127 phương trình lượng giác trong bộ đề tuyển sinh đại học

Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

1

127 phơng trình lợng giác

Các Phơng trình LG
trong bộ đề thi ts vào ĐH và CĐ
1. cosx +
1
cos x
+ sinx +
1
sin x
=
10
3

2. log
3
(sin
2
x
- sinx) +
1
3
log ( cos 2 )
2
x
sin x+

= 0
3. Tìm các giá trị x

(0;
2

) thỏa phơng trình:
sin 3 sin
1 cos 2
x x
x


= sin2x + cos2x
4. Cho pt: (1- a)tg
2
x -
2
cos
x
+ 1 + 3a = 0
a) Giải pt khi a =
1
2

b) Tìm tất cả các giá trị tham số a để pt đã cho có hơn một nghiệm

(0;
2

)
5. Giải pt: 2cosx -
sin x = 1
6. Giải và biện luận theo k pt:
1
cos
x
-
1
sin
x
= k
7. Giải pt: tgx +tg
2
x + tg
3
x + cotgx + cotg
2
x +cotg
3
x = 6
8. cos
3
4x = cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x
9. Tìm nghiệm x

( -
3
4

;

) của pt: a
2
sinx - asin
2
x - a
2
cosx + acos
2
x = cosx -
sinx
10. Cho pt cos2x (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
a) Giải pt khi m =
3
2

b) Tìm tất cả các giá trị m để pt có nghiệm

(
2

;
3
2

)
11. Xác định a để hai pt sau tơng đơng:
2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x
4cos
2
x cos3x = acosx + (4 a)(1 + cos2x)
12. Giải bất phơng trình: 4(x
3
2x + 1)(sinx + 2cosx) 9
3
2 3x x +

13. Xác đinh a để pt sau có nghiệm: cos
6
x + sin
6
x = a sin 2x
14. Tìm min, max y =
3
sinx + cosx =
2 3
2
x +

15. Tìm nghiệm của pt sin((x+1)y) = sin
2
xy + sin
2
(x-1)y biết rằng (x+1)y, xy, (x-
1)y là số đo các góc của một tam giác. Đề 149

Giải: (x+1)y + xy + (x-1)y =

xy =

/3
(x +1)y = xy + y =

/3 + y 0 <

/3 + y < 2

/3
Suy ra: -

/3 < y <

/3
www.VNMATH.com
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

2

(x-1)y = xy y =

/3 y
16. Giải pt sin
3
x + cos
3

x = 2 sin
4
x Đề 150
17. Giải hệ pt:
sin 1/ 4
3
xcosy
tgx tgy
=


=

Đề 12
18. Giải hệ pt:
cot 2sin( / 4)
cot 2sin( / 4)
tgx gx y
tgy gy x


+ = +


+ =

Đề 23
19. Cho pt
2
2

3
3
sin
tg x
x
+ + m(tgx +cotgx) 1 = 0
a) Giải pt khi m = 4
b) Tìm m để pt có nghiệm. Đề 13
20. 2cos
2
3
5
x
+ 1 = 3cos
4
5
x
Đề15
21. Tìm các nghiệm x

(
2

;
3

) của pt sin(2x +
5
2

) - 3cos(x -
7
2

) = 1 + 2sinx
Đề16

22.
2
(2sinx 1) = 4(sinx 1) cos(2x +

/4) sin(2x +

/4) Đề17
23. 3cosx + 4sinx +
6
3cos 4sin 1
x x+ +
= 6 Đề18
24. 8sin
2
xcosx =
3 1
cos sinx x
+
Đề 22
25. Giải hẹ pt:
1
sin cos sin cos
2

3
2sin 2 sin 2
2
x x y y
x y

+ = +




= +


Đề 32
26. Giải hẹ pt:
sin sin 2
cos cos 2
x y
x y

+ =


+ =


Đề 33
27. Cho hpt:
2

2(cos 2 cos 2 ) 1 4 cos 0
x y m
x y m
=


+ =

Tìm m để hệ có nghiệm. Tìm
nghiệm đó. Đề 65
28.
1
cos 2 3 cos 2 1
tgy tgx tgxtgy
y x
=



+ =


Đề 75
29. Cho pt: msinx + (m+1)cosx = m/cosx
a) gpt khi m = 1/2
b) Giả sử m là giá trị làm cho pt có nghiệm. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm sao

cho x
1
+ x
2



/2 + k

. Hãy tính cos2(x
1
+ x
2
) Đề 145
*** Chú ý rằng: cos2(x
1
+ x
2
) =
2
1 2
2
1 2
1 ( )
1 ( )
tg x x
tg x x
+
+ +

30. sinx +
2 2
2 sin 2 sin 3x sinx x
+ = Đề 146
www.VNMATH.com
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

3

31. Cho pt :
6 6
2 2
cos sin
2 2
cos sin
x x
mtg x
x x
+
=


a) Giải pt khi m = 1/8
b) Với giá trị nào của m thì pt có nghệm Đề 147
32. tg
2
x =
1 cos
1 sin

x
x


Đề 133
33. cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x =
2
/4 Đề 135
34. Tìm tổng tất cả các nghiệm x

[0;40] của pt: 2cos
2
x + cotg
2
x =
3
2
sin 1
sin
x
x
+
Đề
136
35. 2sin(3x +
3

4

) =
2
1 8sin 2 2xcos x
+ Đề 25
36. a) sin2(x -

) sin(3x -

) = sinx
b) Tìm a để pt sin2(x -

) sin(3x -

) = asinx có nghiệm x
k


Đề 28
37.
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ = Đề 30
38. tg
2
2xtg
2
3xtg5x = tg
2

2x - tg
2
3x + tg5x Đề 34
39.
2
2
sin cos cos
cos sin sin
x x y
x x y

=


=


Đề 79
40. Cho hệ:
2
2
sin
s
x mtgy m
tg y m n m

+ =


+ =

a) Giải hệ khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm Đề 87
41. tg
2
x + tg
2
y + cotg
2
(x + y) =1 Đề 99
42. Cho pt :
1 sin 1 sinx x k+ + =
a) Giải pt khi k = 2
b) Giải và biện luận theo k. Đề 37
43. Tìm t sao cho pt:
2sin 1
sin 2
x
t
x
+
=
+
có 2 nghiệm thuộc đoạn [0;

] Đề 38
44. a) 3cosx + cos2x cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để pt(1) tơng đơng với pt sau:

mcos3x + (4 8m)sin
2
x + (7m 4)cosx + (8m 4) = 0 Đề 40
45. cos2x -
3 sin2x - 3 cosx sinx + 4 = 0
46. 2 + 2sinx 2cos
2
x -
2
sin( x+

/4) = 0
47. Cho pt sinx + mcosx = 1 (1)
a) Giải pt khi m = - 3
b) Tìm m để pt (1) vô nghiệm.
c) Xác định m để pt(!) tơng đơng với msinx + cosx = m
2
. Đề 42
48.
3(cos 2 cot 2 )
2sin 2 2
cot 2 cos 2 )
x g x
x
g x x
+
=

Đề 45
www.VNMATH.com

Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

4

49.
cot gx
= tgx +
1
sin x
Đề 46
50.
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1
1 sin 2
x x x
x
+
+
= 1 Đề 47
51. sin
2
2x cos
2
8x = sin(
17
2

+ 10x) Đề 48
52. 3sin3x -

3 cos9x = 1 + 4sin
3
3x Đề 49
53.
sin cosx x
+ 4sin2x = 1 Đề 51
54. cos
4
3
x = cos
2
x Đề 52
55. Giải và biện luận:
2 2
2
a - bcosx 2 a - b tgy
=
sinx 1 + tg y
Đề 44
56. Cho pt 3cosx + 2
sin x
= k
Giải pt khi k = 2, k = 3. Đề 57
57. Tìm số dơng a nhỏ nhất thỏa pt: cos(

(a
2
+ 2a 1/2)) - sin

a

2
Đề 58
58. x
2
2xsinxy + 1 = 0 Đề 60
59.
cos2x + 1 + sin2x =2 sinx + cosx Đề 64
60. Với những giá trị nào của m thì pt sau có nghiệm:
1 2 cos 1 2sinx x m+ + + = Đề 66
61. 2cos
3
x + cos2x + sinx = 0 Đề 68
62. 4cosx - 2cos2x cos4x = 1 Đề 69
63. 3tg3x + cotg2x = 2tgx +
2
sin 4x
Đề 71
64. a) gpt (cos4x cos2x)
2
= 5 + sin3x
b)Xác định a để pt sau có nghiệm:
(cos4x cos2x)
2
= (a
2
+ 4a + 3)( a
2
+ 4a + 6) + 7 + sin3x Đề 74
65. Giải các pt: sin
4

x + cos
4
(x +

/4) = 1/4
(tgx +
1
4
cotgx)
n
= cos
n
x + sin
n
x , n = 2, 3, 4 Đề 77
65. a) Các số x, y, z thỏa: x + y + z = n


Chứng minh : cos
2
x + cos
2
y + cos
2
z = 1 + (-1)
n
.2cosxcosycosz
b) Giải phơng trình: 2log
3
cotgx = log

2
cosx Đề 78
66. a) cos
4
x sin
4
x =
cos sinx x
+
c) Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà số đo các góc của nó nghiẹm
đúng
phơng trình: (56-65sinx)(80-64sinx-65cos
2
x) Đề 80
67. 1 + sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(
4

-
2
x

) Đề 81
68. Xác định tham số m sao cho phơng trình sau có 7 nghiệm khác nhau thuộc
khoảng ( - ;2
2


) Đề
82
69. a) cos2x cos6x + 4(3sinx 4sin
3
x + 1) = 0
www.VNMATH.com
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

5

b) (sin
3
2
x
+ 1/ sin
3
2
x
)
2
+ (cos
3
2

x
+ 1/ cos
3
2
x
)
2
=
4
81
cos 4
4
x Đề 83
70.
cos 2sin cos3 1 2sin cos 2x x x x x
+ = + Đề 86
71. Cho phơng trình (2sinx 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 4cos
2
x
a. Giải pt khi m = 1.
b. Tìm m để pt có đúng hai nghiệm thuộc [0;

] đề 89.
72.
sin sin 2 sin 3
3
cos cos 2 cos 3
x x x
x x x
+ +

=
+ +
90
73. 6sinx 2cos
3
x =
5sin 4 cos
2cos 2
x x
x
93
74. sin4xcos16x = 1 Đề 91
75.Giải và biện luận pt: (m-1)sin
2
x 2(m+1)cosx+2m-1=0 đề 95
76. a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: y =
cos sinx x+
b) Tìm m để pt sin4x = mtgx có nghiệm khác k

Đề 96
77. Cho pt: 6tgx + acotg3x = tg2x
a) Gpt với a = 0
b) Gpt với a = 5 Đề 97
78. tg
2
x =
3
3
1- cos x
1- sin x

Đề 100
79. 1) Các độ dài cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. chứng minh
rằng tam giác đó không thể có hai góc lớn hơn 60
0
.
2) Gpt: 2(tgx sinx) + 3(cotgx cosx) + 5 = 0 Đề 106
8
sin cosx x 0. 1) Gpt:
2
sin x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1

2) Tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lâp thành cấp số nhân công
bội bằng 2. Chứng minh
1 1 1
a b c
= + . Đề 107
81. Gpt:
1 cos 1 cos
4
cos
x x
sinx
x
+ +
=
Đề 108
82. Gpt:
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos

4 4 cos 2 sin 2
x x x x
x x
+ +
=
+
Đề 109
83. Giải các pt: 1)
1 cos 4 sin 4
2sin 2 1 cos 4
x x
x x

=
+

2) cos
3
x + sin
3
x = sinx cosx Đề110
84. Gpt:
cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x+ = Đề 111
85. 6sinx 2cos
3
x = 5sin2xcosx Đề 112
86. sin
3
x(1 + cotgx) + cos
3

x(1 + tgx) = 2 Đề 113
87. Cho pt (4 6m)sin
3
x + 3(2m 1)sinx + 2(m-2)sin
2
xcosx (4m 3)cosx = 0
1) Gpt khi m = 2
2) Tìm m để pt có đúng một nghiệm thuộc [0;
4

] Đ114
88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x
1) Giải pt khi m = - 7
www.VNMATH.com
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

6

2) Xác định m để pt có nhiều hơn một nghiệm thuộc [
3
8

;
8

] Đề 115
89. Tìm a, b để hai pt sau tơng đơng:
asin2x +
2

= 2cosx + a
2
sinx
2sin
2
x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 Đề 117
90. Giải và biện luận theo a pt:
2 2 2
2
sin 2
1 cos 2
a x a
tg x x
+
=

Đề 124
91. Gpt: sinx +
3 cosx =
2 cos 2 3 sin 2x x+ +
Đề 127
92. Giải và biện luận: cosax + cos 2bx cos(a+2b)x = 1 Đề 129
93. Giải pt: sin
2
x +
1
4
sin
2
3x = sinxsin

2
3x Đề 131

Các Phơng trình LG
trong các đề thi ts vào ĐH và CĐ từ 2002

94. D2002. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phơng trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0
95. B2002. Giải phơng trình sin
2
3x - cos
2
4x = sin
2
5x - cos
2
6x
96. A2002. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2

) của phơng trình:

cos3x + sin3x
5 sinx + = cos2x + 3
1 + sin2x




97. D2003. Giải phơng trình
2 2 2

x

x
sin - tg x - cos = 0
2 4 2




98. B2003. Giải phơng trình cotgx - tgx + 4sin2x =
2
sin2x

99. A2003. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2

) của phơng trình:

2
cos2x 1
cotgx - 1 = + sin x - sin2x
1 + tgx 2

100. D2004. Giải phơng trình (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
101. B2004. Giải phơng trình 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg
2
x
102. D2005. Giải phơng trình
4 4

3

cos + sin x + cos x - sin 3x - - = 0
4 4 2




103. B2005. Giải phơng trình 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
104. A2005. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2

) của phơng trình:
cos
2
3x.cos2x - cos
2
x = 0
105. D2005 - TK1. Giải phơng trình
3

sinx
tg - x + = 2
2 1+cosx




106. D2005 - TK2. Giải phơng trình sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0

107. B2005 - TK1. Giải phơng trình
3

2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0
4




www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh

7

108. B2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2
2
π
cos2x - 1
tg + x - 3tg x =
2 cos x
 
 
 

109. A2005 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2 2
x 3
π
4sin - 3cos2x = 1 + 2cos -
2 4
x

 
 
 

110. A2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
3
π
2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0
4
 
 
 


111. A2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
( )
6 6
2 cos x + sin x - sinxcosx
= 0
2 - 2sinx

112. B2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
x
ctogx + sinx 1 + tgx.tg = 0
2
 
 
 

113. D2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0

114. A2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
3 3
2 3 2
cos3cos sin 3 sin
8
x x x
+
− =
115. A2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 
 

116. B2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )
2 2 2
2sin 1 2 3 2 cos 1 0x tg x x− + − =

117. B2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
118. D2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2

x = 1
119. D2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4sin
3
x + 4sin
2
x + 3sin2x + 6cosx = 0
120. A2007. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
121. B2007. 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2sin
2
2x + sin7x - 1 = sinx
122. D2007. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 
 

123. A2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
1 1
sin2x + sinx - - = 2cotg2x
2sinx sin2x

124. A2007 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

2
2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = +
125. B2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
sin2x cos2x
+ = tgx - cotgx
cosx sinx

126. B2007 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin
5
2 4
x
π
 
−
 
 
- cos
2 4
x
π
 
−
 
 
=
3
2 cos
2

x

127. D2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2 2 sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 
 







www.VNMATH.com
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh
TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh

8

www.VNMATH.com