì t [0; 1]
Ta có: f(t) =
38
28
t
t


liên tục trên đoạn [0; 1]
f'(t) =
()
2
8
28t


< 0 với t [0; 1] f(t) nghịch biến trên [0; 1]
Ta lại có: f(0) = 1 và f(1) =
5
6

Bảng biến thiên:

t - 0 1 +
f'(t)
f(t) 1

5
6

Từ bảng biến thiên ta có:
() (0) 1
max
R
fx f
=
=
;
5
() (1)
6
min
R
fx f
=
=

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

6
* Ngoài những sai lầm điển hình trên khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phơng
pháp đạo hàm học sinh cũng hay mắc sai lầm do không nắm vững những nội dung kiến
thức liên quan nên thờng bỏ xót trờng hợp.

Ví dụ 5 Với bài toán:
'' Cho hàm số y =
với m > 0 .Tìm GTNN của y với x [0; m]''
42
2xmx+4
+Có học sinh đã giải nh sau:
y' =
()
2
4
x
xm
; y' = 0
0x
x
m
x
m
=


=


=


Bảng biến thiên:

x - -m 0 m +

y' - 0 + 0 - 0 +
y

Vậy
y= y(
[]
0;m
min
m ) = 4 - m
2
+ Sai lầm: Học sinh này là đã cho rằng với m > 0 thì m < m nên đã bỏ xót trờng
hợp khi 0 < m
1 thì m m
+ Lời giải đúng:
Sau khi lập đợc bảng biến thiên cần xét hai trờng hợp:
- Nếu m
m 0 < m 1 thì y = y(m) = m
[]
0;m
min
4
- 2m
3
+ 4
- Nếu m
m> m > 1 thì y = y(
[]
0;m
min
m ) = 4 - m

2
Vậy kết quả là:
[]
0;m
min
y =
43
2
m - 2m + 4 0 < m 1
4 - m 1m




>


Kết luận
Nh vậy chúng ta thấy rằng khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
của hàm số học sinh thờng mắc sai lầm do cha hiểu rõ định nghĩa về GTLN, GTNN
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

7
cha nắm chắc cách tìm GTLN, GTNN bằng công cụ đạo hàm; do nhầm lẫn khái niệm cực
đại, cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. Đặc biệt là với những bài toán khi tìm GTLN,
GTNN của hàm số mà phải tiến hành đổi biến học sinh thờng bỏ qua bớc quan trọng là
tìm miền xác định của hàm số mới sau khi đổi biến. Học sinh còn mắc sai lầm do không
nắm vững kiến thức toán học cơ bản liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN.
Ngoài những sai lầm đợc phân tích ở trên thì khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm
GTLN, GTNN học sinh còn gặp một số khó khăn và rất lúng túng khi giải những bài toán

về tìm GTLN, GTNN đợc cho dới dạng hình học hay tình huống thực tiễn.
Ví dụ nh bài toán: " Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình
tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất '', hay nh bài toán " Nhà máy cá
hộp sản xuất những hộp hình trụ tròn xoay kín hai đầu mà thể tích là V cm
3
. Muốn tốn ít
vật liệu nhất khi làm hộp thì các kích thớc của hộp phải nh thế nào?'' .
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm vào chứng
minh bất đẳng thức
* Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức học sinh thờng
gặp những khó khăn sau :
- Để giải đợc bài toán chứng minh BĐT bằng phơng pháp đạo hàm học sinh cần
phải nắm chắc các kiến thức về đạo hàm và những ứng dụng của nó (nh xét tính đơn điệu,
tìm cực trị của hàm số, xét chiều biến thiên của hàm số, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm
số,). Trong khi đó những kiến thức này là hoàn toàn mới đối với học sinh nên khi vận
dụng chúng học sinh còn rất lúng túng.
- Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng GTLN, GTNN của hàm số hay
sử dụng định lý Lagrange để chứng minh BĐT thì việc xác định đợc hàm số trong mỗi bài
toán là công việc khó khăn đối với nhiều học sinh.
Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 Cho n là số nguyên và n 3. Chứng minh rằng: n
n+1
> (n+1)
n
Giải:
Ta sẽ sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh BĐT trên.
Nhng ở BĐT này cha thấy xuất hiện hàm số f(x). Việc xác định hàm số f(x) là tơng
đối khó khăn với học sinh.
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

8
Để xác định đợc hàm số f(x) ở ví dụ này cần phải thực hiện một số bớc biến đổi:
Ta có: n
n+1
> (n+1)
n
(n+1) lnn > nln(n+1)
1
ln( 1) ln
nn
nn
+
>
+

Vậy xác định đợc hàm số f(x) =
ln
x
x
với x 3
Xét tính đơn điệu của hàm số này và suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì:
ln
ab a ab
abb


<<
(1)
Giải:

Với bài toán này ta sẽ sử dụng định lý Lagrange để chứng minh đẳng thức (1) thì điều
quan trọng cũng là phải nhận ra đợc hàm số f(x).
ở đây học sinh cũng sẽ gặp khó khăn vì trớc hết cần phải hiểu rõ định lý Lagrange và
biết đối chiếu BĐT cần phải chứng minh với điều kiện của định lý Lagrange để nhận ra
hàm số f(x).
Để dễ nhận ra đợc hàm số f(x) học sinh có thể biến đổi nh sau:
(1)
11
()lnln ()ab a b ab
ab
< <

Từ đó xác định đợc hàm số f(x) = ln(x) với x > 0
Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange để rút ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3 Cho a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2.
Chứng minh rằng a
4
+ b
4
2.
Trong những bài toán chứng minh BĐT có từ hai biến trở lên học sinh rất khó khăn khi
xác định hàm số. Đây là bài toán chứng minh BĐT có tới hai biến, hai biến này ràng buộc
với nhau theo một điều kiện đã cho nên việc xác định hàm số để xét chiều biến thiên của
nó là tơng đối khó với học sinh.
Với bài toán này có thể đặt: x = a b = 2 - x.
Xác định đợc hàm số f(x) = x
4
+ (2 - x)
4
trên R

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) mà rút ra đợc điều phải chứng minh.
* Ngoài những khó khăn trên, khi sử dụng phơng pháp đạo hàm vào chứng minh
BĐT học sinh còn hay mắc một số sai lầm do không nắm vững những kiến thức về đạo hàm
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

9
liên quan đến việc xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số, hay dùng đạo hàm để tìm
GTLN, GTNN của hàm sốVà thậm chí mắc sai lầm cả do không nắm vững một số tính
chất cơ bản của BĐT. Sau đây là một số ví dụ thể hiện sai lầm.
Ví dụ 4 Chứng minh rằng với x > 0 thì sinx < x
+ Một số học sinh giải nh sau:
Xét f(x) = x - sinx với x > 0
Ta có: f'(x) = 1 - cosx 0 f(x) đồng biến với x > 0.
Từ x > 0 f(x) > f(0) x - sinx > 0 - sin0 = 0
Vậy sinx < x với x > 0.
+ Sai lầm: f(x) đồng biến trên miền ( 0; + ) không chứa 0, nên không thể so sánh f(x)
và f(0) khi x > 0.
+ Lời giải đúng là:
Xét f(t) = t - sint trên R
f'(t) = 1- cost 0 với t R f(t) đồng biến trên R.
Mà x > 0 f(x) > f(0) x - sinx > 0 - sin0 = 0 x > sinx
+Chú ý: Vậy qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh: Nếu f(x) đồng biến với x [a;b]
và a x
1
< x
2
b thì f(x
2
) > f(x
1

)
Ví dụ 5 Chứng minh rằng nếu x > -1 thì xe
x
>
1
e


+ Có học sinh giải nh sau:
Ta có: f
1
(x) = x và f
2
(x) = e
x
là các hàm số đồng biến trên R f(x) = xe
x
là tích hai
hàm số đồng biến nên cũng đồng biến trên R.
Từ x > -1 f(x) > f(-1) xe
x
>
1
e


+Sai lầm: Học sinh đã mắc sai lầm vì cho rằng tích của hai hàm đồng biến là hàm
đồng biến.

+ Lời giải đúng:

Xét hàm số f(x) = xe
x
với x > -1. Ta có f'(x) = e
x
(x+1)
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

10
Bảng biến thiên:

x - - 1 +
f'(x ) - 0 + f(x)
+ +
-
1
e

Từ bảng biến thiên ta có: x > -1 thì f(x) > f(-1) xe
x
>
1
e


+ Chú ý: Qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh rằng: nếu các hàm đồng biến chỉ
nhận các giá trị dơng thì mới có thể kết luận đợc rằng tích của hai hàm số đồng biến là
một hàm số đồng biến.
Ví dụ 6 Chứng minh rằng nếu x y > 1 thì x +
yy x+

+ Một số học sinh giải nh sau:
Với x y > 1 ta có x y và
x
y

Trừ từng vế ta có:
x
xy y
x +
yy x+

+ Sai lầm: Học sinh đã mắc sai lầm khi trừ từng vế của hai BĐT cùng chiều.
+ Lời giải đúng:
Xét f(t) = t -
t với t > 1
f'(t) = 1 -
1
2 t
=
21
0
2
t
t

>
.Do đó f(t) đồng biến với t > 1
Mà x y > 1 nên f(x) f(y)
x
xy y

x +
yy x+

+ Chú ý: Qua sai lầm này cần chú ý cho học sinh:
ab
acbd
cd








* Ngoài những sai lầm và khó khăn trên thì nguyên nhân dẫn đến việc học sinh không
giải đợc bài toán tìm GTLN, GTNN và chứng minh BĐT bằng phơng pháp đạo hàm chỉ vì
mắc sai lầm ở bớc tính đạo hàm, giải phơng trình, thực hiện các phép biến đổi đồng nhất


GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

11
1.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai
Ví dụ1:
Tìm m để phơng trình:
(m-1)m
2
+ (2m-1)x + m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt


>0


(2m-1)
2
-4(m-1) (m+5)>0


- 20m +21>0


m<
20
21

Ví dụ 2:
Tìm m để biểu thức
33)1(2)1(
2
++ mxmxm
có nghĩa với mọi x
Lời giải
Biểu thức có nghĩa với mọi x

f(x) = (m+1)x
2
-2(m-1)x+3m-3

x 0


1
2
1
1
0)2)(1(2
1
0'
0











>




+
>

>
m
m
m
m
mm
ma
Ví dụ 3:
Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ phơng trình




+=+
=+
6
222
myx
myx
Tìm GTLN và GTNN của F = xy-6(x + y)
Lời giải
Ta có
62)(6
22222
+=++=+ mxyyxmyx

3
2
= mxy
Do đó: F =
1212)3(36
22
= mmm
Vậy MinF = -12
m=3 còn F không có GTLN vì F là hàm bậc hai với hệ số a =
1>0

Ví dụ 4:
Tìm m sao cho phơng trình:

chỉ có một nghiệm thoả mãn x > 3 0)12(
22
=++ mxmx
Lời giải
Cách 1: Phơng trình có nghiệm duy nhất
0
=


. Khi đó phơng trình có nghiệm
2
21
S
xx ==
. Do đó phơng trình chỉ có một nghiệm x > 3.

>
=

3
2
0
S






>
+
=+

3
2
12
04)12(
22
m
mm

>
=+

2
5
014
m
m








>
=

2
5
4
1
m
m

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Xét hai trờng hợp
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

12
TH1: 3<x
1
= x
2






>
=

3
2
0
S





>
+
=+

3
2
12
04)12(
22
m
mm





>
=+

2
5
014
m
m







>
=

2
5
4
1
m
m


Suy ra không có giá trị nào của m thoả mãn trờng hợp này.

TH2: x
1
< x
3
2






>


3
2
0)3(
S
af

>
+

2
5
066
2
m
mm
33
2
5
+< m

Vậy với
33
2
5
+< m
thì phơng trình chỉ có một nghiệm thoả mãn x >3.
Cách nào đúng, cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Ví dụ 5:
Tìm m sao cho phơng trình
mx
2

- 2(m+1) x + m + 1 = 0 không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1)
Lời giải
Phơng trình không có nghiệm ở ngoài khoảng (-1; 1)
11
21
<
<


xx










<<
>
>


1
2
1
0)1(
0)1(

0
S
af
af









<
+
<
>
>+
++

1
1
1
0)1(
0)34(
0)1()1(
2
m
m
m

mm
mmm











<
+
<
<




<
>


1
1
1
0
4

3
0
1
m
m
m
m
m
m
4
3
1 < m

Vậy - 1
4
3
< m
thì phơng trình không có nghiệm ở ngoài (-1;1)
Vậy bài toán giải đúng hai sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Ví dụ 6:
Chứng minh rằng phơng trình:
(x - 95) (x-96) + (x - 96) (x - 97) + (x - 97) (x- 95) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 95
Lời giải
Gọi vế trái của phơng trình là f(x) thì:
f(x) = 3x
2
2(95 + 96 + 97) x + 95.96 + 96.97 + 97.95
Do đó:af(95) = 3(95-96)(95-97)>0 và
2
s

-95 =
3
979695
+
+
- 95 =1> 0.
Suy ra 95< x
1
< x
2
(ĐPCM)
1.4. Sai lầm khi giải phơng trình và bất phơng trình .
Ví dụ1:
Giải phơng trình 3x
3
- 6x
2
- 9x = 9(x
2
- 2x- 3) (*)
Lời giải
PT(*)
)32(9)32(3
22
= xxxxx
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

13

393 == xx
Ví dụ2:
Giải phơng trình
23
3
+ xx
+ 1+x =
2

Lời giải
Điều kiện để căn thức có nghĩa là:



+
+
01
023
3
x
xx





+
1
0)2()1(
2

x
xx





+
1
02
x
x


Vậy không tồn tại giá trị nào của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phơng trình vô
nghiệm.
Ví dụ3:
Giải phơng trình
1
2
x
- 1+x =x+1

Lời giải
Điều kiện căn thức có nghĩa:



+

01
01
2
x
x




+
+
01
0)1)(1(
x
xx



+


01
01
x
x
1 x

Khi đó phơng trình có dạng
)1)(1( + xx
- 1+x = x+1. Vì x nên 1 1+x >0,chia hai vế

của phơng trình cho
1+x ta có: 1x -1< 1+x .
Vì x
nên
1
1x 1+ x .Suy ra 1x -1< 1+x .Vậy phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ4:
Giải và biện luận phơng trình a-5+
2
52

+
x
a
=0(*) theo tham sốa
Lời giải
Điều kiện x
Khi đó (*)
.2
052)2)(5(
=
+
+


axa


52)2)(5(
+

=

axa


(5-a)x = 15
Nếu a
thì x=
5
a5
15

Nếu a=5 thì phơng trình vô nghiệm.
Vậy bài toán giải đúng hay sai?Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Ví dụ5:
Giải phơng trình : 2x+
3x =16(*)
Lời giải
Điều kiện x
. Ta có:
3
(*)
3x =16 - 2x x-3 = 256 - 64x + 4x
2

4x
2
- 65x + 259 =0

=
=

4
37
7
x
x
( thoả mãn
x
3).Vậy phơng trình có nghiệm x=7 và x=
4
37

Ví dụ6:
Giải phơng trình:
3
1x +
3
12 x =1
Lời giải
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

14
PT
3
1( x
+

3
12 x )
3
=1 3x-2+3.
3
1x .
3
12 x (
3
1x +
3
12 x )=1

3x - 2 +3
)12)(1(3 xx
=1(vì
3
1x +
3
12 x =1)

3
)12)(1( xx
=-(x-1) 0)1()1()12)(1(
23
== xxxxx

=
=

1
0
x
x
Ví dụ7:
Giải bất phơng trình
5
1
32
1
2
+
<

x
xx
(*)
Lời giải
BPT(*)
325
2
<+ xxx


32)5(
22

<+ xxx

3
7
02812 <<+ xx

Ví dụ8:
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
1+x + x4 +
)4)(1( xx +
=m(*)


Lời giải
Đặt t=
1+x + x4 (t 0), ta có
)4)(1( xx +
=
2
5
2
t

Khi đó phơng trình (*) viết thành t+
2
5
2
t
=m (**)
0252

2
=+ mtt

Đặt f(x)=t
2
+2t-5-2m.PT(*)có nghiệm

PT(**)có nghiệm
21
0 tt
















0
2
0)0(
0

'
s
af







+
01
025
062
m
m
Vô nghiệm
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình vô nghiệm.
Vậy bài toán giải đúng hay sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó?
Vậy phơng trình có nghiệm x=2.
Ví dụ9:
Giải phơng trình log
2
x
2
=2log
2
(3x+4) (*)
Lời giải
Điều kiện:

>





>+
>
3
4
0
043
0
2
x
x
x
x

Khi đó PT (*)

243
)43(loglog)43(log2log2
2222
=+=

+
=

+
=
x
x
x
xxxx

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

15
Giá trị này không thoả mãn điều kiện đã đặt nên phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ10:
Tìm m để phơng trình lg(x
2
+2mx)- lg(x-1) = 0(*) có nghiệm duy nhất.
Lời giải
Cách1:
PT (*)
(**) 01)12()1lg()2lg(
22
=++=+ xmxxmxx
Phơng trình có nghiệm duy nhất

PT(**) có nghiệm duy nhất

2
3

m hoặc ==
=
==
2
1
0344
04)12(0
2
2
m
mm
m

Cách 2:
PT(*)
(**)



=++
>
=+
01)12(
1
)1lg()2lg(
2
2
xmx
x
xmxx

Phơng trình có nghiệm duy nhất

PT(**)có nghiệm duy nhất x>1










<






=
=

>







=
=






>
=

2
1
2
3
2
1
1
2
21

2
3
2
1
1
2
0
m
m
m
m
m
m
s
Vô nghiệm
Vậy cách nào đúng?Cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Ví dụ11:
Giải bất phơng trình x.e
x
>
2
1

(1)
Lời giải
Ta có f
1
(x)=x và f
2
(x) = e

x
là các hàm đồng biến trên Rf(x) = x.e
x
là tích của hai hàm
đồng biến nên cũng đồng biến trên R
Ta có f(-1) = -1(e
-1
) =
e
1
. Do đó(1)

f(x)> f(-1)


x>-1
1.5.Sai lầm khi tính tích phân
Ví dụ12.
CMR: F(x) = - (1+x)e
-x
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe
-x
?
Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = (x-1)e
-x
?
Bạn A làm nh sau:
F

(x) = -e

-x
+(1+x)e
-x
= x.e
-x
= f(x) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ta có:



== dxedxexdxexdxxg
xxx
.)1()(
=
[
]
cex
x
++

)1( -


ce
x
+


= -(1+x)e
-x

+e
-x
=-xe
-x
.
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

16
Phân tích:Sai lầm của lời giải trên tơng tự nh sai lầm khi giải hệ phơng trình lợng giác
ở lớp 11:
zk
y
kx
kyx
kyx
yx
yx








=
+=

+=
=+




=
=+
4
4
2
0)cos(
0)sin(







ở hệ trên, chỉ vì viết chung ký hiệu k với k

z cho hai phơng trình nên khi trừ từng vế hai
phơng trình đã làm triệt tiêu số hạng k

và dẫn tới mất nghiệm của hệ.

Đối với việc lấy nguyên hàm cũng vậy, các em hay viết hằng số C cho mọi phép tính
nguyên hàm nên dẫn tới sai lầm. Ta cần sửa lại đoạn cuối ở lời giải trên.
Lời giải đúng:




== dxedxexdxexdxxg
xxx
.)1()(


=
[
]
1
)1(1 Cex
x
++

-
[
]
2
Ce
x
+


=-1(1+x)e

-x
+C
1
- C
2
= -xe
-x
+C (với C = C
1
- C
2
)
Ví dụ13:
Tính tích phân I=


2
0
1x
dx

Bạn B làm nh sau:
Theo công thức Newton- Leibnitz:
Ta có I =
011
0
2
1
1
)1(

1
2
0
2
0
===


=


LnLnxLn
x
xd
x
dx

Vậy bài toán sai ở đâu? nguyên nhân và cách khắc phục?
Phân tích:
Hàm số f(x) =
1
1
x
gián đoạn tại x=1
[
]
2;0

nên không sử dụng đợc công thứcNewton-
Leibnitz để tính tích phân nh trên đợc. Vì trên đoạn

[
]
2;0
hàm số f(x)=
1
1
x
không liên tục
không tồn tại tích phân I =


2
0
1x
dx

Ví dụ14:
Tính tích phân I =



+
0
2
2
)1( dxx
Bạn C làm nh sau:
Đặt u = (x+1)
2
u

du
x
du
dxdxxdu
2
)1(2
)1(2 =
+
=+=

Với x=-2 thì u = -1.
Với x= 0 thì u=1. Do đó I =

==+

1
1
0
2
1
1
2
2
1
2
)1( u
u
udu
dxx
du=0

Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Phân tích : Nhận thấy rằng u =(x+1)
2
không phải là hàm số đơn điệu trên đoạn
[
]
0;2

nên
không thể đổi biến, đổi cận nh lời giải trên đợc .
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

17
Hơn nữa lời giải trên còn sai lầm khi viết dx =
u
du
x
du
2
)1(2
=
+
.
Nh vậy đã từ u = (x+1)
2
suy ra x+1= u ,điều này chỉ viết đợc khi x 1
Lời giải đúng:
Cách 1: Ta có I=
3
2

3
1
3
1
2
0
3
)1(
)1()1()1(
0
2
0
2
3
22
=+=

+
=++==+


x
xdxIdxx

Cách 2:Ta có I=

+++=+
0
2
1
2
0
1
222
)1()1()1( dxxdxxdxx
Xét I
1
= đặt u= (x+1)



+
1
2
2
,)1( dxx
2
.)1(2 dxxdu +=
Do x nên x+1
[
1;2
]
0


Vậy x+1 = -

u
du
dxu
2
=
. Khi x=-2 thì u = -1; Khi x=-1 thì u= 0.
Do đó I
1
=
3
1
0
1
32
2
)1(
1
0
1
2
0
1
2
====+



uu
du
u

u
udu
dxx

Xét I
2
= Tơng tự nh trên ta có I


+
1
1
2
.)1( dxx
2
=
3
1

Vậy I=I
1
+I
2
=
3
2

Ví dụ15:
Xét tích phân I =

0
2
2
2coscos

xdxx

Bạn D làm nh sau:
Hiển nhiên, ta có:
xx 2coscos
2
0







0;
2

x
do đó I
0
Mặt khác I=

0
2
2
2coscos

xx
dx=



0
2
22
)1cos2(cos

xx
dx
=



0
2
2
cos1

x
dx = 1
2

0
cossin
0
2
=

=




xxdx
Vậy -1
(!)
0
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Phân tích: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức
x
2
cos1
=sinx.
AA =
2
Nhớ rằng:

Lời giải đúng:
Ta có :I=

0
2
2
2coscos

xx
dx=



0
2
22
)1cos2(cos

xx
dx
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

18
=



0
2
2
cos1

x

dx= 1
2
0
cossinsin
0
2
0
2
=

==




xxdxdxx
Chú ý: các bài toán tơng tự:
2.



2
2
2sin1


x
dx 3.

+

0
2cos1 x
dx

+

2
0
sin1 xdx
1.
Ví dụ16 :
Xét tích phân I =


gxdxcot
Khi tính tích phân I =
. Một học sinh làm nh sau:

gxdxcot
Ta có : I =
dx
x
x
gxdx

=
2
sin
cos

cot
, áp dụng phơng pháp tìm nguyên hàm từng phần bằng
cách đặt





=
=






=
=
xv
dx
x
x
du
xdxdv
x
u
sin
sin
cos
cos

sin
1
2
ta đợc:
I=
)(!101.
sin
cos
1
sin
cos.sin
sin
sin
1
2
=+=+=+

IHayIdx
x
x
dx
x
xx
x
x

Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
Phân tích lời giải trên là sai. Vì các nguyên hàm của một hàm số khác nhau một hằng số,
nên khi áp dụng phơng pháp tìm nguyên hàm từng phần mà không chú ý đến hằn số thì
số đó sẽ dẫn tới điều vô lý 0=1(!)

Chú ý: Tơng tự sai lầm ở trên các em cũng dẫn tới điều vô lý Mọi số tự nhiên đều bằng
nhau
Giả sử: F(x) là một nguyên hàm của f(x).Ta có I=

+= CxFdxxf )()(

Trong đó C là hằng số tuỳ ý, lần lợt cho C bằng các số tự nhiên tuỳ ý m, n ta đợc:
I =F(x)+ m =F(x)+ n
m = n(!)
Vậy mọi số tự nhiên đều bằng sao?
Ví dụ17:
Tính tích phân I =

+

0
sin1 x
dx

Ta làm nh sau: Đặt t = tg
2
x
thì dx=
2
1
2
t
dt
+

Do đó I =
C
x
tg
C
t
tdt
t
dt
x
dx
+
+

=+
+

=++=
+
=
+


2
1
2
1
1
.2)1()1(2
)1(

2
sin1
2
2

Theo công thức Newton- Leibnitz, ta có: I =
01
2
2
1
2
0
2
1
2
sin1
0
tg
tg
x
tg
x
dx
+
+
+

=
+

=
+





Vì tg
2

không xác định nên tích phân cần tính không tồn tại.
Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục?
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3

19
Phân tích: Đây là sai lầm của nhiều em học sinh hay dùng công thức lợng giác để biểu
diễn sinx, cosx, tgx qua tg
2
x

Việc tg
2

không xác định ở trên chỉ suy ra đợc tích phân đã cho không tính đợc phơng
pháp đó.
Lời giải đúng:
I =


=

+
=
+


0
2
0
2
0
)
42
(cos
2
1
)
2
cos
2
(sin
sin1
x
dx
xx
dx
x
dx
= tg( 2
)4
(

4
0
)
42
==



tgtg
x

Ví dụ18:
Xét hypebol xác định bởi phơng trình:y
2
- x
2
+ 1 = 0 (H)
TH1: Nếu cắt (H) bởi đờng thẳng x = 2 và gọi giao điểm của chúng là M,N
Thể tích V
1
của khối tròn xoay do tam giác cong MAN quay xung quanh trục ox tạo thành
là: V
1
=

3
4
1
2
)

3
()1(
2
1
2
1
3
22
===

x
x
dxxdxy

TH2:Bây giờ cắt (H) bởi hai đờng thẳng x=-2, x=2 thì thể tích V
2
của khối tròn xoay do
tam giác cong MAN và M

A

N

quay xung quanh ox là :
V
2
=

3
4

2
2
)
3
()1(
2
2
2
2
3
22
=

==


x
x
dxxdxy

Vậy Voi cũng bằng Kiến ?
Phân tích: Từ PT y
2
-x
2
+1= 0 suy ra hàm số y không xác định với
1x <
. Nhờ hình vẽ ta có
V=

==+
1
2
2
1
22
3
8
dxydxy







Hiệp hoà , ngày 25 tháng 4 năm 2008
Trịnh Quang Hoà