Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p; q; r

Bt ng thc Schur v phng phỏp i
bin p,q,r
Vừ Thnh Vn
Lp 11 Toỏn-Khi chuyờn THPT-HKH Hu
Nhữ cĂc bÔn  biát, bĐt ng thực Schur l mởt bĐt ng thực mÔnh v cõ nhiãu ựng dửng, tuy nhiản nõ văn
cỏn khĂ xa lÔ vợi nhiãu bÔn hồc sinh THCS cụng nhữ THPT. Qua b i viát n y, tổi muốn cụng cĐp thảm cho
cĂc bÔn mởt kắ thuêt sỷ dửng tốt BDT Schur, õ l kát hủp vợi phữỡng phĂp ời bián p; q; r.
Trữợc hát, tổi xin nh-c lÔi vã bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r.
1 Bt ng thc Schur
nh lỵ 1 (BĐt ng thực Schur) Vợi mồi số thỹc khổng Ơm a; b; c; k; ta luổn cõ
a
k
(a b)(a c) + b
k
(b c)(b a) + c
k
(c a)(c b) 0:
Hai trữớng hủp quen thuởc ữủc sỷ dửng nhiãu l k = 1 v k = 2
a(a b)(a c) + b(b c)(b a) + c(c a)(c b) 0 (i)
a
2
(a b)(a c) + b
2
(b c)(b a) + c
2
(c a)(c b) 0 (ii)
2 Phng phỏp i bin p; q; r
ối vợi mởt số b i bĐt ng thực thuƯn nhĐt ối xựng cõ cĂc bián khổng Ơm thẳ ta cõ th ời bián lÔi nhữ sau
t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V ta thu ữủc mởt số ng thực sau
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq 3r
(a + b)(b + c)(c + a) = pq r

ab(a
2
+ b
2
) + bc
(
b
2
+ c
2
) + ca(c
2
+ a
2
) = p
2
q 2q
2
pr
(a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) = p
2
+ q
a
2
+ b
2
+ c
2
= p
2

2q
a
3
+ b
3
+ c
3
= p
3
3pq + 3r
a
4
+ b
4
+ c
4
= p
4
4p
2
q + 2q
2
+ 4pr
a
2
b
2
+ b
2
c

2
+ c
2
a
2
= q
2
2pr
a
3
b
3
+ b
3
c
3
+ c
3
a
3
= q
3
3pqr + 3r
2
a
4
b
4
+ b
4

c
4
+ c
4
a
4
= q
4
4pq
2
r + 2p
2
r
2
+ 4qr
2
t L = p
2
q
2
+ 18pqr 27r
2
4q
3
4p
3
r; khi õ
a
2
b + b

2
c + c
2
a =
pq 3r
p
L
2
(a b)(b c)(c a) =
p
L
1
3 CC V D MINH HA
Cõ th thĐy ngay lủi ẵch cừa phữỡng phĂp n y l mối r ng buởc giỳa cĂc bián p; q; r m cĂc bián a; b; c ban
Ưu khổng cõ nhữ
p
2
3q
p
3
27r
q
2
3pr
pq 9r
2p
3
+ 9r 7pq
p
2

q + 3pr 4q
2
p
4
+ 4q
2
+ 6pr 5p
2
q
Nhỳng kát quÊ trản Ơy ch-c ch-n l chữa ừ, cĂc bÔn cõ th phĂt trin thảm nhiãu ng thực, bĐt ng thực
liản hằ giỳa 3 bián p; q; r . V iãu quan trồng m tổi muốn nõi án l tứ bĐt ng thực (i) v (ii), ta cõ
r
p(4q p
2
)
9
(tứ (i))
r
(4q p
2
)(p
2
q)
6p
(tứ (ii))
Tuy nhiản trong mởt số trữớng hủp thẳ cõ th cĂc Ôi lữủng 4q p
2
cõ th nhên giĂ tr Ơm lăn giĂ tr dữỡng
nản ta thữớng sỷ dửng
r max

0;
p(4q p
2
)
4

r max

0;
(4q p
2
)(p
2
q)
6p

Cõ l án Ơy cĂc bÔn  hiu ữủc phƯn n o vã bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r. Sau Ơy
l mởt số vẵ dử minh hồa, những trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ rỗi xem Ăp Ăn sau
3 Cỏc vớ d minh ha
3.1 Bt ng thc Schur
Vẵ dử 1 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
s
(a + b)
3
8ab(4a + 4b + c)
+
s
(b + c)
3

8bc(4b + 4c + a)
+
s
(c + a)
3
8ca(4c + 4a + b)
1:
(Vó Th nh Vôn)
LI GII. t
P =
s
(a + b)
3
8ab(4a + 4b + c)
+
s
(b + c)
3
8bc(4b + 4c + a)
+
s
(c + a)
3
8ca(4c + 4a + b)
Q = 8ab(4a + 4b + c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(4c + 4a + b)
= 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc
p dửng bĐt ng thực Holder, ta cõ
P
2
Q 8(a + b + c)

3
c
Vừ Thnh Vn
2
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ta c¦n chùng minh
8(a + b + c)
3
 Q
, 8(a + b + c)
3
 32(a + b + c)(ab + bc + ca)  72abc
, (a + b + c)
3
 4(a + b + c)(ab + bc + ca)  9abc (óng theo b§t ¯ng thùc Schur).
Vªy ta câ pcm. 
V½ dö 2 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
(a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2)  9(ab + bc + ca):
(APMO 2004)
LÍI GIƒI. Khai triºn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n chùng minh
a
2
b
2

c
2
+ 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 4(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 8  9(ab + bc + ca)
Ta câ
a
2
+ b
2
+ c
2
 ab + bc + ca
(a

2
b
2
+ 1) + (b
2
c
2
+ 1) + (c
2
a
2
+ 1)  2(ab + bc + ca)
a
2
b
2
c
2
+ 1 + 1  3
3
p
a
2
b
2
c
2

9abc
a + b + c

 4(ab + bc + ca) (a + b + c)
2
(theo b§t ¯ng thùc Schur)
•p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ
(a
2
b
2
c
2
+ 2) + 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 3) + 4(a
2
+ b
2
+ c
2
)
 2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3(a

2
+ b
2
+ c
2
)
 9(ab + bc + ca):
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1: 
V½ dö 3 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng
2(a
2
+ b
2
+ c
2
) + abc + 8  5(a + b + c):
(Tr¦n Nam Dông)
LÍI GIƒI. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
6V T = 12(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 3(2abc + 1) + 45  5 2  3(a + b + c)
 12(a
2
+ b
2
+ c

2
) + 9
3
p
a
2
b
2
c
2
+ 45  5

(a + b + c)
2
+ 9

= 7(a
2
+ b
2
+ c
2
) +
9abc
3
p
abc
 10(ab + bc + ca)
 7(a
2

+ b
2
+ c
2
) +
27abc
a + b + c
 10(ab + bc + ca)
M°t kh¡c, sû döng b§t ¯ng thùc Schur,
9
a + b + c
 4(ab + bc + ca) (a + b + c)
2
= 2(ab + bc + ca) (a
2
+ b
2
+ c
2
)
c
Võ Thành Văn
3
3.1 Bt ng thc Schur 3 CC V D MINH HA
Do õ
7(a
2
+ b
2
+ c

2
) +
27
a + b + c
10(ab + bc + ca)
7(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 6(ab + bc + ca) 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) 10(ab + bc + ca)
= 4(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) 0:
BĐt ng thực ữủc chựng minh. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1:
Vẵ dử 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
b
3

+ c
3
+
b
a
3
+ c
3
+
c
a
3
+ b
3

18
5(a
2
+ b
2
+ c
2
) ab bc ca
:
(Michael Rozenberg)
LI GII. BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
X
cy c
a(a + b + c)
b

3
+ c
3

18(a + b + c)
5(a
2
+ b
2
+ c
2
) ab bc ca
,
X
cy c
a
2
b
3
+ c
3
+
X
cy c
a
b
2
+ c
2
bc

18(a + b + c)
5(a
2
+ b
2
+ c
2
) ab bc ca
p dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ
X
cy c
a
2
b
3
+ c
3

(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
P
cy c
a

2
(b
3
+ c
3
)
X
cy c
a
b
2
+ c
2
bc

(a + b + c)
2
P
cy c
a(b
2
+ c
2
bc)
Ta cƯn chựng minh
(a
2
+ b
2
+ c

2
)
2
P
cy c
a
2
(b
3
+ c
3
)
+
(a + b + c)
2
P
cy c
a(b
2
+ c
2
bc)

18(a + b + c)
5(a
2
+ b
2
+ c
2

) ab bc ca
GiÊ sỷ a + b + c = 1 v t ab + bc + ca = q; abc = r ) r max
n
0;
(4q 1) (1 q)
6
o
. Ta cƯn chựng minh
(1 2q)
2
q
2
(q + 2)r
+
1
q 6r

18
5 11q
BĐt ng thực cuối dạ d ng chựng minh bơng cĂch xt 2 trữớng hủp 1 4q v 4q 1.
ng thực xÊy ra khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
Vẵ dử 5 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a
4
+ b
4
+ c
4
= 3. Chựng minh rơng
1
4 ab

+
1
4 bc
+
1
4 ca
1:
(Moldova TST 2005)
c
Vừ Thnh Vn
4
3.1 Bt ng thc Schur 3 CC V D MINH HA
LI GII. Quy ỗng mău số rỗi khai trin, ta cƯn chựng minh
49 8(ab + bc + ca) + (a + b + c)abc 64 16(ab + bc + ca) + 4(a + b + c)abc a
2
b
2
c
2
, 16 + 3(a + b + c)abc a
2
b
2
c
2
+ 8(ab + bc + ca)
p dửng bĐt ng thực Schur v giÊ thiát a
4
+ b
4

+ c
4
= 3, ta cõ
(a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc)(a + b + c) [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] (a + b + c)
, 3 + 3abc(a + b + c) (ab + bc)
2
+ (bc + ca)
2
+ (ca + ab)
2
p dửng bĐt ng thực AM-GM, ta cõ
(ab + bc)
2
+ (bc + ca)
2
+ (ca + ab)
2
+ 12 8(ab + bc + ca)
) 15 + 3abc(a + b + c) 8(ab + bc + ca)
Mt khĂc ta lÔi cõ
1 a
2
b
2

c
2
:
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1:
Vẵ dử 6 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab + bc + ca = 3: Chựng minh rơng
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 7abc 10:
(Vasile Cirtoaje)
p dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
r max

0;
p(4q p
2
)
9

= max

0;
p(12 p
2
)
9

Ta cƯn chựng minh
p
3
9p + 10r 10
Náu p 2
p
3 thẳ ta cõ
p
3
9p + 10r 10 p
3
9p 10 12p 9p 10 = 3p 10 > 0
Náu p 2
p
3 < 4 thẳ
p
3
9p + 10r 10 p
3
9p +
10
9
p(12 p
2
) 10 =
1
9
(p 3)[(16 p
2
) + 3(4 p) + 2] 0:

Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1.
Vẵ dử 7 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chựng minh rơng
3 +
12
abc
5

1
a
+
1
b
+
1
c

:
(Vó Th nh Vôn)
c
Vừ Thnh Vn
5
3.1 Bt ng thc Schur 3 CC V D MINH HA
LI GII. ời bián theo p; q; r, bƠt ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau
3r + 12 5q
Mt khĂc,theo bĐt ng thực Schur, ta cõ
3r
3p(4q p
2
)
9

= 4q 9
Ta cƯn chựng minh
4q 9 + 12 5q
, q 3 (úng).
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1:
Vẵ dử 8 Cho a; b; c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chựng minh rơng
1
2 a
+
1
2 b
+
1
2 c
3:
(PhÔm Kim Hũng)
Quy ỗng, rút gồn v ời bián theo p; q; r, bĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
8p + 3r 12 + 5q
p dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
3r
p(4q p
2
)
3

=
p(2q 3)
3
Tứ giÊ thiát
p
2
2q = 3
) q =
p
2
3
2
Thay 2 iãu trản v o bĐt ng thực cƯn chựng minh, ta cõ
8p +
p(p
2
6)
3
12 +
5(p
2
3)
2
, (2p 3)(p 3)
2
0
BĐt ng thực cuối úng nản ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1:
Vẵ dử 9 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chựng minh rơng
1
9 ab

+
1
9 bc
+
1
9 ca

3
8
:
(Crux mathematicorum)
LI GII. B i n y  ữủc anh Hũng sỷ dửng cho phƯn bĐt ng thực Chebyshev trong cuốn "SĂng tÔo bĐt
ng thực". BƠy giớ cĂc bÔn s ữủc thĐy mởt lới giÊi khĂc vợi bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián
p; q; r rĐt tỹ nhiản.
Bián ời bĐt ng thực cƯn chựng minh v chuyn vã dÔng p; q; r, ta cõ
8(243 18p + 3r) 3(729 81q + 27r r
2
)
c
Vừ Thnh Vn
6
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
, 243 99q + 57r 3r
2
0
Theo bĐt ng thực AM-GM thẳ
3 = 3

a + b + c
3

6
3(abc)
2
= r
2
Theo bĐt ng thực Schur, ta cõ
r
p(4q p
2
)
3
=
4q 9
3
) 57r 19(4q 9)
Nản ta cƯn chựng minh
72 23q 3r
2
0
, 3(1 r
2
) + 23(3 q) 0 (úng).
Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh. ng thực xÊy ra khi v chi khi a = b = c = 1:
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r
Vẵ dử 10 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chựng minh rơng
a
2
b
4 bc

+
b
2
c
4 ca
+
c
2
a
4 ab
1:
(PhÔm Kim Hũng)
LI GII. Quy ỗng mău số rỗi khai trin, ta cƯn chựng minh
4
X
cy c
a
2
b
X
cy c
a
2
b
2
c
4 bc
Sỷ dửng bĐt ng thực quen thuởc 4
P
cy c

a
2
b abc, ta cƯn chựng minh
abc
X
cy c
a
2
b
2
c
4 bc
, 1
X
cy c
ab
4 bc
, 64 32
X
cy c
ab + 8
X
cy c
a
2
bc + 4
X
cy c
a
2

b
2
abc

X
cy c
a
2
b + abc
!
Tiáp tửc sỷ dửng bĐt ng thực trản,ta cƯn chựng minh
64 32
X
cy c
ab + 8
X
cy c
a
2
bc + 4
X
cy c
a
2
b
2
4abc
, 16 8q + q
2
r 0

vợi q = ab + bc + ca; r = abc.
p dửng bĐt ng thực AM-GM, ta cõ q
2
9r nản cƯn chựng minh
16 8q + q
2

q
2
9
0
, (q 3)(q 6) 0:
BĐt ng thực cuối hin nhiản úng nản ta cõ pcm.
ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1 hoc a = 2; b = 1; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
c
Vừ Thnh Vn
7
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Vẵ dử 11 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
1
a
+
1
b
+
1
c

3a
a

2
+ 2bc
+
3b
b
2
+ 2ca
+
3c
c
2
+ 2ab
:
(Dữỡng ực LƠm)
t a :=
1
a
; b :=
1
b
; c :=
1
c
; bĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
X
cy c
a 3abc
X
cy c
1

2a
2
+ bc
,
X
cy c
a(a
2
bc)
2a
2
+ bc
0
, 3
X
cy c
a
3
2a
2
+ bc

X
cy c
a
p dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta cõ
X
cy c
a
3

2a
2
+ bc


P
cy c
a
2
!
2
2
P
cy c
a
3
+ 3abc
án Ơy, ta cƯn chựng minh
3

X
cy c
a
2
!
2


X
cy c

a
!
2
X
cy c
a
3
+ 3abc
!
GiÊ sỷ a + b + c = 1; chuyn vã dÔng p; q; r, bĐt ng thực tr th nh
3(1 2q)
2
2 6q + 9r
Sỷ dửng bĐt ng thực q
2
3r; ta cƯn chựng minh
3(1 2q)
2
2 6q + 3q
2
, 3 12q + 12q
2
2 6q + 3q
2
, (1 3q)
2
0 (úng):
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c:
Vẵ dử 12 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng
a

4
(b + c) + b
4
(c + a) + c
4
(a + b)
1
12
(a + b + c)
5
:
(Vasile Cirtoaje)
LI GII. Chuân hõa cho p = 1, bĐt ng thực tr th nh
(1 3q)q + (5q 1)r
1
12
án Ơy ta sỷ dửng mởt thừ thuêt khi dũng bĐt ng thực Schur, õ l chia trữớng hủp giÊi quyát
c
Vừ Thnh Vn
8
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Náu q
1
5
thẳ ta cõ
(1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q =
1
3
(1 3q) 3q
1

3

1 3q + 3q
2

2
=
1
12
Náu q >
1
5
; ta cõ
(1 3q)q + (5q 1)r (1 3q)q + (5q 1)
q
9
=
1
36
(88q
2
+ 32q 3) +
1
12
<
1
12
:
Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh.
ng thực xÊy ra khi a = 0; b =

3+
p
3
6
; c =
3
p
3
6
v cĂc hoĂn v
Vợi kắ thuêt xt trữớng hủp giÊi, chúng ta cõ th dạ d ng giÊi quyát cĂc b i toĂn sau
B i toĂn 1 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1: Chựng minh rơng
(a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
)(c
2
+ a
2
)
1
32
:
HìẻNG DN. NhƠn v o rỗi rút gồn, chuyn bĐt ng thực vã dÔng p; q; r, ta cƯn chựng minh
q

2
2q
3
r(2 + r 4q)
1
32
án Ơy chúng ta xt 2 trữớng hủp q
1
4
v q >
1
4
:
B i toĂn 2 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
a
a
2
+ 3
+
b
b
2
+ 3
+
c
c
2
+ 3

3

4
:
(Dữỡng ực LƠm)
HìẻNG DN. ữa bĐt ng thực vã mởt h m theo p
f(p) = 27p
2
(54 + 12q)p + 9q
2
58q + 120 0
án Ơy chúng ta chia th nh 2 trữớng hủp 18q 58 + 12p v 18q 58 + 12p
Vẵ dử 13 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a
2
+ b
2
+ c
2
= 8. Chựng minh rơng
4(a + b + c 4) abc:
(Nguyạn Phi Hũng)
LI GII. Theo giÊ thiát, ta cõ p
2
2q = 8: Mt khĂc, theo bĐt ng thực Schur bêc 4, ta cõ
r
(4q p
2
)(p
2
q)
6p
=

(p
2
16)(p
2
+ 8)
12p
Vẳ vêy, ta cƯn chựng minh
(p
2
16)(p
2
+ 8)
12p
4(p 4)
,
(p 4)
2
(p
2
+ p 8)
12p
0 (úng):
ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = 2; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
c
Vừ Thnh Vn
9
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Vẵ dử 14 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1: Chựng minh rơng
p
a

2
+ abc
b + ca
+
p
b
2
+ abc
c + ab
+
p
c
2
+ abc
a + bc

1
2
p
abc
:
LI GII. ời bián th nh p; q; r, ta cõ bờ ã
r
q
2
(1 q)
2(2 3q)
p dửng BDT Cauchy-Schwarz, ta cõ
"
X

cy c
p
a
2
+ abc
(b + c)(b + a)
#
2

"
X
cy c
a
(a + b)(b + c)
#
X
cy c
a + c
b + c
!
=
P
cy c
a
2
+
P
cy c
ab
(a + b)(b + c)(c + a)

X
cy c
a + c
b + c
!
Ta cõ
X
cy c
a + c
b + c
=
X
cy c
1
b + c

X
cy c
b
b + c

X
cy c
1
b + c

(a + b + c)
2
P

cy c
a
2
+
P
cy c
ab
Nản ta cƯn chựng minh
P
cy c
a
2
+
P
cy c
ab
(a + b)(b + c)(c + a)
2
6
4
X
cy c
1
b + c

1
P
cy c
a
2

+
P
cy c
ab
3
7
5

1
4abc
,
1 q
q r

1 + q
q r

1
1 q


1
4r
,
4(1 q
2
)
q r
4
q r

r
,
4(1 q
2
)
q r

q
r
3
Sỷ dửng bờ ã, ta cõ
V T
4(1 q
2
)
q
q
2
(1q )
2(23q)

q
q
2
(1q )
2(23q)
= 3
q(1 3q)(5 7q)
(1 q)(4 7q + q
2

)
3:
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c =
1
3
:
Nhên xt 1 Vợi b i toĂn n y, chúng tổi cõ 2 cƠu họi thú v xin d nh cho cĂc bÔn
1. Chựng minh bờ ã m chúng tổi  nảu trản.
2. HÂy ch ra con ữớng tẳm bờ ã n y.

c
Vừ Thnh Vn
10
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Vẵ dử 15 Cho cĂc số thỹc dữỡng a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1. Chựng minh rơng
4
81(ab + bc + ca)
+ abc
5
27
:
(Vó Th nh Vôn)
LI GII. p dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
r
p(4q p
2
)
9
=
4q 1

9
BĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
4
81q
+ r
5
27
Sỷ dửng bĐt ng thực Schur, ta cƯn chựng minh
4
81q
+
4q 1
9

5
27
,
4
81q
+
4q
9

8
27
BĐt ng thực trản hin nhiản úng theo bĐt ng thực AM-GM nản ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch
khi a = b = c =
1
3
:

Vẵ dử 16 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab + bc + ca = 1: Chựng minh rơng
ab + 1
a + b
+
bc + 1
b + c
+
ca + 1
c + a
3:
(Nguyạn MÔnh Dụng)
LI GII. Ta cõ
ab + 1
a + b
+
bc + 1
b + c
+
ca + 1
c + a
3
,
X
cy c
(ab + 1)(c + a)(c + b) 3(a + b)(b + c)(c + a)
,
X
cy c
(ab + 1)(c
2

+ 1) 3[(a + b + c)(ab + bc + ca) abc]
, (a
2
+ b
2
+ c
2
) + ab + bc + ca + abc(a + b + c) + 3 + 3abc 3(a + b + c)
, (a + b + c)
2
+ abc(a + b + c + 3) + 2 3(a + b + c)
t p = a + b + c; q = ab + bc + ca = 1; r = abc: BĐt ng thực cƯn chựng minh tr th nh
p
2
+ r(p + 3) 3p + 2 0
, (p 1)(p 2) + r(p + 3) 0
Náu p 2 thẳ bĐt ng thực hin nhiản úng.
Náu 2 p
p
3; Ăp dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
p
3
+ 9r 4pq
c
Vừ Thnh Vn
11
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
, r
4p p
3

9
Ta cƯn chựng minh
p
2
3p + 2 + (p + 3)
4p p
3
9
0
, p
4
+ 3p
3
13p
2
+ 15p 18 0
, (p 2)(p
3
+ 5p
2
3p + 9) 0
BĐt ng thực cuối hin nhiản úng vẳ p 2 v
p
3
+ 5p
2
3p + 9 = p
3
+ 4p
2

+

p
3
2

2
+
27
4
> 0
Ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = 1; c = 0 hoc cĂc hoĂn v
Vẵ dử 17 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+ 3 2(a + b + c):
(Vietnam MO 2006, B)
LI GII. t x =
1
a
; y =

1
b
; z =
1
c
, ta cõ xyz = 1, ỗng thới ời bián th nh p; q; r, ta cõ bĐt ng thực tr
th nh
p
2
2q + 3 2q
, 4q p
2
3
M bĐt ng thực trản úng theo bĐt ng thực Schur nản ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi
a = b = c = 1:
Vẵ dử 18 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi mồi k 1;
ta luổn cõ
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
+ k
(a + b + c)(ab + bc + ca)
a
3
+ b

3
+ c
3
2
p
k + 1:
(PhÔm Sinh TƠn)
LI GII. ời bián bĐt ng thực theo p; q; r v chuân hõa cho p = 1. Ta cƯn chựng minh bĐt ng thực
1 2q + 3r
q r
+ k
q
1 3q + 3r
2
p
k + 1
Ta cõ
1 2q + 3r
q r
+ k
q
1 3q + 3r
=
1 3q + 3r
q r
+ k
q
1 3q + 3r
+ 1

1 3q + 3r
q
+ k
q
1 3q + 3r
+ 1 2
p
k + 1:
ng thực xÊy ra khi (a; b; c) =

p
k+2
p
k3+
p
k+1
2
x; x; 0

hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
Mởt số b i têp tữỡng tỹ
c
Vừ Thnh Vn
12
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
B i toĂn 3 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng vợi mồi k 1; ta luổn cõ
a
b + c
+
b

c + a
+
c
a + b
+ k
(a + b)(b + c)(c + a)
a
3
+ b
3
+ c
3
2
p
k + 1:
(PhÔm Sinh TƠn)
B i toĂn 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
+
9(ab + bc + ca)
a
2
+ b

2
+ c
2
6:
(PhÔm Sinh TƠn)
Vẵ dử 19 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng

a
b + c

2
+

b
c + a

2
+

c
a + b

2
+
10abc
(a + b)(b + c)(c + a)
2:
(Dữỡng ực LƠm)
LI GII. t x =
2a

b+c
; y =
2b
c+a
; z =
2c
a+b
, ta cõ
xy + yz + zx + xyz = 4
BĐt ng thực tr th nh
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 5xyz 8
ữa bĐt ng thực vã dÔng p; q; r, tứ giÊ thiát, ta cõ q + r = 4 v bĐt ng thực tr th nh
p
2
2q + 5r 8
, p
2
7q + 12 0
Náu 4 p, sỷ dửngbĐt ng thực Schur, ta cõ
r
p(4q p
2
)
9

) 4 q +
p(4q p
2
)
9
, q
p
3
+ 36
4p + 9
) p
2
7q + 12 p
2

7(p
3
+ 36)
4p + 9
+ 12
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
p
2

7(p
3
+ 36)
4p + 9
+ 12 0
, (p 3)(p

2
16) 0
iãu n y úng vẳ 4 p
p
3q 3:
Náu p 4, ta cõ p
2
16 4q nản
p
2
2q + 5r p
2
2q
p
2
2
8
Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh. ng thực xÊy ra khi x = y = z = 1 hoc x = y = 2; z = 0 hoc cĂc
hoĂn v tữỡng ựng.
c
Vừ Thnh Vn
13
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Vẵ dử 20 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chựng minh rơng
1
6 ab
+
1
6 bc
+

1
6 ca

3
5
:
(Vasile Cirtoaje)
LI GII. Chuyn ời bĐt ng thực vã nhữ sau
108 48q + 13pr 3r
2
0
, 4(9 4q + 3r) + r(1 r) 0
Ta thĐy bĐt ng thực trản úng do
r = abc

a + b + c
3

3
= 1
v theo bĐt ng thực Schur thẳ
3r
3p(4q p
2
)
9
= 4q 9
) 3r + 9 4q 0:
Vêy bĐt ng thực ữủc chựng minh.
ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c = 1 hoc a = 0; b = c =

3
2
hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
Vẵ dử 21 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
a
2
(b + c)
b
2
+ c
2
+
b
2
(c + a)
c
2
+ a
2
+
c
2
(a + b)
a
2
+ b
2
a + b + c:
(Darij Grinberg)
LI GII. p dửng bĐt ng thực Cauchy-Schwarz, ta cƯn chựng minh

"
X
cy c
a
2
(b + c)
2
#
2


X
cy c
a
!"
X
cy c
a
2
(b + c)(b
2
+ c
2
)
#
ời bián theo p; q; r, khi õ bĐt ng thực viát th nh
r(2p
3
+ 9r 7pq) 0
p dửng BDT Schur, ta cõ p

3
+ 9r 4pq v bĐt ng thực quen thuởc p
2
3q 0, ta cõ pcm. ng thực
xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0:
Vẵ dử 22 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1: Chựng minh rơng
5(a
2
+ b
2
+ c
2
) 6(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 1:
LI GII. ời bián vã p; q; r; ta cƯn chựng minh
5 10q 6(1 3q + 3r) + 1
, 18r 8q + 2 0
Môc khĂc, bĐt ng thực trản úng theo bĐt ng thực Schur nản ta cõ pcm.
V mởt vẵ dử in hẳnh cho phữỡng phĂp n y l bĐt ng thực Iran 1996
c
Vừ Thnh Vn
14
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
Vẵ dử 23 Cho cĂc số khổng Ơm x; y; z; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0. Chựng minh rơng
(xy + yz + zx)

1
(x + y)
2
+
1
(y + z)
2
+
1
(z + x)
2


9
4
:
(Iran MO 1996, Ji Chen)
LI GII. Sỷ dửng phữỡng phĂp ời bián p; q; r, ta chuyn bĐt ng thực vã dÔng nhữ sau
q

(p
2
+ q)
2
4p(pq r)
(pq r)
2

9
4
Bián ời tữỡng ữỡng, rút gồn, ta cƯn chựng minh
4p
4
q 17p
2
q
2
+ 4q
3
+ 34pqr 9r
2
0
, pq(p
3
4pqr + 9r) + q(p
4
5p
2
q + 4q
2
+ 6pr) + r(pq 9r) 0
BĐt ng thực cuối úng nản ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi x = y = z hoc x = y; z = 0 hoc
cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
Qua cĂc vẵ dử trản, cõ l cĂc bÔn cụng  ữủc hẳnh dung ẵt nhiãu vã bĐt ng thực Schur v nhỳng ựng dửng
cừa nõ trong phữỡng phĂp ời bián p; q; r: kát thúc b i viát n y, mới cĂc bÔn cũng giÊi mởt số b i têp sau
B i toĂn 5 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a
3
+ b

3
+ c
3
= 3. Chựng minh rơng
a
4
b
4
+ b
4
c
4
+ c
4
a
4
3:
(Vasile Cirtoaje)
B i toĂn 6 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c: Chựng minh rơng
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc + 1 2(ab + bc + ca):
(Darij Grinberg)
B i toĂn 7 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a
2
+ b

2
+ c
2
= 3. Chựng minh rơng
12 + 9abc 7(ab + bc + ca):
(Vasile Cirtoaje)
B i toĂn 8 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1
a
2
a + 1
+
1
b
2
b + 1
+
1
c
2
c + 1
3:
(Vụ ẳnh Quỵ)
B i toĂn 9 Cho cĂc số thỹc a; b; c thọa mÂn a
2
+ b
2
+ c
2
= 9. Chựng minh rơng

2(a + b + c) abc 10:
(Vietnam MO 2002, TrƯn Nam Dụng)
B i toĂn 10 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
1 +
3
a + b + c

6
ab + bc + ca
:
(Vasile Cirtoaje)
c
Vừ Thnh Vn
15
3.2 Phng phỏp i bin p; q; r 3 CC V D MINH HA
B i toĂn 11 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
2(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 12 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ca)
(Balkan MO)
B i toĂn 12 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng vợi mồi
k 3; ta
1
a + b
+
1

b + c
+
1
c + a
+
k
a + b + c

2
p
k + 1
p
ab + bc + ca
:
(PhÔm Kim Hũng)
B i toĂn 13 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn ab + bc + ca + 6abc = 9. Chựng minh rơng
a + b + c + 3abc 6:
(Lả Trung Kiản, Vó Quốc BĂ Cân)
B i toĂn 14 Cho cĂc số khổng Ơm x; y; z; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Tẳm hơng số a nhọ nhĐt
bĐt ng thực sau úng

x + y + z
3

a

xy + yz + zx
3

3a

2

(x + y)(y + z)(z + x)
8
:
(Ivan Borsenco, Irurie Boreico)
B i toĂn 15 Cho cĂc số dữỡng a; b; c thọa mÂn abc = 1: Chựng minh rơng
a + b + c
3

10
r
a
3
+ b
3
+ c
3
3
:
B i toĂn 16 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 1: Chựng minh rơng
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
+ 2abc

247
54
:
B i toĂn 17 Cho a; b; c 2 [1; 2]: Chựng minh rơng
a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2
(a + b) 7abc:
B i toĂn 18 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c thọa mÂn a + b + c = 3: Chựng minh rơng
5 ab
1 + c
+
5 bc
1 + a
+
5 ca
1 + b
ab + bc + ca:
(Vasile Cirtoaje)
CHểC CC BN THNH CặNG!!!
c
Vừ Thnh Vn
16

Author: Võ Thành Văn
Edited and corrected by Võ Quốc Bá Cẩn