MAPLE TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

1


MAPLE TROG DẠY HỌC MÔ TOÁ
1 Maple làm được những gì?
Maple là phần mềm Toán học chuyên dụng có khả năng hỗ trợ cho dạy
và học. Đây là một chương trình tính toán vạn năng, Maple có khả năng rất
mạnh là tính toán trên ký hiệu (symbolic). Không phải phần mềm nào cũng có
thể cộng 2a với 3a cho kết quả 5a, hay lấy đạo hàm của một biểu thức giải
tích. Trong EXCEL, ta có thể tính được ma trận nghịch đảo của một ma trận
không suy biến với các phần tử là số, song đối với các phần tử là chữ thì phần
mềm này lại không làm được việc đó.
Maple đề cập đến hầu hết các lĩnh vực của Toán học, trong đó có hầu
hết các nội dung Toán trong chương trình Toán phổ thông, chẳng hạn như:
Maple cung cấp gần như đầy đủ công cụ cho dạy và học các nội dung thuộc
về Số học, Đại số, Giải tích…, khả năng vẽ hình với độ chính xác cao và đa
dạng…
Maple là một phần mềm mở, ngoài những công cụ đã có sẵn (câu lệnh)
thì Maple cho phép người tìm hiểu nó tạo ra những khả năng mới nhằm củng
cố thêm những chức năng của nó (lập trình)
Một điều rất quan trọng là làm quen và sử dụng Maple không khó, đối
với cả những người ít dùng đến máy tính. Vì những câu lệnh của Maple
không khó nhớ, giao diện làm việc khá thân thiện…
2 Maple trợ giúp giáo viên xây dựng hệ thống câu hỏi, bài toán cùng loại
Trong quá trình dạy học, việc tạo ra những bài toán cùng loại là rất
quan trọng. Đối với từng học sinh, việc có các bài toán cùng loại sẽ giúp các
em có điều kiện rèn luyện, từ việc làm quen với nội dung mới, dần tiến đến
hình thành kỹ năng và kỹ xảo giải toán. Như vậy, nội dung kiến thức đó sẽ
luôn được các em học sinh ghi nhớ. Đó cũng là cơ sở để học các nội dung sau
hiệu quả hơn.

2


Trong quá trình kiểm tra đánh giá, việc tạo ra các bài toán cùng loại sẽ
giúp cho giáo viên đánh giá lực học của học sinh một cách công bằng hơn. Từ
đó không những phát hiện ra những em có khả năng mà còn thấy được những
học sinh yếu kém cũng như sự chênh lệch về học lực trong lớp học (nếu có)
để tìm phương pháp dạy học sao cho phù hợp hơn
Tóm lại, việc xây dựng hệ thống câu hỏi hay các bài toán cùng loại là
rất quan trọng. Trong khi đó, sử dụng sự hỗ trợ của Maple để làm công việc
này không khó.
3 Maple là công cụ để kiểm tra, dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng
giải trong nhiều trường hợp.
Trong quá trình học Toán, việc kiểm tra tính đúng đắn của một phép
toán, một bài toán hay một quỹ tích… là rất quan trọng. Song có phải lúc nào
ta cũng có thể dễ dàng làm được công việc đó. Với những phép tính cồng
kềnh, với những bài toán tính đạo hàm hay tích phân phức tạp sau khi đã
làm xong một cách rất vất vả, nếu muốn kiểm tra lại thì quả là khó. Nhưng
với sự hỗ trợ của Maple thì công việc kiểm tra kết quả thật dễ dàng (chỉ với
một câu lệnh).
Cũng từ khả năng cho kết quả một cách nhanh chóng và chính xác của
Maple ta thấy rằng có thể dùng Maple để dự đoán kết quả trong nhiều trường
hợp. Một ví dụ rất đơn giản như khi giải phương trình: nếu dùng Maple để dự
đoán được nghiệm của nó thì bài toán sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều và ta
có thể mày mò được cách giải thông qua việc biết nghiệm của nó. Với một bài
toán quỹ tích cũng vậy…


Với khả năng kiểm tra, minh họa của mình, Maple còn giúp cho học

sinh tin tưởng hơn những định lý vượt ra ngoài khả năng chứng minh của
chương trình phổ thông hay đơn giản là kết luận của một bài toán nào đó. Từ
đó tạo ra niềm tin, và sự say mê trong việc học môn Toán.

3


4. Ứng dụng Maple vào quá trình dạy và học nội dung hàm số
Khai thác Maple ở khả năng thiết lập hàm số bằng cách đặt tương ứng
giữa hai đại lượng khi ta nhập chúng vào chương trình
* Nhập hàm số, câu lệnh
>
f:= x-> x^3 - 3*x^2 + 2;
:= f
→
x
−
+
x
3
3 x
2
2

> g:= x-> (2*x^2-3*x+1)/(x+1);
:= g → x
−
+
2 x
2

3 x 1
+ x 1

> h:= unapply(4*x^4 - 3*x^2 - 1,x);
:= h
→
x
−
−
4 x
4
3 x
2
1

Có thể cho hàm từng khúc bằng câu lệnh “piecewise”
>
k:= piecewise(x<=-1, x^2 -1, x<=1, 1-abs(x),
sin(x-1)/x);

:= k












−
x
2
1
≤
x -1
− 1 x ≤ x 1
( )sin − x 1
x
otherwise

Maple cũng có thể cho hàm dạng tổng quát, sau đó cụ thể bằng lệnh
gán các hệ số bởi các số cụ thể;
>
f:= x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;
:= f
→
x
+
+
+
a x
3
b x
2
c x d

> a:=2;b:=3;c:=4;d:=-9;f =f(x);

:=
a
2

:=
b
3

:=
c
4

:=
d
-9

=
f
+
+
−
2 x
3
3 x
2
4 x 9


4

Sau khi xây dựng hàm số xong, Maple cho phép làm hầu hết các công
việc liên quan đến hàm số đó, chẳng hạn như tính giá trị của hàm số tại các
điểm nào đó, tính đạo hàm, nguyên hàm và tích phân, tính giới hạn, xét tính
liên tục, khảo sát và vẽ đồ thị, tìm giao điểm của nó với trục toạ độ, với đồ thị
của một hàm số khác, vẽ được tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại một điểm
bất kì trên đồ thị, tìm được min và max của hàm số trong một miền nào đó…
Ví dụ: Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. (a
≠
0) ;
>
f:=x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;
:= f
→
x
+
+
+
a x
3
b x
2
c x d

> a:=1;b:=-3;c:=0;d:=2; y:=f(x);

:=
a
1

:=
b
-3

:=
c
0

:=
d
2

:= y
−
+
x
3
3 x
2
2

Chương trình dưới đây là các lệnh đơn giản được sử dụng để hỗ trợ một
bài toán khảo sát hàm số trong chương trình Đại số lớp 12. Chương trình này
gồm các lệnh tính:
+ Đạo hàm bậc nhất;
+ Giải phương trình để tìm hoành độ các điểm cực trị.

+ Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị;
+ Giải bất phương trình để cho biết tính đồng biến, nghịch biến.
+ Tính giới hạn
+ Vẽ đồ thị hàm số
{Đạo hàm bậc nhất của hàm số y; kí hiệu là y1 = y’}
>
y1:=diff(y,x);

5


:= y1
−
3 x
2
6 x

{Xét sự đồng biến, nghịch biến, cực trị}
>
solve(y1,{x});
,
{
}
=
x
0
{
}
=
x

2

> f[0]=f(0);f[2]=f(2);
=
f
0
2

=
f
2
-2

{Xét sự biến thiên của hàm số }
>
solve(y1>0,{x});
,
{
}
<
x
0
{
}
<
2
x

Hàm số đồng biến khi x < 0; x > 2
>

solve(y1<0,{x});
{
}
,
<
0
x
<
x
2

Hàm số nghịch biến khi 0 < x < 2
Hàm số đạt cực đại tại (0; 2), cực tiểu tại (2; -2)

{Tính giới hạn của hàm số tại vô cùng}
>
Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);
=
lim
→ x ∞
−
+
x
3
3 x
2
2
∞

> Limit(f(x),x=-infinity)=limit(f(x),x=-infinity);

=
lim
→ x ( )−∞
−
+
x
3
3 x
2
2
−
∞

{Xét tính lồi lõm, điểm uốn}
>
y2:=diff(y1,x);
:=
y2
−
6
x
6

> solve(y2,{x});
{
}
=
x
1

6


>
f[1]=f(1);
=
f
1
0

> solve(y2>0,{x});
{
}
<
1
x

> solve(y2<0,{x});
{
}
<
x
1

Đồ thị hàm số lồi khi x < 1, lõm khi x > 1, toạ độ điểm uốn là (1; 0)
{Vẽ đồ thị hàm số}
>
plot(f(x),x=-2 4,-3 3,title=`do thi ham so
y=x^3-3*x^2+2`);

7


Ta cũng có thể tìm được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên
một miền xác định nào đó bằng câu lệnh “maximize”, “minimize”:
>
maximize(f(x),x=-1 3);
2

> minimize(f(x),x=-1 3);
-2

…
Với một hàm số bất kì, để nghiên cứu nó một cách đầy đủ và chi tiết
nhất, không có một cách nào khác là khảo sát hàm số đó. Cũng chính vì lí do
đó mà trong chương trình Toán phổ thông, xuyên suốt nội dung môn Toán,
nội dung hàm số chiếm một lượng rất lớn, nhưng cái đích cuối cùng cũng là
việc hướng dẫn cho học sinh biết cách khảo sát hàm số, từ đó nghiên cứu và
khai thác các ứng dụng của nó, phục vụ cho nhiều nội dung khác.
Trên đây giới thiệu đầy đủ các lệnh trong Maple để có thể hỗ trợ cho
một bài khảo sát hàm số. Với một chu trình như vậy chúng ta có đủ cơ sở để
khảo sát một hàm số bất kì, đặc biệt là những hàm số quen thuộc như hàm số
phân thức có mẫu bậc cao, hàm số có chứa căn, hàm mũ, hàm lượng giác…
mà nếu như không sử dụng phần mềm hỗ trợ thì việc làm đó thực sự rất khó

khăn. Chẳng hạn, chúng ta sẽ khảo sát hàm số
2
2 1
3 2
x
y
x x
−
=
− +

{Lệnh xây dựng hàm số y = f(x)}
>
f:=x->(2*x-1)/(x^2-3*x+2);y:=f(x);
:= f → x
−
2
x
1
− + x
2
3 x 2

:= y
−
2
x
1
− + x
2

3 x 2

{Tìm điều kiện để hàm số xác định}
>
solve(x^2-3*x+2,{x});

8


,
{
}
=
x
2
{
}
=
x
1

Vậy hàm số xác định khi x
≠
1 và x
≠
2;
{Tính đạo hàm bậc nhất, kí hiệu y1 = y’}
>
y1:=diff(f(x),x);
:= y1 −

2
− + x
2
3 x 2
(
)
−
2
x
1
(
)
−
2
x
3
( ) − + x
2
3 x 2
2

{Rút gọn y1 để có kết quả tốt hơn}
>
factor(%);
−
−
−
2 x
2
2 x 1

( ) − x 1
2
( ) − x 2
2

{Giải phương trình y1 = 0, từ đó suy ra các điểm cực trị}
>
solve(y1,{x});
,{ } = x −
1
2
3
2
{ } = x +
1
2
3
2

{Giải các bất phương trình y1 > 0; y1 < 0, từ đó suy ra tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số}
>
solve(y1>0,{x});solve(y1<0,{x});
,{ }, < −
1
2
3
2
x < x 1 { }, < 1 x < x +
1

2
3
2

, ,{ } < x −
1
2
3
2
{ }, < +
1
2
3
2
x < x 2 { } < 2 x

Hàm số đồng biến trên
1 3 1 3
,1 1,
2 2 2 2
   
− ∪ +
   
   
   

Hàm số nghịch biến trên
( )
1 3 1 3
, , 2 2,

2 2 2 2
   
 
 
 
−∞ − ∪ + ∪ +∞
 
 
 
 
 
 
   

{Tính giá trị cực trị}
>
f(1/2-sqrt(3)/2);

9


−
3
+ +









−
1
2
3
2
2
1
2
3 3
2

> factor(%);
−
2 3 4

> f(1/2+sqrt(3)/2);
3
+ −








+
1

2
3
2
2
1
2
3 3
2

> factor(%);
−
−
2 3 4

{Tính các giới hạn, tại các điểm gián đoạn và tại vô cùng};
>
Limit(y,x=2,right)=limit(y,x=2,right);
Limit(y,x=2,left)=limit(y,x=2,left);
Limit(y,x=1,right)=limit(y,x=1,right);
Limit(y,x=1,left)=limit(y,x=1,left);
Limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity);

= lim
→ +x 2
−
2
x
1
− + x
2

3 x 2
∞

= lim
→ -x 2
−
2
x
1
− +
x
2
3
x
2
−∞

= lim
→ +x 1
−
2
x
1
− + x
2
3 x 2
−∞

= lim
→ -x 1

−
2
x
1
− +
x
2
3
x
2
∞

= lim
→ x ∞
−
2
x
1
− +
x
2
3
x
2
0

{Vẽ đồ thị}
>
plot(y,x=-1 4,-12 8);

10



{Giao điểm của đồ thị với trục hoành}
>
solve(y,{x});
{ } = x
1
2

Ngoài việc khảo sát hàm số bằng việc chia ra các bước và sử dụng
Maple để giải quyết từng bước bằng các câu lệnh nhỏ như trên, ta còn có thể
sử dụng khả năng lập trình của Maple để tạo ra chương trình khảo sát hàm số
(chẳng hạn những hàm số trong chương trình phổ thông). Sau đó dùng vào
việc trợ giúp giáo viên khi ra đề bài kiểm tra, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức
một cách nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ: Chương trình khảo sát hàm số bậc hai tổng quát.
> restart;
>
kshs2:=proc(q)
local p1,p,x1, y1,a;
p:=expand(q);
if not type(p,polynom) then ERROR(`Không phải là đa thức`) fi;
print(`Khảo sát hàm số : y`= eval(p));

11


print(`1. TXD: D = R.`);

p1:=diff(p,x);
x1:=solve(p1=0,x);
y1:=subs(x=x1,p);
print(`2.Đạo hàm bậc nhất : y'`=eval(p1));
a:=coeff(p, x, 2);
if a>0 then
print(` Hệ số a`= a,` a > 0 Hàm số lõm trên R`);
print(`3. Giới han: y = `+infinity,`Khi x > `+infinity);
print(` y = `+infinity,`Khi x > `+infinity);
else
print(`Hệ số a` = a, `a <0 Hàm số lồi trên R`);
print(`3. Giới hạn: y = `-infinity,`Khi x > `+infinity);
print(` y = `- eval(infinity) ,` Khi x > `- infinity);
fi;
print(`4. Bảng biến thiên :`);
if a>0 then
print(`x | `-infinity,` ` ,x1,` -`,infinity);
print(` | `);
print(`y' | - 0 + ` );
print(` | `);
print(` | `+infinity ,` `+infinity);
print(`y | \\ / `);
print(`y | `, y1 ,` `);
else
print(`x | `-infinity,` ` ,x1,` `-infinity);
print(` | `);

12

print(`y' | 0 + ` );
print(` | `);
print(`y | `, y1 ,` `);
print(`y | / \\ `);
print(` | `+ infinity ,` `+infinity);
fi;
print(`5. Vẽ đồ thị :`);
plot(p,x=-10 10);
end:

Để chạy chương trình ta thực hiện như sau: (Chẳng hạn muốn khảo sát
hàm số y = 2x
2
– 3x + 1)
> printlevel:=2;
kshs2(2*x^2-3*x+1);
Khảo sát hàm số: y = 2x
2
– 3x + 1
1. TXĐ: D = R
2. Đạo hàm bậc nhất: y’ = 4x – 3
Hệ số a = 2, a > 0. Đồ thị lõm trên R
3. Giới hạn: y = +
∞
, khi x →
→→
→ +
∞

y = +

∞
, khi x →
→→
→ -
∞

4. Bảng biến thiên



, , , , − x | ∞
3
4
- ∞

|


y' | - 0 +

|


,
+
|
∞
+

∞

y | \ /


13



, ,y |
-1
8




5. Vẽ đồ thị.


Tuy nhiên để lập trình một bài toán khảo sát không phải là đơn giản,
hơn nữa kết quả Maple đem lại cũng không thực sự tốt. Do đó, theo chúng tôi,
với bài toán khảo sát hàm số, ta có thể chia ra thành từng bước nhỏ, sau đó
ứng dụng Maple vào từng bước đó. Chẳng hạn, có thể sử dụng Maple vào
kiểm tra tính đạo hàm, tính cực trị, tính giới hạn, minh họa đồ thị.